Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Неравновесные фазовые переходы в квазидвумерной сверхрешетке с "косинусоидальной" минизоной 15
1.1 Введение 15
1.2 Влияние толщины квазидвумерной сверхрешетки на неравновесные фазовые переходы (электрон-фононное взаимодействие) 21
1.3 Влияние толщины квазидвумерной сверхрешетки на неравновесные фазовые переходы (рассеяние на примесях) 32
1.4 Продольная вольтамперная характеристика квазидвумерной сверхрешетки 37
1.5 Неравновесные фазовые переходы в квазидвумерном электронном газе при учете второго уровня размерного квантования 46
Глава II. Неравновесные фазовые переходы в квазидвумерной сверхрешетке с "параболической" минизоной 54
2.1 Введение 54
2.2 Неравновесные фазовые переходы в квазидвумерной сверхрешетке в случае предельно низких температур 58
2.3 Функция распределения и плотность тока в одномерной сверхрешетке 64
2.4 Неравновесные фазовые переходы в квазидвумерной сверхрешетке в случае конечных температур 72
Глава III. Электрические флуктуации и стохастический резонанс в неравновесном электронном газе 76
3.1 Введение 76
3.2 Токовая корреляционная функция сверхрешетки с "параболическим" законом дисперсии 81
3.3 Флуктуационная теория неравновесных фазовых переходов в квазидвумерном электронном газе 90
3.4 Стохастический резонанс в квазидвумерной сверхрешетке с учетом ее толщины 98
3.5 Двойной стохастический резонанс 105
Заключение 111
Литература 114
- Влияние толщины квазидвумерной сверхрешетки на неравновесные фазовые переходы (электрон-фононное взаимодействие)
- Неравновесные фазовые переходы в квазидвумерном электронном газе при учете второго уровня размерного квантования
- Неравновесные фазовые переходы в квазидвумерной сверхрешетке в случае конечных температур
- Флуктуационная теория неравновесных фазовых переходов в квазидвумерном электронном газе
Введение к работе
В настоящей диссертации речь идет о квазидвумерных сверхрешетках (2СР) (латеральные СР, динамически двумерные системы [1]). 2СР - системы электронов (дырок), движение которых в пространстве свободно только в двух направлениях, а в третьем - движению соответствует дискретный энергетический спектр. Следует подчеркнуть, что эти системы не являются двумерными в прямом смысле слова, поскольку и волновые функции зависят от трех координат, и электромагнитные волны распространяются в трех направлениях.
Отметим, что указанные системы относятся к активно изучаемым в настоящее время низко размерным структурам. Интерес к этой области связан как с принципиально новыми фундаментальными научными проблемами и физическими явлениями, так и с перспективами создания на основе уже открытых явлений совершенно новых устройств и систем с широкими функциональными возможностями для опто- и наноэлектроники, измерительной техники, информационных технологий нового поколения, средств связи и пр. Результатом исследований низко размерных систем стало открытие принципиально новых, а теперь уже широко известных явлений, таких как целочисленный и дробный квантовый эффект Холла в двумерном электронном газе, вигнеровская кристаллизация квазидвумерных электронов и дырок, новые квазичастицы и электронные возбуждения с дробными зарядами, высокочастотные блоховские осцилляции и др. Не на последнем месте стоят и неравновесные фазовые переходы (НФП) в низко размерных структурах.
НФП в полупроводниках вызывают в настоящее время значительный интерес. В монографии [2] рассматриваются НФП в полупроводниках, обусловленные генерационно-рекомбинационнами (ГР) процессами. Неустойчивости в полупроводниках и диэлектриках сравнительно недавно стали рассматривать как ФП в сильно неравновесной физической системе. Так, в конце 60-х годов А.Ф. Волков и Ш.М. Коган [3] указали на аналогию между перегревной неустойчивостью электронного газа и НФП. Примерно в это же время Е. Питт и X. Томас [4] провели подобную аналогию в случае ганновской неустойчивости скорости дрейфа электронов. Как в экспериментальных наблюдениях, так и в теоретическом осмыслении ФП, вызванных ГР процессами, за последние десятилетия лет был достигнут большой прогресс, установлено существование множества новых явлений и разработаны математические модели. Указанные НФП лежат в основе работы ряда важных полупроводниковых приборов, используемых в современной технике; также полупроводники представляют собой наиболее подходящие модельные системы для изучения нелинейной динамики [2]. (В настоящей работе исследуются НФП, обусловленные внутризонными процессами).
Для количественной характеристики изменения структуры тела при прохождении через точку фазового перехода можно ввести величину, называемую параметром порядка [5, 6], определяемую таким образом, чтобы она пробегала отличные от нуля (положительные или отрицательные) значения в несимметричной фазе и была равна нулю в симметричной фазе.
