Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Теория рассеяния квазичастйц в квантовом кристалле 28
1.1. Точное решение задачи двухквазичастичного рассеяния 28
1.2. Аппроксимация произвольного оператора взаимодействия вырожденными операторами . 38
1.3. Рассеяние вакансиона на дефекте 45
1.4. Рассеяние вакансиона на примесоне 54
1.5. Рассеяние вакансиона на вакансионе и приме-
сона на примесоне 63
1.6. Рассеяние перегибов 72
1.7. Рассеяние на произвольном потенциале . 80
1.8. Упорядочение атомов водорода в металле 83
1.9. Рассеяние квазичастиц в двумерном
кристалле 88
ГЛАВА 2. Энергетический спектр квантового кристалла 95
2.1. Вклад в свободную энергию квантового кристалла 95
2.2. Произвольное возмущение 108
2.3. Теплоемкость двумерного кристалла 110
2.4. Фазовый переход в твердом Не ^" 115
2.5. Неидеальный бозе-газ квазичастиц 122
2.6. Добавка в свободную энергию твердого раствора 127
2.7. Разделение фаз в кристалле Не5-Не4 131
2.8. Фазовый переход в системе ферми-бозе- квазичастиц 136
2.9. Фазовый переход в растворе водород -металл 145
ГЛАВА 3. Квазичастицы в растворах квантовых кристаллов 154
3.1. О структуре вакансионов в растворах 154
3.2. Двумерные и одномерные системы 165
3.3. Поглощение звука вакансионами 173
3.4. Дефекты и перегибы в растворах 176
ГЛАВА 4. Диффузия в квантовых кристаллах 185
4.1. Квантовое туннелирование 185
4.2. Квантовая теория диффузии квазичастиц в решеточных системах 187
4.3. Квантовая диффузия примесонов Не в твердом Не4 195
4.4. Спиновая диффузия, индуцированная вакансионами 210
4.5. Диффузия в двумерных кристаллах 221
ГЛАВА 5. Макроскопические уравнения движения 233
5.1. Уравнение движения одноконденсатного кристалла 233
5.2. Уравнение движения двухконденсатного кристалла 244
5.3. Волны в двухконденсатном растворе 253
5.4. Нити в сверхтекучем растворе 264
Заключение 268
Литература
- Рассеяние вакансиона на дефекте
- Фазовый переход в твердом Не
- Двумерные и одномерные системы
- Квантовая диффузия примесонов Не в твердом Не4
Введение к работе
Актуальность проблемы. В последнее время в физике твердого тела возникла новая область исследований - квантовые кристаллы.
Имеющиеся в настоящее время теоретические и экспериментальные данные не оставляют никаких сомнений в том, что квантовый кристалл - это новое состояние вещества, предсказанное теоретически А.Ф. Андреевым и И.М.Лифшицем, как логическое продолжение сверхтекучих квантовых жидкостей, которые были открыты в экспериментальных работах П.Л.Капицы и описаны в совершенстве в теоретических работах Л.Д.Ландау [I, 2, 3].
В настоящей диссертационной работе предлагается метод исследования квантовых кристаллов с точки зрения концепции квазичастиц (как в теории Л.Д.Ландау о сверхтекучести гелия), который позволяет получить основные характеристики этого нового состояния вещества, предсказать и исследовать происходящие в нем явления.
В основу предлагаемого метода исследования положена новая теория рассеяния квазичастиц в дискретном пространстве кристаллической решетки, которая строится, исходя из основополагающих идей академика И.М.Лифшица [4-8].
Интерес к квантовым кристаллам носит весьма многоплановый характер, охватывающий широкий диапазон от чисто фундаментальных до прикладных проблем. Ясно, что оба эти подхода в чем-то перекрываются. В настоящей диссертации рассматриваются, в основном, фундаментальные явления, т.е. основные процессы, веду-щие к фазовым переходам в твердом гелии, в растворах Не -Не и водорода в металлах. Такие кристаллические системы могут также служить моделью для изучения квантовой диффузии в твердом теле. Кроме того, простота этих систем позволяет дать строгое исследование макроскопических уравнений движения с учетом сверхтекучести движения квазичастиц.
