Содержание к диссертации
Введение
1 Метод производящего функционала для обычных ферми-систем 11
1.1 Производящий функционал. Уравнение движения для од-ночастичной функции Грина; 11
1.2 Итерационное решение уравнения движения 14
1.3 Бозонные функции Грина и восприимчивости 16
1.4 Производящий функционал и теория возмущений вблизи атомного предела 20
2 Модель Гейзенберга 24
2.1 Производящий функционал 24
2.2 Уравнение движения для поперечной функции Грина . 26
2.3 Самосогласованная теория возмущений 28
2.4 Динамика флуктуации продольных компонент спина . 31
3 Модель Хаббарда 41
3.1 Гамильтониан модели в терминах операторов Хаббарда. Производящий функционал и электронная ФГ в пределе
3.2 Итерационные решения уравнений для электронной ФГ в пределе U —> со 45
3.3 Производящий функционал модели для конечных значений U 50
3.4 Уравнение- движения для матричной электронной функции Грина 53
3.5 Итерационные решения для концевой и собственно-энергетической частей 58
3.6 Приближение среднего поля 60
3.7 Бозонные функции Грина 69
4 J-модель 75
4.1 Уравнение движения для электронной функции Грина . 75
4.2 Магнонная функция Грина и поперечные спиновые колебания 80
5 sd-модель 84
5.1 Производящий функционал. Определение электронной и магнонной функций Грина 84
5.2 Уравнение движения для электронной функции Грина . 86
5.3 Магнонная функция Грина 89
5.4 Полная магнитная восприимчивость 95
5.5 Модель двойного обмена 97
5.5.1 Эффективный гамильтониан модели 97
5.5.2 Электронная функция Грина коррелированного электрона 98
5.5.3 Магнонная функция Грина 100
Заключение 103
Приложение 110
Литература
- Бозонные функции Грина и восприимчивости
- Самосогласованная теория возмущений
- Производящий функционал модели для конечных значений U
- Уравнение движения для электронной функции Грина
Введение к работе
В настоящее время теория конденсированного состояния вещества развивается по двум основным направлениям. Первое связано с численным расчётом структуры изучаемых веществ, исходя из первых принципов. Современные мощные вычислительные системы и математические методы позволяют получать достаточно точное количественное описание физических систем с учётом особенностей их кристаллической структуры и электронных состояний. Второе основано на аналитическом исследовании моделей, представляющих эти вещества. В модельном подходе, то есть при аналитическом расчёте на основе моделей, выявляются общие закономерности их квантово-статистического поведения в зависимости от внешних и внутренних параметров, конкретным свойствам вещества, при этом, уделяется меньше внимания.
Настоящая работа посвящена исследованию магнитных и электрических свойств некоторых фундаментальных электронных, спиновых и смешанных моделей. Во-первых, это модель Хаббарда вместе с её предельными версиями бесконечного кулоновского взаимодействия и t.J- моделью. Во-вторых, модель Гейзенберга и, наконец, sd-модель и её предельный сильно коррелированный случай - модель двойного обмена. Перечисленные модели вместе с моделью Андерсона, которая не исследуется в диссертации, являются основными в теории твёрдого тела благодаря их глубокому физическому содержанию и сравнительной простоте. По существу, в рамках этих моделей могут быть аналитически исследованы в том или ином приближении все важнейшие физические свойства твёрдых тел, как магнитные, так и электрические.
Модель Хаббарда является одной из основных моделей электронных систем и в режиме слабой связи, и в режиме сильных корреляций. За сорок лет своего существования были предложены многочисленные подходы к исследованию её возможных состояний, спектра квазичастиц, коллективных мод, транспортных свойств, различных типов упорядоченных состояний и фазовых переходов между ними. Столь значительный период развития, на первый взгляд, простой модели с двумя параметрами -затравочной шириной зоны IV и кулоновским отталкиванием U на одном
узле - обусловлен тем, что наиболее интересное физическое содержание представляет случай U > W, то есть сильно коррелированный режим. Но как раз в этой области обычная хорошо разработанная теория возмущений по параметру U не применима.