Параметр порядка определяется неустойчивыми модами, а устойчивые - адиабатически подстраиваются под изменения неустойчивых. Это даст возможность при анализе фазового перехода резко сократить число переменных по сравнению со стандартными методами статистической физики (оставив только те, которые отвечают за фазовый переход), а также обойти трудности, связанные с наличием скачков физических величин в точке фазового перехода.
Типичными примерами параметров порядка являются: плотность (для перехода жидкость - газ); намагниченность (для перехода в ферромагнитное состояние); поляризация (для перехода в сегнетоэлектрическое состояние); волновая функция бозонных пар (для перехода в сверхпроводящее состояние) и т. д. По своему физическому смыслу параметр порядка - это корреляционная функция, определяющая степень дальнего порядка в системе. В [6] также показано, что параметр порядка появляется благодаря флуктуациям, возникающим при критическом переходе. И этот параметр диктует поведение упорядоченного состояния после фазового перехода.
Еще одна особенность НФЇЇ состоит в том, что система может обладать несколькими параметрами порядка и они могут взаимодействовать друг с другом, порождая новые структуры. В [7] отмечено, что НФП намного богаче равновесных ФП, так как они включают в себя возникновение предельных циклов, движение на торах, хаос и др. НФП изучались многими авторами, в частности, [8, 9, 10, 11] и др. Обратим также внимание на работу [12], в которой показано, что особенности вольтамперной характеристики (BAX)p-Ge находятся в согласии с теорией ФП Ландау.
Существуют два основных типа НФП [13] - первого и второго рода. В противоположность фазовым переходам первого рода, при которых состояние системы испытывает скачок, фазовые переходы второго рода являются непрерывными в том смысле, что состояние тела меняется непрерывным образом. Однако следует подчеркнуть, что симметрия в точке перехода меняется скачком, и в каждый момент можно указать к которой из двух фаз относится тело. В то время как в точке фазового перехода первого рода находятся в равновесии тела в двух различных состояниях, в точке перехода второго рода состояния обеих фаз совпадают. Отметим также, что существуют НФП, относящиеся к промежуточной области [13]. Введенное в [13] понятие НФП аналогично понятию "катастрофа" в теории катастроф, которую предложил Том [14]. Но более близким к содержанию данной диссертации является то применение теории, которое изложено , например , в работах Хакена, Эбелинга [15, 16].
Помимо указанных выше причин важности изучения ФП, необходимо отметить также, что в окрестности ФП поведение системы оказывается чувствительным к небольшим внешним воздействиям, например, слабым полям, что существенно с точки зрения технических приложений.
В настоящей работе речь идет об открытых системах [13], причем в качестве внешнего источника энергии выступает протекающий в образце электрический ток. Фундаментальное изучение открытых систем связано с именем И.Р. Пригожина и его сотрудников [8, 10, 16], отметим также [] 7, 9. 11, 18] и др. Ряд примеров и результатов, касающихся открытых систем, приведен в сборнике статей [19]. При этом важно отметить, что в теории открытых систем в неравновесных стационарных состояниях свободная энергия не обязательно имеет минимум, а энтропия - максимум. В теории открытых систем найдена функция, которая помогает отличить устойчивые неравновесные состояния от других состояний. Для нахождения этой функции был сформулирован принцип минимального производства энтропии или минимального убывания свободной энергии. В данной работе мы будем называть эту функцию синергетическим потенциалом.
Нелинейные эффекты, возникающие в проводниках с непараболическим законом дисперсии носителей (в том числе в СР) под действием сильных полей, изучались многими авторами [22 - 27]. Учет конечности ширины зоны проводимости 2СР приводит и к возникновению спонтанной поперечной (по отношению к протекающему в образце току) ЭДС. Данное явление влияет на разного рода кинетические эффекты в 2СР: вид ВАХ, поведение квазидвумерного газа в магнитном поле, релаксационно-диффузионные межфазные процессы [28] и др. В данной диссертации показано, в том числе, что спонтанное возникновение поперечного поля возможно и в модели 2СР с "параболическим" законом дисперсии [29, 30].
В диссертации также идет речь и о стохастическом резонансе (СтР) в 2СР. Явление СтР заключается в том, что при одновременном воздействии на бистабильную систему слабого периодического сигнала и шума обнаруживается, что с ростом шума некоторые интегральные характеристики системы (например, коэффициент усиления по мощности, отношение сигнал/шум) ведут себя аномально (увеличиваются, достигают максимума и затем спадают).
Данная диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию НФП первого и второго рода в квазидвумерном электронном газе с "косинусоидальной" и "параболической" минизонами проводимости, а также изучению возможности стохастического резонанса в таких (бистабильных) системах.
Актуальность темы. Одна из причин, по которым низко размерные полупроводниковые структуры (квантовые ямы, проволоки, кольца, точки, СР и др.) в настоящее время привлекают значительное внимание, состоит в том, что такие системы начинают проявлять нелинейные и неравновесные свойства в сравнительно слабых полях, и, что весьма важно, эти свойства можно задавать и контролировать с помощью "зонной инженерии".
