Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Классический метод Монте-Карло
1.1. Классический метод Монте Карло 21
1.2. Модели спиновых систем, используемые при исследовании методом Монте-Карло 27
1.3. Классический алгоритм метода Монте-Карло 35
1.4. Кластерные алгоритмы метода Монте-Карло 37
1.5. Граничные условия 41
1.6. Анализ ошибок в методе Монте-Карло 44
ГЛАВА II. Исследование статических критических и термодинамических свойств трехмерной модели изинга с немагнитными примесями
2.1. Критерий Харриса 52
2.2. Модели изинговских спиновых систем с вмороженными немагнитными примесями 54
2.3. Результаты экспериментальных и теоретических исследований трехмерной модели Изинга с немагнитными примесями
2.3.1. Результаты лабораторных экспериментов 63
2.3.2. Результаты теоретических исследований 71
2.4. Проблема самоусреднения в спиновых системах с вмороженным беспорядком 77
2.5, Методика исследования 80
2.6. Теория конечно-размерного скейлинга 83
2.7. Статические критические и термодинамические свойства трехмерной модели Изинга с немагнитными примесями на простой кубической решетке. Результаты численного эксперимента 91
2.8. Распределение термодинамических параметров по ансамблю неупорядоченных систем 118
ГЛАВА III. Исследование критического поведения трехмерной модели поттса с немагнитными примесями
3.1. Модель Поттса с вмороженными немагнитными примесями... 121
3.2. Результаты исследований неупорядоченной модели Поттса... 122
3.3. Кластерный алгоритм метода Монте-Карло 125
3.4. Критическое поведение трехмерной слабо разбавленной модели Поттса с q=3 на простой кубической решетке. Результаты численного эксперимента 127
Заключение 137
Литература 141
- Модели спиновых систем, используемые при исследовании методом Монте-Карло
- Результаты экспериментальных и теоретических исследований трехмерной модели Изинга с немагнитными примесями
- Статические критические и термодинамические свойства трехмерной модели Изинга с немагнитными примесями на простой кубической решетке. Результаты численного эксперимента
- Критическое поведение трехмерной слабо разбавленной модели Поттса с q=3 на простой кубической решетке. Результаты численного эксперимента
Введение к работе
Исследование фазовых переходов (ФП) и критических явлений (КЯ) в однородных и неупорядоченных спиновых системах является одним из наиболее сложных и постоянно актуальных задач физики конденсированного состояния. В последние годы достигнут значительный прогресс в понимании проблемы фазовых переходов и критических явлений. Создание теории Л.Д. Ландау и разработка флуктуационной теории фазовых переходов [1], а затем уже и внедрения идей ренормализационной группы и є-разложения [2-4], предлоясенные Вильсоном, а также применения гипотезы подобия (скейлинг), основы которой были заложены в 60-х годах [1,5], с последующим решением большого количества технических вопросов, позволили достичь существенного прогресса в качественном понимании непрерывных фазовых переходов и в их количественном описании.
Существенный вклад в строгую количественную теорию кооперативных явлений в спиновых системах внесли также методы высоко- и низкотемпературных разложений [6,7]. Было показано, что критические индексы (КИ) не зависят от величины спина, если и зависят то настолько слабо, что этой зависимостью даже в хорошем приближении можно пренебречь [6]. Для критических явлений должны быть существенны лишь "глобальные" характери стики, такие как:
- размерность пространства (решетки),
топология параметра порядка,
симметрия Гамильтониана,
- радиус характерного взаимодействия.
В рамках одного класса универсальности для всех спиновых систем, испытывающих фазовый переход второго рода, критические индексы являются одинаковыми. В один и тот же класс универсальности
попадают столь непохожие на первый взгляд системы, как жидкости, магнетики, сегнетоэлектрики, сверхпроводники и другие.
Для ряда решеточных моделей имеются^и исключения из этого правила, среди которых можно упомянуть восьми вершинную и сферическую модели [8]. В частности, критическое поведение восьми вершинной модели не согласуется с гипотезой универсальности, поскольку значения индексов в ней зависят не только от размерности и природы взаимодействий, но и от величины параметров взаимодействий [8,9]. Однако в настоящее время предполагается, что подобные нарушения возможны лишь для некоторых весьма специальных классов гамильтонианов.