Уже первые исследователи пытались отойти от методов, связанных с теорией возмущений, использовали другие подходы. Начиная с пионерских работ Хаббарда [1, 2], успешно применялся метод расцепления двухвременных функций Грина (ФГ). В его простейшем варианте, получившем в литературе название "приближение Хаббард-I", было показано, что электронная зона расщепляется на две подзоны, разделённые щелью порядка U. Недостатки этого приближения хорошо известны (см., например, обзор [3]), в частности, это расщепление на подзоны остаётся конечным при любом сколь угодно малом кулоновском отталкивании U. Таким образом, приближение Хаббард-I не описывает фазового перехода металл - диэлектрик. Позднее Рот [4, 5] усовершенствовала процедуру расцепления уравнений движения, включив корреляционные эффекты ближнего порядка. В работе [б] было показано, что квазичастичный спектр, полученный в работе [5], удовлетворяет точным соотношениям для первых четырех моментов и является наилучшим приближением для спектра с двумя зонами незатухающих квазичастиц. Очевидно, что теория основанная на расцеплении Рот, имеет статус приближения среднего поля. Наиболее продуктивное применение этого подхода было осуществлено для композитных операторов [Т]—[11] не только в модели Хаббарда, но и в других моделях сильно коррелированых систем. Вариационный метод Гутцвиллера [12], позволивший на качественном уровне исследовать широкий класс сильно коррелированных систем, также принадлежит к подходам, не использующим теорию возмущений. Другим важным направлением исследований в режиме сильных корреляций является метод вспомогательных частиц (слэйв-бозонов) [13]—[19], в котором основные операторы модели представляются через обычные фермиевские и бозевские операторы рождения и уничтожения с последующим исключением нефизических состояний. Подходящий выбор вспомогательных частиц позволяет правильно отразить физику низко энергетических состояний уже в рамках приближения среднего поля. К сожалению, здесь нет стандартного рецепта конструирования таких представлений и не всегда ясно какие из них адекватны рассматриеваемой задаче.
За последнее десятилетие метод динамического среднего поля (DMFT) стал весьма популярным [20, 21]. С его помощью оказалось возможным исследовать поведение почти всех моделей теории коррелированных систем в режиме сильного и промежуточного взаимодействий. Метод DMFT является эффективным методом исследования таких систем, хотя и не без некоторых недостатков, так как требует большого
количества численных расчётов и имеет проблемы с описанием коллективных мод (см. обзор [21]). Здесь мы не останавливаемся на численных методах, таких как квантовый метод Монте - Карло и диагонализация малых кластеров, так как концентрируем наши усилия только на аналитических методах.
Мы хотим обратить внимание на один из таких аналитических подходов, в рамках которого возможно построить последовательную теорию
W возмущений по параметру — и данный подход, очевидно, соответствует
теории возмущений вблизи атомного предела W = 0. Суть этого метода заключается в том, что уравнения движения для ФГ записываются в присутствии флуктуирующих в пространстве и времени вспомогательных полей. Это позволяет вместо бесконечной цепочки зацепляющихся уравнений записать одно замкнутое уравнение в вариационных производных по этим полям для так называемого производящего функционала Z[V). Функционал флуктуирующих полей Z[V] является-обобщением статистической суммы модельной системы в присутствии внешних полей. В этом случае при подходящем выборе оператора V, включающем в себя вспомогательные поля, различные ФГ определяются вариационными производными от Z[V] по этим полям. В конце всех вычислений для получения физического результата поля необходимо положить равными нулю, и функционал Z[V] в этом случае превращается в статистическую сумму модели.
Вначале такой подход - с помощью производящего функционала (GFA) - был разработан для случая слабого взаимодействия Кадановым и Беймом [22, 23] сорок лет назад. Он может быть обобщён на сильно коррелированные системы, если вместо исходных фермиевских операторов рождения и уничтожения гамильтониан выразить через операторы, уже учитывающие корреляции (например, Х-операторы Хаббарда) [2]. Такое обобщение не является тривиальным, так как перестановочные соотношения для Х-операторов не определяются с-числами. Каждый коммутатор или антикоммутатор соответствующих Х-операторов сам является Х-оператором, как это имеет место для S-операторов спинов. Общее число спиновых операторов (S+,S~,SZ) значительно меньше числа различных ЛГ-операторов модели Хаббарда (даже для случая её двух сильно коррелированных предельных форм U —> со и tJ-модели), поэтому разработка подхода GFA для модели Гейзенберга кроме самостоятельного значения может, в определённом смысле, служить и ориентиром для модели Хаббарда.
Конечно, точно вычислить производящий функционал и функцию Грина в общем случае невозможно, но уравнения, которым они подчиняются, можно решать приближённо. Один из самых простых методов
решения этих уравнений - итерации, в результате чего получаются ряды, эквивалентные рядам диаграммной техники, построенным на основе теоремы Вика. Например, для модели Гейзенберга будет показано, что итерация уравнений для Z[V] приводит к диаграммной технике, ранее построенной традиционным способом [24]. Для модели Хаббарда, хотя и значительно сложнее, итерации также приводят к рядам, которые можно интерпретировать как ряды диграммной техники, но при этом надо иметь в виду, что в силу значительно большего числа А'-операторов, само построение диаграммной техники с помощью теоремы Вика в модели Хаббарда неоднозначно [26]- [28]. Одно из преимуществ разрабатываемого метода - регулярный, достаточно автоматизированный способ нахождения различных ФГ.
