Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Литературный обзор 19
1.1. Методы точной диагонализации 22
1.2. Современные варианты метода RSRG 25
1.3. Алгоритм DMRG 27
1.4. Симметрии и хорошие квантовые числа в методе DMRG 37
1.5. „Локальная структура" основного состояния 42
1.6. Резюме 47
Глава 2. Метод точной диагонализации с учетом пространственной и 5,С/(2)-симметрий 49
2.1. Общее описание алгоритма 49
2.2. Расчет наблюдаемых 56
Глава 3. Система 3x3 61
3.1. Функции окружения 62
3.2. Гамильтониан окружения 70
3.3. Обсуждение результатов 79
Глава 4. Система \/З х 81
4.1. Базисные функции и гамильтониан окружения 82
4.2. Оператор киральности 85
4.3. Обсуждение результатов 91
Глава 5. Система л/Tf х у/ 93
5.1. Базисные функции окружения 94
5.2. Корреляционные функции 97
5.3. Обсуждение результатов 100
Глава 6. Система 5x5 104
6.1. Базис „троек" 105
6.2. Базис добавляемой части 108
6.3. Взаимодействие Universel2 и добавляемой части 109
6.4. Гамильтониан окружения 111
6.5. Обсуждение результатов 113
Глава 7. Система S = 1 на гексагональной решетке 119
7.1. Состояния цепочки 121
7.2. Взаимодействие между цепочками 125
7.3. Расчет наблюдаемых 127
7.4. Взаимодействие с соседями, следующими за ближайшими 130
7.5. Основные результаты, полученные методом DMRG 131
7.6. Обсуждение результатов для nn-взаимодействия 135
7.7. Обсуждение результатов для nnn-взаимодействия 143
Заключение 149
- Симметрии и хорошие квантовые числа в методе DMRG
- Гамильтониан окружения
- Взаимодействие Universel2 и добавляемой части
- Основные результаты, полученные методом DMRG
Введение к работе
Актуальность темы. Интерес к магнитным „низкоразмерным" системам, основное взаимодействие в которых осуществляется внутри выделенных плоскостей (двумерные системы) или даже вдоль некоторых линий (одномерные системы) сформировался, в основном, с открытием явления выскотемпературной сверхпроводимости [1]. Дальнейшие исследования в области физической химии позволили создать большое число соединений (в том числе, органических), демонстрирующих одно- и двумерное упорядочение в области низких температур. Изучение свойств подобных веществ является перспективным направлением современной экспериментальной и теоретической физики, поэтому неудивительно, что для теоретического исследования данных систем были разработаны самые различные методы. Расчет термодинамических параметров указанных соединений подразумевает возможность вычислять спектр модельных решеток (пусть даже в некотором приближении) или хотя бы умение точно найти основное состояние, спектр низ-колежащих возбуждений над которым можно получить методом цепных дробей
й-
Обычно для теоретического изучения свойств низкоразмерных спиновых систем применяются модельные гамильтонианы, прежде всего, изотропный гамильтониан Гейзенберга. Поскольку аналитическое изучение свойств таких модельных гамильтонианов очень затруднено, основное развитие в данной области получают полуаналитические и численные методы, в первую очередь, методы точной диа-гонализации [3], QMC и DMRG [4-6]. К настоящему моменту разработано и реализовано достаточно большое количество таких алгоритмов, каждый из которых обладает своими преимуществами и недостатками. Так, весьма популярный метод QMC страдает от „проблемы знака", затрудняющей его применение для фруст-рированных спиновых систем. Метод DMRG, изначально сформулированный для решения одномерных задач, позволяет рассчитать основное и низколежащие воз-
бужденные состояния системы сравнительно большого размера на базисе фиксированной размерности и делает это с очень высокой точностью, однако, он не имеет общепринятого обобщения на случай двумерных систем. Метод точной диа-гонализации позволяет изучать свойства фрустрированных систем на кластере конечных размеров, но экспоненциальный рост размерности гильбертова пространства существенно затрудняет его использование в случае сколько-нибудь больших решеток. Наконец, все перечисленные методы обладают общим недостатком: они практически не учитывают симметрии, присущие гамильтониану, ограничиваясь в большинстве случаев простой XY-симметрией1. Однако, учет других симметрии позволил бы не только сократить вычислительную сложность задачи, что особенно важно в случае использования метода точной диагонализации (так, по мнению некоторых исследователей [8], возможность учета спиновой 5/(2)-симметрии является критичной для корректного описания двумерных спиновых систем), но и произвести классификацию энергетических уровней на „естественном" языке неприводимых представлений групп симметрии и построить на ее основе качественную картину основного состояния низкоразмерных спиновых систем;
Одной из главных трудностей численных методов, пытающихся описать бесконечную систему путем расчета на конечном кластере, является даже не учет многочастичных эффектов высокого порядка, а минимизация граничных и конечномерных эффектов. Чтобы избежать их, зачастую накладываются периодические граничные условия. Однако, и в этом случае наибольшая длина модели достаточно мала (половина диаметра кластера). В рамках предложенного в данной диссертации метода рассматривается альтернативный способ получения наблюдаемых в термодинамическом пределе из кластерных вычислений.
