Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Литературный обзор 10
1.1.Основные этапы и подходы развития теории пластической деформации и разрушения 10
1.1.1. Пластическая деформация 10
1.1.2. Хрупкое разрушение 18
1.2. Поля напряжений пластических сдвигов и трещин. Асимптотическое приближение 22
1.2.1. Поля прямолинейных трещин и сдвигов .22
1.2.2. Поля напряжений дуговых трещин 25
1.3. Взаимодействие кривых сдвигов и трещин 28
1.3.1. Ортогональные системы скольжения 28
1.3.2. Ветвление трещин 29
1.3.3. Связь кривых сдвигов с другими дефектами 38
Заключение по обзору литературы 40
Глава 2. Дуговая трещина в плоскости с однородным растяжением 42
2.1. Дуговой сдвиг и дуговая трещина - дефекты пластической деформации и разрушения 42
2.2. Особенности поля напряжений у концов дуговой трещины 44
2.3. Механический момент 51
2.4. Новая область концентрации разрушающих напряжений 52
2.5. Обсуждение результатов 56
Выводы по главе 2 59
Глава 3. Дуговая трещина в плоскости с однородным сдвигом 61
3.1. Достоверность решения упругой задачи 61
3.2. Концентрация напряжений у концов трещин 65
3.3. Распределения напряжений у концов трещин 71
3.4. Радиальные распределения напряжений у концов трещин 73
3.5. Перераспределение массы 76
3.6. Новая область концентрации разрушающих напряжений 77
3.7. Экспериментальное наблюдение новой области концентрации разрушающих напряжений 82
Выводы по главе 3 85
Глава 4. Пластический сдвиг по дуге окружности 87
4.1. Искривление участков сдвига. Постановка упругой задачи 87
4.2. Метод решения 89
4.3. Первая задача - однородный на бесконечности сдвиг плоскости с дуговым разрезом 93
4.4. Равномерные касательные напряжения на берегах дуги 96
4.5. Равномерные нормальные напряжения на берегах дуги 99
4.6. Нормальные напряжения, усиливающиеся к концам дуги 103
4.7. Особенности использованного конформного отображения 108
4.8. Напряжения отрыва, действующие на линии сдвига 109
Выводы по главе 4 112
Глава 5. Следствия полученных результатов 113
5.1. Варианты процессов на концах дуговых трещин 113
5.2. Ветвление трещин в стекле 115
5.2.1. Наблюдения разрушений и классификация 115
5.2.2. Ветвление трещин 120
5.3. Области концентрации напряжений в поле дугового сдвига 123
5.4. Нелокальная теория трещин и сдвигов 126
Выводы по главе 5 129
Заключение и выводы по диссертации 130
Список литератруры
- Пластическая деформация
- Особенности поля напряжений у концов дуговой трещины
- Распределения напряжений у концов трещин
- Первая задача - однородный на бесконечности сдвиг плоскости с дуговым разрезом
Введение к работе
Пластическая деформация и хрупкое разрушение в технике и в природе проявляются весьма часто. В одних случаях эти процессы полезны, и стоит вопрос о том, что бы способствовать их развитию. В технике к таким случаям относятся, например, обработка металлов давлением (прокатка, ковка, штамповка, вытяжка), измельчение и помол твердых тел. В других случаях эти процессы нежелательны, их развитие следует контролировать, а нередко необходимо исключить полностью, например, в деталях машин, в конструкциях сооружений т.д. В природе эти процессы развиваются в земной коре, что приводит к движению частей коры и к землетрясениям. Решение вопросов, возникающих в технике и в природе, невозможно без теории названных процессов. Основой теорий являются поля напряжений, формирующиеся в ходе развития процессов деформации и разрушения. Поэтому поиск полей напряжений, выявление особенностей и обусловленных ими эффектов представляет актуальную задачу.