Целью представляемой диссертации является исследование ряда электронных, спиновых и смешанных моделей теории твёрдого тела методом GFA, обобщаемом на случай операторов, не коммутирующих на с-число: хаббардовские АГ-операторы и операторы спина S. Отметим, что такие попытки уже были предприняты в работе [29].
В первой главе излагаются основы подхода GFA на примере электронной s-зонной модели со слабым кулоновским взаимодействием (в соответствии с [22],[23]). Здесь представлены все основные этапы нахождения решения в рамках этого метода: выбор вспомогательного оператора V и, определяемого им, производящего функционала Z[V]\ получение уравнения движения в вариационных производных первого порядка для одночастичной электронной ФГ. Составленное уравнение допускает решение в виде итерационного ряда, который в точности соответствует ряду стандартной диаграммной техники для слабого кулоновского взаимодействия. Онако, на практике оказывается гораздо удобнее находить итерационное разложение не для самой ФГ, а для её обратной величины, то есть для собственно-энергетической части, при этом важным является то, что это разложение производится с точными ("одетыми") ФГ. Кроме того, в этой главе на примере вычисления бозонных - магнонной и плаз-монной ФГ - показана определяющая роль одночастичной электронной ФГ: собственно-энергетическая часть в хартри-фоковском приближении, соответствующем первой итерации, позволяет получить для бозонных ФГ решение в приближении хаотических фаз (RPA).
Вторая глава посвящена модели Гейзенберга. Спиновые операторы S+,S~,SZ не коммутируют на с-число, и это усложняет задачу, однако, основные этапы построения теории GFA остаются такими же, что и для модели со слабым кулоновским взаимодействием. Роль одночастичной электронной ФГ играет здесь магнонная ФГ, а роль бозонных ФГ (магнонной и плазмонной) выполняет ФГ продольных компонент спина. В этом смысле поперечная магнонная ФГ является определяющей - базо-
вой - для модели Гейзенберга. Выбором оператора V в систему вводятся вспомогательные флуктуирующие поля и затем записывается уравнение в вариационных производных первого порядка по этим полям, которое одновременно можно рассматривать и как уравнение для производящего функционала Z[V]. Итерационное разложение полученного уравнения точно воспроизводит ряд диаграммной техники, построенной на основе теоремы Вика [24]. Структура членов этого ряда позволяет представить точное решение для магнонной ФГ в виде произведения пропагаторной части, подчиняющейся уравнению Дайсона, и концевой части. Выбранная мультипликативная форма решения даёт возможность расщепить исходное уравнение для магнонной ФГ на два связанных уравнения для собственной энергии (массовый оператор) и концевой части. Из этих уравнений следует, что массовый оператор представим в виде суммы двух слагаемых, один из которых пропорционален обменному взаимодействию Jij. Очевидно, что при итерациях он будет порождать члены, которые в диаграммной технике называются разрезаемыми по одной линии взаимодействия. Второе слагаемое массового оператора воспроизводит члены, не разрезаемые по одной линии. Такое разбиение автоматически приводит к представлению решения для магноной ФГ в виде уравнения Ларкина (см. [30j-[32]).
В последнем разделе главы исследуется динамика продольных спиновых компонент, теоретическое и экспериментальное изучение которых в ферромагнетике ведётся уже более тридцати лет (см., например, фундаментальную работу Вакса, Ларкина, Пикина (ВЛП) [30]), однако, до сих пор нет ясности даже в главном вопросе - какова природа этой динамики. Подход GFA позволяет выйти за пределы приближений, использованных ВЛП при вычислении динамического структурного фактора продольных флуктуации в изотропном гейзенберговском ферромагнетике.
В третьей главе рассматривается модель Хаббарда. Шестнадцать различных Х-операторов по сравнению с тремя операторами спина в модели Гейзенберга делают физическое содержание модели Хаббарда значительно разнообразнее, а задачу построения теории GFA много сложнее. Оказалось целесообразным разработать этот подход сначала для более простого (девять операторов) предельного случая U —» со. Базовой ФГ, для которой составляется уравнение в вариационных производных, является электронная одночастичная ФГ. Представление решения этой ФГ в мультипликативной форме снова приводит к системе двух связанных уравнений: для собственно-энергетическая части, не разрезаемой по одной линии взаимодействия (матричный элемент перескока электрона с узла на узел) и концевой части.