В свою очередь разбиение систем, демонстрирующих фазовые превращения самой различной природы, на классы универсальности равновесного и динамического критического поведения придало теории ФП и КЯ необычайную стройность. Изучение критического поведения неупорядоченных спиновых систем со случайно распределенными немагнитными примесями позволило расширить представление о факторах, влияющих на систематизацию по классам универсальности.
В построении общей микроскопической теории фазовых переходов играют важную роль точные аналитические решения, которые получены для весьма ограниченного числа решеточных моделей. В 1925 году Изинг нашел решение для случая одномерной цепочки (в цепочке фазовый переход происходит при Г=0) [10]. В 1944 году Онзагер получил аналитическое решение для двухмерной модели Изинга в нулевом внешнем поле и доказал существование фазового перехода [11]. В последующем, 1952 году Берлин и Кац сформулировали и строго рассчитали так называемую сферическую модель [12]. Далее, наиболее существенным результатом в этом направлении было получение Либом [8] строгого решения для шести вершинной модели (модели типа льда).
Точное аналитическое решение имеют и некоторые другие модели [8]. В последние годы был разработан ряд интересных методов и подходов для решения некоторых низко размерных систем [13].
В определенный период, казалось, что современная теория статических фазовых переходов и критических явлений построена и практически полностью завершила свое развитие. До последних лет доминировало мнение, что в теории фазовых переходов едва ли можно ожидать новых качественных прорывов, и все что остается - это все большее уточнение значений критических индексов. Но теоретические, численные и экспериментальные исследования, критических явлений в системах с вмороженным беспорядком, убедительно показывают, что наблюдаемые явления выходят далеко за рамки современной флуктуационной теории фазовых переходов. И, по-видимому, сегодняшний этап характеризуется отсутствием достаточного количества надежно установленных научных фактов о характере и особенностях критического поведения неупорядоченных систем с вмороженным беспорядком [14].
При описании критических явлений в спиновых системах часто используемыми моделями являются модели первого приближения: модель Изинга, Гейзенберга, модель Поттса, XY-модель, и их различные модификации. На основе этих моделей с помощью теоретических методов, проведены исследования на различных типах решеток и пространственной размерности d. Получена обширная информация о критическом поведении различных термодинамических и физических параметров в широком диапазоне температур.
Необходимо отметить, что столь широкий спектр результатов был получен с одной стороны увеличением вычислительных мощностей современных ЭВМ, а с другой, на основе разработки мощных кластерных алгоритмов метода Монте-Карло (МК) специально разработанных для
исследования критической области [15-18], гистограммных методов анализа данных [19] и на основе теории конечно-размерного скейлинга (КРС) для расчета критических параметров [20-23].
Первоначально при изучении фазовых переходов второго рода обычно предполагалось, что рассматриваемые системы являются идеально однородными. В реальных образцах, однако, всегда присутствуют какие-либо дефекты и примеси. Поэтому проблема влияния вмороженных дефектов структуры на критическое поведение является важной как с теоретической, так и с практической точек зрения.
В работе [24] сформулирован критерий, определяющий существенность влияния вмороженных немагнитных примесей на критическое поведение, называемый обычно критерием Харриса. Согласно этому критерию слабый беспорядок влияет на критическое поведение только .в тех случаях, когда теплоемкость соответствующей чистой системы испытывает расходимость в критической точке с показателем а>0. Данному критерию удовлетворяют только системы, эффективный гамильтониан которых вблизи критической точки изоморфен модели Изинга.
Исследование трехмерных микроскопических гамильтонианов
неупорядоченных спиновых систем методами современной теоретической
физики одна из труднейших задач. Теоретические подходы практически
все основаны на использовании тех или иных схем вычислений в рамках
теоретико-полевого подхода с использованием метода
ренормализационной группы. Распространение данного метода на описание неравновесного поведения в работе [25, 26] позволило описать критическую динамику однородных и неупорядоченных систем. Тем не менее, ситуация с применимостью этих схем для неупорядоченных моделей с вмороженным беспорядком значительно сложнее, чем для чистых систем. Некоторые эффективные схемы вычислений, например,
популярное є-разложение вырождается в 4є - разложение, которое, на практике не пригодно для количественных расчетов [27, 28]. Более того, исходные ряды по константам связи оказываются не суммируемыми по Борелю [29]. Пересуммирование по новой процедуре типа Паде-Бореля проблему решает лишь частично. Имеется и ряд других серьезных трудностей.
