Введение к работе
Актуальность темы. Проблема порядка-беспорядка всегда была одной из центральных проблем физики твердого тела. Достаточно вспомнить классические монографии Дж. Займана, Р. Уайта и Т. Джебелла, Р. Бекстера. В этих фундаментальных работах приведено множество показателей ближнего, среднего, дальнего порядка для разнообразных систем. Однако, с развитием физики разупорядоченных сред в широком смысле этого слова такие подходы были уже недостаточны. Среди широкого класса разупорядоченных сред, полученных в сильно неравновесных условиях, можно выделить кварцевые и металлические стекла, аморфные пленки, и в определенном смысле сюда можно отнести и квазикристаллические среды. В этом ключе уместно упомянуть работы Медведева с соавторами, в которых обобщен метод Вороного-Делоне. Он применялся к исследованию структуры даже некристаллических систем различного типа. Нельзя оставить в стороне обширный класс исследований по характеру дальнего порядка в квазикристаллических системах. Одной из характерных систем является паркет Пенроуза; большинство физиков считает, что он обладает характерным свойством апериодичности. Одна из главных задач в понимании структуры квазикристаллов состоит во вскрытии механизмов, базирующихся на ближнедействующих потенциалах межатомного взаимодействия, обеспечивающих крупномасштабные корреляции, реализующие соответствующую форму дальнего порядка. Упомянем лишь некоторые из этих исследований, например: Steinhardt P. J. & Jeong H.-C. A simpler approach to Penrose tiling with implications for quasicrystal formation. Nature 382, 433–435 (1996); Steinhardt P. J. et al. Experimental verification of the quasi-unit-cell model of quasicrystal structure, Nature 396, 55–57 (1998); Yanfa Yan, Stephen J. Pennycook, Atomic structure of the quasicrystal Al72Ni20Co8, Nature 403, 266-267 (1999); Hyeong-Chai Jeong, Growing Perfect Decagonal Quasicrystals by Local Rules. Phys. Rev. Lett. 98, 135501 (2007); Keys A. S. & Glotzer S. C. How do Quasicrystals Grow? Phys. Rev. Lett. 99, 235503 (2007); Steinhardt P. J. How does your quasicrystal grow? Nature 452, 43-44 (2008). Оставляя в стороне подробный анализ этих работ, разумно акцентироваться, основываясь на работах Hyeong-Chai Jeong, Growing Perfect Decagonal Quasicrystals by Local Rules. Phys. Rev. Lett. 98, 135501 (2007); Keys A. S. & Glotzer S. C. How do Quasicrystals Grow? Phys. Rev. Lett. 99, 235503 (2007), на способах идентификации характера упорядочения в двух методах. Имеются в виду оптимизационные энергетический и энтропийный методы построения квазикристаллических сред. В определенной мере авторы противопоставляют их чисто математическим исследованиям по построению квазикристаллических паркетов типа замощений, покрытий, разбиений, которые обычно базируются на небольшом алфавите «золотых» ромбов, стороны которых наделены метками, нанесенными тем или иным способом.
В диссертации рассматриваются также высокоразупорядоченные среды типа КС, МС и аморфные пленки, характер упорядочения которых, согласно общепринятым трактовкам, описывается в стохастических, вероятностных терминах. Однако в многочисленных наших работах было показано, что в таких средах, как правило, полученных в неравновесных условиях, возникает сеточная иерархия естественных дефектов от 3050 до сотен микрон. Для всех рассмотренных систем существуют свои методы и методики оценки степени порядка-беспорядка.
В нашем исследовании подводится итог информодинамическому методу изучения разупорядоченных сред, который ориентирован именно на единый количественный метод описания степени порядка-беспорядка в таких средах.
Настоящая диссертация посвящена соединению энтропийного подхода с чисто математическим, принятым еще в работах Пенроуза (например, «Новый ум короля»). Из всего разнообразия целевых установок мы остановились на энтропийном методе описания характера порядка-беспорядка широкого класса разупорядоченных сред.
Целью диссертационной работы является разработка универсального представления сеточных, решеточных систем различной топологии, расширение традиционной задачи перколяции с привлечением информодинамических функционалов для решения задачи диагностики дальнего упорядочения классических, квазикристаллических и аморфных сред, и построения общей качественной шкалы упорядочения.
Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:
1. Развить информодинамический метод анализа решеточных и сеточных систем разупорядоченных сред в направлении энтропийной меры характера порядка-беспорядка этих систем в представлении координационных древесных графов Кейли.
2. Разработать методику энтропийных критических индексов в диагностике дальнего порядка классических решеток. В качестве последних избрать квартетную, сотовую и симплексную решетки.
3. Исследовать характер порядка-беспорядка минимального класса квазикристаллических симметрий информодинамическим методом. Данный класс включает в себя три квазикристаллических мозаики. Это бигексагональная мозаика Дюно-Каца, Q-мозаика (4/8) и паркет Пенроуза.
4. Информодинамическим методом проанализировать характер наноструктурного упорядочения кварцевых и металлических стекол, аморфных пленок. Рассмотреть возможность создания общей шкалы порядка-беспорядка.
Научная новизна работы состоит в следующем:
1) Предложено полное, адекватное отображение сеточных, решеточных систем в координационные древесные графы Кейли (ДГК). Сформулирован принцип симплициальной декомпозиции ДГК на поддеревья, в качестве которых выступают кустовые подмножества. В теорию перечисления древесных графов введен новый тип перечисляющих структур – кустовые распределения по степени ветвистости. Рассмотрена задача перколяции в нетрадиционной постановке на квазистохастических координационных ДГК для собственных, внутренних функционалов, среди которых выбраны энтропия в форме Вайда и дивергенция Бонгарда в симметризованном виде.
