Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Электронные и дырочные уровни в двумерных полупроводниковых структурах 28
1.1 Одночастичные состояния в двумерных структурах. 29
1.1.1 Уравнение Шредингера в объемном полупроводниковом материале 29
1.1.2 Формализм огибающих волновых функций 33
1.1.3 Электронные состояния в двумерных полупроводниках 37
1.1.4 Дырочные состояния в двумерных полупроводниках 38
1.2 Многочастичные взаимодействия в полупроводниках 42
1.2.1 Вклад Хартри и уравнение Пуассона 44
1.2.2 Обменно-корреляционный вклад 45
1.3 Одноосное сжатие и пространственное квантование дырок 48
1.4 Численные расчеты спектров пространственного квантования дырок 50
Глава 2. Самосогласованный расчет уровней пространственного квантования. Электронная система 55
2.1 Основные уравнения 56
2.1.1 Самосогласованная система уравнений 56
2.1.2 Плотность состояний, энергия Ферми и числа заполнения подзон пространственного квантования 57
2.1.3 Распределение легирующих примесей-доноров ...58
2.2 Методика численного расчета 60
2.3 Результаты расчетов 61
2.3.1 Параметры структур 62
2.3.2 Одиночная квантовая яма 63
2.3.3 Двойная квантовая яма 65
2.4 Анизотропная эффективная масса 73
2.4.1 Диагональная модель Латтинжера 73
2.4.2 Самосогласованная двойная квантовая яма 75
Глава 3. Самосогласованный расчет уровней пространственного квантования. Дырочная система 80
3.1 Основные уравнения 81
3.2 Методика численного расчета 82
3.2.1 Преобразования Бройдо-Шема 82
3.2.2 Изотропная модель Латтинжера 83
3.2.3 Решение самосогласованной системы уравнений 84
3.3 Непараболичность закона дисперсии пространственно-квантованных дырок 86
3.4 Влияние одноосного сжатия на спектр пространственного квантования дырок 90
Глава 4. Время релаксации и подвижность носителей заряда в двумерной селективно легированной квантовой яме 93
4.1 Внутриподзонное рассеяние 95
4.1.1 Основные уравнения 95
4.1.2 Рассеяние на короткодействующем потенциале (однозонный случай) 98
4.1.3 Рассеяние на кулоновском потенциале. Однозонный случай 100
4.1.4 Результаты численных расчетов. Внутриподзонное рассеяние 105
4.2.1 Общие соотношения 110
4.4.2 Межподзонное рассеяние 114
Заключение 116
Приложение 1 119
- Многочастичные взаимодействия в полупроводниках
- Распределение легирующих примесей-доноров
- Непараболичность закона дисперсии пространственно-квантованных дырок
- Рассеяние на короткодействующем потенциале (однозонный случай)
Введение к работе
Настоящая работа посвящена теоретическому изучению ряда проблем физики низкоразмерных полупроводниковых структур. Основным предметом работы является исследование энергетических спектров и плотности состояний пространственно квантованных носителей заряда, движущихся в самосогласованном потенциале в двумерных полупроводниковых структурах п- и р-типа, а также доминирующих механизмов рассеяния носителей заряда в рассматриваемых структурах. Рассматриваемые в работе вопросы объединены общей природой исследуемых явлений и, как следствие, сходными методами решения. Актуальность данного исследования основывается на том, что на сегодняшний день отсутствует законченная теоретическая картина, описывающая динамику энергетического спектра с учетом самосогласованного потенциала, а так же связь между спектром носителей заряда и особенностями в проводимости данных систем.
В течении последних 20 лет происходит бурное развитие теории низкоразмерных систем, в частности, теории кинетических свойств полупроводниковых структур. Интерес к этим вопросам обусловлен в первую очередь развитием высоких технологий, позволяющих создавать относительно чистые низкоразмерные структуры, многие из которых нашли широкое применение в современной полупроводниковой технике при изготовлении миниатюрных и высокоточных приборов и устройств. Богатство и новизна физических явлений и эффектов, наблюдаемых в этих системах (особенно в двумерном случае), повлекли за собой необходимость широкого применения и усовершенствования теоретических методов, развитых в других областях физики. Потребовалась также и разработка принципиально новых методов и подходов как в области теории, так и на этапе экспериментальной проверки полученных результатов.
К настоящему времени достигнут значительный прогресс в понимании фундаментальных проблем этой области физики, однако до сих пор остается множество нерешенных вопросов, требующих теоретического и экспериментального изучения. При этом часть проблем, по-видимому, не позволяют дать простое аналитическое описание, которое бы учитывало существенные детали поведения систем, поэтому важным становится использование численных расчетов и математического моделирования систем. Вместе с тем развитие простых наглядных моделей и расчетов на их основе остается важным инструментом в изучении физики низкоразмерных систем.
В настоящей работе рассматривался ряд конкретных задач, решение которых может помочь объяснить результаты серии экспериментов и позволит прояснить некоторые закономерности влияния самосогласованного потенциала и магнитного поля на спектр носителей заряда в двумерных системах. Данная задача особенно актуальна для дырочных двумерных полупроводниковых структур, структур с двойными квантовыми ямами и структур, помещенных в продольное магнитное поле. В качестве первых шагов в этом направлении выполнены самосогласованные расчеты энергетического спектра носителей заряда в симметричной квантовой яме для полупроводниковых структур п- и р-типа в отсутствие магнитного поля и для полупроводниковых структур п-типа при наличии продольного магнитного поля, при этом особенное внимание уделялось системам с двойной квантовой ямой. Результаты расчетов использовались в дальнейшем для описания подвижности носителей заряда в данных системах.
Целью работы является исследование особенностей спектра носителей заряда в двумерных полупроводниковых структурах на основе самосогласованных расчетов и их влияния на кинетические свойства носителей заряда в данных структурах, в частности на сопротивление и эффект Холла.
Исходя из поставленной цели, были определены следующие научные задачи:
Выполнить критический анализ существующих теоретических подходов при исследовании энергетических спектров носителей заряда в двумерных системах и наметить возможные пути модификации и развития имеющихся представлений.