Таким образом, обращение к надежным и математически строго обоснованным различным вариантам метода Монте-Карло, в том числе и к мощным кластерным алгоритмам метода Монте-Карло [15-18, 30-39] является обоснованным и актуальным. Важным достоинством этих методов является то, что в ходе эксперимента все параметры исследуемой неупорядоченной системы находятся под строгим контролем исследователя и, что особенно важно, количество и распределение примесей по образцу. Результаты, полученные этими методами, к настоящему времени не уступают по точности лучшим данным других методов, а иногда и превосходят их [38].
Сопоставление результатов компьютерного моделирования неупорядоченных систем с результатами ренормгруппового подхода позволяет проверить предсказания теории, а также выявить новые эффекты влияния вмороженного беспорядка в области сильной неупорядоченности системы, недоступной для аналитического подхода.
Следует отметить, что использование методов вычислительной физики требует создания довольно больших и сложных программ для ЭВМ, а также проведения большой предварительной методической работы. Почти все программы весьма специфичны, требуют от программиста большого опыта и внимательности и, как правило, не могут быть использованы для решения различных задач. Тем не менее, следует признать более чем оправданными те значительные усилия, которые затрачиваются на создание и отладку подобных программ: в результате
удается оценить, в какой мере обоснованы те или иные микроскопические модели, теоретические методы и эмпирические аппроксимации [40].
В данной работе рассматриваются некоторые вопросы теории статических критических явлений и фазовых переходов моделях с вмороженными немагнитными примесями. Объектом исследования является классическая трехмерная модель Изинга с вмороженными немагнитными примесями на простой кубической решетке. Рассматриваемая неупорядоченная модель при слабом разбавлении немагнитными примесями трудно подается аналитическому описанию в области фазового перехода. В сильно разбавленном режиме для этой модели многие надежные и проверенные на чистых моделях схемы аналитических подходов оказались непригодными. В рамках этой модели методами вычислительной физики проведены исследования статических критических свойств как в однородном случае р= 1.0, так и с концентрацией спиновр~ 0.95; 0.9; 0.8; 0.7; 0.65; 0.6.
Имеющиеся в литературе на сегодняшний день экспериментальные [41-65] и теоретические результаты [27-29, 66-78] не только не позволяют сформировать цельной и непротиворечивой картины критического поведения трехмерных спиновых систем с примесями, но и во многом противоречат друг другу. Дело не только в том, что результаты экспериментальных исследований сильно зависят от метода и конкретного образца, но и от способа приготовления образца [41-65]. Кроме того, практически нет экспериментальных исследований, выполненных на основе единого методического подхода на сериях однотипных образцов при строго контролируемом содержании количества примесей.
Следовательно, использование методов вычислительной физики для проведения исследований этой неупорядоченной модели является оправданным [37, 79, 80].
Изменение критических показателей 3d неупорядоченной модели Изинга хорошо установлено в экспериментах [44-65] и теоретических исследованиях [66-78] и согласуется с совокупностью всех имеющихся данных. Однако до сих пор невыясненным остается вопрос: являются ли новые критические индексы данной модели универсальными, т.е. не зависящими от концентрации примесей вплоть до порога перколяции, или существует линия фиксированных точек, определяющая непрерывное изменение критических индексов с концентрацией.
Другим объектом исследования является трехмерная (3d) слабо разбавленная модель Поттса с числом состояния спина q=3. Известно, что в чистой модели Поттса с q>qc(d) наблюдается ФП первого рода, а для q
Что касается трехмерных слабо разбавленных систем, описываемых моделью Поттса с q=3, то до сих пор критическое поведение этой модели с соблюдением единого методического подхода исследовано не достаточно полно, особенно когда беспорядок реализован в виде немагнитных примесей каноническим способом. Поэтому изучение критического поведения этой модели при каноническом способе разбавления немагнитных примесей представляет самостоятельный интерес.