Цель работы. Цель настоящей работы состоит в разработке нового эффективного метода решения ряда задач и в развитии на его основе теории квантовых кристаллов. Такая теория должна позволять решать проблемы рассеяния квазичастиц в дискретном пространстве кристаллической решетки и фазовых переходов, обусловленных взаимодействиями квазичастиц друг с другом, предсказывать и исследовать новые эффекты, в основе которых лежат уникальные свойства конденсированного состояния вещества при достаточно низких температурах. Ярким примером такого состояния вещества являются твердые Не5, Не и их растворы. Раствор водород-металл тоже является конденсированной системой, позволяющей исследовать проблему взаимодействия двух дефектонов в металлической матрице, влияние взаимодействия на характер фазовых переходов. Предлагается микроскопическое описание квантовой диффузии и квантовой релаксации, связанной с движением атомов при наличии вакансий в решеточной системе.
Научная новизна. В работах, положенных в основу диссертации, создано новое направление, заключающееся в развитии теории квантовых кристаллов с точки зрения концепции квазичастиц. В процессе развития этого направления разработан эффективный метод, позволяющий строго учитывать периодичность пространства кристаллической решетки и решать проблемы, обусловленные особенностями движения и переноса квазичастиц в таком пространстве и их взаимодействием друг с другом. Такой подход дает возможность построить точную теорию рассеяния квазичастиц друг с другом в случае общего закона дисперсии. Исходя из основных уравнений, описывающих процесс рассеяния квазичастиц, предлагается новый метод вычисления вклада в свободную энергию кристалла, обусловленный взаимодействием квазичастиц. Такой метод позволяет построить диаграмму состояний раствора квантовых кристаллов, исследовать фазовые переходы и получить из экспериментальных данных информацию о величинах, характеризующих это новое состояние вещества.
Практическая ценность работы определяется следующими результатами.
Развитые в диссертации представления о квантовых кристаллах расширяют наши знания в области физики конденсированного состояния вещества. При развитии этого направления разработан эффективный метод, позволяющий строго учитывать своеобразные свойства квазичастиц в квантовых кристаллах. Такой подход дает возможность анализа явлений на микроскопическом уровне.
Квантовые кристаллы имеют огромное фундаментальное и прикладное значение. Ясно, что оба эти подхода в чем-то перекрываются. Исследование процесса рассеяния квазичастиц в кристаллической решетке, интересного самого по себе, оказывается к тому же общим методом для изучения целого ряда физических явлений в дискретном пространстве.
Исследование как некоггерентной (туннелирование с возбуждением фононов), так и коггерентной (туннелирование без возбуждений фононов) квантовой диффузии имеет общее значение для современной физики явлений переноса, поскольку речь идет о движении в узкой зоне при ярко выраженном поляронном эффекте.
Предложенные в работе макроскопические уравнения движения позволяют исследовать эффекты, лежащие в основе целого ряда физических явлений.
Основные современные направления энергетики предполагают использование кристаллического водорода в качестве топлива. Водород в металле представляет огромный интерес для термоядерной энергетики в связи с поведением так называемой "первой стенки" термоядерных реакторов, для атомной энергетики - в связи с созданием термостабильных замедлителей и для водородной энергетики - в связи с хранением, транспортировкой и извлечением водорода.
Такие квантовые кристаллы, как растворы Не -Не\ могут быть использованы для получения сверхнизких температур.
Предсказанные и исследованные новые эффекты (поглощение звука, возникновение макроскопически упорядоченных областей вокруг вакансионов, аномальное поведение теплоемкости двумерного квантового кристалла гелия, адсорбированного на поверхности графойля, увлечение сверхтекучих компонент квазичастиц в кристалле и т.д.) стимулируют постановку новых и тонких экспериментов и позволяют углубить наши представления о физических свойствах квантовых кристаллов.