Развитие направлений науки, техники и технологий, связанных с созданием, исследованиями и использованием объектов с низкоразмерньши элементами, во многом определяет кардинальные изменения в материаловедении, электронике, медицине, связи и др. В развитых странах осознание ключевой роли, которую играют результаты работ по нанотехнологиям, привело к созданию крупномасштабных программ по их развитию на основе государственной поддержки. Такие программы приняты Европейским союзом, США, Японией, Китаем и рядом других стран. В России к настоящему времени разработаны несколько программ данного направления. Настоящая диссертация выполнена в соответствии с Российской государственной программой "Физика твердотельных наноструктур", а также - "Перечня приоритетных направлений фундаментальных исследований РАН".
Сказанное определяет актуальность задач, теоретически решаемых в настоящей диссертации. Основное внимание в ней уделено полупроводникам с 2СР, а также - с одномерной СР (1СР), находящихся в постоянном электрическом поле и (при исследовании СтР) слабом переменном электрическом поле. В принципе, предсказываемые эффекты (НФП, СтР и др.) возмолшы не только в 2СР, но и в "обычных" объемных материалах, однако в СР эти эффекты требуют для своего существования значительно меньших величин напряженностей электрических полей. Конкретно решались следующие основные задачи:
• вывод и анализ формул для спонтанной поперечной ("квазихолловской") ЭДС как функции тянущего поля, температуры и толщины 2СР;
• решение кинетического уравнения Больцмана (с интегралом столкновений Батнагара-Гросса-Крука) для функции распределения электронов в 1СР с "параболической" минизоной;
• решение стационарного уравнения Фоккера - Планка для функции распределения поперечного поля как случайной величины;
• расчет интегральных характеристик СтР в проводниках с узкой зоной проводимости и 2СР.
Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые:
1. Показано, что неравновесный электронный газ в разомкнутой в поперечном (по отношению к протекающему в образце току) направлении 2СР может вести себя как сегнетоэлектрик.
2. Предложен учитывающий особенности продольной вольтамперной характеристики 2СР вариант наблюдения поперечной спонтанной ЭДС.
3. Найдена функция распределения невырожденных электронов в "параболической" минизоне 1СР для произвольных температур, (кваз и классических) электрических полей и в линейном приближении по градиенту концентрации носителей.
4. Получено включающее диффузионную составляющую выражение для плотности тока вдоль оси 1СР с "параболической" минизоной.
5. Рассчитаны частота Крамерса, коэффициент усиления и отношение сигнал/шум в полупроводниковых 2СР с учетом толщины образца.
6. Обнаружен двойной СтР в проводниках с узкой зоной проводимости и разомкнутой в поперечном току направлении 2СР.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту:
1. Учет толщины 2СР приводит к появлению НФП, в которых управляющими параметрами, кроме приложенного тянущего поля, выступают температура образца и его толщина.
2. В "параболических" 1СР температурная зависимость плотности тока и коэффициента диффузии существенно отличается от соответствующей для 1.СР с "косинусоидальным" законом дисперсии минизоны. Зависимость положения максимума продольного тока от температуры совладает с экспериментальными данными [31]: с ростом температуры максимум тока смещается в сторону меньших полей.
3. В полупроводниковых 2СР с "параболической" минизоной возможны НФП второго рода (НФП2), заключающиеся в спонтанном возникновении поперечной ЭДС. При этом положение точки бифуркации зависит от температуры образца.
4. В неравновесном квазидвумерном электронном газе с "параболическим" законом дисперсии возможны НФП нового типа: с ростом температуры возникает спонтанное поперечное электрическое поле (при фиксированном значении тянущего поля).
5. При учете конечности ширины зоны проводимости частота Крамерса как функция температурві имеет максимум. Это приводит к существованию двойного СтР.
Научная и практическая ценность работы. Представленные новые результаты могут быть полезными и для изучения других бистабильных систем, в частности, сегнетоэлектриков и ферромагнетиков. Обнаруженные эффекты, в принципе, должны учитываться и при исследованиях иных кинетических явлений, например, эффекта Холла в низкоразмерных структурах. Кроме этого, результаты работы могут быть использованы при конструировании различного рода устройств: переключатели, усилители слабых периодических сигналов, а также фильтрующие элементы.
Личный вклад автора. Постановка задач, обобщение полученных данных, интерпретация и обсуждение результатов осуществлены диссертантом совместно с научным руководителем и соавторами публикаций. Проведение ряда аналитических и всех численных расчетов, графическое представление результатов было выполнено диссертантом самостоятельно.
Структура и объем. Диссертационная работа состоит из предисловия, трех глав, включающих обзорнвіе параграфві, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации составляет 128 страниц, включая 72 рисунка. Список литературы содержит 135 наименований.
В предисловии обоснована актуальность решаемых в работе задач, сформулированы цель и задачи исследования, представлено краткое содержание диссертации.