Построить методику самосогласованного расчета энергетических спектров электронов в двумерных квантовых ямах, особенное внимание уделяя описанию спектра в двойных квантовых ямах, обычных и самосогласованных.
Построить методику самосогласованного расчета энергетических спектров дырок в двумерных квантовых ямах при наличии одноосного напряжения перпендикулярно плоскости двумерного слоя. Исследовать процесс образования самосогласованной двойной квантовой ямы в широкой одинарной квантовой яме.
Исследовать проводимость двумерных полупроводниковых структур с учетом реального распределения примесей в направлении, перпендикулярном двумерному слою.
5. Применить полученные теоретические закономерности к оценке величины подвижности в имеющихся образцах гетероструктур р-ОеД>е81 и п-ОаАвДпОаАз.
Научная новизна работы состоит в том, что:
представлена методика самосогласованного расчета энергетического спектра и волновых функций носителей заряда, пригодная для расчета спектра носителей заряда в двойных квантовых ямах;
на основе проведенных для ряда электронных и дырочных двумерных полупроводниковых структур самосогласованных расчетов энергетического спектра, волновых функций и профиля потенциала определен критерий образования самосогласованной двойной квантовой ямы в широкой квантовой яме;
дано модельное описание зависимости подвижности двумерных носителей заряда от параметров квантовой ямы, для асимптотик подвижности получены простые аналитические выражения.
Научная и практическая значимость работы заключается в
следующем:
проведенные исследования позволяют улучшить понимание картины уровней пространственного квантования в двумерных полупроводниковых гетероструктурах;
предложенное модельное описание зависимости подвижности носителей заряда от параметров квантовой ямы позволяет делать очень простые оценки величины подвижности, исходя из предположения об основном типе рассеивающего потенциала;
методы, предложенные в работе, могут быть использованы для решения задач, выходящих за рамки данной работы, например, для анализа явлений, имеющих место в режиме очень сильного магнитного поля (режиме квантового эффекта Холла).
Основные положения, выносимые на защиту
Развита методика самосогласованного численного расчета энергетического спектра и волновых функций электронов и дырок в тонких слоях - квантовых ямах полупроводниковых гетероструктур, применимая для последовательного изучения электронных свойств систем с двойными квантовыми ямами.
С помощью развитой в работе методики рассчитаны спектры носителей заряда и профиль самосогласованного потенциала в экспериментально исследовавшихся квантовых ямах структур
ОаАзДпОаАэ и Ое/Ое81, изучены закономерности образования самосогласованных двойных квантовых ям в данных структурах и получен критерий их возникновения в широких квантовых ямах.
На основе результатов расчетов волновых функций и с использованием различных моделей рассеивающего потенциала рассчитаны подвижности носителей в двойных квантовых ямах ряда гетероструктур Ое/Тл-еБ! и ОаАз/1пОаАБ. Для рассеяния на удаленных примесях исследованы зависимости подвижности от расстояния до слоя примесей и получены простые аналитические выражения, описывающие асимптотическое поведение данной зависимости в случае сильного и слабого экранирования.
На основе оценок подвижности в квантовых ямах ряда экспериментально исследовавшихся гетероструктур Ое/Ое81 и &аАз/1пОаА8 установлено, что рассеяние на удаленных примесях не является доминирующим механизмом рассеяния. Такой результат может свидетельствовать о возможности получения аналогичных гетероструктур с заметно более высокими значениями подвижности путем совершенствования технологии роста.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях, школах и семинарах:
5я Всероссийская конференция по физике полупроводников, Нижний Новгород, 2001; 8-th and 10-th International Symposiums «Nanostructures: Physics and Technology», St Petersburg, Russia, 2000, 2002; 32 Всероссийское совещание по физике низких температур, Казань, 2000; Всероссийское совещание "Нанофотоника", Нижний Новгород, 2000, 2001, 2002; 14 Уральская международная зимняя школа по физике полупроводников, Екатеринбург, 2002; 15-th International Conference on High Magnetic Fields in Semiconductor Physics, Oxford, UK, 2002; 1-я Украинская научная конференция по физике полупроводников, Одесса, 2002 а так же семинары ИФМ УрО РАН.
Основное содержание работы
Во введении обоснована актуальность, сформулированы цель и задачи диссертации, перечислены основные положения, выносимые на защиту, а также кратко изложено ее содержание.
Первая глава представляет собой теоретическое введение к материалу, представленному в следующих главах данной работы.
В ней изложены теоретические представления и модели физики полупроводников, служащие основой для построения расчетов, изложенных в остальной части работы.
Во второй главе рассмотрена задача построения самосогласованного расчета энергетического спектра, плотности состояний и профиля потенциальной ямы для двумерной прямоугольной квантовой ямы п-типа. Получены энергетический спектр и профиль самосогласованного потенциала для ряда квантовых ям СаАз/ТпСаАэ, отдельно рассчитаны спектры двойных квантовых ям. Под двойной квантовой ямой мы понимаем систему из двух квантовых ям, расстояние между которыми сравнимо со средним расстоянием между электронами в каждой из этих квантовых ям, в силу чего возникают существенные корреляции между электронами в разных квантовых ямах. Обычно такие квантовые ямы являются туннельно-связанными, что приводит к возникновению особенностей в спектре пространственно квантованных электронов в таких системах.
В первом параграфе рассмотрена самосогласованная система уравнений Хартри-Фока. Система уравнений решается последовательными итерациями. Переход на следующий шаг осуществлялся следующим образом [1]:
Ум+1{г) = /ЗГ„{2 И!-/?)^) (2)
где 3 - параметр, значение которого выбирается из условия устойчивости и сходимости расчета.
Условием окончания расчета служила малость нормы невязки самосогласованных потенциалов на двух последовательных итерциях:
(*)!<* (з)
где - заданная точность расчета. В качестве нормы в расчетах была использована среднеквадратичная норма, однако и другой выбор нормы приводил к тем же самым результатам, рассмотрены различные типы распределения легирующих примесей-доноров в барьере.