Двумерные квантовые кристаллы представляют особый интерес для такого важного и интенсивно развивающегося направления, как физика поверхностей. При этом квантовые эффекты могут играть в дальнейшем еще более существенную роль. К ним же примыкают важные проблемы кинетики фазовых переходов, квантовой диффузии и т.д.
Рассеяние вакансиона на дефекте
Энергия вакансиона, как указано выше, является периодической функцией от квазиимпульса. Вид этой функции определяется структурой решетки и ее симметрией. Например, в приближении сильной связи в простой кубической решетке закон дисперсии вакансиона имеет вид &0О = 0 + 2Av(cosKxa + cos Ку a + cos kE a) , где 0 - энергия образования вакансиона (в ОЦК Не4 при давлениях Р 25 атм, 0 5К, в ГПУ Не4 - 0 I5K), Av-ширина зоны вакансионов (Av ЮК) [9]. На рис.8 приведен вид изоэнергетической поверхности,построенной машинным расчетом для того случая, когда cosKx& + + cos Ку a + cos Кг a =-т-т-2-= 0,9 .
Вид изоэнергетической поверхности. Изоэнергетическая поверхность квазичастицы в случае tosKxa + CosKyCL-b CesK2d of9. указывалось выше, определяются видом изоэнергетической поверхности, В этом случае рассеяние в кристалле происходит по четырем направлениям, соответствующим пучностям изоэнергетической поверхности.
Ширина энергетической зоны вакансиона значительно превосходит ширину зоны дефектона [9]. Поэтому взаимодействие этих квазичастиц можно рассматривать как процесс упругого рассеяния вакансиона на классическом дефекте в квантовом кристалле, пренебрегая собственным туннелированием дефектона [137]. Этот процесс рассеяния описывается уравнением И#М.Ли$шица [23, 137]: 2AM;q?(R,)-zq?(K)=v8 ./tf(R ) , (I.4I) где e(K)=EA el"f . (1.42) R
Здесь &(к")- закон дисперсии вакансиона, а V - характерная энергия взаимодействия (V I03Av ). Собственные функции и собственные значения невзаимодействующего вакансиона определяются уравнением А _ Ф(кО-2Ф(я)= 0 . (1.43) V Значения энергии квазичастицы будут Л (к) = Z А е1 у (1. ) соответствующие волновые функции Ф(Л = Є1 . (1.45)
Правая часть уравнения (I.4I) описывает взаимодействие вакансиона с примесью. Это взаимодействие в указанной форме является вырожденным, что позволяет точно решить задачу. Используя условие вырождения, получим VS fOCVVS HR ). (1.46) Фактически оператор взаимодействия заменяется произведением двух операторов первого ранга. В Ф -представлении выражение (1.46) будет иметь вид:
Таким образом, 5-»/ Ф CR ) = Ф(0) =т , а действие R О 8 0 на волновую функцию 9 дает значение этой функции в другой точке. Окончательно для волновой функции рассеянного вакансиона имеем выражение Ф(Г)=ГУ е dx (1.47) 10с) - г
Собственные значения энергии рассеяния Е (z=E + lO ) определяются уравнением, которое следует из выражения (1.47): -.49 1 = V 77I7— (1.48) 6(X ) -2
Прежде чем исследовать эти уравнения, отметим, что величину X легко определить, воспользовавшись следующим соображением. Из выражения волновой функции и из граничного условия, наложенного на волновую функцию, следует, что вакансион не может находиться в том же узле,что и примесь. Отсюда Решение уравнения (1,48) представлено графически на рис.9.
Последовательность собственных значений Ъ чередуется с последовательностью A-L . Кроме состояний рассеяния, уравнение (1.48) в специальных случаях имеет решение, соответствующее связанным состояниям квазичастиц. Вне каждого из интервалов непрерывного спектра значений Е уравнение (1.48) имеет не более одного решения. Эти корни отщепляются либо только от правых границ интервалов, либо только от левых границ,в зависимости от знака V и соответствуют локализованным состояниям.