В первой главе изучается спонтанная поперечная ЭДС в 2СР с "ко синусоидальной" моделью мини зоны проводимости. Рассматривается квадратная 2СР, оси ОХ и OY направлены под углом 45° по отношению к ее главным осям. В отличие от предшествующих работ здесь мы учитываем толщину 2СР (а), предполагая ее порядка 10" -40" см (именно такие значения имеют изготавливаемые 2СР). Соответственно в третьем направлении имеет место квантовый размерный эффект (КРЭ), влияние которого на НФП здесь исследуется. В данной главе также представлены результаты исследования указанной системы при учете замкнутости образца на некоторое сопротивление. Проанализировано влияние второго уровня размерного квантования. Выясняется, что такое влияние не приводит к принципиальным изменениям в характере НФП в 2СР, но существенно меняет величину продольного тока. Отмечено, что применительно к рассматриваемым системам теорема Пригожина о минимальности производства энтропии выполняется для любых состояний, в том числе для состояний, далеких от равновесия.
Во второй главе рассматриваются СР с "параболической" мини зоной проводимости. В настоящее время становится технологически решаемой задача конструирования энергетического спектра электронов в низко размерных структурах, поэтому имеет смысл исследовать НФП для иного ("некосинусоидального") спектра, что и делается в данной главе для "параболической" минизоны. Рассчитываются функция распределения электронов и плотность тока в 1СР с "параболической" минизоной в случае конечных температур.
Третья глава посвящена электрическим флуктуациям и СтР в 2CF. Рассчитана токовая корреляционная функция (ТКФ) в 1СР с "параболической" минизоной для невырожденных носителей. Найдено решение стационарного уравнения Фоккера - Планка для функции распределения поперечного поля как случайной величины. С помощью этого решения вычислен средний квадрат поперечного поля, и, тем самым, построена флуктуационная теория НФП. Показано, что роль тепловых флуктуации при приближении к критической точке (точке бифуркации) усиливается. Спонтанное поперечное поле влияет на вид вольтамперной характеристики сверхрешетки. При этом имеет место следующее существенное обстоятельство. При детерминистическом описании поперечного поля ВАХ имеет излом в точке, соответствующей максимуму ВАХ, в то время как в рамках флуктуационной теории этот излом исчезает, в этом, в частности, проявляется роль электрических флуктуации в формировании ВАХ. Кроме того, с возрастанием уровня шумов (т.е. с увеличением температуры) максимум ВАХ понижается. С помощью функции распределения поперечного поля как случайной величины определяется средняя частота перехода бистабильной системы из одного устойчивого состояния в другое - частота Крамерса, зиая которую можно рассчитать коэффициент усиления по мощности и отношение сигнал/шум.
В заключение диссертации сформулированы основные результаты исследования.
Результаты, полученные в диссертации, докладывались на Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ-11 (Екатеринбург, 2005), Всероссийской конференции по физике сегнетоэлектриков BKC-XVII (Пенза, 2005), Международной научно-технической школы-конференции "Молодые ученые 2005" (Москва, 2005), IX межвузовской конференции студентов и молодых ученых Волгограда и Волгоградской области (Волгоград, 2004), И Международной конференции по физике электронных материалов (Калуга, 2005), Всероссийской научно практической конференции "Актуальные проблемы прикладной физики и методики преподавания физики в ВУЗе и школе" (Борисоглебск, 2005), Международной конференции "Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах" (Махачкала, 2005), Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ-12 (Новосибирск, 2006), Международном семинаре "Физико-математическое моделирование систем" (Воронеж, 2006), VIII Международной конференции "Опто-, наноэлектроиика, нанотехнологии и микросистемы" (Ульяновск, 2006).
Результаты диссертации опубликованы в 15 научных работах, в том числе в 7 статьях, 4 из которых опубликованы в журналах, включенных в список ВАК, и в 8 тезисах докладов [60-62], [70-71], [89-90], [93-94], [113], [120], [132-135].
Влияние толщины квазидвумерной сверхрешетки на неравновесные фазовые переходы (электрон-фононное взаимодействие)
Во всех перечисленных работах [32, 43 - 48] использовался энергетический спектр электрона в приближении сильной связи ("косинусоидальная " модель минизоны). Отметим, что и в иной модели минизоны ("параболической") также существует спонтанное поперечное поле (см. Главу 2 настоящей диссертации). В этих же работах интеграл столкновений выбирался в простейшем т-приближении, причем, время релаксации (х) считалось постоянным, не зависящим ни от энергии, пи от температуры. Это предположение также никоим образом не влияет на основной вывод о возникновении спонтанной поперечной ЭДС. Подтверждение тому содержится в работах, где вне рамок т. - приближения рассчитано поле Еу при взаимодействии электронов с оптическими [49] и акустическими [50] фононами.