Теории пластической деформации и разрушения развиваются в физике и в механике. В физике изучено взаимодействие атомов твердых тел, построена теория дефектов кристаллической решетки, в механике, в теории упругости и прикладной математике, разработаны методы расчета полей напряжений. На эти теории опираются инженерные науки: теория прочности, сопротивление материалов, прокатное производство, геотектоника и другие.
Опыт показывает, что основные элементы, с которыми связываются пластические движения, представляют поверхности или участки поверхностей, по которым развиваются взаимные сдвиговые смещения частей тел, расположенных с разных сторон от поверхности. Сами элементы отличаются друг от друга толщиной слоя, в котором сосредоточен сдвиг, протяженностью участков, величиной сдвига, искривленностью. В микроскопическом описании эта модель сводится к дислокациям, в мезо- и макроскопическом -к полосам, пачкам, пакетам, стопам скольжения, сдвига или деформации. Та-
5 кие неоднородности многократно наблюдались в промышленных, в природных и в лабораторных условиях.
В физике, в теории дислокаций разработана модель пластического сдвига. Эта модель описывает процессы, масштабные уровни которых близки к микроскопическим. Теория дислокаций объяснила многие эффекты деформации, но не все. Остались без объяснения процессы крупных масштабных уровней, которые представляют интерес для техники.
В механике теория хрупкого разрушения основывается на полях напряжений трещин. Эти поля находят решением упругих задач. Такие решения дают на концах участка сдвига и трещины точки разветвления полярного типа. Полярный характер означает, что по мере приближения к концу напряжения растут, а в самом конце становятся неограниченными. Поэтому стало общепринятым использовать асимптотическое приближение, которое состоит в том, что учитываются напряжения, действующие только в непосредственной близости от кончиков трещин. Таким образом, хотя в решении упругих задач используются модели и методы сплошной среды, полученные результаты, по-существу, относятся к микроскопическому масштабному уровню.
Названные теории находятся в непрерывном развитии. В последние десятилетия на стыке физики и механики развивается физическая мезомехани-ка (В.Е.Панин, В.В.Рыбин, В.Э.Козлов, Н.А.Конева, Л.Б.Зуев и др.). Если в физике деформации и прочности рассматривались объекты микроскопического, а чаще атомного уровня, а в механике - преимущественно макроскопического уровня, то в физической мезомеханике изучаются особенности структуры и полей напряжения мезоскопических или промежуточных масштабных уровней.
Выход на мезоскопический уровень описания возможен с двух сторон - от физики и от механики. Физика сохраняет и развивает идею, по которой за процессы деформации и разрушения ответственны структурные дефекты или неоднородности строения, с которыми связаны неоднородности поля на-
пряжений. В рамках этого подхода развита теория дислокаций, теория дис-клинаций. Переход на более крупный масштабный уровень связывается со снижением влияния атомного строения тел. Используется схема, по которой поле напряжений всего тела строится суперпозицией полей структурных не-однородностей. В механике при описании пластической деформации отказываются от введения неоднородностей строения. Здесь используют представление о пластической и упругой зонах. Пластическая зона представляется частью среды, в которой у поля напряжений нет разрывов. В пластической зоне строятся линии скольжения. Однако неоднородности поля напряжений и разрывы напряжений, которые следует ожидать, если принимать, что по этим линиями происходят пластические сдвиги, не рассматриваются.
Во многих случаях, как в технике, так и в лабораторных условиях незавершенные сдвиги и трещины развиваются по искривленным поверхностям. Поля напряжений дуговых трещин исследовал В.В.Панасюк. Для расчетов полей напряжений использовалось асимптотическое приближение. Результаты расчетов и экспериментов совпадали не при всех параметрах опытов. Величины предельных напряжений, вызывающих разрушение, рассчитанные и экспериментальные могут отличаться в разы. Что касается дуговых сдвигов, то поля напряжений этих объектов не исследованы совсем. Имеются только приближенные оценки, на основании которых делается вывод о том, что искривление участков сдвига порождает высокие разрывающие напряжения, которые могут привести к образованию трещин по линии сдвига (механизм Дж.Дж.Гилмана).