Во втором параграфе приведена методика расчета электронного пространственно квантованного спектра и профиля самосогласованного потенциала. Задача на собственные значения для уравнения Шредингера решается методом фаз [2]. Граничные условия в этом методе задаются указанием асимптотического поведения волновой функции, принадлежащей выбранному уровню пространственного квантования, слева и справа от ямы. Таким образом, задания асимптотик волновой функции по обе стороны от ямы и номера собственного значения (номера уровня пространственного квантования) достаточно для нахождения данного собственного значения и соответствующей ему волновой функции. Это свойство метода фаз позволило применить его для нахождения близко лежащих собственных значений уравнения Шредингера, задающих положения дна подзон пространственного квантования в двойных квантовых ямах.
В третьем параграфе изложены результаты использования построенной выше методики для расчета спектров пространственного квантования и волновых функций электронов в квантовых ямах для ряда образцов ОаАз/1пОаАз. Рассчитанны энергетические спектры и волновые функции электронов в простых и двойных квантовых ямах. Показано, что учет самосогласованного потенциала приводит к увеличению щели между симметричным и антисимметричным состояниями в двойных квантовых ямах. Причиной этого является увеличение высоты барьера между ямами в двойной квантовой яме вследствие изгиба дна ямы.
В четвертом параграфе рассмотрена модель анизотропной эффективной массы. Предполагается, что эффективная масса носителей заряда при движении в направлении поперек квантовой ямы равна массе в объемном материале, а масса при движении вдоль двумерного слоя отличается от массы носителей заряда в объемном материале. Эта модель является следствием диагональной модели Латтинжера для одного из сортов дырок. В следующей главе модель анизотропной массы получена в качестве предельного случая и указаны границы ее применимости.
На основе модели анизотропной массы сделаны расчеты спектра носителей заряда в гетероструктурах р-Ое/Ое81 для различной ширины квантовой ямы и концентрации носителей заряда. Показано, что учет самосогласованного потенциала для образцов с узкой ямой не оказывает сильного влияния на спектр пространственного квантования. Для образцов с широкой ямой и высокой концентрацией носителей заряда учет самосогласованного потенциала приводит к сближению двух первых уровней пространственного квантования и эффективному разделению газа носителей заряда на два слоя, локализованных каждый в своей треугольной потенциальной яме по краям исходной кантовой ямы. Последнее явление носит название самосогласованной двойной квантовой ямы. Роль потенциального барьера между слоями носителей заряда играет изгиб дна ямы. Найдены характеристики самосогласованной двойной квантовой ямы (величина изгиба дна ямы и щель Л^ между симметричным и антисимметричным состояниями). Найденные особенности спектра соответствуют особенностям в квантовом эффекте Холла - изчезновению ступени с номером у = 1, а также наличию положительного магнитосопротивления и зависимости константы Холла от магнитного поля, наблюдавшихся в исследуемых образцах гетероструктур [3,4,5].
Третья глава посвящена расчету энергетического спектра и профиля самосогласованного потенциала в двумерной дырочной квантовой яме на основе модели Латтинжера. В наших расчетах мы использовали изотропную модель Латтинжера. Для ряда ям с различной шириной и концентрацией носителей заряда рассчитаны закон дисперсии, плотность состояний, эффективные массы на уровне Ферми, волновые функции и профиль самосогласованного потенциала. Т.к. гетероструктуры ОеД>е81 являются напряженными гетероструктурами, то для согласования значения эффективной массы на уровне Ферми с значениями, найденными из экспериментальных данных (осцилляции Шубникова - де Гааза) потребовалось учесть влияние одноосного сжатия на энергетический спектр носителей и плотность состояний пространственно квантованных носителей заряда.
В первом параграфе третьей главы вводятся основные уравнения.
Во втором параграфе рассмотрена методика расчета. Посредством унитарного преобразования гамильтониан был приведен к блочно-диагональному виду [6,7], что позволило вдвое уменьшить количество уравнений в задаче на собственные значения. На каждом из шагов самосогласованного расчета
решалась задача на собственные значения для волнового вектора к - О, из полученных волновых функций для тяжелых и легких дырок составили базис, на котором строили матрицу гамильтониана при к Ф О. Далее матрица гамильтониана диагонализовалась для набора выбранных значений волнового вектора, таким образом были получены закон дисперсии {к) и
результирующие волновые функции для каждого значения волнового вектора к, представляющие собой линейную комбинацию базисных волновых функций.
(6)
и зарядовая плотность дырок в яме. Решая уравнение Пуассона, находили хартриевский вклад в самосогласованный потенциал. Обменно-корреляционный вклад для дырок рассчитывался в приближении локальной плотности для валентной зоны [7, 8].
В третьем параграфе представлены результаты расчета энергетического спектра и профиля самосогласованного потенциала для гетероструктур Ое/Ое81 Мы пренебрегаем разницей значений параметров Латтинжера в слоях Ое и Ое81,
По известным закону дисперсии и волновым функциям рассчитывалась плотность состояний пространственно квантованных дырок, которая в изотропном случае для г-й зоны пространственного квантования дается соотношением:
т.к. концентрация достаточно мала (примерно 8%). При увеличении ширины квантовой ямы расстояние между подзонами пространственного квантования тяжелых и легких дырок уменьшается, в силу чего возрастает взаимодействие подзон тяжелых и дегких дырок. Последнее обстоятельство приводит к увеличению непараболичности закона дисперсии дырок. На нижней ветви закона дисперсии появляются дополнительные минимумы при значениях волнового вектора кФ 0, которые с увеличением ширины ямы становятся глубже, чем минимум при к- 0. Возникновение дополнительных минимумов на законе дисперсии нижней подзоны пространственного квантования увеличивает число состояний в нижней зоне пространственного квантования, в силу этого даже при больших концентрациях носителей заряда не происходит заселения второй подзоны пространственного квантования. Сильная непараболичность закона дисперсии приводит к тому, что даже при высоких концентрациях дырок в широкой квантовой яме не возникает самосогласованной двойной квантовой ямы.