^то не вполне верно в случае методов точной диагонализации, где учет всевозможных симметрии позволяет существенно сократить размерность гильбертова пространства. В работе [7] приведен пример метода точной диагонализации, учитывающего многие симметрии системы s — ^, однако, спиновая 5[/(2)-симметрия была выведена из рассмотрения и здесь, а вместо истинной неабелевой группы точечной симметрии D\ использовалась абелева группа С^ с трансляциями.
Хорошо известно, что алгоритмы диагонализации больших разреженных матриц (например, метод Ланцоша), используемые в методах DMRG и точной диагонализации, дают доступ к наинизшим и наивысшим собственным значения модельных гамильтонианов, т.е. к краям спектра. Поэтому проблема создания алгоритма, обеспечивающего доступ к полному спектру модельной системы, остается весьма актуальной.
Обобщение метода матричных произведений, хорошо зарекомендовавшего себя для квантовых спиновых цепочек, породило ряд вариационных методов, предназначенных для описания основного состояния двумерных спиновых гамильтонианов. Упомянем в этой связи модели вершинных состояний [9, 10], вариационный метод тензорных произведений [11, 12] и анзац тензорных произведений [13]. Пробные состояния в этих подходах представлены произведениями локальных весов на двумерной решетке, что накладывает жесткие связи на топологию и величину спина, поэтому проблема развития методов, в которых отсутствуют подобные корреляции, также является актуальной.
Открытой проблемой алгоритмов, основанных на методе RSRG, является выбор оптимальной процедуры сокращения гильбертова пространства. Использование дополнительных квантовых чисел гамильтониана дает возможность эффективной организации и этого этапа. Как показано в диссертации, использование полного спина S и индекса неприводимого представления Г качественно визуализирует процедуру прореживания гильбертова пространства модельного гамильтониана.
Цель работы. Целью настоящей работы является формулировка метода точной диагонализации, учитывающего спиновую SU(2) и точечную симметрию решетки. Предложенный метод будет применен для изучения свойств основного состояния двумерных списновых систем s = \ на квадратной решетке, а также S = 1 на гексагональной решетке.
Выбор объектов исследования. В настоящей диссертационной работе проводится исследование двух модельных двумерных спиновых систем: спина s — \ на квадратной решетке (изотропный гамильтониан Гейзенберга в приближении ближайших соседей) и спина S — 1 на гексагональной решетке (изотропный гамильтониан Гейзенберга в приближении ближайших соседей, а также в приближении соседей, следующих за ближайшими). Выбор данных систем обусловлен следующими факторами:
Изотропная модель Гейзенберга на квадратной решетке спина 5 = 1/2 является хорошо изученной, а для наблюдаемых (энергии связи, намагниченности, спиновых корреляционных функций) на ней получены достоверные значения при помощи методов QMC и других [1, 7, 14-16]. Таким образом, результаты, полученные для данной модели, могут быть использованы для контроля точности расчетов, выполняемых предложенным в настоящей работе методом, как на полном, так и на усеченном базисе.