Теоретическое исследование данной модели чрезвычайно затруднено, в то время как различные подходы, основанные на методе Монте-Карло, являются весьма мощными средствами для получения численных данных о поведении такой неупорядоченной системы. Таким образом, исследование ФП и КЯ, исходя из трехмерных микроскопических гамильтонианов для спиновых систем с немагнитными примесями, является важной и актуальной проблемой современной статистической физики спиновых систем. Следует также отметить, что исследуемые модели описывают критическое поведение множества реальных физических систем. Это позволяет сравнивать результаты исследования методами МК не только с теоретическими предсказаниями, но и с данными лабораторных экспериментов.
Целью работы является исследование статических критических свойств трехмерных спиновых решеточных моделей с вмороженными немагнитными примесями кластерными алгоритмами метода Монте-Карло. В рамках данного исследования решались следующие основные задачи:
Разработка комплекса программ для ЭВМ, с помощью которого можно исследовать статические критические свойства спиновых моделей с вмороженными немагнитными примесями.
Разработка единой методики исследования статического критического поведения спиновых систем с вмороженным беспорядком на базе данных метода Монте-Карло.
Исследование термодинамических свойств трехмерной модели Изинга с вмороженными немагнитными примесями в широком диапазоне температур (включая критическую область), в зависимости от линейных размеров (L) изучаемых систем при концентрации спинов = 1.0,0.95,0.90,0.8,0.7,0.65,0.6.
Исследование высокоэффективным одно-кластерным алгоритмом метода Монте-Карло статических критических свойств трехмерной модели Изинга на кубической решетке с вмороженным беспорядком в виде немагнитных примесей. Определение с помощью теории конечно-размерного скейлинга статических критических индексов а, Д у и v этой модели, а также закономерности их изменения от различньтх параметров, на основе единого методического подхода.
Исследование статических критических и термодинамических свойств трехмерной слабо разбавленной модели Поттса с q-Ъ при концентрации спинов р=0.9; 0.8, в которой вмороженный беспорядок содержится в виде немагнитных примесей. Определение с помощью теории конечно-размерного скейлинга статических критических индексов а, Д уя к для этой модели.
Проверка справедливости теории конечно-размерного скейлинга для моделей с вмороженными немагнитными примесями.
7. Определение классов универсальности критического поведения
трехмерных спиновых систем с вмороженным беспорядком и
зависимости критических индексов от концентрации немагнитных
примесей.
Практическая ценность работы.
Полученные в диссертации результаты по исследованию статических критических свойств трехмерных спиновых систем с вмороженными немагнитными примесями представляют интерес для дальнейших исследований в теории магнетизма, физики фазовых переходов и статистической теории твердых тел. Разработанный комплекс программ для ЭВМ формирует базу, на основе которой возможны
высокоточные исследования статических критических явлений в сложных спиновых системах с немагнитными примесями.
Обобщение одно-кластерного алгоритма Вольфа для исследования неупорядоченных систем показало, что кластерные алгоритмы являются ценным инструментом при исследовании спиновых систем с беспорядком, и позволяют определять с высокой степенью точности критические параметры системы. Сопоставление результатов численных экспериментов с данными лабораторных исследований и теоретических предсказаний позволило определить особенности практического использования теории конечно-размерного скейлинга при исследовании трехмерного изинговского магнетика с немагнитными примесями.
Экспериментальные результаты данной работы используются для чтения спецкурсов: «Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло», «Компьютерное моделирование в физике», «Методы вычислительной физики в магнетизме», а часть программ для ЭВМ при выполнении лабораторных работ по указанным спецкурсам в Дагестанском государственном университете.
Научную новизну и значимость диссертации определяют основные положения, которые автор выносит на защиту:
Исследование статических критических и термодинамических свойств трехмерной модели Изинга с вмороженными немагнитными примесями распределенных каноническим способом, используя одно-кластерный алгоритм метода Монте-Карло.
Расчет основных статических критических индексов теплоемкости а, намагниченности Д восприимчивости у, критического индекса радиуса корреляции v трехмерной модели Изинга с вмороженным беспорядком при концентрации спинов р = 1.0; 0.95; 0.90; 0.8; 0.7; 0.65; 0.6.
