Содержание к диссертации
Введение
1. Методы численного эксперимента и критическая динамика магнетиков.
1.1. Метод Монте-Карло. 22
1.2. Метод Молекулярной Динамики. 30
1.3. Критическая динамика магнетиков 33
1.4.. Экспериментальные исследования критической динамики магнетиков 38
1.5. Исследование критической динамики магнетиков численными методами 41
2. Критическая динамика классической модели гейзенберга
2.1. Критические свойства модели Гейзенберга. 51
2.2. Критическая динамика модели Гейзенберга 54
3. Динамические критические свойства моделей антиферромагнетика Сг203.
3.1. Критические свойства макрообразцов Сг20з 72
3.2. Статические критические свойства моделей СГ2О3. 73
3.3. Критическая динамика моделей Сг203 77
4. Динамические критические свойства моделей ферромагнитного гадолиния.
4.1. Критические свойства макрообразцов Gd 89
4.2. Статические критические свойства моделей Gd 93
4.3. Критическая динамика моделей Gd 96
5. Критическая релаксация моделей спиновых решеточных систем
5.1. Критическая релаксация модели Изинга 114
5.2. Критическая релаксация модели Гейзенберга 119
5.3. Критическая релаксация моделей Сг203 124
Заключение. 131
- Метод Молекулярной Динамики.
- Критическая динамика модели Гейзенберга
- Критическая динамика моделей Сг203
- Критическая динамика моделей Gd
Введение к работе
Исследование динамических критических свойств спиновых систем является одной из актуальных задач современной статистической физики [1-6]. Построение последовательной и строгой теории динамических критических явлений на основе микроскопических гамильтонианов остается одной из центральных проблем современной теории фазовых переходов и критических явлений [2] и, несмотря на значительные успехи, достигнутые в последнее время в исследовании критической динамики спиновых систем, все еще далека от своего решения [3]. Теоретические и экспериментальные исследования в этой области сталкиваются с огромными и труднопреодолимыми препятствиями [5-20];
Существующие аналитические теории при исследовании спиновых систем исходят из микроскопических гамильтонианов. Из теоретических подходов можно отметить теорию ренормализационных групп.[4], теорию взаимодействующих мод [3], гипотезу динамического скейлинга [3,4]. С применением данных подходов получены результаты для целого ряда простых модельных систем, для которых был рассчитан - динамических критический индекс z. Установлены основные факторы, влияющие на его численное значение. Показано, что характер динамического критического поведения зависит не только от размерности пространства, числа степеней свободы параметра порядка, характера упорядочивающего взаимодействия и симметрии гамильтониана, но и от выполнимости законов сохранения характерной энергии и параметра порядка..
Однако теория все же не дает полной и однозначной картины динамического критического поведения вблизи критической точки. Динамические критические свойства магнитоупорядоченных материалов отличаются большим разнообразием и сложностью, которая обусловлена необходимостью учета вместе с сильными обменными взаимодействиями и слабых релятивистских. Наиболее существенными из них являются дипольные взаимодействия, роль которых возрастает при подходе к критической точке. В результате вся критическая область оказывается поделенной на обменную и дипольную.. В обменной области, как показывают эксперименты, справедливы предсказания теории взаимодействующих мод и динамического скейлинга. В дипольной же области теория предсказывает два варианта динамики: обычный и жесткий [9-11]. Экспериментальная же ситуация пока еще не ясна, из-за противоречивости имеющихся данных [9-12].
В последние десятилетия для исследования фазовых переходов и критических явлений все шире стали применяться методы вычислительной физики (ВФ): такие, как методы Монте-Карло (МК) и молекулярной динамики. (МД).. Методы ВФ обладают рядом ценных преимуществ, связанных не только с их строгой математической обоснованностью и возможностью контроля за погрешностью в рамках самих методов, но и с тем, что они позволяют определить степень влияния на. результаты того или иного фактора.
Первый вариант применения метода МК в статистической физике был предложен в работе [24], после чего получил дальнейшее развитие в [25-32]. С тех пор интерес к численным методам постоянно возрастает. Разрабатываются новые алгоритмы, исследуются все более сложные физические системы с различными типами межчастичных взаимодействий. Численные методы являются основным инструментом для исследования систем в таких условиях, в которых экспериментальные данные либо еще не существуют, либо, их получение связано со значительными трудностями. Методы ВФ позволяют исследовать статические и динамические свойства конденсированных систем со сложными потенциалами взаимодействия, в широком интервале температур, с учетом различных дополнительных факторов (таких, например, как анизотропия, внешнее магнитное поле и других параметров) [32-56]. При этом следует отметить, что точность результатов, получаемая методами ВФ, не только не уступает данным, полученным другими методами, но зачастую и превосходит их [44]. Значительное влияние на развитие исследований критических явлений численными методами оказала и применяемая для расчета критических параметров теория конечно-размерного скеилинга [57-59].
Для реализации на ЭВМ временной эволюции системы частиц согласно классическим уравнениям движения при заданном законе взаимодействия частиц друг с другом был разработан метод МД [60-64], который широко применяется и для исследования спиновых решеточных систем [47,49,52].
В последнее время стало уделяться значительное внимание применению методов ВФ к исследованию и динамического критического поведения моделей магнитных материалов [37,44]. Исследование критической динамики представляет собой более сложную задачу, чем изучение статического критического поведения. При изучении статических критических явлений методами теоретической физики исследуются свойства различных термодинамических параметров в равновесном состоянии. Статическая задача представляет собой, по сути, задачу статистическую. В случае динамического поведения необходимо знать каким образом конфигурации изменяются со временем, как изменяются физические характеристики при воздействии зависящих от времени внешних возмущений, каким образом по прекращении действия возмущений устанавливается равновесная плотность распределения [4].
Существующие в настоящее время представления о критической динамике были получены в рамках теорий взаимодействующих мод и динамического скеилинга [3-8]. Эти две теории развивались независимо друг от друга и основаны на различных идеях. Однако результаты, полученные ими, согласуются друг с другом. Связь между этими двумя подходами была найдена, когда было показано, что вместо гидродинамических мод можно ввести совокупность динамических переменных, динамика которых имеет характеристический спектр частот, предсказанный динамическим скейлингом [12].
Количественное изучение критической динамики численными методами началось относительно недавно. В ряде работ эти методы использованы для изучения динамических свойств вблизи точки фазового перехода и расчета динамического критического индекса z [44, 65-91]. Однако, до сих пор все исследованные численными методами системы являются моделями первого приближения на простых решетках. Это, как правило, различные варианты модели Изинга н Гейзенберга, XY-модель на простой и объемоцентрированной кубических решетках. В последнее время проводятся численные исследования критической динамики моделей реальных магнитных материалов на простых решетках [76,77,80]. Это модель изотропного антиферромагнетика RbMrJV на простой кубической решетке, модели анизотропных антиферромагнетиков FeF2 и MnF2 на ОЦК решетке.