Гамильтониан модели Хаббарда с конечным значением U, записанный в терминах двухкомпонентных спиноров, составленных из фермипо-
добных Х-операторов, по своей структуре и форме совпадает с гамильтонианом модели U —> оо, но с двухрядными матрицами в качестве энергетических параметров, определяющих движение электрона. Таким образом, матричность величин, формально, составляет единственное отличие уравнений для модели с конечными U от соответствующих уравнений при U —> со. Если в качестве базовой рассматривать матричную электронную ФГ размерности 4 х 4, в состав элементов которой дополнительно входят и аномальные ФГ, то получающиеся при этом матричные уравнения для собственно- энергетической и концевой частей по форме полностью идентичны скалярным уравнениям предела U -* оо (см. также работу [42]). Последовательная итерация этих уравнений порождает ряд
W теории возмущений по параметру —, то есть вблизи атомного предела.
Мы ограничились рассмотрением поправок первого и второго порядка и извлекли из них часть, типичную для приближения среднего поля, которая включает в себя вклады, зависящие только от волнового вектора к, но не от частоты. В этом приближении собственно-энергетическая часть состоит из двух членов, определяющих сдвиг хаббардовских подзон и перенормирование их ширины. Процедура выделения статической части близка той, которая применялась в работах [7]-[11], где исследование проводилось методом расцепления уравнений движения для двухвременных ФГ, составленных для композитных операторов (СОМ). Основная идея этого подхода состоит в том, что бозонные корреляторы, описывающие статические флуктуации заряда, спина и "двоек", не рассчитываются с помощью какого-либо неконтроллируемого приближения (например, расцепления и решения уравнений движения), а определяются из общих свойств электронной ФГ [11].
Подходы GFA в рамках приближения среднего поля и СОМ в двухполюсном приближении имеют разные структуры для электронной ФГ, но, несмотря на это, результаты, полученные этими методами для различных свойств модели Хаббарда, оказались в очень хорошем согласии. В частности, ФГ в приближении среднего поля описывает две квазичастичные подзоны со щелью между ними, которая для половинного заполнении исчезает при некотором критическом значении U = Uc, то есть, появляется фазовый переход металл - диэлектрик.
С помощью найденных электронных ФГ мы можем рассчитать бозо-подобные ФГ для плазмонов, магнонов и дублонов. Здесь мы изучаем только дублоны - коллективные моды, описывающих коррелированное движение по узлам решётки пустых и дважды занятых электронных состояний. Получено точное уравнение в вариационных производных для ФГ, отвечающей за такое движение - дублонной ФГ. В парамагнитном состоянии при половинном заполнении (п = 1) дублонная мода стано-
вится мягкой для волнового вектора Q = (7г, 7Г, 7г), что указывает на возможную нестабильность однородного состояния по отношению к образованию волны зарядовой плотности. Когда заполнение отклоняется от единицы (п < 1), полюс дублонной ФГ имеет щель U — 1\х (ц - химический потенциал), что демонстрирует активационый характер этого возбуждения.
В четвёртой главе подход GFA применяется к fJ-модели, описывающей коррелированное движение электронов по решётке с эффективным обменным взаимодействием J на разных узлах. ^./-модель генетически связана с моделью Хаббарда, и впервые гамильтониан получен каноническим преобразованием гамильтониана Хаббарда в пределе боль-
ших U {J =—) (см.[33|). С другой стороны, чрезвычайно широкий класс задач, которые исследуются в рамках данной модели, делают её самостоятельной фундаментальной моделью квантовой теории твёрдого тела. Как и ранее, получены уравнения в вариационных производных для собственно-энергетической и концевой частей электронной ФГ, итерация
которых порождает ряды теории возмущений по параметру —, что соответствует диаграммной технике, детально разработанной в книге [28]. Кроме того, здесь получено выражение для магнонной ФГ, обобщающее на случай больших U магнонную ФГ, взятую в пределе U —> оо.
Последняя пятая глава посвящена sd-модели, в которой фермион-ный газ s-электронов связан контактным обменным взаимодействием (Jsd) с локализованными в узлах решётки спинами S, образованными d-электронами. Локализованные спины описываются в рамках модели Гейзенберга, а s-электроны - зонной модели. Две разные системы частиц - спины и электроны - требуют двух связанных уравнений в вариационных производных: уравнения для электронной ФГ и уравнения для ФГ поперечных компонент локализованного спина. Электронная ФГ определяется только собственно-энергетической частью (можно сказать, что в этом случае концевая часть тождественно равна единице), а ФГ локализованных спиновых поперечных компонент представляется в стандартной мультипликативной форме. Таким образом, три уравнения в вариационных производных: для электронной собственно-энергетической части , спиновых массового оператора и концевой части образуют систему связанных уравнений, позволяющих получить решения для srf-модели в любом порядке по параметру обменного взаимодействия Jsd.