Определение закономерностей их изменения в зависимости от концентрации примесей и размеров,
Предложение и подтверждение с помощью вычислительного эксперимента гипотезы о двух режимном характере критического поведения трехмерной примесной модели Изинга.
Определение типа фазового перехода в трехмерной слабо разбавленной модели Поттса с числом состояния q=3.
Исследование в широком диапазоне температур одно-кластерным алгоритмом Вольфа метода Монте-Карло критических и термодинамических свойств трехмерной слабо разбавленной модели Поттса с состоянием q=3 при концентрации спиновр=0.9 и_р=0.8.
Сложный комплекс компьютерных программ для ЭВМ, позволяющий исследовать статическое критическое поведение спиновых систем с вмороженным беспорядком.
Создание единой методологической основы для изучения особенностей критического поведения и расчета критических параметров при исследовании сложных спиновых систем с вмороженным немагнитным беспорядком.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях, симпозиумах, семинарах: Международной конференции «Фазовые переходы и нелинейные явления в конденсированных средах» (Махачкала, 2002, 2004, 2005); Международная конференция по магнетизму ICM-2003 (Италия, Рим, 2003); Всероссийская школа-семинар молодых ученых «Физика фазовых переходов» (Махачкала, 2003); Международная конференция «Магнитные материалы» (Иркутск, 2003); Евро-Азиатский симпозиум «Тенденции в магнетизме» EASTMAG-2004 (Красноярск, 2004); Секция "Магнетизм" научного совета РАН по физике конденсированных сред в
отделении физических наук РАН, на научных семинарах ИФ ДагНЦ РАН и кафедры магнетизма и физики фазовых переходов Дагестанского государственного университета; Международная школа-семинар «Новые магнитные материалы микроэлектроники» HMMM-XIX и НМММ-ХХ (Москва, 2004, 2006); Международный симпозиум «Фазовые превращения в твердых растворах и сплавах» ОМА-2004 (Сочи, 2004); Московский международный симпозиум по магнетизму «MISM-2005» (Москва, 2005); Международный симпозиум «Порядок, беспорядок и свойства оксидов» ODPO-2005 и ODPO-2006 (Сочи, 2005; Ростов-на-Дону-пос. Лоо, 2006); 34-е совещание по физике низких температур «НТ-34» (Ростов-на-Дону-пос. Лоо, 2006).
Публикации.
1. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Бабаев А.Б. Критическое поведение
трехмерной модели Изинга с вмороженным беспорядком на кубической решетке. //ЖЭТФ.-2004.-Т.126,вып.6.-С.1377-1383.
Муртазаев А.К., Камилов И.К., Бабаев А.Б. Влияние немагнитных примесей на критические свойства 3D модели Изинга. // Известия РАН. Серия физическая. -2005. - Т.69, №4. - С.580-581.
Murtazaev А.К., Kamilov I.K., Babaev А.В. Critical properties of a 3D Ising model with quenched disorder. II Phys. Met. Met. - 2005. - V.99, Suppl. 1. - P. S31 - S33.
A.K. Murtazaev, I.K. Kamilov, A.B. Babaev. Critical behavior of spin systems with quenched disorder. II Journal of Magnetism and Magnetic Materials. - 2006. -V.300, Issue 1.-P.538-541.
A.K. Муртазаев, И.К. Камилов, А.Б, Бабаев. Исследование трехмерной примесной модели Изинга методами вычислительной физики. // Вестник ДагНЦ.-2005.-№22.-СЛ1-15.
Муртазаев А.К., Бабаев А.Б. Исследование критических свойств трехмерной модели Изинга с замороженным беспорядком методами Монте-Карло // Сборник трудов международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». -Махачкала, 2002. - С.70-72.
Murtazaev А.К., Kamilov I.K., Babaev А.В. The investigation of critical behavior of 3d weakly diluted Ising's model by Monte-Carlo method. // ICM-2003, International conference on magnetism, Abstract book. - Roma, Italy, 2003. - P. 524.
Муртазаев A.K., Бабаев А.Б. Влияние замороженных немагнитных примесей на фазовые переходы второго рода в трехмерной модели Изинга // Сборник трудов всероссийской школы-семинара молодых ученых «Физика фазовых переходов». -Махачкала, 2003. - С.141-145.