В четвертом параграфе рассмотрено влияние одноосного сжатия на спектр пространственного квантования дырок в широкой квантовой яме. Согласно [7,9] одноосное сжатие приводит к уменьшению разрыва зон для легких дырок и увеличению разрыва зон для тяжелых дырок. Величина параметра одноосного сжатия подбиралась таким образом, чтобы величина эффективной массы носителей заряда на уровне Ферми соответствовала значению эффективной массы, полученному из эксперимента. При учете одноосного сжатия система подзон пространственного квантования тяжелых дырок сдвигается по энергии вниз, а система подзон пространственного квантования легких дырок сдвигается по энергии вверх (энергия дырок выбрана положительной). При этом уменьшается взаимодействие подзон тяжелых и легких дырок, являющееся причиной сильной непараболичности. Заселенными остаются только нижние подзоны тяжелых дырок, при этом закон дисперсии в диапазоне значений волнового вектора к<кР становится близким к квадратичному. Последнее обстоятельство служит обоснованием применимости модели анизотропной эффективной массы, для расчета дырочных спектров пространственного квантования.
Уменьшение непараболичности спектра носителей заряда приводит к формированию в широкой квантовой яме напряженной гетероструктуры р-типа самосогласованной двойной квантовой ямы. Таким образом, наличие одноосного сжатия приводит к возникновению в широкой квантовой яме р-типа самосогласованной двойной квантовой ямы. Последнее обстоятельство подтверждается данными по квантовому эффекту Холла в гетероструктурах с широкой квантовой ямой [3,4,5,10].
В четвертой главе приведены теоретические представления о рассеянии двумерных носителей заряда на различных типах рассевающего потенциала.
В первом параграфе этой главы приведены основные уравнения и выражения для времени релаксации.
(7)
Во втором параграфе исследовано рассеяние носителей заряда в одной подзоне пространственного квантования. В приближении 2В-предела для носителей заряда с квадратичным законом дисперсии получены выражения для времени релаксации и подвижности для частных случаев короткодействующего потенциала и кулоновского потенциала. Для кулоновского потенциала исследовано влияние экранирования на рассеяние носителей заряда и рассеяние на примесях в барьере. Для зависимости времени релаксации от расстояния до слоя заряженных примесей в барьере получено следующее выражение:
1п2ы (2е2Л2 0)= тр — у(4 Ь0),
модифицированные функции Бесселя и Струве соответственно.
Выполнены численный расчет времени релаксации и подвижности для случая рассеяния на экранированном потенциале удаленных примесей. Матричные элементы
рассеивающего потенциала вычислены на волновых функциях, полученных в результате самосогласованного расчета спектра двумерных электронов в квантовой яме. Проведено сравнение результатов численных и аналитических расчетов. Показано, что аналитические выражения, полученные в двумерном пределе, качественно описывают зависимость времени релаксации от расстояния до примесей в барьере и дают оценку сверху для подвижности.
В третьем параграфе изложены теоретические расчеты межподзонного рассеяния двумерных носителей заряда. Рассмотрен подход [11,12], основанный на решении системы кинетических уравнений для носителей заряда в каждой заполненной подзоне пространственного квантования. Произведен численный расчет времени релаксации и подвижности для ряда рассеивающих потенциалов (короткодействующий, кулоновский и кулоновский экранированный потенциалы) и конкретного вида волновых функций носителей заряда. Волновые функции были получены в результате самосогласованного расчета. Эффекты экранирования учтены с помощью матричной диэлектрической функции [12].
Сравнение рассчитанных значений подвижности с экспериментальными данными показывает, что рассеяние на удаленных примесях не является доминирующим механизмом рассеяния. Такой результат может свидетельствовать о возможности получения аналогичных гетероструктур с заметно более высокими значениями подвижности путем совершенствования технологии роста.
В заключении сформулированы основные научные результаты и выводы диссертационной работы, а также намечены перспективы дальнейшего развития исследований, изложенных в данной работе.
Для удобства чтения диссертации ряд выкладок и вспомогательных результатов вынесен в два приложения.
Результаты диссертации опубликованы в работах
Yu.G.Arapov, G.I.Harus, V.N.Neverov, N.G.Shelushinina, M.V.Yakunin, G.A.Alshanskii, O.A.Kuznetsov. Probing the p-Gei_xSix/Ge/p-Gei_xSix quantum well by means of the quantum Hall effect. Nanotechnology, 2000, v.ll, p.351-358.
М.В.Якунин, Ю.Г.Арапов, В.Н.Неверов, Г.А.Алыпанский, О.А.Кузнецов. Квантовый эффект Холла в системе двух взаимосвязанных слоев дырок в квантовой яме P-Ge^Six/Ge/p-Ge^xSix. Научная сессия ИФМ УрО РАН по итогам 1999 года. Тезисы докладов, с.64-65.
М.В.Якунин, Г.А.Алыпанский, Ю.Г.Арапов, В.Н.Неверов, О.А.Кузнецов. Квантовые гальваномагнитные явления в системе двух взаимосвязанных двумерных слоев дырок в широкой потенциальной яме p-Gei^Six/Ge/p-Ge^Six. Материалы совещания «Нанофотоника», Нижний Новгород, 2000, с.44-47; Известия АН, сер. физ., 2001, т.65, в.2, с.207-210.
M.V.Yakunin, G.A.Alshanskii, Yu.G.Arapov, O.A.Kuznetsov, V.N.Neverov. Transition from a Single- to double-quantum-well magnetotransport in the p-GeSi/Ge/p-GeSi heterosystem, Proc. of 8-th International Symposium "Nanostructures: physics and technology", St. Petersburg, Russia, 2000, p.468-471.
М.В.Якунин, Г.А.Альшанский, Ю.Г.Арапов, В.Н.Неверов, О.А.Кузнецов. Квантовые эффект Холла в самоорганизующейся двойной квантовой яме в гетеросистеме p-Gej_xSix/ Ge/p-Ge^Six- 32 Всероссийское совещание по физике низких температур, Казань, 3-6 октября 2000. Тезисы докладов секции NS: «Наноструктуры и Низкоразмерные Системы», с. 115-116.