Фазовый переход в твердом Не
При достаточно низких температурах и малых давлениях Не находится в жидком состоянии. При давлениях порядка 25 атм. происходит фазовый переход в состояние ОЦК квантового кристалла. Ниже мы убедимся, что при наличии вакансионов, однако, такой фазовый переход произойдет не сразу. Существует область температур и давлений, при которых кристалл является сверхтекучим (рис. 19). Для этого, однако, необходимо наличие вакансий соответствующей концентрации [147].
В адсорбированных пленках гелия появляется вакансионный газ достаточно большой концентрации. Из-за отталкивания атомов на малых расстояниях при упорядочении один атом гелия приходится на три потенциальные ямы подложки (например, графита). Таким образом, занятыми оказываются потенциальные ямы, следующие за ближайшими и имеется принципиальная возможность обнаружения сверхтекучей фазы кристалла. Применяя уравнение (1.3) в рамках модели решеточного газа, исследуем фазовый переход в твердом Не Найдем температуру перехода в состояние сверхтекучего квантового кристалла.
Предполагается, что в кристалле атомы могут туннелировать в ближайшие (обозначим через I ) и первые соседние к ним (обо-значим через 2 ) узлы решетки. В этом случае задача достаточно упрощается, так как в многочастичном гамильтониане, описывающем систему атомов Не\ число суммирований сводится, в основном, к двум.
Пусть отношение вероятностей перехода в I и 2 узлы ( Р, и Р2 ) равна -fc . Здесь Р1 - вероятность перехода квазичасти цы в ближайший узел 1 , Р2 - вероятность перехода во второй ближний узел. Величину -Ь легко можно найти из уравнения (1.3), которое в данном случае будет иметь вид К -, Аїі 5— Я фч+І: фі=2фі 4 d j J (2.38) Zm и uL J 4li J J где Alj = (1++) при переходе квазичастицы в состояние I и Дп = /2(lH) при переходе квазичастицы в состояние 2. Величина dij=0L и atj = aV2 - соответственно для этих состояний, a -постоянная решетки, VLJ - потенциал взаимодействия квазичастиц: VLJ = V(1) і VM = -V(2) ; ij означает суммирование по ближайшим соседям . Учитывая эти обозначения, уравнение (2.38) представим в виде Гамильтониан рассматриваемой системы бозе-частиц имеет вид где Ф , ty} - операторы рождения и уничтожения квазичастицы в узле I . Потенциал взаимодействия выберем в виде
Характерная величина 0 = 2,93К [46], тогда в единицах 3V(1)=3, (8,8К для взаимодействия соседних атомов), V(2)= 1,5 (-4,4К для первых ближайших соседей). Для вычисления энергии введем псевдоспиновые операторы следующим образом: 1 - 1 1 (2.45) здесь П-L - оператор числа частиц в узле і . Подставляя эти операторы в гамильтониан (2.43), получаем Обозначим через OL- узлы решетки сверхтекучего квантового кристалла, а В - узлы решетки твердого Не . Пусть бЛ и бр -средние числа псевдоспинов соответственно в узлах х и J5 . Средние числа частиц в узлах ы и р обозначим через пА и Пр . Тогда бЛх = » брх = . Определим также параметр Y) следующим образом П=-тр(1-ч) или м =- -(1 + 4.) Соответствующая гамильтониану (2.46) энергия -f в расчете на один узел равна Равновесные значения параметров r[ , Л и а определяются из условия минимума энергии (2.47). Тогда температура фазового перехода дается уравнением а величина U для твердого Не меняется в пределах от 14 до 2 в зависимости от концентрации вакансий [58]. Из выражений (2.40), (2.44) и (2.49) следует, что при Л 1/2 Тс 1,41(10 и Г1 К, а при Л - 3/2, Тс М(Ю и Г1 К. Если U = 2 {1% - вакансий), то Тс 2,38 КГ1 К.