В последнем разделе данной главы методом GFA исследуется модель двойного обмена (ОЕ-моррпъ) , которая является предельным случаем sd-модели при условии Jsd S> W. В этом пределе целесообразно работать с эффективным гамильтонианом, получающимся после проектирования
гамильтониана .sd-модели на пространство состояний, в котором электронный спин параллелен или антипараллелен локализованному спину, в зависимости от знака параметра JSd. Этот гамильтониан впервые вывели Кубо и Охата [34]. Получено уравнение в вариационных производных для собственно-энергетической части электронной ФГ , из которого в приближении среднего поля получено выражение для энергии квазичастицы. Кроме этого, получено выражение для магнонной ФГ локализованных спинов, массовый оператор которой вычислен во втором порядке
W по параметру —.
Бозонные функции Грина и восприимчивости
В настоящее время теория конденсированного состояния вещества развивается по двум основным направлениям. Первое связано с численным расчётом структуры изучаемых веществ, исходя из первых принципов. Современные мощные вычислительные системы и математические методы позволяют получать достаточно точное количественное описание физических систем с учётом особенностей их кристаллической структуры и электронных состояний. Второе основано на аналитическом исследовании моделей, представляющих эти вещества. В модельном подходе, то есть при аналитическом расчёте на основе моделей, выявляются общие закономерности их квантово-статистического поведения в зависимости от внешних и внутренних параметров, конкретным свойствам вещества, при этом, уделяется меньше внимания.
Настоящая работа посвящена исследованию магнитных и электрических свойств некоторых фундаментальных электронных, спиновых и смешанных моделей. Во-первых, это модель Хаббарда вместе с её предельными версиями бесконечного кулоновского взаимодействия и t.J- моделью. Во-вторых, модель Гейзенберга и, наконец, sd-модель и её предельный сильно коррелированный случай - модель двойного обмена. Перечисленные модели вместе с моделью Андерсона, которая не исследуется в диссертации, являются основными в теории твёрдого тела благодаря их глубокому физическому содержанию и сравнительной простоте. По существу, в рамках этих моделей могут быть аналитически исследованы в том или ином приближении все важнейшие физические свойства твёрдых тел, как магнитные, так и электрические.
Модель Хаббарда является одной из основных моделей электронных систем и в режиме слабой связи, и в режиме сильных корреляций. За сорок лет своего существования были предложены многочисленные подходы к исследованию её возможных состояний, спектра квазичастиц, коллективных мод, транспортных свойств, различных типов упорядоченных состояний и фазовых переходов между ними. Столь значительный период развития, на первый взгляд, простой модели с двумя параметрами -затравочной шириной зоны IV и кулоновским отталкиванием U на одном узле - обусловлен тем, что наиболее интересное физическое содержание представляет случай U W, то есть сильно коррелированный режим. Но как раз в этой области обычная хорошо разработанная теория возмущений по параметру U не применима.
Уже первые исследователи пытались отойти от методов, связанных с теорией возмущений, использовали другие подходы. Начиная с пионерских работ Хаббарда [1, 2], успешно применялся метод расцепления двухвременных функций Грина (ФГ). В его простейшем варианте, получившем в литературе название "приближение Хаббард-I", было показано, что электронная зона расщепляется на две подзоны, разделённые щелью порядка U. Недостатки этого приближения хорошо известны (см., например, обзор [3]), в частности, это расщепление на подзоны остаётся конечным при любом сколь угодно малом кулоновском отталкивании U. Таким образом, приближение Хаббард-I не описывает фазового перехода металл - диэлектрик. Позднее Рот [4, 5] усовершенствовала процедуру расцепления уравнений движения, включив корреляционные эффекты ближнего порядка. В работе [б] было показано, что квазичастичный спектр, полученный в работе [5], удовлетворяет точным соотношениям для первых четырех моментов и является наилучшим приближением для спектра с двумя зонами незатухающих квазичастиц. Очевидно, что теория основанная на расцеплении Рот, имеет статус приближения среднего поля. Наиболее продуктивное применение этого подхода было осуществлено для композитных операторов [Т]—[11] не только в модели Хаббарда, но и в других моделях сильно коррелированых систем. Вариационный метод Гутцвиллера [12], позволивший на качественном уровне исследовать широкий класс сильно коррелированных систем, также принадлежит к подходам, не использующим теорию возмущений. Другим важным направлением исследований в режиме сильных корреляций является метод вспомогательных частиц (слэйв-бозонов) [13]—[19], в котором основные операторы модели представляются через обычные фермиевские и бозевские операторы рождения и уничтожения с последующим исключением нефизических состояний. Подходящий выбор вспомогательных частиц позволяет правильно отразить физику низко энергетических состояний уже в рамках приближения среднего поля. К сожалению, здесь нет стандартного рецепта конструирования таких представлений и не всегда ясно какие из них адекватны рассматриеваемой задаче.