Большой интерес представляет исследование критической динамики моделей реальных сложных магнитных материалов, в которых помимо обменного взаимодействия присутствуют различные усложняющие факторы, присущие реальным системам, но не учитываемые классическими моделями первого приближения. К ним могут быть отнесены анизотропия и примеси, многоспиновый обмен, диполь- дипольное взаимодействие и ряд других факторов. Отметим, что предложенная в работе [5] традиционная классификация классов универсальности динамического критического поведения вообще не учитывает фактор влияния обусловленный дипольными взаимодействиями. В последующем С.В.Малеев в своих известных работах [9-11] показал, что учет дштольных взаимодействий в теории приводит к двум вариантам динамики - обычной и жесткой, каждая из которых характеризуется своим набором критических параметров.
Экспериментальная ситуация пока не ясна из-за противоречивости имеющихся данных [12]. В действительности ситуация еще более сложная, так как в реальном материале одновременно могут существовать все факторы, влияющие на критическую динамику. В таком случае, очевидно, что характер критической динамики в значительной мере зависит от соотношения действующих сил - обменных, анизотропных и дипольных. Кроме того, не следует забывать, что вблизи критической точки формируется не только то или иное критическое поведение, обусловленное соответствующими силами, но и существуют кроссоверные области. Вследствие чего, характер критического поведения может меняться в зависимости от того, насколько близко удалось приблизиться к критической точке. Очевидно, что реальная ситуация еще более разнообразная, так как релятивистские силы могут быть разных типов. Например, анизотропия может быть одноосной, кубической и т.д., а. дипольные взаимодействия могут быть как изотропными, так и анизотропными. По видимому, влияние совокупности всех этих факторов и является одной из серьезных причин противоречивости экспериментальных данных по исследованию динамических критических свойств магнитоупорядоченных материалов.
Очевидно, что экспериментальные исследования вряд ли смогут в ближайшее время прояснить сложившуюся противоречивую ситуацию, когда теория предсказывает одно, а эксперимент дает другое поведение, так как высокоточные исследования в критической области чрезвычайно трудновыполнимы. Кроме того, почти всегда экспериментальные результаты являются суммой действия всех сил одновременно. Вследствие чего, практически невозможно определить вклад и степень влияния того или иного фактора. Строгое теоретическое исследование этого вопроса также маловероятно из-за чрезмерных математических трудностей.
В последнее время значительную роль в прояснении таких сложных вопросов стали играть методы вычислительной физики. По крайней мере, при изучении статических критических явлений методы вычислительной физики; позволяют рассчитать критические параметры' с очень высокой степенью точности и надежности [37]. Основными параметрами, определяющими критическую динамику, являются критический индекс времени релаксации w и динамический критический индекс z: т - Щ' , г~г, где Л = \T,-TQ\lTc. и %-(Т/Тс~Ї)~у. В середине 90-х годов прошлого столетия появился метод, позволяющий с использованием теории динамического конечно-размерного скейлинга [ 19] и специальной схемы определения характеристической частоты сос рассчитать динамический критический индекс z [44,70,77], Кроме того, в ряде работ для исследования критической динамики использовался и метод критической релаксации [44,65-67].
Таким образом исследование критической динамики моделей реальных сложных магнитных материалов, в которых слабые релятивистские взаимодействия разного типа выступают одновременно на фоне сильных обменных взаимодействий, является важной и актуальной проблемой современной статистической физики.
В данной работе, методами вычислительной физики исследована критическая динамика моделей магнитных материалов. Объектами исследования являются как хорошо изученные модели (модель Изинга и модель Гейзенберга [32,44,92]), так и модели реальных магнитных материалов. А именно: модели сложного многопод решеточного антиферромагнетика Сг2Оз и модели ферромагнитного гадолиния. При этом основные вопросы, на которые мы хотели получить ответы, можно сформулировать следующим образом:
Какое влияние на характер динамического критического поведения оказывает одноосная анизотропия?
Как влияют изотропные диполь-дипольные взаимодействия на характер динамического критического поведения?
Отличается ли критическая динамика вдоль разных направлений в некубических кристаллах?
Способна ли используемая методика расчета критических параметров выявить влияние на критическую динамику таких факторов, как анизотропия и достаточно слабых диполь-дипольных взаимодействий?
Возможно ли исследование критической динамики моделей сложных магнитных материалов, методом критической релаксации?
Выбор для исследования моделей сложного многоподрешеточного антиферромагнетика СГ2О3 и ферромагнитного гадолиния обусловлен следующими факторами:
Физические свойства этих материалов хорошо изучены методами лабораторного эксперимента. Имеется значительное число работ, посвященных экспериментальному исследованию как Сг203 [93-107], так и гадолиния [108-138].
Экспериментально изучено и статическое критическое поведение Сг203 [105-107] и гадолиния [108,117-131], что может служить хорошей базой для изучения и критической динамики.
Статическое критическое поведение моделей данных материалов исследовалось и методами численного эксперимента. Результаты моделирования статического критического поведения для моделей СггОз приведены в работах [37,48-52], а для гадолиния в [53-56]. 4. На характер статического критического поведения в СГ2О3 значительное влияние оказывает эффективная одноионная анизотропия типа "легкая ось" [37,48-50]. 5,. В гадолинии на характер статического критического поведения существенное влияние оказывают изотропные диполь- дипольные взаимодействия [54,131].
Существует довольно обширный ряд экспериментальных работ по изучению критической динамики ферромагнитного гадолиния [12,132,133,137,138], но результаты этих работ столь противоречивы, что на их основе нельзя сделать какие-либо однозначные выводы.
Имеется ряд работ теоретического плана, в которых сделана попытка объяснить сложный характер динамического критического поведения гадолиния [139,140].
Динамическое критическое поведение гадолиния представляет серьезный интерес и само по себе, так как оно формируется под действием трех факторов: одновременно - обменных взаимодействий, магнитной кристаллографической анизотропии и изотропных диполь-дипольных взаимодействий.
Целью работы являлось исследование динамических критических свойств моделей сложных реальных магнитных материалов. В процессе выполнения работы решались следующие задачи:
1. Разработка методики исследования динамического критического поведения спиновых систем на базе метода МК и метода МД.
Разработка комплекса программ для ЭВМ, с помощью которого можно исследовать критическую динамику сложных спиновых решеточных систем.
Исследование динамического критического поведения простых моделей первого приближения (модели Изинга и Гейзенберга).
Исследование динамического критического поведения моделей реального сложного многоподрешеточного антиферромагнетика Сг203.
Исследование динамического; критического поведения моделей реального ферромагнитного гадолиния.