Изотропная модель Гейзенберга на гексагональной решетке спина S — 1 является простейшей моделью, описывающей свойства реально синтезированных органических двумерных магнетиков семейства i^-PiViVM) [17]. При этом результаты, полученные для данной модели, особенно в случае nnn-взаимодействия (фрустрированная система) являются оригинальными и не встречаются в работах, опубликованных другими авторами.
Научная новизна. В настоящей работе:
1. Сформулирован двухпроходный, полуаналитический метод точной диагона-лизации, позволяющий корректно учесть SU(2) и точечную группу симметрии исследуемого двумерного гамильтониана изотропной модели Гейзенберга произвольного спина S;
Предложена и опробована процедура усечения базиса при укрупнении кластера, позволяющая использовать сформулированный метод даже в случае больших систем;
Разработан новый способ вычисления наблюдаемых, апроксимирующий данные термодинамического предела, без использования скейлинг-анализа при обработке значений, вычисленных на конечном кластере;
Показано, что основное состояние двумерного АФМ (в изотропной модели Гейзенберга в приближении ближайших соседей) принадлежит сектору гильбертова пространства, соответствующему тождественному неприводимому представлению точечной группы симметрии решетки {Лі);
Изучены свойства основного состояния системы 5 = 1 на гексагональной решетке в приближении ближайших соседей (пп) и соседей, следующих за ближайшими (nnn). Показано, что в случае nn-взаимодействия имеет место качественный переход от одно- к двумерному упорядочению, который происходит в окрестности точки JijJ\ ~ 0.33, где J\ - интеграл обменного взаимодействия внутри цепочек, а 3% - между цепочками. Вычисления, сделанные в nnn-приближении, позволяют построить картину спинового упорядочения в системе с фрустрацией и сделать вывод об отсутствии скалярного кирального упорядочения.
Достоверность результатов обеспечивается корректностью математической постановки задачи, а также путем сравнения расчитаппых свойств основного состояния с результатами других авторов (для системы s — \) и результатами, полученными методом DMRG для того же кластера (в случае системы 5 = 1).
Научная и практическая ценность. Используя предложенный в настоящей работе метод точной диагонализации, можно получить качественно новую инфор-
мацию о состояниях низкоразмерных спиновых систем и дополнительные квантовые числа. Перечислим преимущества предложенного подхода: в отличие от QMC, метод годится для изучения систем спина s > |, не накладывает жестких связей на топологию решетки и величину спина, присущую ряду вариационных методов и, по сравнению с DMRG, обеспечивает доступ ко всем состояниям спектра путем последовательного перебора секторов гильбертова пространства. Использование симметрийных свойств гамильтониапа позволяет построить классификацию его собственных состояний при помощи соответствующих квантовых чисел и, например, сформулировать на ее основе различные правила отбора.
Результаты, полученные для системы 5 = 1, не претендуют на высокую точность, однако являются оригинальными. В отличии от системы s = \ на квадратной решетке, данная модель гораздо менее исследована. С учетом того, что данная система является простейшей моделью реально существующего соединения, можно ожидать, что ее исследование приблизит нас к объяснению присущих ему свойств [17].
На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:
Формулировка полуаналитического двухпроходного алгоритма точной диа-гонализации с учетом спиновой SU(2) и точечной симметрии гамильтониана изотропной модели Гейзенберга для двумерной системы произвольного спина, а также способ вычисления наблюдаемых, аппроксимирующий результат в термодинамическом пределе;
Процедура усечения базиса при укрупнении кластера, выполняемая по схеме „полный набор состояний добавляемой части плюс низколежащие состояния остова", позволяющая применять предложенный метод точной диагонализа-ции и в случае сравнительно больших систем;
Результаты квантово-механического расчета свойств основного состояния
спиновой системы S — 1 на гексагональной решетке в приближении ближайших соседей и в приближении соседей, следующих за ближайшими, выполненного предложенным методом точной диагонализации и двумерным алгоритмом DMRG:
Наличие точки перехода от преимущественно одномерного упорядочения к двумерному при Jij3\ ~ 0.33.
Нарушение коллинеарности спинового упорядочения между цепочками при его сохранении внутри них и отсутствие скалярного кирального параметра порядка во фрустрированной системе.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, семи глав, заключения, списка цитируемой литературы, трех приложений и насчитывает 177 страниц, включая 20 рисунков и 86 библиографических ссылок.