За последнее десятилетие метод динамического среднего поля (DMFT) стал весьма популярным [20, 21]. С его помощью оказалось возможным исследовать поведение почти всех моделей теории коррелированных систем в режиме сильного и промежуточного взаимодействий. Метод DMFT является эффективным методом исследования таких систем, хотя и не без некоторых недостатков, так как требует большого количества численных расчётов и имеет проблемы с описанием коллективных мод (см. обзор [21]). Здесь мы не останавливаемся на численных методах, таких как квантовый метод Монте - Карло и диагонализация малых кластеров, так как концентрируем наши усилия только на аналитических методах.
Самосогласованная теория возмущений
Мы хотим обратить внимание на один из таких аналитических подходов, в рамках которого возможно построить последовательную теорию
W возмущений по параметру — и данный подход, очевидно, соответствует
теории возмущений вблизи атомного предела W = 0. Суть этого метода заключается в том, что уравнения движения для ФГ записываются в присутствии флуктуирующих в пространстве и времени вспомогательных полей. Это позволяет вместо бесконечной цепочки зацепляющихся уравнений записать одно замкнутое уравнение в вариационных производных по этим полям для так называемого производящего функционала Z[V). Функционал флуктуирующих полей Z[V] является-обобщением статистической суммы модельной системы в присутствии внешних полей. В этом случае при подходящем выборе оператора V, включающем в себя вспомогательные поля, различные ФГ определяются вариационными производными от Z[V] по этим полям. В конце всех вычислений для получения физического результата поля необходимо положить равными нулю, и функционал Z[V] в этом случае превращается в статистическую сумму модели.
Вначале такой подход - с помощью производящего функционала (GFA) - был разработан для случая слабого взаимодействия Кадановым и Беймом [22, 23] сорок лет назад. Он может быть обобщён на сильно коррелированные системы, если вместо исходных фермиевских операторов рождения и уничтожения гамильтониан выразить через операторы, уже учитывающие корреляции (например, Х-операторы Хаббарда) [2]. Такое обобщение не является тривиальным, так как перестановочные соотношения для Х-операторов не определяются с-числами. Каждый коммутатор или антикоммутатор соответствующих Х-операторов сам является Х-оператором, как это имеет место для S-операторов спинов. Общее число спиновых операторов (S+,S ,SZ) значительно меньше числа различных ЛГ-операторов модели Хаббарда (даже для случая её двух сильно коррелированных предельных форм U — со и tJ-модели), поэтому разработка подхода GFA для модели Гейзенберга кроме самостоятельного значения может, в определённом смысле, служить и ориентиром для модели Хаббарда.
Конечно, точно вычислить производящий функционал и функцию Грина в общем случае невозможно, но уравнения, которым они подчиняются, можно решать приближённо. Один из самых простых методов решения этих уравнений - итерации, в результате чего получаются ряды, эквивалентные рядам диаграммной техники, построенным на основе теоремы Вика. Например, для модели Гейзенберга будет показано, что итерация уравнений для Z[V] приводит к диаграммной технике, ранее построенной традиционным способом [24]. Для модели Хаббарда, хотя и значительно сложнее, итерации также приводят к рядам, которые можно интерпретировать как ряды диграммной техники, но при этом надо иметь в виду, что в силу значительно большего числа А -операторов, само построение диаграммной техники с помощью теоремы Вика в модели Хаббарда неоднозначно [26]- [28]. Одно из преимуществ разрабатываемого метода - регулярный, достаточно автоматизированный способ нахождения различных ФГ.
Целью представляемой диссертации является исследование ряда электронных, спиновых и смешанных моделей теории твёрдого тела методом GFA, обобщаемом на случай операторов, не коммутирующих на с-число: хаббардовские АГ-операторы и операторы спина S. Отметим, что такие попытки уже были предприняты в работе [29].
В первой главе излагаются основы подхода GFA на примере электронной s-зонной модели со слабым кулоновским взаимодействием (в соответствии с [22],[23]). Здесь представлены все основные этапы нахождения решения в рамках этого метода: выбор вспомогательного оператора V и, определяемого им, производящего функционала Z[V]\ получение уравнения движения в вариационных производных первого порядка для одночастичной электронной ФГ. Составленное уравнение допускает решение в виде итерационного ряда, который в точности соответствует ряду стандартной диаграммной техники для слабого кулоновского взаимодействия. Онако, на практике оказывается гораздо удобнее находить итерационное разложение не для самой ФГ, а для её обратной величины, то есть для собственно-энергетической части, при этом важным является то, что это разложение производится с точными ("одетыми") ФГ. Кроме того, в этой главе на примере вычисления бозонных - магнонной и плаз-монной ФГ - показана определяющая роль одночастичной электронной ФГ: собственно-энергетическая часть в хартри-фоковском приближении, соответствующем первой итерации, позволяет получить для бозонных ФГ решение в приближении хаотических фаз (RPA).