Определение степени влияния на характер динамического критического поведения добавочных релятивистских взаимодействий, таких, как анизотропия и диполь-дипольное взаимодействие.
Проверка различия критической динамики вдоль разных направлений в некубических кристаллах.
8; Изучение критической релаксации спиновых моделей первого приближения (модели Изинга и Гейзенберга) и моделей реального сложного многоподрешеточного антиферромагнетика Сг203.
Практическая ценность работы. Полученные в диссертации результаты по исследованию динамического критического поведения моделей сложных реальных магнитных материалов представляют интерес для дальнейших исследований в теории магнетизма и физики фазовых переходов и критических явлений. При этом основой для дальнейших исследований является комплекс программ для ЭВМ, разработанный при выполнении данной работы.
Сопоставление результатов численного эксперимента по исследованию динамического критического поведения моделей магнитных материалов как с теоретически предсказанными результатами, так и с результатами лабораторных и численных экспериментов, показало применимость методов ВФ к исследованию критической динамики не только простых модельных систем, но и моделей сложных реальных магнитных материалов, в которых помимо обменных взаимодействий присутствуют и добавочные релятивисткие взаимодействия различного вида.
Научную новизну и значимость диссертации определяют основные положения, которые автор выносит на защиту:
Возможность применение методов численного эксперимента к изучению динамического критического поведения моделей сложных магнитных материалов, в которых помимо обменного взаимодействия учитываются и слабые добавочные релятивистские взаимодействия.
Исследование динамического критического поведения моделей сложного многоподрешеточного антиферромагнетика Сг203. Оценка влияния анизотропии на характер динамического критического поведения моделей Сг20з-
Исследование динамического критического поведения моделей ферромагнитного гадолиния. Оценка влияния одноосной анизотропии и изотропного диполь-дипольного. взаимодействия на характер динамического критического поведения моделей гадолиния.
Проверка возможности применения метода критической релаксации к исследованию динамического критического поведения моделей сложных магнитных материалов.
Исследование критической релаксации моделей сложного многоподрешеточного антиферромагнетика СГ2О3.
Проверка существования различий в критической динамике вдоль разных направлений в некубических кристаллах.
Сложный комплекс программ для ЭВМ, позволяющий проводить исследования критической динамики и критической релаксации моделей сложных реальных магнитных материалов.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на; следующих конференциях, совещаниях, семинарах: Международной конференции "Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах" (Махачкала, 1998, 2000, 2002, 2004); Евро-Азиатский симпозиум "Тенденции в Магнетизме" EASTMAG-2001 (Екатеринбург, 2001); Международная зимняя школа физиков-теоретиков "Коуровка-2002" (Екатеринбург,, 2002); Московский международный симпозиум по магнетизму "MISM-2002" (Москва, 2002); Международная школа-семинар "Новые магнитные материалы микроэлектроники" HMMM-XVIII и HMMM-XIX (Москва, 2002, 2004); Международная конференция по магнетизму ICM-2003 (Италия, Рим, 2003); Международный симпозиум "Фазовые превращения в твердых растворах и сплавах" ОМА-2003 (Сочи, 2003); Выездная секция по проблемам магнетизма в магнитных пленках, малых частицах и наноструктурных объектах (Астрахань, 2003); Всероссийская школа-семинар молодых ученых "Физика фазовых переходов" (Махачкала, 2003).
Основные результаты работы опубликованы:
Муртазаев А.К., Алиев Х.К., Хизриев КЛИ., Эмирасланова Л.Л., Мутайламов В А. Конечно-размерный скейлинг и критические индексы Сг203 //Тезисы докладов международной конференции "Фазовые переходы и критические явления в конденсированных средах"; - Махачкала, 1998; - с.65.
Муртазаев А.К., Камилов И.К., Алиев Х.К., Мутайламов В А. Критическая динамика моделей антиферромагнетика Сг20з. Сборник статей конференции; "Резонансные и нелинейные явления в конденсированных средах". - Уфа, 1999. - с.167.
3; Муртазаев А.К., Камилов ИЛС, Алиев Х.К., Мутайламов ВА, Критическая динамика моделей антиферромагнетика Сг20з // ЖЭТФ. - 2000. - т.117,вып.З. - с.559-561,
Муртазаев А.К., Мутайламов В А. Исследование критической динамики спиновых решетчатых систем // Материалы, международной конференции "Фазовые переходы и нелинейные явления в конденсированных средах". - Махачкала, 2000, с.50. Murtazaev А.К., Mutailamov V.A. Investigation of Critical Dynamics о Spin Lattice Systems // Abstracts book EASTMAG-2001. - Ekaterinburg, 2001. - p.74:
Муртазаев A.K., Камилов И.К., Мутайламов ВА. Исследование критической динамики моделей магнетиков методами вычислительной физики // Программа, и тезисы докладов Международной зимней школы физиков-теоретиков "Коуровка -2002". - Екатеринбург, 2002. - с.130. Murtazaev A.K., Kamilov I.K., Mutailamov V;A., Khizriev K.Sh., Abuev Ya.K. Investigation on the critical dynamics of real magnetics models by computational physics methods II MISM- 2002: Book of Abstracts. - Moscow, 2002. - p,48; Murtazaev A.K., Mutailamov V.A., and Abuev Ya.K. Investigation of the Critical Dynamicsof Spin Lattice Systems // The Physics of Metals and Metallography. - 2001: - v.92, supphl: - p.S106-S109. Муртазаев A.K., Мутайламов B.A., Камилов И.К,, Хизриев К.Ш., Абуев Я.К. Критическая динамика моделей реальных магнетиков // Сборник трудов XVIII международной школы- семинара, "Новые магнитные материалы микроэлектроники" HMMM-XVIII. - Москва, 2002; - с.507-509. Хизриев К.Ш:, Муртазаев А.К., Камилов И.К., Мутайламов В;А., Абуев Я.К. Спиновая динамика моделей малой магнитной частицы гадолиния 7/ Сборник трудов XVIII международной школы-семинара "Новые магнитные материалы микроэлектроники" HMMM-XVIII. - Москва, 2002. - с.144-146. Камилов И.К., Муртазаев А.К., Мутайламов В.А. Критическая динамика моделей магнетиков // Сборник трудов международной конференции "Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах". -Махачкала, 2002. - с.8-10. Murtazaev А.К., Mutailamov V.A., Kamilov I.K., Khizriev K.Sh., Abuev Ya.K. Investigation on the critical dynamics of real magnetics models by computational physics methods II Journal of Magnetism and Magnetic Materials. - 2003. - v.258-259. - p.48-50. Murtazaev A.K., Mutailamov V.A., Kamilov I.K., Khizriev K.Sh. Investigation on the critical dynamics of the real antlferromagnet Cr203 IIICM-2003, International conference on magnetism, Abstract book. - Roma, Italy, 2003. - p.524.