М.В.Якунин, Г.А.Альшанский, Ю.Г.Арапов, В.Н.Неверов, О.А.Кузнецов. Магнитосопротивление квантовой ямы p-GeSi/Ge/p-GeSi в параллельном магнитном поле. Материалы совещания «Нанофотоника», Нижний Новгород, 2001, с.70-73; Известия АН, сер. физ., 2002, т.66, в.2, с.183-186.
М.В.Якунин, Г.А.Алынанский, Ю.Г.Арапов, О.А.Кузнецов, В.Н.Неверов. Свойства самоформирующейся двойной квантовой ямы в валентной зоне гетеросистемы p-Ge^Six/Ge/p-Ge^xSix. 5-я Всероссийская конференция по физике полупроводников, Нижний Новгород, 10-14 сентября 2001 г. Тезисы докладов, с.175.
Yu G Arapov, G A Alshanskii, G I Harus, V N Neverov, N G Shelushinina, M V Yakunin, О A Kuznetsov. The key role of smooth impurity potential in formation of hole spectrum for p-Ge/Gei_xSix heterostructures in the quantum Hall regime. Nanotechnology, 2002, v. 13, p.86-93.
M V Yakunin, G A Alshanskii, Yu G Arapov, V N Neverov, О A Kuznetsov. Parallel magnetic field induced strong negative magnetoresistance in a p-Ge^xSix/Ge/p-Ge^xSix valence band quantum well. Тезисы докладов на 14 Уральской международной зимней школе по физике полупроводников, 18-22 февраля 2002г, Екатеринбург, L8, с.1-5.
Г.А. Алыпанский, Ю.Г. Арапов, М.В. Якунин. Рассеяние на удаленных примесях в многослойных гетероструктурах р- Ge/GeSi и квантовых ямах InGaAs/n-GaAs. Тезисы докладов на 14 Уральской международной зимней школе по физике
полупроводников, 18-22 февраля 2002 г, Екатеринбург, PI9, с.1-4.
Ю.Г.Арапов, Г.А.Алынанский, В.Н.Неверов, Г.И.Харус, Н.Г.Шелушинина, М.В.Якунин. Определяющая роль крупномасштабных флуктуаций примесного потенциала в формировании плотности состояний двумерного дырочного газа в режиме квантового эффекта Холла. Научная сессия ИФМ УрО РАН по итогам 2001 года. Тезисы докладов, с.64-65.
Ю.Г. Арапов, Г.А. Альшанский, Г.И. Харус, Н.Г, Шелушинина, М.В. Якунин. Рассеяние на удаленных примесях в селективно легированных гетероструктурах p-Ge/Gei_xSix и n-GaAs/InGaAs. Материалы Совещания «Нанофотоника», Нижний Новгород, Институт физики микроструктур, 11-14 марта 2002, с.259-262.
M.V.Yakunin, G.A.Alshanskii, Yu.G.Arapov, V.N.Neverov, O.A.Kuznetsov. Parallel magnetic field induced strong negative magnetoresistance in a wide p-Gei^Si^/Ge/p-Gei^Si^ quantum well. Proc. of 10th International Symposium "Nanostructures: physics and technology", St. Petersburg, Russia, 2002, p.210-213.
M. V. Yakunin, G. A. Alshanskii, Yu. G. Arapov, V. N. Neverov, O. A. Kuznetsov, L. Ponomarenko and A. de Visser. Quantum magneto transport in a self-organized p-GeSi/Ge/p-GeSi double quantum well. Abstracts of the 15-th International Conference on High Magnetic Fields in Semiconductor Physics, Oxford, UK, 5-9 August 2002, p.61.
15. М.В.Якунин, Г.А.Альшанский, Ю.Г.Арапов, В.Н.Неверов, О.А.Кузнецов. Квантовые гальваномагнитные явления в квазидвумерном дырочном газе гетеросистемы Ge/p-Ge1_.rSir. Тезисы докладов 1-й Украинской научной конференции по физике полупроводников, Одесса, 10-14 сентября 2002, т.1, с.109-110.
Многочастичные взаимодействия в полупроводниках
В общем случае, пренебрежение взаимодействиями между свободными электронами или дырками, т.е. пренебрежение электрон-электронным, дырко-дырочным или электрон-дырочным взаимодействиями, (одночастичное приближение) может существенно упростить вычисление зонной структуры полупроводника. Это приближение справедливо для незаполненных или слабо заполненных зон и очень часто является хорошим приближением первого порядка, когда концентрация носителей заряда достаточно велика. Прежде чем обсуждать случаи, когда одночастичное приближение неадекватно описывает систему, оговорим различия между эффектами многочастичного взаимодействия и эффектами взаимодействия между несколькими частицами. Вследствие кулоновского притяжения между электроном и дыркой может образоваться водородоподобное состояние, известное как экситон. Таким же образом могут образовываться комплексы из одной дырки и двух электронов (трионы) и т.д. Образование подобных комплексов наблюдается на очень высококачественных гетероструктурах. Т.к. для образования экситона или трионов необходимо наличие как электронов, так и дырок, то подобные объекты, возникающие вследствие взаимодействия нескольких частиц, проявляют себя главным образом в оптических свойствах полупроводниковых структур и в нашей работе рассматриваться не будут. Многочастичные эффекты, обсуждаемые в настоящей работе, становятся важны при высоких концентрациях носителей зарядов.
Здесь слова «высокая концентрация» означают, что среднее расстояние между носителями заряда сравнимо с величиной боровского радиуса носителей заряда. В рассматриваемых в настоящей работе гетероструктурах это условие начинает выполняться при концентрации носителей заряда порядка 1011 см-2. Существует три вклада в энергию системы, обусловленные многочастичным взаимодействием, а именно хартриевский вклад, обменный, или фоковский, вклад и корреляционная поправка. Первый вклад соответствует классическому многочастичному кулоновскому взаимодействию. Квантовая природа двух последних поправок позволяет рассматривать их вместе в качестве обменно-корреляционного вклада. Хартриевское слагаемое соответствует классическому электрон-электронному (или дырко-дырочному) кулоновскому взаимодействию. Оно возникает при замене точного потенциала электрон-электронного взаимодействия усредненным потенциалом, действующим на выделенную частицу со стороны всех остальных носителей заряда. Для двумерной системы, однородной в плоскости х-у, хартриевский вклад в потенциал удовлетворяет одномерному уравнению Пуассона Зарядовая плотность р(г) задается соотношением где знак плюс (минус) соответствует дырочной (электронной) зарядовой плотности, /(У) - функция распределения Ферми Дирака, Н (г) - огибающая функция п-й подзоны пространственного квантования (соответственно С (г) из (1.14) для дырок и (г) из (1.11) для электронов). Для электронов огибающая функция не зависит от волнового вектора и интеграл по двумерному волновому вектору к в (1.16) можно заменить на , где Ип - заселенность п-й подзоны пространственного квантования. Подобная замена очень часто бывает хорошим приближением и для дырочных расчетов. Случаи, когда это не так, будут рассмотрены в Главе 3.