В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ производится обзор современного состояния методов исследования низкоразмерных спиновых систем, в первую очередь, DMRG, методов точной диагонализации и квантового Монте-Карло. Кроме этого, производится детальное рассмотрение одномерного и двух вариантов двумерного алгорита DMRG, имеющих непосредственное отношение к настоящей диссертационной работе и приводятся основные сведения о „локальной структуре" основного состояния двумерных спиновых систем.
ВТОРАЯ ГЛАВА посвящена изложению общего формализма оригинального двухпроходного метода точной диагонализации, учитывающего SU{2) и точечную симметрию гамильтониана модельной системы. Предлагается такой способ выбора конечного кластера, при котором бесконечная решетка моделируется его определенной частью, названной „окружением", а также излагается способ итеративного наращивания кластера до необходимых размеров. Здесь также изучается вопрос взаимодействия центрального спина с окружением и показывается, как
с его помощью аппроксимировать энергию связи в бесконечной системе. Приводятся общие соотношения для расчета других наблюдаемых и корреляционных функций.
В ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ производится подробное рассмотрение кластера 3x3 узла спина s = \ на квадратной решетке. Его небольшие размеры позволяют произвести все необходимые вычисления аналитически, не прибегая к помощи компьютера, что способствует более глубокому пониманию метода. Здесь показывается, как построить из одноузельпых функций базис, отвечающий полному спину и неприводимому представлению группы точечной симметрии решетки (детально рассматривается способ вычисления .D-матриц для различных операций симметрии точечной группы), как записать гамильтониан окружения через двойные неприводимые тензорные операторы, и подробно изучаются его СФ, необходимые для построения основного состояния кластера в целом.
Для кластера 3x3 вычисляются основные наблюдаемые - энергия основного состояния в расчете на одну связь и намагниченность в основном состоянии, а также производится сравнение этих величин с результатами, полученными методом QMC и делается вывод о их качественном совпадении. Для энергии основного состояния в расчете на одну связь выполняется сопоставление с результатом, полученным путем усреднения энергии кластера по числу связей и показывается, что предложенный способ расчета обеспечивает большую точность. Отмечается, что основное состояние кастера залегает в секторе гильбертова пространства, отвечающему S = | и Г = А\, где Г - неприводимое представление точечной группы
СИММетрИИ решеТКИ (D<[).
В ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ производится рассмотрение более крупного кластера - ромба со стороной, равной 3, насчитывающего 13 узлов. Окружение данного кластера является топологически совершенным - оно состоит из двух координационных сфер и большая часть узлов имеет z = 4 ближайших соседа, как и в бесконечной решетке. При этом окружение не является бипартитным, т.е количе-
ство узлов в различных подрешетках оказывается неодинаковым.
Симметрии и хорошие квантовые числа в методе DMRG
После представления двумерной решетки в виде одномерной цепочки можно применять традиционный алгоритм DMRG. Следует, однако, учесть, что благодаря наличию в системе дальних взаимодействий, гамильтониан суперблока Hsuper будет иметь большее число слагаемых. В данном случае он будет задаваться формулой (по аналогии с (1.2)) где индекс „sys" относится к системе, „env" - к окружению, a „sl" и „s2" - к левому и правому свободному спину, соответственно. В данном методе наращивание системы происходит по одному узлу за итерацию, что снимает вычислительные трудности, описанные в подразделе 1.3.2. Кроме того, поскольку исходные блоки также состоят из одного спина, соответствующие им матрицы не приходится пересчитывать при изменении „ширины" решетки W. Из недостатков алгоритма можно назвать относительную сложность реализации8. С вычислительной точки зрения, наибольшую трудность вызывает слагаемое Н1епг} как порождающее большую часть ненулевых элементов при заполнении Hsuper.