Муртазаев А.К., Мутайламов B.A., Хизриев К.Ш. Исследование критической динамики оксидов хрома Сг203 // Сборник трудов международного симпозиума "Фазовые превращения в твердых растворах и сплавах" ОМА-2003. - Сочи, 2003. - с.213-214.
Муртазаев А.К., Мутайламов В.А. Исследование критической динамики магнитных материалов численными методами // Труды международного семинара "Выездная секция по проблемам магнетизма в магнитных пленках, малых частицах и наноструктурных объектах". - Астрахань, 2003. - с.54-55.
Муртазаев А.К., Мутайламов В.А. Исследование критической динамики моделей Сг203 // Сборник трудов, всероссийской школы-семинара молодых ученых "Физика фазовых переходов". - Махачкала, 2003. - с.174-176.
Муртазаев А.К., Мутайламов В.А., Хизриев К.Ш. Исследование критической динамики оксидов хрома Сг203 // Известия Академии Наук. Серия Физическая. - 2004. - т.68, №5. - с.734-735.
Муртазаев А.К., Мутайламов В.А. Критическая динамика модели ферромагнитного гадолиния // Сборник трудов XIX международной школы-семинара "Новые магнитные материалы микроэлектроники" HMMM-XIX. - Москва, 2004. - с.755-756.
Муртазаев AiC, Мутайламов В.А. Исследование критической динамики моделей ферромагнитного гадолиния // Сборник трудов международной конференции "Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах". - Махачкала, 2004. - с.40-43.
Муртазаев А.К., Мутайламов В.А. Исследование динамического критического поведения моделей ферромагнитного гадолиния // ЖЭТФ. - 2005. - т.128, №.2. - с.344-350.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, и списка цитированной литературы.
В главе I дается описание методов численного эксперимента, теории критической динамики магнетиков и методов ее исследования.
В параграфе 1.1 рассмотрен классический метод МК применительно к каноническому ансамблю, рассмотрена его практическая реализация в случае магнитных решеточных систем, приводится оценка погрешности метода.
Параграф 1.2 посвящен методу МД. Дается его описание применительно к движению спинов в магнитном поле.
В параграфе 1.3 освещаются теоретические вопросы, связанные с критической динамикой магнетиков. Дано описание теории динамического скеилинга и приводятся теоретические результаты, полученные на ее основе.
В параграфе 1.4 рассмотрены экспериментальные методы исследования критической динамики магнитных материалов.
Параграф 1.5 посвящен исследованию критической динамики магнетиков методами численного эксперимента. Списана методика исследования критической динамики как методом, основанном на совместном использовании метода МД и теории динамического конечно- размерного скейлинга, так и методом критической релаксации. Приводятся литературные результаты, полученные при исследовании критической динамики магнетиков данными методами.
В Главе II рассмотрена критическая динамика классической модели Гейзенберга.
В параграфе.2 Л дается описание классической модели Гейзенберга и ее критических свойств..
В параграфе 2:2 приводятся результаты численного исследования динамического критического поведения модели Гейзенберга. Приведено сравнение наших результатов как с теоретически предсказанными, так и с результатами, полученными другими авторами при изучении критической динамики этой модели: методами численного эксперимента. Показана применимость использованной нами методики к изучению критической динамики магнитных материалов.
Метод Молекулярной Динамики.
Метод молекулярной динамики представляет собой реализацию на ЭВМ временной эволюции системы частиц согласно классическим уравнениям движения при заданном законе взаимодействия частиц друг с другом. Впервые метод молекулярной динамики был применен Альдером и Вейнрайтом в 1957 году [60] для моделирования системы, состоящей из твердых шаров. После этого метод МД был развит Раманом в 1964 году [61], и идеи, предложенные им, в том или ином виде используются и в настоящее время. Метод МД успешно применяется для решения различных задач статистической физики. Он широко применяется при исследовании динамических свойств непрерывных систем: жидкостей, жидких кристаллов и т.д. Метод МД применяется и к спиновым системам. При низких температурах в магнитных решеточных системах используется теория спиновых волн [62,63]. Суть метода состоит в линеаризации уравнений движения при небольших отклонениях системы от основного состояния. Кроме того, используется феноменологический подход Ландау-Лифшица, в основе которого лежит уравнение для намагниченности [102] (1.15) где у - гиромагнитное соотношение, є - заряд электрона, me - его масса, с -скорость света, g - множитель Ланде, Hejj- "эффективное" магнитное поле, определяемое минимизацией по Й функционала свободной энергии. Движение отдельного спина можно описать следующим уравнением [64]: где ЙІОС{і) - локальное магнитное поле, действующее на спин. Динамика спинов описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений движения первого порядка, которые получаются из квантовых уравнений движения путем квазиклассической аппроксимации (5=со). При этом система уравнений движения численно интегрируется на ЭВМ. Требуемая точность интегрирования достигается выбором шага интегрирования. В качестве начальной конфигурации: используются равновесные конфигурации спинов, полученные методом МК при данной температуре. Метод МД с принципиальной точки зрения является строгим. При его использовании в реальных магнитных системах необходимо использовать классическую аппроксимацию спинов (S-oo). Этим и относительно небольшими временами, на которых можно следить за системой, ограничены возможности метода в применении к спиновой системе. К классическим уравнениям движения приходят следующим образом.