Распространенность дуговых трещин и сдвигов ставит их исследование в ряд актуальных. В исследованиях, проводимых в КузГПА, была разработана модель линейного незавершенного сдвига. Экстраполяция представлений, положенных в основу этой модели, на трещины и сдвиги по кривым участкам приводят к двум следствиям. По первому, в поле напряжений этих объектов могут быть области концентрации напряжений, не связанные с концами участков. По второму, напряжения и, соответственно, коэффициенты интенсив-
7 ности напряжений, используемые для характеристики величины концевых напряжений, могут принимать нулевые значения и менять знак. Другими словами, концевые концентрации напряжений будут способствовать не развитию, как это принято считать, а залечиванию трещин и сдвигов. Эти предположения приводят к необходимости исследования полей напряжений трещин и пластических сдвигов, участки которых искривлены, причем обязательно с отказом от асимптотического приближения.
В данной работе была поставлена цель: найти и исследовать поле напряжений пластических сдвигов и трещин, участки которых имеют форму дуг окружности.
Для достижения этой цели в диссертации были поставлены следующие задачи.
Найти поле напряжений для плоскости с дуговым разрезом во внешнем поле однородного на бесконечности растяжения и сдвига без использования асимптотического приближения и исследовать его особенности.
Решить упругую задачу о поле напряжений пластического сдвига по дуге окружности и изучить его особенности.
Рассмотреть следствия и эффекты, которые обусловлены особенностями поля напряжений дуговых сдвигов и дуговых трещин.
В диссертации использованы методы математической теории упругости для определения полей напряжений, а так же фотометод для регистрации трещин в стекле.
Актуальность темы диссертации обусловлена еще и тем обстоятельством, что пластические сдвиги и разрушение по искривленным участкам проявляются в нанокристаллических материалах (А.М.Глезер, Н.И.Носкова, М. Murayma), исследованию которых в настоящее время уделяется большое внимание.
Достоверность полученных результатов подтверждается совпадением данных, полученных при использовании для решения упругих задач нескольких методов - метод сведения к задаче сопряжения и метод, основанный на
8 свойствах интегралов типа Коши и конформном отображении; согласованием полученных результатов с предположениями и данными решений других авторов в области, где эти решения перекрываются; соответствием результатов расчетов данным экспериментов, проведенных как в лаборатории Куз-ГПА, так и в лабораториях других учреждений. Защищаемые положения
Результаты исследования поля напряжений дуговых трещин, полученного решением упругой задачи без использования асимптотического приближения, в которых установлены особенности полей напряжений в концевых областях при изменении параметров нагружения и выявлены новые области концентрации напряжений, не связанные с концами трещин.
Решение упругой задачи о пластическом сдвиге по дуге окружности методом Мусхелишвили, основанном на свойствах интегралов типа Коши и конформном отображении, и следствия этого решения.
Объяснения величины разрушающих усилий в опытах В.В.Панасюка с сотр. по разрушению стекол с дуговыми трещинами.
Новый механизм ветвления трещин.
Основные положения предложенного в диссертации нелокального описания сдвигов и трещин, которое более полно и точно, чем существующее, отражает реальность.
Научная новизна. Новизна работы обусловлена тем, что дуговые трещины и пластические сдвиги рассматриваются как самостоятельный дефект. Впервые исследовано поле напряжений дуговых трещин без асимптотического приближения. Впервые решена упругая задача о поле напряжений дугового сдвига. Результаты диссертации представляют вклад в теорию пластической деформации и в теорию разрушения. Защищаемые положения являются приоритетными.
Практическая значимость. В технике участки сдвигов и трещины, как правило, искривлены, поэтому результаты исследования могут быть взяты за основу для коррекции процессов деформирования и разрушения в ин-
9 женерных науках, а так же для объяснения этих процессов в нанокристалли-ческих материалах.