Мы обсудим, как можно составить программу, объединяющую в себе одномерный алгоритм DMRG и настоящий метод в разделе А.7 В качестве предварительного этапа в данном алгоритме DMRG может использоваться одномерный метод „infinite lattice" для цепочки того же спина, что и решетка. С его помощью строятся „заготовки", которые впоследствии используются для запуска двумерного „finite-lattice". Это не единственный способ инициализации (см., например, [48]), однако, он является одним из наиболее естественных. Отметим, что взаимодействие между системой и окружением включается только в НSUper и не входит в гамильтониан увеличенного системного блока Hsys s\, который строится на этапе ренормализации. Исходя из вышесказанного, схему „finite lattice -варианта данного алгоритма для двумерной решетки произвольной симметрии, имеющей размеры LxW узлов, можно представить себе следующим образом: Подготовительный этап: произвести L х W — 3 итерации одномерного алгоритма „infinite lattice" DMRG для одномерной цепочки того же спина, что и рассматриваемая система и получить „заготовки" для инициализации двумерного алгоритма „finite lattice". Запустить алгоритм „finite lattice" и наращивать системный блок до тех пор, пока он не достигнет длины L х W — 3. Наращивать блок окружения до тех пор, пока длина системного блока не станет равна 1 Повторять „заметания" до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность в вычислении наблюдаемых величин. Заметим, что значения параметра т (размерности DMRG-базиса), выбираемые на подготовительном этапе (т.е. для одномерного DMRG) и на каждом шаге двумерного алгоритма, могут отличаться друг от друга. Более того, авторы данного метода утверждают, что для получения качественной волновой функции в двумерном случае необходимо выбирать значения т большие, чем в одномерном случае.
В заключение еще раз отметим, что проявление двумерности решетки в данном алгоритме состоит лишь в появлении дальних взаимодействий и, как следствие, дополнительных слагаемых в Hsuper. В остальном мы имеем дело с традиционным алгоритмом, описанным в разделе 1.3.1.
Известны также другие варианты двумерного алгоритма DMRG (см., например, [14], [49]). На наш взгляд, особого внимания заслуживает метод, предложенный Фарнеллом [14] (D.J.J Farnell) в 2003 году. Данный алгоритм позволяет составлять двумерную решетку произвольного (но папередзадапного) размера L х W из блоков различной формы, построенных на более ранних итерациях алгоритма. Однако, поскольку в данной работе мы остановились на методе, рассмотренном в подразделе 1.3.2, мы не будем обсуждать его сколько-нибудь подробно.
Как было отмечено ранее, алгоритм DMRG сохраняет некоторые, но не все симметрии и хорошие квантовые числа рассматриваемого гамильтониана. Они могут использоваться для сокращения требований к памяти и времени вычисления путем разбиения полного гильбертова пространства на набор секторов. DMRG хорошо подходит для изучения низколежащих состояний в каждом таких секторов, поэтому увеличение их числа (т.е. учет дополнительных симметрии) автоматически приводит к увеличению количества состояний, доступных методу DMRG. Более того, учет симметрии позволяет пометить сектора гильбертова пространства хорошими квантовыми числами (например: „подпространство нулевой намагниченности"), т.е. построить качественную классификацию состояний. Это, в свою очередь, позволяет лучше понять явления, происходящие в этих системах, сфор мулировать правила отбора и т.п.
Таким образом, использование симметрии при реализации метода DMRG является стандартной практикой. Симметрии, которые могут быть учтены в методе DMRG, распадаются на три больших категории: непрерывные абелевы, непрерывные неабелевы и дискретные группы симметрии.
Гамильтониан окружения
Пользуясь методом проекционного оператора, оператор киральности {[Sa х Sb], [Sc х Sd]) можно выразить через двойные неприводимые тензорные операторы Кц. Их использование позволило бы преобразовать последний матричный элемент в (4.9) по теореме Вигнера-Эккарта. Однако, с учетом того, что данная процедура несколько громоздка, а явный вид матричного элемента {SimiYjjii\ {[Sa х Sb], [Sc х Sd]) ISimiT jfi j) уже получен (см. 4.8), мы не будем рассматривать ее здесь сколько-нибудь подробно. Ограничимся лишь замечанием, что процесс вычисления неприводимых тензорных операторов Кц полностью аналогичен проведенному в разделе 3.2 для оператора V.