Муртазаев А.К., Камилов И.К., Бабаев А.Б. Компьютерное моделирование критического поведения неупорядоченной трехмерной модели Изинга, // Труды международной конференции «Магнитные материалы». - Иркутск: 2003. -С.116-117.
Муртазаев А.К., Камилов И.К., Бабаев А.Б. Компьютерное моделирование статического критического поведения трехмерной модели Изинга с примесями на простой кубической решетке. // Сборник трудов XIX международной школы-семинара «Новые магнитные материалы микроэлектроники». - Москва, 2004. - С.763-765.
Муртазаев А.К., Камилов И.К., Бабаев А.Б. Влияние немагнитных примесей на критические свойства 3D модели Изинга. // Сборник трудов международного симпозиума «Фазовые превращения в твердых растворах и сплавах» ОМА-2004. - Сочи, 2004. - С Л 99-201.
12.Муртазаев А.К., Камилов И.К., Бабаев А.Б. Критические свойства спиновых систем с вмороженным беспорядком. // Сборник трудов международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». - Махачкала, 2004. - С.7-9.
Муртазаев А.К., Бабаев А.Б., Шахмарданова Р.Н., Азнаурова Г. Критическое поведение 3D модели Изинга с вмороженным беспорядком. // Сборник трудов международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». - Махачкала, 2004. - С.87 - 88.
Miirtazaev А.К., Kamiiov I.K., Babaev А.В. Critical properties of a 3D diluted quenched Ising model. I! Abstracts book EASTMAG-2004. - Krasnoyarsk, 2004. -P.62.
15.Муртазаев A.K., Бабаев А.Б. Исследование критического поведения трехмерной модели Изинга с немагнитными примесями методом Монте-Карло. // Межвузовский сборник научных работ аспирантов. Махачкала, 2004. - С.53-56.
16. А.К. Miirtazaev, I.K. Kamiiov, А.В. Babaev. Critical behavior of spin systems with quenched disorder. //MISM-2005: Book of Abstracts. - Moscov, 2005. -P. 552-553.
17.A.K. Муртазаев, А.Б. Бабаев. Исследование особенностей критических явлений в сильно неупорядоченных спиновых системах. // Сборник трудов международного симпозиума «Порядок, беспорядок и свойства оксидов» ODPO-2005. - Сочи, 2005. - С.12.
18. А.К. Муртазаев, И.К. Камилов, А.Б. Бабаев. Кроссоверные эффекты, конечно-размерный скейлинг и критические индексы сильно неупорядоченных спиновых систем. // Сборник трудов международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». -Махачкала, 2005.-С.11-13.
19.Муртазаев А.К., Бабаев А.Б. Исследование фазовых переходов в слаборазбавлениой 3D модели Поттса. // Межвузовский сборник научных работ аспирантов. Выпуск 3, Махачкала, 2006. - С.83-84.
20. Муртазаев А.К., Камилов И.К., Бабаев А.Б. Исследование критических свойств трехмерной слабо разбавленной модели Поттса. // Сборник трудов XX международной школы-семинара «Новые магнитные материалы микроэлектроники». - Москва, 2006. - С.928-930.
21.A.K. Муртазаев, А.Б. Бабаев, Г. Азнаурова. Исследование критического поведения трехмерной разбавленной модели Поттса методом Монте-Карло // Сборник трудов международного симпозиума «Порядок, беспорядок и свойства оксидов» ODPO-9, Т.П. -Ростов-на-Дону - пос. Лоо, 2006. - С.39-40.
22. А.К. Муртазаев, А.Б.Бабаев. Исследование критических и термодинамических свойств в неупорядоченных магнетиках методами вычислительной физики // Сборник трудов 34 совещания по физике низких температур» НТ-34, T.I.- Ростов-на-Дону - пос. Лоо, 2006. - С.41.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, и списка цитированной литературы.
В главе I дано изложение классического метода Монте-Карло применительно к каноническому ансамблю.
В разделе 1.1 рассмотрен классический метод Монте-Карло применительно к каноническому ансамблю, а также практическая реализация процедуры Монте-Карло для систем с дискретным и непрерывным распределением состояний.