Вклад автора. Составила план исследования. Участвовала в разработке решения упругой задачи о пластическом сдвиге по дуге окружности. Выполнила все расчетные работы. Собрала наблюдения о разрушении стекол, систематизировала их и предложила объяснение. Провела анализ полученных теоретических и экспериментальных результатов и их сравнение с литературными данными. Сформулировала выводы.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы доложены на региональных, российских и международных конференциях:
VIII Международная школа-семинар «Эволюция дефектных структур в конденсированных средах», Барнаул, 2005 г.;
IV Всесибирский конгресс женщин-математиков, Красноярск, 2006 г.;
XVI Петербургские чтения по проблемам прочности, посвященные 75-летию со дня рождения В.А.Лихачева, Санкт-Петербург, 2006 г.;
IX Международная школа-семинар «Эволюция дефектных структур в конденсированных средах», Барнаул, 2006 г.;
IX Всероссийский семинар «Моделирование неравновесных систем-2006», Красноярск, 2006 г.;
VIII Всероссийская научная конференция «Краевые задачи и математическое моделирование», Новокузнецк, 2006 г.;
Международная научная школа-конференция «Фундаментальное и прикладное материаловедение», Барнаул, 2007 г.
Публикации. Результаты работы отражены в 11 публикациях, три из которых в журналах, включенных в список ВАКа для публикации диссертационных работ.
Структура и объем работы: диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 132 наименований. Работа изложена на 150 страницах машинописного текста, содержит 2 таблицы и 69 рисунков.
Пластическая деформация
Поля напряжений решеточных дислокаций находят методами теории упругости для тел с разрезами. В начале 20 века в итальянской школе математики были найдены процессы, в результате которых в однородной упругой континуальной среде могут быть созданы особенности, имеющие внутренние поля напряжений [17-19]. Эти особенности стали называть дислокациями. Процедура образования наиболее общего вида особенностей - дислокаций Сомилианы - включает следующие операции: 1) разрез упругой среды; 2) приложение нагрузок, которые смещают берега разреза друг относительно друга; 3) заполнение зазоров межу берегами разреза и удаление материала из мест наложения берегов; 4) склеивание берегов; 5) удаление нагрузок, создавших смещение берегов. Если разрез имеет форму части плоскости, а вектор взаимного смещения берегов одинаков для всех точек разреза, такие особенности называют дислокациями Вольтерра. Эти дислокации наиболее полно соответствуют решеточным дислокациям.
Решения упругих задач для плоскостей с разрезами [20] дают на концах разрезов точки разветвления полярного типа [21]. По мере приближения к этим точкам напряжения увеличиваются, а в самих точках становятся неограниченными.
В кристаллах вектор сдвига по атомным плоскостям кратен векторам трансляции решетки. Для минимальных сдвигов этот вектор одинаков на всем участке сдвига, а, следовательно, у решеточных дислокаций по всему разрезу смещения одинаковы, как и у дислокаций Вольтерра. Поэтому можно использовать результаты Вольтерра и остается только учесть влияние атомного строения тел. Поле напряжений с учетом атомного строения было найдено Пайерлсом и Набарро [15].
В рамках теории дислокаций были построены и рассмотрены ансамбли дислокаций: частичная дислокация, дефект упаковки, дислокационный диполь, плоское скопление, вертикальная стенка, малоугловая граница зерен, дисклинации. И здесь, как и для отдельных дислокаций использовалась одна и та же схема анализа: вначале определяли атомную конфигурацию, затем находили поле напряжений, которое вместе с атомным строением определяет свойства ансамбля, и на основании этих данных устанавливается роль и вклад ансамблей в механические процессы. Поля напряжений ансамблей находили, как правило, путем суперпозиции полей отдельных дислокаций, из которых составлялся ансамбль. Этот путь можно реализовать, если известны положения дислокаций в ансамбле. Положения дислокаций зависят от их взаимодействия, и предварительно следует решить задачу о равновесии дислокаций в ансамбле (см. например [22-24]). Если ансамбль насчитывает большое число дислокаций, то решение становится громоздким и трудно выполнимым. Поэтому поля напряжений клиновой дисклинации и простейших комбинаций из клиновых дисклинации были найдены путем решения самостоятельной упругой задачи сразу для новой конфигурации дефекта [25-27].