Как можно видеть, киральность для состояний, отвечающих одинаковому спину, но различным представлениям группы точечной симметрии также отличается, причем как по абсолютной величине, так и по знаку. Иными словами, киральность состояния определяется группой точечной симметрии. Не исключено, что исходя из подобных соображений удастся связать вихревые спиновые состояния с конкретным представлением группы точечной симметрии, подобно тому, как это было сделано для основного состояния и представления А\. Однако, данный вопрос требует дополнительного исследования.
Результаты, полученные для кластера \/ЇЗ х \/ЇЗ, весьма поучительны. Непосредственный расчет показывает, что основное состояние окружения обладает квантовыми числами Su = 2 и Г„ = А\. Это означает, что ромб, несмотря на то, что он топологически более совершенен, чем квадрат 3x3 (все внутренние узлы имеют по четыре соседа, а граничные - по три), служит плохой моделью бесконечной решетки. Очевидно, добавление четырех новых узлов нарушило условие равенства узлов в подрешетках (бипартитности), что и привело к снижению точности. Результаты, полученные для системы \Ш х \/У7 (глава 5), убедительно показывают, что сохранение бипартитности играет даже более важную роль, чем топологические свойства окружения.
Основное состояние кластера принадлежит сектору гильбертова пространства с Лі и для определения его энергии нам потребуются состояния окружения с квантовыми числами 5Г„ = 2Л\,ЪА\. Приведенные матричные элементы, появляющиеся в уравнении (2.5), образуют матрицы размерностей 41 х 41 и 22 х 22, соответственно. Гамильтониан полного кластера, следовательно, имеет размерность 63x63. Энергия основного состояния равна Ед( А\) = — 5.779 J. Значение энергии на связь, как и следовало ожидать, далеко от истинного єд — —0.30925 J.
Анализ всего спектра энергий связи центрального узла дает еще один интересный результат: минимальное значение для энергии связи равно ет{П — —0.3229J (получено из состояния симметрии Лі, размерность базиса- 79). Похожая ситуация, когда минимальная энергия связи залегает не в основном состоянии кластера, наблюдалась и в расчетах спектра антиферромагнитных цепочек методом DMRG
М Тем не менее, результаты, полученные при диагонализации кластера V13 х уТЗ, подтверждают качественные выводы, сделанные ранее при анализе основного состояния квадрата 3x3: основное состояние и окружения, и полного кластера вновь имеет симметрию А\\ из 63 базисных состояний вклад трех нижних по энергии уровней 2А\ и нижнего уровня симметрии ЪА\ окружения в сумму диагональных элементов матрицы плотности полного кластера составляет 0.993. Отметим, что размерность полного гильбертова пространства, связанного с кластером 213 = 8192, учет 5Т/(2)-симметрии сокращает его до 572, а дополнительный учет точечной симметрии решетки приводит к значению 63. Стандартная техника точной диагонализации с учетом только XY-симметрии дает сокращение до 12!/6! 6! = 924 состояний.
Взаимодействие Universel2 и добавляемой части
Нетрудно видеть, что вектора, составляющие базис окружения, неравноценны. Они разбиваются на т подклассов, отвечающих вполне определенным значениям спина S и неприводимого представления Г для каждой из складываемых частей („троек" и Universel2). Так, базис окружения ОЛі состоит из т = 30, а окружения \А\ -изга = 76 таких подклассов. Каждый подкласс содержит различное количество векторов, число которых, в случае окружения ІЛі, варьируется в пределах от 1 (подпространство 6Ai)fr + 6Ai)ul2) до 6084 (\lE)tr + \1Е)и12). При этом опыт предыдущих вычислений подсказывает, что для корректного представления состояний кластера следует сохранить все качественно различные вектора, хотя бы и в небольшом количестве. Исходя из данной предпосылки, можно сформулировать следующий способ усечения: допустим, мы хотим построить базис размерности не больше, чем Nmax- Тогда из каждого подкласса следует взять максимум f - векторов, отвечающих наименьшей энергии. Если в данном конкретном подклассе насчитывается меньше, чем -р векторов, усечение можно не проводить.