Модели спиновых систем, используемые при исследовании методом Монте-Карло
Методом Монте-Карло принято называть такой численный метод, в котором решение полностью детерминированной задачи заменяется приближенным решением, основанным на введении стохастических элементов, отсутствующих в исходной задаче [86].
В настоящее время в статистической физике удалось получить точное решение для весьма ограниченного числа моделей, описывающих фазовый переход второго рода [8]. Большинство из этих моделей являются простейшими моделями первого приближения. Различные теоретические приближения, также как метод молекулярного поля [6] не адекватно описывают критические явления и вблизи Тс не работают. Большинство результатов полученных в области теории фазовых переходов и критических явлений были получены на основе численных методов, таких как высоко- и низкотемпературных разложений, є - разложения и некоторых других [1-4,6]. В последние годы, среди методов вычислительной физики все более важную и значительную роль играют методы Монте-Карло. Отметим, что название самого метода "Монте-Карло" возникло из-за случайного или вероятностного характера метода и от названия известного казино в Монако.
В 1953 году Метрополис и другие [87] применили метод Монте-Карло в каноническом ансамбле для расчета уравнения состояния двумерной модели-системы твердых дисков. В дальнейшем этот метод начали широко применять на практике. Вуд и др. распространили этот метод на трехмерные системы с гладким межчастичным потенциалом Леннарда-Джонса [88]. В настоящее время метод МК и различные его разновидности, такие как кинетический, квантовый, кластерный, многосеточный и другие используется для решения задач физики, математики, химии, биологии, астрономии, экономики, социологии и т.д. Метод МК применяется к системам, для которых сделано предположение о взаимодействии между частицами системы. Следует отметить, что точность результатов полученных методом МК зависит от имеющегося в распоряжении машинного времени.
Погрешность вычислений в методе МК пропорциональна -JD/N, где D - некоторая постоянная, N-число МК испытаний, которое контролируется в рамках самого метода.
В методе МК моделируемая система подвергается случайному блужданию по конфигурационному пространству. Любую равновесную термодинамическую характеристику системы можно вычислить усреднением по каноническому конфигурационному ансамблю. Последовательность различных конфигураций, реализуемых в методе МК, можно рассмотреть и как временную эволюцию системы. Такой динамический аспект метода МК очень важен.
Во-первых, это связано с интерпретацией и расчетом "статистических ошибок" метода. В общем случае, применение метода Монте-Карло к ансамблю находящемуся в произвольном состоянии, обеспечивает релаксацию ансамбля в состояние теплового равновесия. Динамическая интерпретация этого процесса позволяет понять, почему в некоторых случаях время релаксации может быть очень большим.
Во-вторых, появляется возможность исследования величин, зависящих от времени и динамических критических явлений, и, следовательно, значительно расширяет область применения методов МК.
Рассмотрим особенности стандартного метода МК, при исследовании критических явлений в спиновых системах. При изложении материала будем придерживаться "магнитной" терминологии и опираться на модель Изинга и Гейзенберга. Модель Изинга является наглядным примером дискретной спиновой системы, а модель Гейзенберга -примером непрерывной спиновой системы. При изложении материала будем придерживаться работы [89].
Рассмотрим систему из N классических частиц в объеме V, при заданной температуре Т. Каждая частица, помеченная индексом /, будет описываться множеством динамических переменных {а,-}. Например, применительно к модели Гейзенберга {а,-} есть единичный вектор S,, ориентированный в направлении магнитного момента. Обозначим через х = х({аг}) точку фазового пространства или конфигурацию системы. Взаимодействия между частицами системы описываются гамильтонианом HN(%). Тогда термодинамические средние наблюдаемой величины А(х) можно представить в виде.
Результаты экспериментальных и теоретических исследований трехмерной модели Изинга с немагнитными примесями
Данную модель определил в 1952 г. Поттс [109] по предложению С. Домба. Модель Поттса служит основой теоретического описания некоторых явлений, наблюдаемых в экспериментах. Ряд физических систем описывается гамильтонианами, имеющими те же свойства симметрии, что и модель Поттса, и, следовательно, принадлежащими к классу универсальности этой спиновой модели. Рассмотрим здесь некоторые из таких систем.