Теория дислокаций позволила объяснить ряд эффектов, однако, знания механизмов и процессов атомного масштаба оказалось недостаточным, что бы описать и объяснить пластические деформации макроскопических тел. Последние три десятилетия идет третий этап развития теории. Принципиальная новизна этого этапа определяется двумя особенностями. Во-первых, отличие от теории дислокаций, где рассматриваются структуры и процессы атомного или микроскопического масштаба, теперь анализируются структуры и процессы средних и крупных масштабных уровней. Во-вторых, в отличие от теорий первого этапа, где использовались континуальные модели среды, теперь материал наделяется структурой, рассматриваются неоднородности континуума [28-39].
По стратегии поиска решений работы третьего этапа можно разделить на две группы. В работах первой группы принимается, что процессы разных уровней слабо связаны друг с другом. Поэтому процессы отдельных структурных уровней обладают определенной автономностью. Затем делается предположение о первых принципах, которые управляют процессами некоторого уровня, и на основании этих принципов строится описание. Так в [28,29] (В.Е.Панин, Ю.В.Гриняев) принято, что пластические движения представляют собой комбинации сдвигов и поворотов структурных элементов как целого. В [29,30,33] (В.Е.Панин, В.Е.Егорушкин, Ю.В.Гриняев и др.) сплошной среде приписывается калибровочная группа симметрии, что позволяет описать поведение неоднородностей и дефектов, то есть структур в среде. Отмечается [32] (стр. 20), что «полученное описание существенно отличается от физических теорий, где оно практически невозможно». В [29,32,33,36,37] (Л.Б.Зуев, В.И.Данилов) неоднородности распределения компонент тензора деформации по длине образца рассматриваются как проявления волнового характера деформации.
В работах второй группы принимается, что процессы разных масштабных уровней взаимосвязаны. Связь сильная, поэтому процессы более высокого уровня являются следствием процессов меньшего масштабного уровня, и соответственно, структуры более крупного уровня зарождаются и развиваются на меньшем уровне. Процессы дислокационного уровня известны, и от них можно последовательно перейти к более высоким уровням. По [30,26,31] на стадии развитой деформации основным вначале является процесс фрагментации, который связывают с дисклинациями, а затем - образование ножевых границ. Развернутая подробная картина развития дислокационных структур с постепенным ростом масштабного уровня предложена в [34]. В [35] главным принимают процесс формирования деформационных границ с изменяющимся вдоль границы углом разориентации. Авторы [38] основной чертой пластической деформации считают процесс гофрирования двойников или полос сдвигов.
Особенности поля напряжений у концов дуговой трещины
Результаты расчетов компонент тензора напряжений перпендикулярной и касательной к дуге с единичным радиусом представлены на рис. 11, 12. Эти данные показывают, что разрывающие и сдвигающие напряжения в концевых точках дуговой трещины не являются постоянной величиной. Интенсивность и знак напряжений меняется в зависимости от углов 2во и а. Так, например, на левом конце трещины для случая рис. \\ а имеется точка ветвления (ТВ) полярного типа, и действуют высокие разрывающие напряжения. При этом на другом конце так же имеется ТВ полярного типа, но она задает сжимающие напряжения. Для случая рис. 11 Ъ на правом конце трещины ТВ имеет регулярный тип и напряжения равны нулю. Подобные результаты получены для касательных напряжений (рис. 12).
Переход через нулевые значения той и другой компоненты тензора напряжений сопровождается сменой знака компоненты, а, следовательно, процесс, развитию которого она способствует, меняется на противоположный. Так, например, компонента аггу правого конца при а \ё была положительной, и, следовательно, способствовала разрыву связей и росту трещины. При а 1о эта компонента становится отрицательной, и теперь она будет способствовать смыканию берегов трещины, и ее залечиванию.