Постулируется линейная связь между моментом количества движения /-го спина Ц и его магнитным моментом Поскольку на магнитный момент действует момент силы [jfyx/?ij, то закон изменения момента количества движения для z -го спина С учетом вида конкретного гамильтониана можно перейти к единичным векторам и безразмерным величинам: где J. - энергия обменного взаимодействия (обменный интеграл), т0. -величина магнитного момента (т0. = g цв). Для классической модели Гейзенберга с одноосной анизотропией, гамильтониан имеет вид [3,4] где Но - внешнее магнитное поле, J» - энергия обменного взаимодействия /-го спина с соседом у,; D - постоянная одноосной анизотропии, направленной вдоль оси z, Sf - проекция /-го спина на ось z. В этом случае локальное поле, действующее на /-й спин, определяется как где суммирование ведется по ближайшим соседям /-го спина, Jik- энергия обменного взаимодействия /-го спина с соседом к, т] - проекция магнитного момента /-го спина на ocbz. Для модели Гейзенберга, описываемой гамильтонианом (1.19), имеются различные, интегралы уравнения движения (1.18). Если =0 и Я0=0, то полная энергия: и намагниченность являются интегралами движения: E=con$t, ]Й = сопзі. Если D=0 и ЩфО, то интегралами движения являются Е, Mzt Л?и обменная энергия. Если ОфО, то интегралами движения, являются Е, Mz и сумма обменной энергии и энергии анизотропии. Во всех случаях имеются тривиальные интегралы движения S, = 1. При изучении кооперативных явлений зависящих от времени, исключительно важным является применение аппарата корреляционных функций [3,5-6,44]. Для-исследования критической динамики магнитных спиновых систем применяется пространственно-временная спиновая корреляционная функция [3] где fn = fx - f2, Д, (t) - спин, локализованный на узле Гх в момент времени t, Sr (0)- спин, локализованный на узле f2 в начальный момент времени (t=0), угловые скобки означают усреднение по ансамблю. Второе слагаемое в правой части (1.21) должно быть константой при любых значениях Т ut [44]. Фурье-образ в пространстве и времени корреляционной функции (1.21) определяет динамический структурный фактор 5( ,ш) [3]: где ф - волновой вектор, со - частота. Статический структурный фактор S{q) определяется через динамический следующим образом: Динамический структурный фактор непосредственно измеряется в экспериментах по рассеянию нейтронов. Если обозначить интенсивность спектральной плотности рассеянного излучения через /(#, СУ) И определить нормировочную функцию /( ) аналогично (1.23)1 то в общем случае соотношение между спектральной плотностью рассеянного излучения и динамическим структурным фактором можно записать следующим образом [3]: где ыо - частота падающего излучения. В квазиупругом приближении функция /( ?) является полной интенсивностью для данного угла рассеяния q. Таким образом, соотношение (1.25) дает прямую связь между экспериментально наблюдаемой величиной 1(Ц,со) и микроскопической характеристикой системы S( td). Соотношение 1( ,0))/1( ) просто равно S(q,co)/S(q ) в системе координат, центр которой перенесен из точки ш=0 в точку со0. Существующие в настоящее время представления о критической динамике были получены в рамках теорий взаимодействующих мод [7-8] и динамического скейлинга. Эти две теории развивались независимо друг от друга и основаны на различных идеях.
Однако результаты, полученные на их основе, хорошо согласуются друг с другом. Теория взаимодействующих мод берет свое начало в работе Фиксмана [8], в которой он попытался учесть расходимость кинетических коэффициентов вблизи точки фазового перехода, что в то время не могли объяснить классические теории фазовых переходов, такие, например, как теория Ландау [1]. Фиксман полагал, что дальние пространственные корреляции (теория Орнштейна-Цернике [ 1 ]) приводят к усилению флуктуации, которые в свою очередь приводят к аномальному изменению коэффициента переноса. Дальнейшее развитие теория получила в работах Каданова [9], в которых на языке временных корреляционных функций было показано, что расходимость кинетических коэффициентов обусловлена распадом одних гидродинамических мод на другие (теория взаимодействующих мод). Динамический скейлинг является чисто феноменологической теорией, основанный на распространении теории статического скеилинга на динамические явления.. Гипотеза динамического скеилинга была обобщена Халпериным и Хохенбергом [5-6] и применена к конкретным системам. Наряду с радиусом корреляции (характеристической длиной), введенном в теории статического скеилинга, в динамическом скейлинге вводится характеристическая частота колебаний параметра порядка сос. Эта характеристическая частота должна быть, функцией температуры. Поскольку одно значение радиуса корреляции соответствует двум значениям температуры Т (одно ниже Тс, а другое выше Тс), то можно записать где индекс "±" означает знак Т-Тс нечасто опускается. Характеристическая частота определяется как частота, делящая пополам всю интегрируемую площадь, ограниченную кривой динамического структурного фактора, рассматриваемого в зависимости от частоты: В общем случае, согласно теории динамического скеилинга, динамический структурный фактор зависит от радиуса корреляции Е, и определяется следующим выражением [3]: 2лг Гипотеза динамического скейлинга сводится к двум следующим утверждениям: Универсальность динамического критического поведения несколько отличается от универсальности в статике [4]. В системах, обнаруживающих одно и тоже статическое критическое поведение, наблюдаются совершенно различные динамические критические эффекты. Классы универсальности динамического критического поведения были предложены Хальпериным и Хохенбергом в работе [5]. Предложенная ими классификация применяется до сих пор. В таблице 1.1 дано описание динамических классов универсальности и примерное численное значение динамического критического индекса z, вытекающее из гипотезы динамического скейлинга, при размерности пространства d=3.
Критическая динамика модели Гейзенберга
Гамильтониан классической изотропной модели Гейзенберга для проекций спинов Sk (A=xy,z) B отсутствие внешнего магнитного поля можно записать в следующем виде: Суммирование здесь идет по всем ближайшим соседям спинов. В случае ПК решетки число ближайших соседей равно шести. Отметим, что обычно при проведении численных экспериментов величина обменного интеграла J выбирается таким образом, чтобы выполнялось условие Лкь—\. Согласно классификации Хальперина и Хохенберга [5] данная модель принадлежит к классу универсальности динамического критического поведения J (изотропные магнетики, в которых параметр порядка и энергия сохраняются). Гипотеза динамического скеилинга для этого класса магнетиков предсказывает значение динамического критического индекса z=2.5 (модель J, [5]). В последнее десятилетие появился ряд работ [44,70,71,77], в которых критическая динамика моделей Гейзенберга была исследована численными методами с применением гипотезы динамического скеилинга. Результаты, полученные в этих работах, находятся в хорошем согласии с теоретически предсказанными. Нами исследована классическая модель Гейзенберга, описываемая гамильтонианом (2.2), на ПК решетке размерами LxLxL с приложенными ПТУ. Методика вычислений с применением теории динамического скеилинга была описана в 1.5. Температура фазового перехода рассматриваемой модели нами бралась из литературных данных [42] и составила kbTc/\j\=\.4432. Линейные размеры исследованных систем составили от соответствует числу спинов от N=125 до #=5832. Система координат была выбрана таким образом, чтобы направление осей координат совпадало с направлением кристаллографических осей. Система приводилась в состояние термодинамического равновесия классическим методом МК. Число МК шагов на спин составляло при этом не менее 50000 (неравновесный участок), которое подбиралась опытным путем. С ростом линейных размеров системы длина неравновесного участка увеличивалась. Для каждого линейного размера проводилось несколько исследований при различных длинах неравновесных участков, что соответствовало различным начальным равновесным конфигурациям спинов. Полученные в результате данные усреднялись между собой. Для систем с малыми линейными размерами использовалось до десяти равновесных спиновых конфигураций. С увеличением линейных размеров число конфигураций уменьшалось. При достижении равновесной конфигурации моделировалась временная эволюция спиновой системы методом молекулярной динамики.