При всей своей простоте, предыдущий метод усечения обладает также одним недостатком - он фактически „уравнивает в правах" различные подклассы, хотя из опыта предыдущих вычислений известно, что не все они дают одинаковый вклад в основное состояние кластера. Более того, усекая каждое подпространство размерности dim по формуле min , dim мы, фактически, „благоволим" подклассам меньшей размерности, которые вообще не усекаются, тогда как они обычно содержат высокоэнергетические состояния, доля которых в основном состоянии кластера ничтожно мала. Естественным обобщением первого способа будет усекать каждое подпространство пропорционально его размерности. Таким образом, если мы собираемся построить базис размерности Nmaxi из каждого подпространства следует взять дг -dim (но не менее 1) векторов, отвечающих наименьшей энергии. Под N total здесь подразумевается полная размерность базиса (26164 для ОЛі и 66870 - для ІЛі), а квадратные скобки [...] обозначают целую часть числа.
Предыдущие способы усечения исходят из предположения, что для корректного представления состояний кластера необходимо сохранить хотя бы одно состояние из каждого подкласса, независимо от того, насколько низко-или высокоэнергетическим он является. Имеет смысл опробовать альтернативный подход, а именно: отобрать из каждого базиса окружения по Nmax собственных векторов, отвечающих наименьшей энергии. Этот способ напоминает стандартный ренорм-групповой подход, предложенный Вильсоном [34], который, как известно, не может дать удовлетворительных результатов для рассматриваемой нами задачи; однако, он отличается от него тем, что отбор производится из состояний, которые в принципе способны дать вклад в целевое состояние кластера, а не всех состояний системы в целом. Наконец, рассмотрим способ, несколько отличающийся от предложенных выше. В предыдущих случаях усечению, фактически, подвергались как исходная (Universel2), так и добавляемая части („тройки"). Можно попробовать поступить „по-старому": усечь базис только одной из этих частей (исходной; напомним, что базис добавляемой части состоит из четырех не взаимодействующих между собой „уголков", так что его усечение может существенно исказить картину), оставив вторую нетронутой. Из-за особенностей реализации (см. раздел А.4), данный способ достаточно сложно алгоритмизировать. В принципе, он сводится к последовательному перебору значений N max для каждого подкласса базиса Universel2 и построении для каждого значения Nmax базиса окружения. Эта процедура повторяется до тех пор, пока не будет получен базис необходимой размерности.
Следует отметить, что только один (третий) из рассмотренных выше способов позволяет построить базис заданной наперед размерности. Остальные схемы используют значение Nmax в качестве „направляющего", но за редким исключением, размерность построенного базиса отличается от Nmax в меньшую сторону. Поэтому процедуру построения усеченного базиса также приходится повторять несколько раз, до тех пор, пока не будет получен базис необходимой размерности.
Эффективность первичного усечения можно проконтролировать, сравнивая полученное значение для энергии основного состояния окружения с „точным" значением, полученным, например, методом Ланцоша[27]. Как было отмечено выше, с использованием современной вычислительной техники, гамильтонианы окружений OAi и іАі, в принципе, могут быть диагонализованы полностью. Однако, столь мощные компьютеры могут быть недоступны конкретному исследователю. Между тем, для расчета основного состояния окружения по методу Ланцоша подходит даже персональный компьютеры уровня „чуть выше среднего" (основные требования предъявляются к оперативной памяти - ее должно быть не меньше ГБ). Следует, однако, иметь в виду, что матрицы гамильтонианов окружений являются достаточно плотными, поэтому их диагонализация, даже с учетом сравнительно небольших размерностей - достаточно ресурсоемкая задача. Таким образом, для энергии основного состояния окружения OAi при максимуме нормы невязки Ю-4 было получено значение EQ = —13.712 или в среднем —0.3809 на связь. Как можно видеть из таблицы 6.2, для усечений 2 и 3 это число воспроизводится с относительной погрешностью погрешностью около Ю-3. Для окружения \А\ в виду большого числа ненулевых элементов в гамильтониане таких вычислений произвести не удается, однако, поскольку усечение обоих окружений производится единообразно, можно ожидать, что основное состояние также воспроизводится очень точно.
В столбце А 2 (размерность вторично усеченного базиса) в большинстве строк таблицы 6.2 содержится одно и то же число - 800, иными словами, из базисов окружений ОЛі и \А\ отбирается по 400 собственных функций, отвечающих наименьшим значениям энергии. Увеличение N2 до 2000 и 4000 влияет лишь на четвертый знак е, что лишний раз доказывает эффективность схемы „полный набор состояний добавляемой части плюс усеченный базис остова окружения", выбранной для вторичного усечения.