Использование для количественной характеристики напряжений в концевых участках трещин величины самих напряжений не удобно, так как концевые точки ветвления имеют полярный тип, и поэтому в самих точках компоненты напряжений становятся неограниченными. Традиционно для этой цели использовали коэффициенты интенсивности напряжений - К. Формула, по которой вводятся эти величины, имеет вид (см. (гл.1 (46-48))). где К для всех компонент тензора напряжений одинаков, а г - расстояние от конца трещины. Расчеты показывают (рис.11,12), что условия нагружения, при которых различные компоненты тензора напряжений принимают нулевые значения и при прохождении которых эти компоненты меняют знак, не совпадают. Следовательно, равенство в них нулю компонент тензора напряжений нельзя описать изменением одно и того же фактора интенсивности напряжений, и традиционный подход приходится менять. При этом новое описание должно иметь физический смысл и характеризовать степень воздействия поля напряжений на конец трещины.
Приемлемой характеристикой является сила, действующая на продолжении линии трещины в непосредственной близости от конца трещины. Во-первых, такая сила вычисляется через интеграл от напряжения по расстоянию от конца трещины dr г dr 2г3 л/г оЛ А/ -у л 2Л/3/2 (2.3) который дает конечное число. Во-вторых, эта сила является мерой действия внешнего поля, направленного либо на развитие трещины, либо на залечивание, если на участке А/ трещина имеется. Тогда принимаем для нормальной и касательной сил для первого и второго концов по рис. 11,12 соответственно, 00+Ав 0О+Д/ 0О+Д/ 00+Л/ F„= J Trr(R,0)cosyRd0 \arr(\,0)d0,FT = JTrO(R,0)sm pRd0 \rr${\,O)d0, (2.4) -в„-ь.в -в0-м Fn \arr(\,O)d0, Fr Jr„(l,0)rf0, (2.5) где принято, что A/«1, и поэтому направляющие множители cos у «1, sin р 1, а так же R=l. Остается принять величину А/. Она зависит от степени влияния напряжений в точках, удаленных от конца, на ситуацию в конце, или от ширины области, занятой всплеском напряжений, связанных с концевой точкой.
Ниже на рис. 13 и 14 показаны поля сил по (2.4) и (2.5) при различных А/. Видно, что чем больше интервал А/, тем выше значения сил. Однако положение нулевых линий не изменилось, а общий характер распределения сохра 47 нился. Аналогичный результат получен для касательной силы (рис. 14). Данные рис. 11 и 12 согласуются с результатами рис. 13, 14. На основании рис. 13, 14 для дальнейшего принято А/ = 0.1.
Распределения напряжений у концов трещин
Для трещин, имеющих форму дуги окружности, формулы асимптотического приближения получены в [63]. Полученное выражение имеет сложный вид. В него входит множитель, который отражает зависимость напряжений от расстояния до конца трещины и описывает расходимость напряжений. Зависимость напряжений от полярного угла описывается другим множителем, содержащем два слагаемых. Каждое слагаемое, в свою очередь, состоит так же из двух множителей. Первые множители зависят от угла раскрытия дуги и от внешнего нагружения плоскости. Эти зависимости отражают параметры kXj, k2J,Aj , где/ - номер конца трещины. Вторые множители обеих слагаемых зависят от полярного угла и описывают радиальное распределение напряжений. Цитируем из [63] стр. 106: «Если отвлечься от конкретных значений khj, k2j,Aj , то видно, что выражения ... совпадают с аналогичными выражениями для прямолинейной трещины. Поэтому можно заключить, что напряжения в окрестности вершины криволинейной трещины при плоском растяжении определяются выражениями ... в общем случае нагружения пластины» (выделено нами).
Очевидно, что отказ от асимптотического приближения приведет к зависимости поля напряжений от всех параметров, которые определяют граничные условия соответствующей упругой задачи. Для исследования радиальных распределений напряжений в концах дуговых трещин использовались полярные координаты с центрами, расположенными в соответствующих концах трещины (рис. 26).