Обратим также внимание на работу 1997г. [51], в которой изучены транспорт и разогрев электронов двумерной СР с квадратной симметрией на основе уравнения Больцмана с модельным интегралом столкновении. Последний содержит три времени релаксации: т,(є) - время хаотизации направления импульса электрона без изменения энергии є (характерное время установления равномерного распределения электронов па изоэнергетической поверхности за счет упругих столкновений); тє (є) - время релаксации электрона, описывающее его переходы между изоэнергетическими поверхностями; iee(s) " время электронных столкновений, Закон дисперсии электронов в [51] - "косинусоидальный". Показано, что в случае, когда угол между вектором плотности тока и кристаллографической осью 2СР равен 45 , имеет место эффект возникновения поперечной спонтанной ЭДС, как это и было предсказано в [32].
Отметим также, что к рассматриваемой в вышеупомянутых и настоящей работах открытой системе (образец подключен к источнику тока) применима теорема Пригожина [16, 52] о минимальности производства энтропии в стационарных состояниях, которая в данном случае выполняется для любых состояний, в том числе и для состояний, далеких от равновесия [50].
Анализ результатов предшествующих работ, а также работ автора, приводит к выводу о том, что необходимым условием существования НФП в двумерном электронном газе является наличие отрицательной дифференциальной проводимости (т.е. падающего участка в "затравочной" одномерной ВАХ). (При этом положение максимума ВАХ совпадает с соответствующей точкой бифуркации). Применительно к 2СР этот вывод можно сформулировать как требование конечности ширины зоны проводимости.
Для параметров изготавливаемых в настоящее время 2СР величина тянущего поля, при котором начинают проявляться описанные выше
эффекты, лежит в интервале 10 -ь 10 В/см, т.е. указанные эффекты вполне реалистичны и могут, стало быть, использоваться в функциональной микроэлектронике. Отметим, что в настоящее время ведутся и экспериментальные исследования поперечного поля Еу. Например, обратим внимание на работу [53], авторы которой экспериментально обнаружили и измерили поперечную ЭДС в латеральных СР на основе GaAs/AlxGa[.xAs с периодической модуляцией потенциала в одном направлении (тянущее поле направлялось под углом к оси СР). Отметим также работу [38], в которой исследовался электронный транспорт через сетку квантовых точек. Выше мы обсуждали аналогию между спонтанным возникновением поперечной ЭДС и спонтанной поляризацией сегнетоэлектрика. В связи с рассмотрением возможности экспериментального наблюдения поперечного поля отметим более близкую аналогию. Мы имеем ввиду многозначный эффект Сасаки (МЭС) в многодолинных полупроводниках при симметричной ориентации сильного тянущего поля относительно электронных долин [54 -58]. Напомним, что ("однозначный") эффект Сасаки заключается в возникновении поперечного электрического поля в кубических кристаллах при сильном разогреве носителей, При указанной выше ориентации заданному значению тянущего поля соответствуют различные значения поперечных полей (МЭС). Качественно поведение поперечного поля при МЭС имеет вид, схожий с приведенным в 1.2 на рис. 1.2.3(a).
Важно отметить, что МЭС непосредственно наблюдался экспериментально в работах [55, 57, 58] и косвенно - при измерениях холловского поля в многодолинных полупроводниках [56]. Эти и др. эксперименты стимулируют дальнейший теоретический анализ проблемы.
Говоря об эффекте спонтанного возникновения поперечной ЭДС, заметим, что наблюдение его может быть в какой-то степени затруднено из-за неустойчивости продольного тока в области падающей ветви ВАХ [32]. Поэтому наблюдения следует проводить, например, в импульсном режиме тянущего поля (см.[59]). Однако в настоящей диссертации (1.4) показано, как можно обойти эту трудность.
В данной главе, как и во всех указанных работах [32, 37, 49, 50], образец (2СР) считается монодоменным, используются "косинусоидальная" модель минизоны проводимости и условия квазиклассичности полей.
В отличие от предшествующих работ здесь производится учет толщины 2СР. Соответственно в третьем направлении имеет место КРЭ. Другими словами, мы исследуем влияние последнего на НФП. Это влияние проявляется посредством времени релаксации импульса в плоскости пленки, учитывающего КРЭ. Как будет показано, такой учет приводит к существованию НФП других типов, отличных от обсужденного выше. В этих новых НФП управляющими параметрами являются толщина образца и температура.