Таким образом, величина температуры перехода сильно зависит от отношения амплитуды нулевых колебаний к постоянной решетки.
Выражение энергии (2.47) позволяет выяснить вопрос об экспериментальной возможности изучения фазового перехода. Приведем здесь один эффект, который может обнаружить ту или иную фазу в рассматриваемом фазовом переходе.
В неравновесном состоянии изменение величины Y[ во времени описывается уравнением Ландау-Халатникова [47], согласно которому этому изменению противодействует термодинамически возвращающая сила ГЗ-F/dn (здесь Г - кинетический коэффициент,слабо зависящий от температуры), т.е.
Двумерные и одномерные системы
Температурная зависимость равновесного числа вакансий определяется выражением Nv е , где F - свободная энергия. Имеем: -оД-%(ВД VnenZfT Nv Большой магнитный момент вакансии существенно будет влиять на магнитные свойства раствора. Спиновое упорядочение всех примесных частиц может наступать лишь ниже температуры обменного взаимодействия, поэтому вакансионное упорядочение наступает раньше.
Отметим, что образование аналогичных макроскопических областей происходит в ферромагнетиках (флуктуоны) [61, 62], в магнитных полупроводниках типа EuTe , EuSe (ферроны-[б7, 178]) и т.д.
Рассматриваемое явление образования макроскопических областей с новыми магнитными структурами имеет место и в случав двумерного и одномерного кристалла гелия.
Система атомов Не -Не , адсорбированных на графите, является квантовым кристаллом (см. 1.8). Данные ЯМР показывают [4-9, 94] , что в диапазоне значений относительной плотности покрытия от 0,7 до 1,0 (по отношению к плотности покрытия заполненного монослоя) и при температурах ниже примерно 5К адсорбированная система ведет себя как двумерный квантовый кристалл с вакансиями. При температуре I К заполненному монослою соответствует резкий максимум линии ЯМР. При значениях плотности покрытия, соответствующих соизмеримой фазе адсорбированных атомов в потенциальном рельефе поля подложки, наблюдаются аномалии. Подвижность вакансий в указанной фазе велика [93].
Отметим, что кроме двумерных аналогов обычных фаз найден также кристалл, представляющий собой треугольную правильную сверхрешетку структуры \[Ъ 4ъ на решетке графита [70, 92].
В этом случае имеется такое значение концентрации р ато ъ мов Не , при которой один атом приходится на три минимума потенциального рельефа. Постоянный период решетки в таком случае обеспечивается появлением вакансионов. Возникает, таким образом, квантовый двумерный кристалл, в основном состоянии которого содержатся вакансионы с достаточно большой концентрацией (xv = (fc-p)/fc 0,l) .
Применение теории Ландау о фазовых переходах второго рода [165] позволяет построить диаграмму состояний двумерного слоя на графите. Относительная плотность адсорбированных атомов представляется в виде [43] 8Р(1С) = Ке1Ь +Ф-ле1 1 , где р(Ю- средняя плотность, a 8р(к) - отлична от нуля только в упорядоченной фазе адсорбированных атомов. В жидкой фазе Фоі = 0, в соизмеримой фазе Ф = const, а в несоизмеримой фазе Фос зависит от К . Величины Ф могут быть использованы для описания рассматриваемой системы с помощью гамиль-тониана Ландау-Гинзбурга. Пусть Фл и ф+о1 - реальные величины ( о1= її 2, 3), которые определяются следующим образом:
Квантовая диффузия примесонов Не в твердом Не4
С теоретической и экспериментальной точек зрения большой интерес представляет проблема квантовой диффузии атомов в кристаллах. Обычная термоактивационная диффузия происходит при достаточно высоких температурах, когда атомы успевают придти в равновесие с решеткой за счет тепловой релаксации. В пределах низких температур термоактивационная диффузия исчезает.