На рис. 36 представлены поля компонент тензора напряжений вблизи от правого дуговой трещин. Поле у левого конца имеет такое же строение и может быть получено из приведенного путем изменения знаков. Сравнение с полем сдвига у конца линейной трещины показывает, что поля существенно отличаются - поля имеют различную симметрию. На продолжении дуговых трещин сдвига имеется область повышенных разрывающих напряжений, тогда как на продолжении линейной трещины - сдвигающих. Анализ распределений рис. 36 и 37 дает основания считать, что радиальные распределения компонент тензора напряжений вблизи концов дуговых трещин при внешнем сдвиге отличаются от того, что предсказывает асимптотическое приближение.
Основным, определяющим распределение напряжений у концов, процессом, связанным со сдвиговыми трещинами, является перемещение массы. Внешнее сдвиговое поле вызывает горизонтальные (по схеме рис. 26) смещения материала. Материал, расположенный над и под трещиной смещаются в противоположные стороны. А так как в материале, окружающим область с трещиной, эти смещения меньше, то над и под трещиной образуются по две области, массовая плотность которых отличается от средней (далее м-области).
В радиальных распределениях сдвигающих напряжений тгр (рис. 38) для линейной трещины и дуговых трещин с углом раскрытия меньше 120 имеются три максимума. Для прямолинейной трещины они расположены под углами 120 друг к другу. Самые большие тгр находятся на продолжении трещины и под углами 60 к продолжению трещины. Для дуговых трещин максимальные Тф находятся не на продолжении трещины. Для дуговой трещины с углом раскрытия 200 = 120 имеются два максимума тгр. Первый расположен под углом 45 к направлению продолжения трещины, второй под углом 120 к первому. Для дуговой трещины с углом раскрытия 20о = 180 первый максимум тгр расположен под углом 90 к направлению продолжения трещины, а направление второго составляет 120 к первому.
В целом радиальные распределения, полученные с использованием асимптотического приближения и без него очень близки. В случае, когда в плоскости действует однородный сдвиг, радиальные распределения полного поля заметно отличаются оттого, что дает асимптотическое приближение (рис. 39).
В радиальных распределениях разрывающих напряжений о (рис.39), полученных без асимптотического перехода замечен предельный переход от прямолинейной трещины к дуговой с углом раскрытия 20о = 180. Для прямолинейной трещины в ее концах имеются две симметричные области растяжения и сжатия. Для дуговых трещин эта симметрия нарушается. С увеличением угла раскрытия дуговой трещины на правом конце трещины область сжатия уменьшается, а область растяжения увеличивается. На левом конце трещины растет область сжатия, а область растяжения уменьшается. Для дуговой трещины с углом раскрытия 20о = 180 на правом конце область сжатия исчезает, т.е. на правом конце действуют только растягивающие напряжения, причем максимальные растягивающие напряжения расположены в направлении близком к продолжению трещины. То же самое происходит на левом конце трещины, только там исчезает область растяжения и остается только область сжатия. На самой трещине орр равны 0.
В отличие от этого, в радиальных распределениях разрывающих напряжений орр 7 полученных в асимптотическом приближении для дуговой трещины с углом раскрытия 20о = 180 в ее правом конце кроме большой области растяжения имеются две небольшие области сжатия. То же самое и для левого конца: здесь кроме большой области сжатия имеются две небольшие области растяжения. Также в радиальных распределениях орр и для прямолинейной трещины и для дуговых трещин с углом раскрытия 20о от 2 и до 180 разрывающие напряжения орр имеют скачок на самой трещине.
Первая задача - однородный на бесконечности сдвиг плоскости с дуговым разрезом
Решения первой основной.задачи теории упругости не зависят от величины упругих модулей материала. Поэтому полученные оценки справедливы для любого однородного материала. Например, если угол раскрытия дуги сдвига равен 120 , и сдвиговые напряжения внешнего поля т(Х)=109Па, и сопротивление сдвигу [т]=0.бтт то по рис. 6 а«1.7-109Па. Если эти напряжения превышают прочность материала, то по линии сдвига образуется трещина.