Неравновесные фазовые переходы в квазидвумерном электронном газе при учете второго уровня размерного квантования
Рассматривается 2СР, аналогичная рассмотренной в 1.2. В дополнение к 1.2, здесь мы учитываем и второй (возбужденный) уровень размерного квантования [71]. В этом случае механизм релаксации электронов приобретает некоторые особенности, которые мы сначала рассмотрим на примере спектра: Данный закон дисперсии имеет место, например, для периодически легированной (с периодом d) квазиодномерной нити, ОХ направлена вдоль оси нити. В предположении, что в направлении OZ учитываются только два нижайших уровня энергии j и Е2, энергетический спектр в пределах первой минизоны Бриллюена имеет вид, представленный на рис. 1.5.1. При выключении внешнего поля система электронов стремится к равновесному состоянию с наименьшей энергией. При этом возможны два случая (см.рис.1.5.2): 1. Если энергия, полученная электроном от поля, не превышает значения е0, то электрон релаксирует к состоянию равновесия по единственному возможному пути 1 (с временем релаксации т,). 2. Энергия электрона в момент снятия внешнего поля сравнивается с величиной є0. В этом случае, помимо выше обозначенного пути релаксации к состоянию равновесия 1, открывается еще (быстрый (при Т 2Д)) канал 2 (с временем релаксации т2). Здесь учтены только два нижайших уровня размерного квантования, а вообще, время релаксации электрона, находящегося вп-й подзоне, можно представить так 1Л = 11Л„п (1-5.2) где %т, - время релаксации, связанное с переходами в n -ю подзону. Суммирование выполняется по всем заселенным подзонам. Применительно к учету двух уровней ситуация напоминает случай рассеяния электронов нижайшей минизоны на оптических колебаниях решетки [72, 49], здесь роль энергии оптического фонона играет величина 0 = є2 - ] - 2Д. Как и в указанных работах [72, 49], интеграл столкновений представляем в виде: St{f (р);р} = (f - f0 Jk1 + в(є(р) - є0 ) 21 J (f - f0 )v(p), (1.5.3) где f и f0 - равновесная и неравновесная функции распределения, Э(х) -ступенчатая функция Хевисайда, є0 = Е2 - 8] - расстояние между соседними уровнями размерного квантования, т, - время релаксации электрона в отсутствие перехода на соседний энергетический уровень, т2 " время релаксации, соответствующее появлению дополнительного канала релаксации, по аналогии с [72, 49] полагаем х2/х\ = ехр(-2Д/Т)=р\ Таким образом, задавая интеграл столкновений в виде (1.5.3), мы выходим за рамки простейшего приближения (т - const). По аналогии с [72, 49], поставленная задача решается в условиях квазиклассической ситуации (2Д » fix , Йт2 , eEd) с использованием кинетического уравнения Больцмана для электронов в постоянном электрическом поле: Выражение для jx получается из (1.5.12) заменой х - у. Первое слагаемое (р,) определяет вносимый в электропроводность вклад электронов, заселяющих первую подзону. Соответственно, вклад электронов, перешедших за счет энергии приложенного поля во вторую подзону, определяется вторым слагаемым (г\2). Нас интересует случай, когда поперечное поле Еу определяется условием разомкнутости образца в направлении OY (см.(1.2.8)), которое представляет собой уравнение для определения поперечного поля Еу. Полученные результаты численного реиіения представлены графически на рис.1.5.4-1.5.7. График зависимости спонтанного поперечного поля Еу от тянущего поля Ех(рис.1.5.4 с точностью до коэффициента) совпадает с приведенным на рис.1.2.3 (а) (см.1.2) без учета второго уровня размерного квантования. Здесь также с увеличением толщины 2СР точка бифуркации Ехс смещается в сторону меньших полей (см.рис. 1.2.3 (а)). Учет температуры (см. кривую (d) на рис.1.5.4) не дает принципиальных изменений в характере НФП в 2СР (с ростом температуры точка бифуркации смещается в сторону больших полей). Зависимости Е =Еу(Ь) и Е = EV(T) представлены на рис. і.5.5 (а и б соответственно). Рис. 1,5.6 (а, б) иллюстрирует немонотонную зависимость плотности тока от толщины. На рис.1.5.7 (а, б) приведены зависимости продольного тока от поля Ех.
Неравновесные фазовые переходы в квазидвумерной сверхрешетке в случае конечных температур
В настоящее время "зонная инженерия" позволяет в широких пределах варьировать вид дополнительного (по отношению к кристаллическому) потенциального рельефа и, соответственно, энергетического спектра полупроводниковых СР. В СР уровни в отдельных квантовых ямах расширяются в энергетические минизоны, только, в отличие от естественного кристалла (образованного из отдельных атомов), ширинами минизон можно управлять, меняя толщину, высоту и форму потенциальных барьеров. Говоря о "зонной инженерии" мы имеем в виду технологию именно такого управления.
Впервые идея создания квантовых СР была высказана Л.Келдышем в 1962 г. [74], который предложил создавать дополнительный периодический потенциал в однородном кристалле путем воздействия на пего мощной ультразвуковой волной. Однако необходимость использования очень высоких звуковых мощностей делает предложенный метод малоприемлемым. Неприемлем также метод, заключающийся в периодической модуляции концентрации легирующей примеси, так как ом требует тем большей концентрации легирующей примеси, чем меньше период СР [21].