Вторая глава посвящена модели Гейзенберга. Спиновые операторы S+,S ,SZ не коммутируют на с-число, и это усложняет задачу, однако, основные этапы построения теории GFA остаются такими же, что и для модели со слабым кулоновским взаимодействием. Роль одночастичной электронной ФГ играет здесь магнонная ФГ, а роль бозонных ФГ (магнонной и плазмонной) выполняет ФГ продольных компонент спина. В этом смысле поперечная магнонная ФГ является определяющей - базо вой - для модели Гейзенберга. Выбором оператора V в систему вводятся вспомогательные флуктуирующие поля и затем записывается уравнение в вариационных производных первого порядка по этим полям, которое одновременно можно рассматривать и как уравнение для производящего функционала Z[V]. Итерационное разложение полученного уравнения точно воспроизводит ряд диаграммной техники, построенной на основе теоремы Вика [24]. Структура членов этого ряда позволяет представить точное решение для магнонной ФГ в виде произведения пропагаторной части, подчиняющейся уравнению Дайсона, и концевой части. Выбранная мультипликативная форма решения даёт возможность расщепить исходное уравнение для магнонной ФГ на два связанных уравнения для собственной энергии (массовый оператор) и концевой части. Из этих уравнений следует, что массовый оператор представим в виде суммы двух слагаемых, один из которых пропорционален обменному взаимодействию Jij. Очевидно, что при итерациях он будет порождать члены, которые в диаграммной технике называются разрезаемыми по одной линии взаимодействия. Второе слагаемое массового оператора воспроизводит члены, не разрезаемые по одной линии. Такое разбиение автоматически приводит к представлению решения для магноной ФГ в виде уравнения Ларкина (см. [30j-[32]).
Производящий функционал модели для конечных значений U
В последнем разделе главы исследуется динамика продольных спиновых компонент, теоретическое и экспериментальное изучение которых в ферромагнетике ведётся уже более тридцати лет (см., например, фундаментальную работу Вакса, Ларкина, Пикина (ВЛП) [30]), однако, до сих пор нет ясности даже в главном вопросе - какова природа этой динамики. Подход GFA позволяет выйти за пределы приближений, использованных ВЛП при вычислении динамического структурного фактора продольных флуктуации в изотропном гейзенберговском ферромагнетике.
В третьей главе рассматривается модель Хаббарда. Шестнадцать различных Х-операторов по сравнению с тремя операторами спина в модели Гейзенберга делают физическое содержание модели Хаббарда значительно разнообразнее, а задачу построения теории GFA много сложнее. Оказалось целесообразным разработать этот подход сначала для более простого (девять операторов) предельного случая U —» со. Базовой ФГ, для которой составляется уравнение в вариационных производных, является электронная одночастичная ФГ. Представление решения этой ФГ в мультипликативной форме снова приводит к системе двух связанных уравнений: для собственно-энергетическая части, не разрезаемой по одной линии взаимодействия (матричный элемент перескока электрона с узла на узел) и концевой части.
Гамильтониан модели Хаббарда с конечным значением U, записанный в терминах двухкомпонентных спиноров, составленных из фермипо добных Х-операторов, по своей структуре и форме совпадает с гамильтонианом модели U — оо, но с двухрядными матрицами в качестве энергетических параметров, определяющих движение электрона. Таким образом, матричность величин, формально, составляет единственное отличие уравнений для модели с конечными U от соответствующих уравнений при U — со. Если в качестве базовой рассматривать матричную электронную ФГ размерности 4 х 4, в состав элементов которой дополнительно входят и аномальные ФГ, то получающиеся при этом матричные уравнения для собственно- энергетической и концевой частей по форме полностью идентичны скалярным уравнениям предела U - оо (см. также работу [42]). Последовательная итерация этих уравнений порождает ряд W теории возмущений по параметру —, то есть вблизи атомного предела.
Мы ограничились рассмотрением поправок первого и второго порядка и извлекли из них часть, типичную для приближения среднего поля, которая включает в себя вклады, зависящие только от волнового вектора к, но не от частоты. В этом приближении собственно-энергетическая часть состоит из двух членов, определяющих сдвиг хаббардовских подзон и перенормирование их ширины. Процедура выделения статической части близка той, которая применялась в работах [7]-[11], где исследование проводилось методом расцепления уравнений движения для двухвременных ФГ, составленных для композитных операторов (СОМ). Основная идея этого подхода состоит в том, что бозонные корреляторы, описывающие статические флуктуации заряда, спина и "двоек", не рассчитываются с помощью какого-либо неконтроллируемого приближения (например, расцепления и решения уравнений движения), а определяются из общих свойств электронной ФГ [11].