Таким образом, методом Мусхелишвили, использующим свойства интегралов типа Коши и конформное отображение, решена первая основная задача теории упругости для деформации однородной плоскости с разрезом по дуге окружности. На основании этого решения построена модель пластического сдвига по дуге окружности. Найдено, что максимальные разрывающие напряжения на линии сдвига, создаваемые внешними полями напряжений, являются набольшими при внешней деформации сдвига, увеличиваются с ростом угла раскрытия дуги и могут до четырех раз превышать касательные напряжения однородного на бесконечности сдвига, вызывающего пластический сдвиг.
В связи с моделью зарождения трещин на пластических сдвигах Рожанского и Коттрелла следует отметить, что для вскрытия трещин отрыва по линии сдвига требуется, что бы угол раскрытия дуги был бы достаточно большим. Так по данным рис. 59 для двукратного превышения уровня внешних касательных напряжений требуется, что бы угол раскрытия дуги был бы не менее 90. Если же по линии сдвига действует сопротивление сдвигу, составляющее 0.5тт, что весьма немного, то даже для самого большого угла раскрытия дуги, равного 180 , превышение не достигает даже двукратной величины.
Внешний сдвиг создает на окружности касательные напряжения, которые меняют знак на дугах, угол раскрытия которых больше 90. Поэтому без дополнительных предположений сдвиги тю дугам с углами раскрытия более 90 маловероятны. Эти результаты дают основания полагать, что в рассмотренной здесь модели сдвига образование трещин по линии сдвига так же маловероятно.
1. Подобрано конформное отображение, найдены вычислительные приемы и с помощью метода, основанном на свойствах интегралов типа Коши и конформном отображении, получено аналитическое решение упругой задачи о сдвиге плоскости с пластическим сдвигом по дуге окружности. Промежуточный результат этого решения дает поле сдвига плоскости с дуговой трещиной. Это поле совпадает с полем, найденным методом сопряжения и исследованным во второй главе.
2. Установлено, что напряжения отрыва, действующие по линии дугового сдвига, могут превышать напряжения поля внешнего сдвига до четырех раз.
Под влиянием найденных напряжений у концов трещин возможно развитие следующих процессов: рост трещины за счет отрыва под влиянием разрывающей силы, рост трещины за счет сдвига под влиянием сдвигающей силы, рост трещины за счет совместного действия обеих сил, пластический сдвиг по продолжению трещины, закрытие трещины под влиянием сжимающих напряжений, залечивание трещины. Естественно принять, что выбор какого-либо из этих процессов, определяется найденными выше силами. Используя значения этих сил, по-видимому, можно сконструировать комбинацию этих сил и предложить критерии, сравнение с которыми позволит оценить вероятность развития того или иного процесса. Основная трудность здесь заключается в выборе критериев, по которым отбирается тот или другой вариант развития. Тем не менее, даже простое сравнение позволит сделать качественные предсказания о вариантах развития ситуации при тех или иных комбинациях угловых параметров. В данном случае, мы ограничимся иллюстрацией ситуации в целом.
Будем использовать силы нормальную и касательную, действующие на продолжении трещины на дуге длиной L=0.1R. Как было показано в главах 2 и 3, соотношение этих сил слабо зависит от длины дуги, пока L R. Для оценки возможного варианта развития примем: 1) влияние третьей области концентрации разрушающих напряжений пока не учитывать; 2) отрицательная нормальная сила создает сжатие перед концом трещины, поэтому трещина не распространяется; такой режим называли залечиванием; 3) стремление к залечиванию характеризовали величиной силы сжатия, принимая ее для таких режимов положительной; 4) если нормальная сила положительна, то рост трещины возмо жен за счет отрыва и за счет сдвига; 5) принимали, что разрушение идет отрывом, если больше нормальная сила, и по схеме сдвига, если больше касательная сила.