Одним из наиболее распространенных методов выращивания СР является метод молекулярно-пучковой (вакуумной) эпитаксии [75], согласно которому происходит медленное напыление исходного вещества на шайбу из полупроводникового материала. Скорости роста и другие условия таковы, что происходит послойный рост атомных слоев, что позволяет добиться высокого кристаллического совершенства получаемых структур.
Использование метода жидкофазной эпитаксии и исследование свойств гетероперехода GaAs/AlGaAs дало возможность уже в 1970г. реализовать непрерывный режим лазерной генерации при комнатной температуре. В том же году появилась работа Л.Есаки и Р.Цу [76], посвященная исследованию свойств СР. Основным мотивом их деятельности было желание реализовать на базе СР "блоховский осциллятор", или, если подойти к вопросу с практической стороны, высокочастотный генератор. Авторы последующих работ выявили ряд уникальных свойств СР и показали возможность их практического использования [77, 78].
Подробное обсуждение электрических свойств СР содержится во многих обзорах и монографиях (см., например, [79, 80, 21, 81, 82, 83, 67]. В обзоре [82] представлено подробное описание методов создания СР, их практическое применение, а также многие эксперименты с указанными структурами. В [21] основное внимание уделено рассмотрению энергетической структуры и оптическим свойствам полупроводниковых СР. Ф,Г. Басе и его соавторы в монографии [67] рассматривали высокочастотные свойства полупроводников с 1СР.
Физические свойства полупроводниковых СР определяются их электронным спектром. В то время как движение носителей тока перпендикулярно оси СР свободно, движение вдоль оси СР имеет минизонный характер.
Наиболее популярным является закон дисперсии в приближении сильной связи, который для нижайшей минизоны имеет вид здесь pj_ - квазиимпульс в плоскости слоев, m - соответствующая эффективная масса, 2Д - ширина минизоны, d - постоянная решетки. С учетом всех "соседей" второе слагаемое в (2.1.1) обобщается [24, 84]: npxd Й В связи с законом дисперсии (2.1,2) отметим работы [22 - 24], [85], в которых учитывались слагаемые с п 0,1,2. Возможен и более точный (чем метод сильной связи) подход к описанию свойств СР - это использование реалистической модели Кронига -Пенни [86] для нахождения энергетического спектра, хотя конкретные вычисления кинетических коэффициентов в данном случае весьма громоздки. При учете высших минизон спектр (2.1.1) модифицируется [80] В литературе обсуждается также возможность использования полупроводников со СР Фибоначчи [87, 88], в которых энергетический спектр уже не имеет вида (2.1.1), при этом в явном виде он не получен. В ряде недавних работ Ю.А.Романова с сотрудниками [29, 84 и др.] при исследовании отрицательной дифференциальной проводимости полупроводников с одномерной СР используется закон дисперсии вида: где p - квазиимпульс, d-период решетки, s0= const. Данный закон дисперсии составлен из "сшитых" в точках ±р; (непрерывны функции и первая производная) прямой и перевернутой парабол. Причем при р; =тсй/с1 закон дисперсии (2.1.4) переходит в "параболический", вид которого укажем при непосредственном его исследовании в последующих параграфах. Отметим, что ещё в работе [80] рассматривалась модель минизоны проводимости (2.1.4). В предыдущей главе мы использовали "косинусоидальный" закон дисперсии минизоны вдоль главных осей простой квадратной решетки (в приближении сильной связи). Как отмечено выше, в настоящее время становится технологически решаемой задача конструирования энергетического спектра электронов в низкоразмерных структурах, поэтому имеет смысл исследовать НФП для иного ("некосинусоидального") спектра, что и делается в настоящей главе для "параболической" минизоны.
Решение данной задачи связано, прежде всего, с нахождением тока в 1СР. В предельном случае низких температур (Т О) проводимость 1СР с "параболической" минизоной исследовалась в [29]. Здесь мы выходим за рамки приближения [29] и определяем, в том числе температурную зависимость плотности тока в данной модели. При этом выясняется, что в соответствующей 2СР возможны и иные, по сравнению с [32, 37], НФП, в которых роль управляющего параметра играет температура, и при фиксированном тянущем поле при повышении температуры спонтанно возникает поперечная ЭДС (речь идет о разомкнутом в поперечном направлении образце). Одновременно мы показываем, что для существования НФП выбор "косинусоидального" закона дисперсии не является принципиальным.
В данной главе найдено точное решение кинетического уравнения Больцмана для невырожденных электронов в нижайшей "параболической" мининизоне, с помощью которого и получена (точная) формула для плотности тока (]) в рассматриваемой модели. При этом отмечено, что найденная температурная зависимость j имеет место в эксперименте. Вычислена дифференциальная проводимость, которая при определенных значениях тянущего поля Ех и температуры образца становится отрицательной.