Основные результаты, полученные методом DMRG
В настоящей диссертационной работе предлагается полуаналитический двух-проходный метод точной диагонализации с учетом спиновой 577(2) и точечной групп симметрии, предназначенный для изучения свойств низкоразмерных спиновых систем. По результатам выполнения работы можно сформулировать следующие результаты:
Показана эффективность предлагаемого метода, путем сравнения полученных с его помощью результатов с результатами метода QMC для хорошо исследованной системы - гайзенберговского антиферромагнетика спина s = \ на квадратной решетке (в приближении ближайших соседей). Были вычислены энергия основного состояния (в том числе, в расчете на одну связь), намагниченность, спин-спиновые корреляционные функции и векторная ки-ралыюсть для кластеров размеров 3x3, у/ТЗ х у/ЇЗ, y/Vf х y/Tf и 5 х 5. Путем прямого расчета было показано, что основное состояние соответствует тождественному неприводимому представлению точечной группы симметрии решетки.
Предложен способ итеративного увеличения системы до необходимых размеров - с максимальным сохранением симметрии и числа соседей, такого же как в бесконечной решетке (т.е. по координационным сферам). Изучено влияние бипартитности окружения на точность вычисления наблюдаемых и сделан вывод о ее решающем влиянии на эти величины, по сравнению с числом узлов и геометрической конфигурацией кластера.
Разработана процедура усечения базиса, позволяющая избежать экспоненциального роста размерности гильбертова пространства при рассмотрении больших систем. Было опробовано несколько различных схем усечения базиса и сформулированы условия, которым должен удовлетворять эффективный способ усечения: необходимо усекать только базис „остова" окружения, а добавляемую часть учитывать точно; кроме того, добавляемая часть должна иметь как можно меньше состояний (т.е., в идеальном случае, состоять из единственного узла).
Исследована сходимость наблюдаемых по мере увеличения размерности усеченного базиса и сделан вывод о том, что достаточно надежные результаты могут быть получены на базисах вполне приемлемых размерностей, доступных современной вычислительной технике. 4. Разработан способ вычисления наблюдаемых, позволяющий аппроксимировать результаты в термодинамическом пределе вычислениями на конечном кластере, не используя скейлинг-анализ. 5. Предложенный метод точной диагонализации был применен к изучению свойств гексагональной спиновой системы S = 1 в приближении пп и nnn. С его помощью была получена информация о существовании в пп-прибли-жении точки перехода от преимущественно одномерного упорядочения к двумерному, определяемой соотношением J1/J2 0.333, где J\ - интеграл внутрицепочечного, a Jo - интеграл межцепочечного взаимодействия. Для системы в nnn-приближении доказано отсутствие скалярного кирального упорядочения и прямым расчетом показано, что коллинеарность спинового упорядочения между цепочками с учетом фрустрации не сохраняется. 6. Сформулирован и реализован двумерный алгоритм DMRG для гексагональной решетки спина S = 1. С его помощью были получены результаты для энергии основного состояния, а также вычислены димер-димерные корреляционные функции, проясняющие картину „локальной структуры" основного состояния. Диссертационная работа представляет собой завершенное и целостное исследование, однако, можно отметить следующие приоритетные направления для дальнейших изысканий: Предложенные алгоритм принадлежит к классу „cluster-solver", т.е. имеет дело с уединенным кластером. Таким образом, для исследования с его помощью динамических свойств, необходимо ввести в рассмотрение учет трансляционной симметрии решетки. Как предложенный метод, так и DMRG позволяют описать большую систему на базисе существенно меньшего размера. При этом алгоритмы построения такого базиса существенно отличаются. В связи с этим возникает вопрос о взаимосвязи между базисом DMRG, и базисом функций полного спина, отвечающим неприводимым представлениям точечной группы симметрии решетки, используемом в данном методе. Основные результаты опубликованы в ведущих рецензируемых научных журналах.
Похожие диссертации на Метод точной диагонализации с учетом SU(2) и точечной симметрий для двумерной изотропной модели Гейзенберга