2) Установлены признаки дальнодействия для различных классов сеточных, решеточных систем в задаче перколяции информодинамических функционалов. Классические решеточные системы, квартетная, сотовая и симплексная, обладают гиперболическими энтропийными и дивергентными зависимостями с критическими индексами, не превышающими единицы. При этом остаточная энтропия может быть либо нулевой (для квартетной и сотовой решеток), либо равной 0,5 (для симплексной решетки). Для представителей минимального класса квазикристаллических симметрий, таких как паркет Пенроуза и квартетно-восьмеричная мозаика 4/8, основным признаком является волноподобное, четко периодичное, со значимыми осцилляциями поведение энтропии около среднего энтропийного инварианта. Аморфные среды, из которых выбраны кварцевое стекло КУВИ-1 и металлическое стекло Со-Р, характеризуются постоянным значением информодинамических функционалов.
3) Впервые методом символьной динамики на ДГК квазикристаллических и аморфных сред детализирована тонкая структура символьных последовательностей для скорлуп Мандельброта и стримеров. Показано, что эти символьные последовательности имеют периодическую структуру, состоящую из модемов длиной 810 символов.
4) Построена количественная информодинамическая шкала порядка-беспорядка. В качестве меры шкалы взят показатель структурированности по энтропии. Такая шкала отражает степень упорядоченности координационных отношений в представлении ДГК.
Положения, выносимые на защиту:
1) Метод количественной оценки степени порядка-беспорядка решеточных и сеточных систем, основанный на энтропийной перколяционной зависимости перечисляющих полиномов на координационных древесных графах Кейли. Методика критических энтропийных индексов при оценке степени дальнодействия классических решеточных систем. В качестве последних выступают квартетная, сотовая и симплексная решетки.
2) Предложены следующие характеристики степени дальнего порядка-беспорядка для классических решеток. Одна из важнейших характеристик – гиперболический закон спадания энтропийной перколяционной зависимости, который имеет критический индекс, не превосходящий единицы. Второй характеристикой является асимптотическая нулевая оценка вышеуказанных зависимостей. В качестве третьей характеристики может выступать остаточное значение асимптотической энтропии. Например, для симплекс- решетки она равна 0,5, что указывает на максимальное совершенство именно симплекс-системы.
3) Специфика порядка-беспорядка квазикристаллических паркетов, решеток покоится на эффекте волновой энтропийной перколяционной зависимости на ДГК, отображающих эти решетки. Данное свойство характерно для пентасимметричного паркета Пенроуза и квартетно-восьмеричной (Q-) мозаики. В случае бигексагональной системы наблюдается гиперболическое спадание на более чем полпорядка сильнее по дальнодействию, чем для квартетной решетки. При этом асимптотическое значение остаточной энтропии составляет 0,444, что меньше аналогичного значения для симплекс-решётки. Бигексагональная мозаика имеет в качестве ближайших «родственников» симплексную и сотовую решетки.
4) Для металлических и кварцевых стекол характерно существование энтропийных инвариантов или своеобразного закона сохранения количества разнообразия. Степени стохастизации таких систем не равны 100%. Такие среды обладают дальним упорядочением на уровне 57% по энтропии.
5) Методом символьной динамики показано для квазикристаллических и аморфных сред существование квазиволновой структуры в скорлупах Мандельброта и стримеров на ДГК этих систем. Величина модуля периодичности составляет 810 символов. По автокорреляционной структуре таких символьных последовательностей их можно отнести к классу сверхсложных сигналов.
Практическая ценность работы. Полученные результаты могут быть использованы при описании классических кристаллографических симметрий, квазикристаллических, аморфных сред, для сравнения различных сеточных систем по степени упорядочения, организации. Введенные количественные энтропийные меры степени порядка-беспорядка разупорядоченных сред могут быть полезны в исследовании релаксационных процессов, а также структурных эффектов в деградационных процессах. При отработке технологических процессов, а также поиске оптимальных доводочных технологий предложенный формализм может быть почти единственным в исследовании проблем структурной кинетики.
Апробация работы и публикации. Основные результаты опубликованы в сборниках трудов региональных, всероссийских и международных конференций, семинаров, симпозиумов ВНКСФ-12-15 (2006-2009), «Нейроинформатика, ее приложения и анализ данных»-2006-2009 (Красноярск), МНС-2006-2009 (Красноярск), «Нейроинформатика»-2007, 2008 (Москва), «XVIII Петербургские чтения по проблемам прочности и роста кристаллов» (2009, Санкт-Петербург), ФММС-2008 (Воронеж), PRIA-2008 (Нижний Новгород), ММПСН-2009 (Москва), ПДММ-2009 (Владивосток), «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах»-2009 (Махачкала), «Термодинамика неупорядоченных сред и пьезоактивных материалов»-2009 (Пятигорск), LAT-2009 (Пекин), журналах: «Проблемы эволюции открытых систем» (две статьи, 2008), «Известия РАН. Серия физическая» (2009), «Теоретическая и математическая физика» (2010, в печати), Physica A (2010, в печати). Всего по материалам диссертации опубликовано 44 работы, из них 5 статей в журналах из перечня ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы. Общий объем работы составляет 202 страницы, включая 52 рисунка, 8 таблиц и список литературы из 150 наименований.