Флуктуационная теория неравновесных фазовых переходов в квазидвумерном электронном газе
В системах, имеющих два и более устойчивых стационарных состояния, наличие флуктуации приводит к возможности случайных переходов из одного состояния в другое. Впервые задача об определении вероятности таких переходов была сформулирована и решена в частном случае для систем, описываемвгх дифференциальным уравнением первого порядка, в работе Л.С. Понтрягина, А А. Андронова и А А. Витта [99J. Однако в то время результаты этой работы не нашли соответствующего отклика. Лишь впоследствии, когда интерес к флуктуационным явления существенно возрос, к ней стали неоднократно возвращаться, и в настоящее время эта работа признана классической. Следует отметить, что в зарубежной литературе в основном ссылаются на работу Крамерса [100], опубликованную позднее, в которой найдено приближенное решение для бистабильного осциллятора, описываемого уравнением второго порядка, с целью оценить скорости химических реакций. По мнению автора работы [101] П.С. Ланды в зарубежной литературе даже всю проблему флуктуационных переходов часто несправедливо называют проблемой Крамерса. По существу, некоторым обобщением работы [99], позволяющем получить результаты в явном виде, является монография Р.Л. Стратоновича [102].
По мере развития науки область приложения теории флуктуационных переходов все более расширялась. Так, после открытия интересного явления, получившего название "стохастический резонанс", появилось множество работ, в которых эта теория прикладывалась к данному явлению [103-104]. Термин "стохастический резонанс" был введен авторами работ [105-107] а 1981 - 1982гг. на основе исследований модели бистабильного осциллятора, предложенной для описания периодичности в наступлении ледниковых периодов на Земле. В 1983г. эффект СтР был исследован в триггере Шмита, где для описания явления впервые использовано отношение сигнал/шум.
Впоследствии СтР был обнаружен и исследован во многих бистабильных системах. В частности, в кольцевом лазере с акустооптическим модулятором [103] - первая экспериментальная установка, на которой был обнаружен аномальный рост отношения сигнал/шум с увеличением интенсивности шума. СтР наблюдался также в системах с электронным парамагнитным резонансом [108], в ферромагнетиках и сегнетоэлектриках [109], [ПО]. Отметим также теоретическую работу по СтР в 2СР [111], имеющую непосредственное отношение к изучаемым в данной диссертации вопросам.
Максимум коэффициента усиления имеет место, когда частота сигнала порядка удвоенной частоты переходов Крамерса - характерное свойство СтР в бистабильных системах. К системам такого рода относятся, в частности, сегнетоэлектрики. В работе [112] было высказано предположение о возможности СтР в сегнетоэлектрике. В диссертации К. Дрождина [109] и в работе Дистельхорста [ПО] экспериментально обнаружен СтР в кристалле ТГС. В работе автора [113] теоретически исследован СтР в сегнетоэлектриках с полупроводниковыми свойствами (например, ВаТі). В качестве шума, как и в 2СР выступают тепловые флуктуации тока. Закон внутреннего тока в СП для электрической индукции (D) записывается в виде [109] где а(Т) - а(Т-Тс), с = цле. ц. - подвижность носителей, п - концентрация носителей а,Ь - коэффициенты разложения свободной энергии по степеням электрической индукции, Тс - температура Кюри. Термодинамический потенциал Ф(Б,Т) = Jj(D,T)dD + const в нашем случае равен. Исследования показали, что эффект СтР представляет собой фундаментальное физическое явление, типичное для нелинейных систем, в которых с помощью шума можно контролировать один из характерных временных масштабов системы. Подробное описание явления СтР как индуцированного шумом эффекта увеличения степени порядка приведено в обзорах [104, 108]. В [104] рассматривается движение броуновской частицы в системе с симметричным потенциалом в условиях действия слабого периодического возмущения. Такая система имеет два характерных временных масштаба: один обусловлен случайными блужданиями частицы в окрестности одного из состояний равновесия (внутриямная динамика), другой временной масштаб характеризует среднее время перехода через потенциальный барьер (глобальная динамика). (В данной работе рассматривается только глобальная динамика). Как уже отмечалось ранее, подпороговый сигнал предполагается настолько малым, что в отсутствии шума исключает переходы частицы через потенциальный барьер. Второму временному масштабу в частотной областм отвечает средняя скорость (или частота) выхода из метастабильного состояния - скорость Крамерса [100]. В указанных работах представлены две теории для исследования СтР, применение каждой из них позволяет исследовать этот эффект в нелинейных бистабильных системах.
Отметим работу [114], в которой достаточно четко разведены понятия "стохастический резонанс" и "стохастическая фильтрация". В работе [13 5] представлена последовательная теория эффекта СтР с учетом эффективного динамического времени релаксации. В приближении малых амплитуд сигнала показано, что только за счет фильтрующих свойств бистабильной системы отношение сигнал/шум на ее выходе может превышать аналогичное отношение на ее входе. В более поздней работе [116] в рамках теории линейного отклика на сигнал дано объяснение эффекта СтР.