При рассмотрении хартриевского вклада мы не учитывали, что электроны и дырки в полупроводниках являются фермионами. Учет последнего обстоятельства приводит к возникновению обменного взаимодействия. Также мы предполагали, что носители заряда распределены однородно в плоскости двумерного слоя. Однако вследствие кулоновского отталкивания носители заряда в К общем как-то пространственно упорядочены, что приводит к понижению полной энергии системы. Этот процесс называют корреляционным взаимодействием. Предполагается, что оба эти взаимодействия могут быть учтены посредством введения в гамильтониан системы некоторого эффективного потенциала, который является скалярной функцией локальной плотности заряда в системе. Этот подход хорошо известен как приближение локальной плотности. Применимость приближения локальной плотности к низкоразмерным системам в настоящее время обсуждается, однако есть результаты, хорошо согласующиеся с экспериментом, а именно, использование приближения локальной плотности для электронного газа в квантовой яме допустимо при выполнении условия [7,8] - диэлектрическая проницаемость среды. В двумерных системах, рассмотренных в данной работе, условие (1.17) выполняется, так что использование приближения локальной плотности оправдано. Выражения для обменно-корреляционного потенциала в случае электронной системы имеет вид [2]:
Первое слагаемое в скобках в выражении (1.19) совпадает с выражением для обменно-корреляционного потенциала электронов, за исключением функции единицы при значениях аргумента от нуля до единицы. Это означает, что обменное взаимодействие дырок, принадлежащих квадруплету с 7 = 3/2 слабее, чем электронов со спином = 1/2. Последнее является следствием большего числа степеней свободы у квадруплета, нежели у дублета. Деформационные эффекты в полупроводниках хорошо описаны в главе 5 монографии Вира и Пикуса [9]. Здесь мы кратко обсудим влияние одноосного сжатия на спектр пространственного квантования дырок с полным угловым моментом / = 3/2. Отметим, что деформационными эффектами в спектре пространственно кантованных электронов в этой работе мы можем пренебречь, пока рассматриваем их независимо от состояний валентной зоны. Одноосное сжатие вдоль направления 2 в приближении эффективной массы для состояний валентной зоны с полным угловым моментом У = 3/2 описывается добавлением к
Распределение легирующих примесей-доноров
Система уравнений (2.1) принадлежит к типу уравнений Хартри-Фока-Слетера. Для соответствующей одномерной задачи на собственные значения в работе [51] доказана теорема о существовании самосогласованного решения. Существование решения для одномерной задачи (2.1) в случае периодического потенциала У0(г ) доказано в работе [50]. Система уравнений (2.1) решается итерационно. На каждом шаге решаем уравнение Шредингера с потенциалом где N - номер шага, находим уровни пространственного квантования е1 и волновые функции (г). Зная спектр носителей заряда и волновые функции, вычисляем значение энергии Ферми и плотность носителей заряда После этого из уравнения Пуассона находим самосогласованный потенциал Ун[г). Переход на следующий шаг производится в соответствии со следующим выражением где 3 - коэффициент, который выбирается из условия устойчивости и сходимости счета (0 /3 1). В качестве затравочного потенциала на первом шаге используется потенциал УМ Остановка расчета производится по выполнении условия остановки где 8 - заданная точность. Нужно отметить, что сходимость метода не зависит от выбора нормы в последнем соотношении. Мы использовали квадратичную норму. Для решения задачи на собственные значения для оператора Штурма-Лиувилля в уравнении Шредингера нами был использован метод фаз. Математическая сторона метода фаз описана в Приложении 1. Здесь же отметим, что данный метод превосходно подходит для решения задачи на собственные значения уравнения Шредингера с кусочно-непрерывным квадратично интегрируемым потенциалом, которым является самосогласованный потенциал квантовой ямы. Нами были рассчитаны спектры пространственного квантования и профили самосогласованного потенциала для ряда квантовых ям ОаА8/1пОаАз чг-типа.
Полученные в результате расчета волновые функции были использованы для вычисления транспортного времени релаксации электронов при рассеянии на кулоновском потенциале заряженных примесей в барьере. Для систем с двойной квантовой ямой было рассчитано значение щели между симметричным и антисимметричним состояниями. Параметры структур п-О аАз/1пхОа1_хАз приведены в таблице 1. Квантовая яма образована слоем ОаАэ, барьер размещен в барьере в 5-слоях, отделенных от квантовой ямы спейсером. Размеры ячеек кристалла в материалах, образующих яму и барьер, практически одинаковы, поэтому слои ОаАэ не напряжены. Ь5 - ширина спейсера, йю — ширина квантовой ямы, ( - ширина барьера, Ц"о - величина разрыва зон, п5 - концентрация электронов в яме, определенная из измерений эффекта Шубникова - де Гааза и эффекта Холла. В крайней правой колонке таблицы приведены схематично изображены профили разрыва зон и распределение примесей. При расчете эффективная масса электронов полагалась равной т = 0.067т0, различием массы в слое ОаАэ, образующем квантовую яму, и в слое 1пОаАз, образующем барьер, пренебрегали. Результаты расчета для структур 2982 и 2985 представлены на рис. 2.2. Параметры структур указаны в Таблице 1. Видно, что изгиб дна ямы вследствие самосогласованного потенциала приводит к сдвигу уровней пространственного квантования вверх по энергии, но слабо влияет на расстояние между уровнями. Рис 2.2.