Решалась система дифференциальных уравнений движений спинов (1.19). Локальное поле, действующее на і-й спин, определялось взаимодействием этого спина с ближайшими соседями: Число таких систем равнялось, соответственно, числу спинов. Общее время наблюдения за системой составляло7си/о =Ю0. Здесь и далее время приводится в условных единицах, согласно (1.18). Шаг интегрирования по времени дифференциальных уравнений (2,4) брался равным At=0.01. Для численного решения системы дифференциальных уравнений (2.4) использовался метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности. Число усреднений при расчете корреляционных функций (1.32) составляло и=300. Контрольные расчет показал, что изменение ключевых параметров (например, Дг=0.005 и и=700) не оказало заметного влияния на точность получаемых результатов. Заметим, что І система уравнений движения (2.4) решается для проекций спинов. Поскольку ${ =1 является интегралом движения для системы (2.4), то для проверки правильности численного решения этой системы можно вычислить модули спинов по их проекциям после проведения всех шагов численного: дифференцирования. В наших исследованиях точность сохранения интеграла движения составляла По полученной последовательности зависящих от времени спиновых конфигураций строились корреляционные функции (1.32). Входящие в (1.32) значения спиновых конфигураций {((f)}, по которым проводились усреднения,, отстояли друг от друга по времени на величину не меньшую чем tcutoff. Этим исключались корреляции между различными конфигурациями. Сказанное поясняет рис.2.1, на котором изображена временная шкала спиновых конфигураций, входящих в усреднение в (1.32). Как видно, соседние конфигурации {St{t)} и {SM(t)} отстоят друг от друга на время гШоїї+1. При вычислениях нами выбирались три направления волнового вектора вдоль кристаллографических осей. Система координат выбиралась таким образом, чтобы направление оси z совпадало с направлением кристаллографической оси с. Для каждого направления волнового вектора находились корреляционные функции по всем проекциям спинов. Таким образом, в результате получались девять наборов корреляционных функций, по которым строились девять. структурных факторов. Как было указано в 1.5, корреляции рассматривались не между отдельными спинами, а между спиновыми плоскостями, перпендикулярными направлению волнового вектора (рис. 1.2). Отдельно стоит остановится на способе вычисления пространственно временных спиновых корреляционных функций (1.32). Во-первых, отметим, что при достаточно большом числе усреднений второе слагаемое в выражении (1.32) превращается в константу для любых значений Т и t. Таким образом, второе слагаемое влияет только на абсолютное значение корреляционной функции, но не на ее форму. Соответственно будет изменятся и величина динамического структурного фактора, определенного по этой функции, но не его форма.
Но поскольку нас в конечном итоге интересует значение характеристической частоты (ос, определяемое по форме динамического структурного фактора, то второе слагаемое в выражении (1.32). можно отбросить и в вычислении не учитывать. Во-вторых, при работе с аппаратом корреляционных функций общепринятой практикой является нормирование корреляционных функций. Однако нормирование корреляционной функции также влияет лишь на ее абсолютном значениие, но не на ее форму. И также соответственно будет изменяться и величина динамического структурного фактора, определенного по этой функции, но не его форма. С целью оценки влияния метода расчета корреляционных функций на получаемые результаты нами были рассмотрены 4 типа корреляционных функций: Очевидно, что корреляционные функции вида (2.7) и (2.8) являются нормированными на единицу корреляционными функциями (2.5) и (216) соответственно; Тестовые расчеты были проведены для частицы с линейным размером =8, что соответствует числу спинов JV=512. Усреднения проводились по десяти различным равновесным спиновым конфигурациям. На рис.2.2 приведены зависимости корреляционных функций C {fx,f2,t) от времени при х =1 и г:= 1, рассчитанные по формулам (2.5) и (2.6). Точками на графике представлена зависимость корреляционной функции, рассчитанной с учетом второго слагаемого по формуле; (2.6). Сплошной линией представлена зависимость корреляционной функции, рассчитанной по формуле (2.5), когда второе слагаемое не учитывалось. Как видно из рисунка, обе зависимости практически совпадают. Расхождение при этом составляет.—10".. Заметим, что если измерять расстояние в единицах постоянной решетки в выбранном направлении волнового вектора, то координата 1-й плоскости спинов; перпендикулярной направлению #, будет /,=1,. следующей F2 = 2, и т.д. до Tvax = L, а индекс У обозначает, что корреляционные функции рассчитаны по проекциям спинов к=х. Такие обозначения будут нами применяться и в дальнейшем. Кроме того, здесь и далее все величины, приводимые на графиках (такие, например, как время Ги частота со) приводятся в условных безразмерных единицах, зависящих от величины обменного интеграла J. Такая; практика является общепринятой в численных экспериментах. На рис.2.3. приведены зависимости корреляционных функций Сх(r\,F2,t) от времени, рассчитанных по формулам (2.7) и (2.8). Видно, что и в этом случае обе зависимости практически совпадают. Расхождение здесь составляет-10 4. Аналогичные зависимости корреляционных функций от расстояния Сх(\, г2,0), рассчитанные по формулам (2.5) и (2.6) приведены на рис.2.4, а рассчитанные по формулам (2.7) и (2.8) на рис.2.5.
Критическая динамика моделей Сг203
Нами впервые исследовано динамическое критическое поведение моделей сложного многоподрешеточного анти ферромагнетика Сг20з, описываемых гамильтонианом (3.1). Размеры исследованных систем с ПТУ составили от N=256 до N=6912 спинов. Как и в случае статического критического поведения, нами исследовались модели с двумя различными значениями анизотропии (модели I и II). Методика исследования была полностью аналогична; методике, примененной при исследовании критической динамики модели Гейзенберга. Однако имелись и некоторые отличия, обусловленные особенностью моделей, а именно самой кристаллической решеткой моделей Сг20з (рис.3.1). Как ив случае модели Гейзенберга, за единицу расстояния нами бралась постоянная решетки. Однако в случае Сг20з на одну кристаллографическую ячейку приходится не один спин, а четыре. Данные спины образуют четыре подрешетки в Сг2Оз. Направления волновых векторов нами брались вдоль кристаллографических осей. При этом спиновые плоскости, образуемые двумя другими кристаллографическими направлениями, находятся друг от друга на различных расстояниях. Каждая спиновая плоскость образуется спинами только одной подрешетки. Поэтому при вычислении корреляционных функций необходимо учитывать различный знак обменного взаимодействия, что обусловлено различными знаками обменных интегралов гамильтониане (3.1). На рис.3.2 изображен "срез" кристаллической ячейки СггОз, на котором изображена кристаллическая структура, и спиновые плоскости (подрешетки). Как видно из рисунка, в каждой кристаллической ячейке находится четыре спина, принадлежащих различным спиновым плоскостям. Спиновые плоскости параллельны кристаллографическим плоскостям и образуются спинами, имеющими одинаковое расположение в кристаллических ячейках. Таким образом, через каждую кристаллическую ячейку в одном направлении проходит по четыре спиновые плоскости. Параметры вычислений брались такими же, как и для модели Гейзенберга.