Подходы GFA в рамках приближения среднего поля и СОМ в двухполюсном приближении имеют разные структуры для электронной ФГ, но, несмотря на это, результаты, полученные этими методами для различных свойств модели Хаббарда, оказались в очень хорошем согласии. В частности, ФГ в приближении среднего поля описывает две квазичастичные подзоны со щелью между ними, которая для половинного заполнении исчезает при некотором критическом значении U = Uc, то есть, появляется фазовый переход металл - диэлектрик.
С помощью найденных электронных ФГ мы можем рассчитать бозо-подобные ФГ для плазмонов, магнонов и дублонов. Здесь мы изучаем только дублоны - коллективные моды, описывающих коррелированное движение по узлам решётки пустых и дважды занятых электронных состояний. Получено точное уравнение в вариационных производных для ФГ, отвечающей за такое движение - дублонной ФГ. В парамагнитном состоянии при половинном заполнении (п = 1) дублонная мода стано вится мягкой для волнового вектора Q = (7г, 7Г, 7г), что указывает на возможную нестабильность однородного состояния по отношению к образованию волны зарядовой плотности. Когда заполнение отклоняется от единицы (п 1), полюс дублонной ФГ имеет щель U — 1\х (ц - химический потенциал), что демонстрирует активационый характер этого возбуждения.
Уравнение движения для электронной функции Грина
В четвёртой главе подход GFA применяется к fJ-модели, описывающей коррелированное движение электронов по решётке с эффективным обменным взаимодействием J на разных узлах. ./-модель генетически связана с моделью Хаббарда, и впервые гамильтониан получен каноническим преобразованием гамильтониана Хаббарда в пределе боль ших U {J =—) (см.[33). С другой стороны, чрезвычайно широкий класс задач, которые исследуются в рамках данной модели, делают её самостоятельной фундаментальной моделью квантовой теории твёрдого тела. Как и ранее, получены уравнения в вариационных производных для собственно-энергетической и концевой частей электронной ФГ, итерация
которых порождает ряды теории возмущений по параметру —, что соответствует диаграммной технике, детально разработанной в книге [28]. Кроме того, здесь получено выражение для магнонной ФГ, обобщающее на случай больших U магнонную ФГ, взятую в пределе U — оо.
Последняя пятая глава посвящена sd-модели, в которой фермион-ный газ s-электронов связан контактным обменным взаимодействием (Jsd) с локализованными в узлах решётки спинами S, образованными d-электронами. Локализованные спины описываются в рамках модели Гейзенберга, а s-электроны - зонной модели. Две разные системы частиц - спины и электроны - требуют двух связанных уравнений в вариационных производных: уравнения для электронной ФГ и уравнения для ФГ поперечных компонент локализованного спина. Электронная ФГ определяется только собственно-энергетической частью (можно сказать, что в этом случае концевая часть тождественно равна единице), а ФГ локализованных спиновых поперечных компонент представляется в стандартной мультипликативной форме. Таким образом, три уравнения в вариационных производных: для электронной собственно-энергетической части , спиновых массового оператора и концевой части образуют систему связанных уравнений, позволяющих получить решения для srf-модели в любом порядке по параметру обменного взаимодействия Jsd.
В последнем разделе данной главы методом GFA исследуется модель двойного обмена (ОЕ-моррпъ) , которая является предельным случаем sd-модели при условии Jsd S W. В этом пределе целесообразно работать с эффективным гамильтонианом, получающимся после проектирования гамильтониана .sd-модели на пространство состояний, в котором электронный спин параллелен или антипараллелен локализованному спину, в зависимости от знака параметра JSd. Этот гамильтониан впервые вывели Кубо и Охата [34]. Получено уравнение в вариационных производных для собственно-энергетической части электронной ФГ , из которого в приближении среднего поля получено выражение для энергии квазичастицы. Кроме этого, получено выражение для магнонной ФГ локализованных спинов, массовый оператор которой вычислен во втором порядке
Производящий функционал. Уравнение движения для одночастичной функции Грина
Метод производящего функционала (GFA) для вычисления одно-частичных и многоастичных ФГ давно используется в квантовой теории многих частиц. Для обычных ферми (или бозе) - систем достаточно полное изложение метода можно найти в книге Каданова и Бейма [23]. Идея метода состоит в том, чтобы рассматривать изучаемую систему в присутствии внешних флуктуирующих полей, зависящих от координат, спиновых переменных и термодинамического времени. Эти поля формально вводятся в теорию с помощью функционала Z[V] = Tr(e-l3nTe-v), (1.1) где Т - хронологический оператор упорядочения для термодинамических времён г, заданных на интервале 0 т /3 = 1/кТ (здесь Т - температура), к - константа Больцмана, которую полагаем равной единице; V - оператор, зависящий от внешних флуктуирующих полей, форма которого согласуется с гамильтонианом %.