Профили самосогласованного потенциала и спектр пространственного квантования для структур с одиночной квантовой ямой. Параметры структур приведены в Заполнена только одна нижняя подзона пространственного квантования. Эти структуры вследствие очень простого спектра пространственного квантования являются удобными объектами для проверки на них различных подходов к расчету транспортного времени релаксации, что и проделано в Главе 4. Двойная квантовая яма состоит из двух слоев двумерного электронного газа, разделенных барьером, ширина которого сравнима со средним расстоянием между электронами в слое. Слои двумерного электронного газа связаны каждый в своей квантовой яме (рис. 2.3) или вблизи разных краев одиночной широкой квантовой ямы. Последний случай носит название самосогласованной двойной квантовой ямы. В двойной квантовой яме, в отличие от обычных одиночных квантовых ям, носители заряда имеют дополнительную степень свободы - они могут занимать состояния в правой или левой квантовой яме или (при наличии туннелирования между слоями) симметричные или антисимметричные состояния (рис 2.3). Контролировать эту дополнительную степень свободы можно, изменяя высоту и ширину барьера.
Последняя определяет не только величину щели между симметричными и антисимметричными состояниями, но и регулирует величину межслойного кулоновского взаимодействия. В двойных квантовых ямах наблюдается ряд эффектов, обязанных своему существованию межслойному электрон- электронному взаимодействию. Наиболее яркий из них - это закрытие в квантующих магнитных полях щели между симметричным и антисимметричным состояниями и образование состояния коллективного целочисленного квантового эффекта Холла (КЭХ). На эксперименте состояние многочастичного целочисленного квантового эффекта Холла (КЭХ) проявляется в исчезновении особенностей целочисленного КЭХ с четными номерами [34]. Особенности целочисленного КЭХ изчезают в сильном магнитном поле, если выполняется соотношение А45 Ес электронного взаимодействия , - расстояние между центрами квантовых ям, образующих двойную квантовую яму. Более полный обзор работ по квантовому эффекту Холла в двойных квантовых ямах можно найти в работе [36], теоретический анализ состояния коллективного целочисленного квантового эффекта Холла выполнен в работах [36,37,38].
Непараболичность закона дисперсии пространственно-квантованных дырок
При увеличении ширины квантовой ямы расстояние между подзонами пространственного квантования тяжелых и легких дырок уменьшается, в силу чего возрастает взаимодействие подзон тяжелых и легких дырок. Последнее обстоятельство приводит к увеличению непараболичности закона дисперсии дырок. На нижней ветви закона дисперсии появляются дополнительные минимумы при значениях волнового вектора к Ф 0, которые с увеличением ширины ямы становятся глубже, чем минимум при к = 0. Возникновение дополнительных минимумов на законе дисперсии нижней подзоны пространственного квантования увеличивает число состояний в нижней зоне пространственного квантования, в силу этого даже при больших концентрациях носителей заряда не происходит заселения второй подзоны пространственного квантования. Сильная непараболичность закона дисперсии приводит к тому, что даже при высоких концентрациях дырок в широкой квантовой яме не возникает самосогласованной двойной квантовой ямы, как это происходит в случае электронных систем. Расчет для узкой ямы (рис 3.1) показывает, что примененное выше приближение диагонального гамильтониана Латтинжера при к кР адекватно описывает первую зону пространственного квантования тяжелых дырок в данной структуре. Для структуры с широкой квантовоя ямой (рис. 3.2) наблюдается сильная непараболичность спектра пространственного квантования (рис. 3.2а). Закон дисперсии нижней подзоны пространственного квантования имеет миинимум при отличном от нуля значении волнового вектора (рис. 3.26), обусловленные сильным взаимодействием первой зоны пространственного квантования тяжелых дырок с первой зоной пространственного квантования легких дырок, лежащей достаточно близко по энергии.
Наличие этого минимума приводит к появленияю у дна зоны первой подзоны пространственного квантования пика плотности состояний (рис. 3.2в). Уровеннь Ферми в этой системе лежит ниже значения е0(& = 0). Заселена только первая подзона пространственного квантования. Разделение дырочного газа на два подслоя не происходит, хотя при к = 0 щель между нижней и первой возбужденной зонами пространственного квантования тяжелых дырок составляет Аяяьяяо= 0.066 мэВ. Объяснить такое поведение можно, если принять во внимание то, что волновая функция при отличных от нуля значениях волнового вектора вблизи минимума закона дисперсии есть линейная комбинация всех вышележащих волновых функций. Хотя волновая функция первой подзоны пространственного квантования близка к нулю при г-0, остальные волновые функции дают существенный вклад в величину плотности носителей заряда в центре ямы. Согласно (1.20) одноосное сжатие приводит к уменьшению разрыва зон для легких дырок и увеличению для тяжелых. Величина параметра одноосного сжатия для рассматриваемой структуры была взята из работы [49] и составляла примерно 10% от величины разрыва зон. При учете одноосного сжатия система подзон пространственного квантования тяжелых дырок сдвигается по энергии вниз, а система подзон пространственного квантования легких дырок сдвигается по энергии вверх (энергия дырок выбрана положительной). При этом уменьшается взаимодействие подзон тяжелых и легких дырок, являющееся причиной сильной непараболичности.
Заселенными остаются только две нижние подзоны тяжелых дырок, при этом закон дисперсии в диапазоне значений волнового вектора к кР становится близким к квадратичному. Последнее обстоятельство служит обоснованием применимости модели анизотропной эффективной массы для расчета дырочных спектров пространственного квантования в рассмотренных нами гетероструктурах. На рис. 3.4 приведен вид волновых функций первой и второй подзон пространственного квантования при к-кР. Волновая функция нижней подзоны пространственного квантования тяжелых дырок имеет ярко выраженный минимум при г = 0, что свидетельствует о достаточно полном разделении носителей заряда на два подслоя. Рис 3.4. Волновые функций первой и второй подзон пространственного квантования при к = кр. Образец 475Ы Таким образом, уменьшение непараболичности спектра носителей заряда вследствие одноосного сжатия приводит к формированию в широкой квантовой яме напряженной гетероструктуры р-типа самосогласованной двойной квантовой ямы. В этой главе приведены теоретические представления о рассеянии двумерных электронов на различных типах рассевающего потенциала.