Общее время наблюдения за системой составляло 1сШо#=№0. Шаг интегрирования по времени дифференциальных уравнений (2.4) брался равным Д =0.01. Число усреднений при расчете корреляционных функций (1.32) составляло л=300. Для каждого линейного размера проводилось несколько исследований при различных длинах неравновесных участков, что соответствовало различным начальным равновесным конфигурациям спинов. Полученные в результате данные усреднялись между собой. Кристаллическая решетка СГ2О3 ориентировалась в пространстве таким образом, что пространственная диагональ ее ромбоэдрической ячейки была направлена вдоль оси координат z. При вычислениях мы выбирали три направления волнового вектора вдоль кристаллографических осей a, b и с. Очевидно, что в нашем случае кристаллографические оси Сг2Оэ располагались симметрично относительно оси координат 2. На рис.3.3 показана зависимость корреляционной функции С (1,1»50) от числа усреднений п для системы, состоящей из N=4000 спинов для моделей I и II. Как видно из рисунка, зависимость выходит на насыщение при я 300. При этом для модели II зависимость имеет более гладкий вид, что, обусловлено более высоким значением анизотропии. Аналогичные графики наблюдались и для систем с другими размерами. Нормированные графики зависимостей корреляционных функций от времени для модели I приведены на рис.3.4. Видно, что с увеличением числа спинов в системе время релаксации корреляционных функции увеличивается. Для модели I с числом спинов N=2048 на рис.3.5 приведены нормированные зависимости корреляционных функций при различных направлениях волнового вектора Ц вдоль трех кристаллографический осей а, Ь и с и при различных проекциях спинов к=ху . Видно, что характер спада всех корреляционных функций одинаков. Это- обусловлено тем, что кристаллографические оси симметричны относительно оси анизотропии. Абсолютная. же величина функций несколько различается для различных проекций спинов k x,y z, что обусловлено наличием анизотропии вдоль оси z. Однако, из-за того, что константа, анизотропии модели Г имеет относительно малое значениеD/Jx = 2.5 х 10-4, это различие невелико и на графике не проявляется. Зависимость динамического структурного фактора от частоты для систем с различным числом спинов N для модели I представлена на рис.3.6. Согласно (1.35) для всех систем qL=2n. Как и в случае. модели Гейзенберга заметен рост максимума при увеличении числа спинов и его смещение в сторону более низких частот. На рис. 3.7 представлена типичная зависимость характеристической частоты шс от линейных размеров системы L для модели І в случае, когда волновой вектор; направлен вдоль кристаллографической оси. а, а корреляции рассматривались для проекций спинов к=х. Точки, представленные на графике, являются средним значением характеристической. частоты по различным начальным конфигурациям. Отметим, что для других направлений волнового вектора и других проекций спинов были получены аналогичные зависимости, качественно повторяющих график на рис.3.7 Количественные отличия при этом незначительны. Это обусловлено как небольшой величиной анизотропии, так и симметричностью кристаллической решетки относительно оси z.
В таблице 3.1 представлены, полученные нами значения динамического критического индекса z для модели І СГ2О3. Результаты приведены для трех направлений волнового вектора и для трех проекций спинов k=xyjz. Как видно из таблицы, все полученные значения динамического критического индекса хорошо согласуются как между собой, так и с теоретически предсказанным значением для изотропных антиферромагнетиков z=1.5 (модель G, [5]). Исключение составляет значение z-0.96, полученное при q„- у и к=у. Видно, что, как и в случае статического критического поведения "слабая" анизотропия модели I не оказывает существенного влияния на характер динамического критического поведения Сг2Оз- Элементарная ячейка Сг20з является, симметричной относительно оси z. Результаты, полученные при направлении волнового вектора вдоль этих осей для Модели І, в пределах погрешности совпадают между собой для каждой проекции спинов Лг. Поэтому для модели II-исследования проводились только в одном направлении волнового вектора вдоль оси а для трех проекций спинов. Нормированные графики зависимостей корреляционных функций от времени для модели II приведены на рис.3.8 для систем с различным числом спинов N. Видно, что с увеличением числа спинов в системе время релаксации корреляционных функций увеличивается. Из сравнения рис.3.8. с рис.3.4., на котором изображен спад аналогичных корреляционных функций для модели I, видно, что для модели времена релаксации заметно уменьшились. Уменьшение времени релаксации связано с увеличением константы анизотропии модели II на два порядка по сравнению с моделью I. Для модели II с числом спинов 7V=2048 на рис.3.9 приведены нормированные зависимости корреляционных функций при различных проекциях спинов к=х, у, z. Из рисунка видно, что для проекций спинов к=х и у полученные зависимости в пределах погрешности хорошо согласуются друг с другом и значительно отличаются от случая k=z. Отличие результатов при k=z обусловлено достаточно высоким значением константы анизотропии в модели II. Для модели І, у которой постоянная анизотропии на два порядка меньше, чем у модели II, это различие на графике не выделялось (рис.3.5.). Зависимость динамического структурного фактора от частоты для модели II для систем с различным числом спинов N приведена на рис.3.10. В этом случае также наблюдается рост максимума динамического структурного фактора при увеличении числа спинов и его смещение в сторону более низких частот. На рис.3.11 представлены зависимости характеристических частот сос от линейных размеров системы для трех проекций спинов к=х,у и z. Точки, представленные на графике, получены в результате усреднения характеристических частот о с, полученных для различных начальных равновесных спиновых конфигураций. Из рисунка видно, что, как и в случае с корреляционными функциям (рис.3.9.), мы имеем сходные зависимости для случаев А=х и у, которые значительно отличаются от случая, когда A=z.