При достаточно низких температурах квантомеханическая энергия колебаний атомов становится больше, чем тепловая. Поэтому за время жизни в узле решетки атом не успевает придти в равновесие с решеткой. В случае нулевой температуры атом обладает нулевыми колебаниями и, как указывается во введении, когда амплитуда этих колебаний сравнима с постоянной решетки, атомы превращаются в делокализованные квазичастицы, практически свободно движущиеся в кристаллической решетке.
Квантомеханическая энергия колебаний атомов обуславливает их туннелирование, вероятность которого пропорциональна высоте барьера. Если в перемещении атомов основную роль играют туннельные переходы из одного узла в другой, то диффузия в таком случае называется квантовой. Из самого характера возникновения квантовой диффузии следует, что она радикально отличается от обычной классической диффузии.
Очень важным обстоятельством является то, что атомы или вакансии, примеси, дефекты и т.д. в результате туннелирования обретают свойства квазичастиц, движущихся в периодическом поле. Одиночный акт туннелирования значительно менее вероятен, чем квазисвободное движение из зоны разрешенных значений. В сплавах типа замещения элементарным актом перемещения будет туннельный обмен местами разных соседних атомов.
Квантовая диффузия, предсказанная теоретически в работах Андреева и Лифшица [I], была обнаружена экспериментально в Харькове (Есельсон, Григорьев, Михеев, Шульман) и в Сассексе (Англия - Ричарде, Вайдом). Важной экспериментальной характеристикой динамики квазичастиц является коэффициент квантовой диффузии.
Описанные в первой главе свойства квазичастиц приводят к своеобразным особенностям в явлении квантовой диффузии. Так,например, тот факт, что рассеянная квазичастица в кристалле представляет собой суперпозицию нескольких волн, означает, что по некоторым направлениям в кристалле коэффициент квантовой диффузии может существенно возрастать. Существуют, как будет показано в следующих параграфах, и такие направления в кристалле, вдоль которых имеется "сверхподвижность" (коэффициент диффузии резко возрастает) квазичастиц. Одновременно имеются направления, вдоль которых происходит локализация квазичастиц.
Отличительной особенностью квантовой подбарьерной диффузии атомов в кристалле является предельная узость ширины их зоны. Для выяснения этой особенности рассмотрим сначала простую задачу о движении уединенного примесона под действием постоянной силы F . Пусть сила F направлена произвольным образом относительно кристаллографической оси. Под действием такой силы траектория квазичастицы будет заключена внутри перпендикулярного направления силы внутри слоя толщиной L A/F . Вдоль траектории примесон движется со скоростью порядка хЗ и диффунди - 187 -рует с коэффициентом диффузии D vL . Температурная и концентрационная зависимости коэффициента диффузии измеряются в экспериментах с кристаллами, содержащими примесные квазичастицы и удобными с точки зрения наблюдений. Так, например, примесные атомы Не- в кристаллах Не диффундируют своеобразно в различных температурных интервалах. Движение этих примесонов проявляется в экспериментах по ЯМР [10-16].
Диффузия называется квантовой, если в перемещении атомов главную роль играет туннельный, а не надбарьерный переход атомов из одного положения равновесия в другое. При этом теряется привычная температурная зависимость, которая имеется в случае классической диффузии.
Отличительной особенностью диффузии квазичастиц в квантовых кристаллах является узость их зоны, что обусловлено малостью амплитуды их туннельного просачивания. При достаточно низких температурах условие минимума свободной энергии кристалла выполняется тогда, когда слегка увеличивается энтропия системы. Это означает, что в кристалле становится выгодным появление вакансионов, что приводит к увеличению подвижности квазичастиц. Движение вакансионов в кристалле легко себе представить следующим образом: один из соседних с вакансией атомов в результате кванто-механических колебаний просачивается череэ потенциальный барьер, отделяющий его от вакантного узла (рис. 28