Рассмотрены общие теоретические соотношения, в борновском приближении приведены выражения для обратного времени релаксации и подвижности двумерных электронов. На основе этих соотношений в приближении 2D- предела получены выражения для времени релаксации и подвижности для частных случаев короткодействующего потенциала и кулоновского потенциала. Для кулоновского потенциала исследовано влияние экранирования на рассеяние носителей заряда., а также рассеяние на удаленных примесях. Получены асимптотические аналитические выражения для обратного времени релаксации и подвижности для случая сильно удаленных примесей. Проделан подробный численный расчет времени релаксации и подвижности для случая рассеяния на экранированном и неэкранированном потенциале удаленных примесей. Матричные элементы рассеивающего потенциала вычислялись на волновых функциях, полученных в результате самосогласованного расчета спектра двумерных электронов в квантовой яме. Проведено сравнение результатов численных и аналитических расчетов, исследована допустимость использованных при расчетах приближений. Проведено также сравнение рассчитанных значений подвижности с данными, полученными различными авторами на
Рассеяние на короткодействующем потенциале (однозонный случай)
Рассмотрим рассеяние на короткодействующем потенциале, определяемом формулами (4.7) - (4.8). Для времени релаксации в этом случае получаем выражение: Для наглядности рассмотрим 2Б-предел, задаваемый соотношением: и будем считать, что в системе существуют примеси только одного сорта. В этом случае выражение для времени релаксации (4.15) приобретает вид: Из последнего выражения следует, что время релаксации на короткодействующем потенциале определяется концентрацией рассеивающих центров в двумерном слое. Вопрос можно поставить по-другому. Пусть у нас есть 5- слой примесей на расстоянии г0 от центра квантовой ямы (4.12). В этом случае выражение (4.15) для времени релаксации примет вид:
Время релаксации обратно пропорционально четвертой степени амплитуды волновой функции в точке нахождения примеси. Т.к. за пределами квантовой ямы волновая функция экспоненциально спадает, то из последнего выражения следует, что существенный вклад в рассеяние на короткодействующем потенциале дают только примеси, расположенные внутри ямы. (4.16) Пусть у нас есть яма шириной по всей ширине которой равномерно расположены примеси. Волновую функцию электронов первой подзоны пространственного квантования возьмем в виде: Тогда время релаксации носителей заряда в такой системе в соответствии с соотношениями (4.14) и (4.18) будет выражаться формулой: Далее нам будет удобнее рассматривать только один сорт примесей, распределенных в соответствии с выражением (4.12). Выражение для времени релаксации (4.10) в случае рассеяния на кулоновском потенциале (4.9) перепишется в следующем виде: где к0 - диэлектрическая проницаемость среды, - безразмерная диэлектрическая проницаемость, Рассмотрим квантовую яму, по центру которой расположен слой примесей. Для оценки времени релаксации воспользуемся 2Б-пределом (4.16), положив в нем г0 = 0, тогда величины и будут равны единице. Также пренебрежем поправкой от локального поля. Если обратный радиус экранирования мал по сравнению с вектором Ферми то безразмерную те диэлектрическую проницаемость также можно считать равной единице. В этом случае для времени релаксации получим следующее выражение Учет экранирования приводит к появлению в выражении для времени релаксации дополнительного множителя, зависящего от радиуса экранирования: Формула (4.27) является двумерным аналогом формулы Брукса-Херринга. При учете поправки от локального поля аналитическое выражение для фактора получить не 371 удается. Вместе с тем эта поправка не должна существенно влиять на характер зависимости времени релаксации от энергии. При (2«. 1 (предел сильного экранирования д3 кР) Рассмотрим теперь г0 Ф 0. В этом случае 7ГЖ, Будем считать экранирование слабым и положим к ) = 1. В этом случае выражение для времени релаксации приобретает вид: С гт Л2 2е т-1(б(Л:)) = —— Х(4%0) (4.32) и у к0 ) где х(п) = 10(п)-10(п) (4.33) 1п (г) - модифицированная функция Бесселя; „( ) - модифицированная функция Струве. При 1)»1 выполняется соотношение: Это означает, что при больших значениях г0 время релаксации линейно растет с ростом расстояния до примесей г0. Рассмотрим подробнее предел сильного экранирования к
Разложим в выражении (4.21) к г{2кх) в ряд по степеням параметра 2и ограничимся учетом первого неисчезающего слагаемого: Вычисляя интеграл по х в выражении (4.21), получаем для времени релаксации на удаленных примесях следующее выражение: При г0 - 0 последнее выражение согласуется с выражением для времени релаксации на экранированных примесях внутри слоя. Исследуем асимптотики выражения (4.37) при малых и больших значениях параметра 4кг0. (4.37) При малых значениях этого параметра в выражении (4.21) можно разложить в ряд экспоненту, входящую в форм-фактор и оставить несколько первых неисчезающих слагаемых. В результате после несложных вычислений получаем для времени релаксации при малых значениях г0: При больших значениях параметра 4кг0 основной вклад в интеграл дает область малых х, поэтому в формуле (4.21) можно разложить в ряд по малым х выражение только наиболее медленно спадающее с увеличением г0 слагаемое, получаем для времени релаксации следующее выражение: Последнее выражение хорошо согласуется с зависимостью, полученной Прайсом. Мы рассчитали низкотемпературную подвижность \х = —г(ър) т для исследованных нами гетероструктур ОеД е81, а также для квантовых ям ОаАз/1п&аАз. Вычисления производились по формуле (4.13), матричные элементы кулоновского потенциала вычислялись на волновых функциях, полученных в результате самосогласованного численного решения уравнения Шредингера, в котором значения параметров потенциала, описывающего квантовую яму, выбирались соответствующими значениям этих параметров в образцах (табл. 1). В табл.1 1 - ширина квантовой