Критическая динамика моделей Gd
Нами впервые исследовано динамическое критическое поведение модели ферромагнитного гадолиния, описываемого гамильтонианом (4.1). При этом основные вопросы, на которые мы хотели получить ответы, можно сформулировать следующим образом: 1. Как влияют изотропные диполь-дипольные взаимодействия на характер динамического критического поведения? 2. Отличается ли критическая динамика вдоль разных направлений в некубических кристаллах? 3. Способна ли используемая методика расчета критических параметров выявить влияние на критическую динамику столь слабых факторов, как диполь-дипольные взаимодействия? С целью оценки влияния изотропного диполь-дипольного взаимодействия на характер динамического критического поведения модели ферромагнитного гадолиния нами рассмотрены три модели: аналогично случаю статического критического поведения [54,56] модели I и II, а также дополнительно модель III, которая учитывает только обменное и диполь-дипольное взаимодействия. Температура фазового перехода для модели III была найдена методом куммулянтов Биндера и составила кьТс l\j\ =3.180(5). Размеры исследованных систем с ПГУ составили- от JV=128 до 7 =11664 спинов. Методика вычислений была аналогична методике, применявшейся нами при исследовании критической динамики модели Гейзенберга и моделей антиферромагнетика Єг20з. Как и в случае с Сг20з имелись свои особенности, обусловленные кристаллической структурой гадолиния. Волновой вектор Ц направлялся вдоль трех кристаллографических осей a, b и с, при этом рассчитывались все три проекции спинов к=х, у, z: За единицу расстояния брались постоянные решетки. Согласно рис.4.1 постоянные решетки а и Ъ в гексагональной плоскости равны между собой и отличаются от постоянной решетки с в направлении гексагональной оси. На одну кристаллографическую ячейку гадолиния приходится два спина, которые образуют две подрешетки. При этом в направлении волнового вектора вдоль осей а и Ъ расстояния между спиновыми плоскостями оказываются неравными друг другу, тогда как в направлении оси с расстояния одинаковы и равны с/2. На рис.4.2 изображен "срез" кристаллической ячейки гадолиния в двух плоскостях (масштаб одинаковый), на котором изображена кристаллическая структура и спиновые плоскости (подрешетки). Как видно из рисунка, в каждой кристаллической ячейке находится два спина, принадлежащих различным спиновым плоскостям.
Спиновые плоскости параллельны кристаллографическим плоскостям и образуются спинами, имеющими одинаковое расположение в кристаллических ячейках. Таким образом, через каждую кристаллическую ячейку в одном направлении проходит по две спиновые плоскости. Общее время наблюдения за системой составляло от tcuto r=l00 для систем с небольшим числом спинов и до taaoff=130- для системы с максимальным числом спинов; Шаг интегрирования дифференциальных уравнений (2.4) брался равным Дг=0.01, Число усреднений при расчете корреляционных функций (1.32) составляло от «=300 до п=350 в зависимости от размеров системы. Для каждого линейного размера проводилось несколько прогонов при различных длинах неравновесных участков, что соответствовало различным начальным равновесным конфигурациям спинов. Полученные в результате данные усреднялись между собой. Кристаллическая решетка гадолиния ориентировалась в пространстве таким образом, что ее гексагональная ось была направлена вдоль оси координат z. На рис.4.У приведена зависимость корреляционной функции Сх(\, 1,50) от числа усреднений л для системы, состоящей из 7V=4000 спинов для трех моделей. Как видно из рисунка, выбранного числа усреднений вполне достаточно для выхода зависимостей на насыщение. Нормированные графики зависимости корреляционных функций от времени для модели I приведены на рис.4.4. Видно, что с увеличением числа спинов в системе время релаксации корреляционных функций увеличивается. Зависимость динамического структурного фактора от частоты для систем с различным числом спинов N для модели I представлена на рис. 4.5. Согласно (1.35) для всех систем qL=2iz. Как и в случае с моделями Гейзенберга и Сг2Оэ виден рост максимума и его смещение влево при увеличении числа спинов в системе. Зависимость динамического структурного фактора от частоты для трех направлений волнового вектора Ц вдоль кристаллографических осей a, b и с по трем проекциям спинов к=х, у, z приведена на рис.4.6. для системы с числом спинов iV=432: Из рисунка видно, что графики при направлении волнового вектора вдоль кристаллографической оси с для трех проекций спинов хорошо согласуются между собой, но отличаются от случая, когда волновой вектор направлен вдоль осей а и Ъ (также по трем проекциям спинов). Причем зависимости при Ц а и Ц Ъ также достаточно хорошо совпадают друг с другом. Данное различие связано, по нашему мнению, с тем что в некубических кристаллах критическая динамика зависит от направления волнового вектора в кристалле. На рис. 4.7 представлены графики зависимости характеристической частоты от линейных размеров системы для модели I при трех направлениях волнового вектора Ц и проекции спинов к=х. Точки, представленные, на графике, являются средним значением характеристической частоты по различным начальным конфигурациям, число которых доходило до 10. Видно, что зависимости при направлении волнового вектора вдоль осей а и b совпадают друг с другом и отличаются от случая, когда волновой вектор направлен вдоль оси с. Аналогичные зависимости наблюдались и при расчете характеристических частот для проекций спинов к=у, z. В таблице 4.3 представлены значения динамического критического индекса z, полученные для трех направлений волнового вектора, рассчитанных с использованием трех проекцияй спинов для модели I.
Отметим, что, как и в случае с моделью Гейзенберга, мы проводили усреднения двумя способами, описанными в 1.5: усреднение по характеристическим частотам и усреднение по структурным факторам. Результаты при обоих способах усреднения также приведены в табл.4.3. и, как видно, в пределах погрешности совпадают друг с другом. Как видно из таблицы, для модели I значения z, вычисленные по х и у проекциям спинов при Ц— а и #- 6, хорошо согласуются с теоретически предсказанным значением для анизотропных магнетиков z=2 (модель At [5]). В то же время, величина динамического критического индекса,;.определенная по z проекциям спинов (как при Ц а так и при #- 6); принимает промежуточное значение между теоретически предсказанными значениями для анизотропных магнетиков z=2 (модель А, [5]) и изотропных ферромагнетиков z=2.5 (модель J, [5]). Существенно другая картина наблюдается при Ц - с. В этом случае величина z для всех трех проекций спинов принимает значение, лежащее между z=2 (модель А, [5]) и z=2.5 (модель J, [5]). Аналогичные зависимости, полученные для моделей II и, III, качественно повторяют результаты, представленные на рис.4.4-4.7, но количественные отличия имеются. Нормированные графики зависимости корреляционных функций от времени для модели II приведены на рис.4.8. Видно, что с увеличением числа спинов в системе время: релаксации, корреляционных функций увеличивается; Из сравнения с аналогичными зависимостями для модели I (рис.4.4) видно, что время релаксации для модели II увеличилось. Зависимость динамического структурного фактора от частоты для систем с различным числом спинов N для модели II представлена на рис. 4.9. Согласно (1.35) для всех систем qL 2n. Также имеет место рост максимума динамического структурного фактора и его смещение влево при увеличении числа спинов в системе. Картина аналогична рис.4.5 для модели I. Зависимость динамического структурного фактора от частоты для трех направлений волнового вектора / вдоль кристаллографических осей a, b и с по трем проекциям спинов к=х, у, z приведена на рис.4.10 для модели II с числом спинов iV=432. Как и в случае модели I (рис.4.6), видно, что графики при направлении волнового вектора вдоль кристаллографической оси с для трех проекций спинов хорошо согласуются между собой, но отличаются от случая, когда волновой вектор направлен вдоль осей а и b (также по трем проекциям спинов).