Адсорбция инертных газов на адсорбентах типа графита может описываться моделями решеточного газа Поттса. Такие физически адсорбированные пленки дают экспериментальную реализацию фазовых переходов в двухмерных системах. В работе [ПО] изучалась адсорбция криптона на графите, где центры адсорбции образуют треугольную решетку на базисной грани кристалла графита. Показано, что адсорбированные атомы (адатомы) криптона взаимодействуют попарно: потенциал взаимодействия положителен (неблагоприятен) и очень велик (в 350 раз больше глубины ямы Е) для ближайших соседей и отрицателен (благоприятен) для остальных; при этом потенциал существенно короткодействующий. Такие свойства потенциала приводят к исключению ближайших соседей, вследствие чего монослой криптона завершается, когда заполняется одна из подрешеток. Исходя из этих свойств задача о криптонном решеточном газе авторы работы [110] аппроксимируют, используя свойство исключения ближайших соседей, моделью решеточного газа Поттса и с помощью ренормгруппы получена фазовая диаграмма, хорошо описывающая экспериментальные данные по адсорбции.
В работе [111] вводится обобщение трехкомпонентной модели Поттса, в которой спиновые состояния связываются с направлениями в решетке. Такая ситуация реализуется при адсорбции азота на графитной подложке, имеющей гексагональную структуру. Используя теорию среднего поля, исследуются границы между фазами в этой модели. Следует отметить, что модель Поттса реализуется также в анизотропных ферромагнетиках кубической структуры [112]. В [113] измерялась намагниченность редкоземельного композитного материала DyAl2 при температурах, меньших критической, в очень сильных магнитных полях. Было показано, что при низких температурах скачок намагниченности в этом материале составляет 25% ее полного значения. По мере того как приложенное поле поворачивается от направления [III] к [ПО], скачок намагниченности уменьшается, а затем фазовый переход становится переходом второго рода. Из результатов экспериментальных исследований следовало, что для трехмерной модели Поттса предсказания теории среднего поля [114], по крайней мере, качественно, верны.
Отметим также, что структурные фазовые переходы в некоторых материалах, в таких как БгТіОз [115], относятся к классу универсальности модели Поттса с q-Ъ. Композитные материалы кристаллографической структуры А15, такие, как Nb3Sn, являются сверхпроводниками, претерпевают структурный фазовый переход, при котором их кристаллографическая структура превращается из кубической в тетрагональную. Среди работ посвященных численному исследованию двумерной модели Поттса с q-З и 4 в отсутствии структурного беспорядка можно отметить работы [116, 117], в которых показано универсальность отношения критических амплитуд восприимчивости. В работе [118] исследуется трехмерная модель Поттса с q=3 показано, что в этой модели наблюдается слабо выраженный фазовый переход первого рода.
Для модели Изинга наиболее часто используются алгоритм переворота спина и алгоритм спинового обмена. Следует отметить, что алгоритм переворота одного спина не оставляет полную намагниченность системы неизменной, в то время как алгоритм спинового обмена ее сохраняет. Следовательно, эти алгоритмы соответствуют реализациям различных термодинамических ансамблей. Известно, что в термодинамическом пределе при N - со различные ансамбли в статистической механике дают одинаковые результаты. Поэтому может показаться, что выбор статистического ансамбля и соответствующего алгоритма обусловлен лишь удобством их применения. Однако эффекты конечных размеров системы по разному проявляются в различных ансамблях и, кроме того «скорости» достижения в компьютерном эксперименте равновесных конфигураций могут различаться.
При использовании стандартного алгоритма метода Монте-Карло возникает еще одна сложность, связанная с вероятностью перехода. При очень низких температурах почти каждая попытка переворота спина оказывается неудачной. При этом система в фазовом пространстве из одного состояния в другое переходит очень медленно, что продемонстрировано на рис. 1, стр. 39, и для перехода системы в равновесное состояние требуется генерация огромного числа состояний. В случае kgT и 0 для ускорения сходимости необходимо применять другие алгоритмы, в частности, следует разработать алгоритм, совершающий только удачные Монте-Карло шаги. Здесь может сильно сказаться выбор начальной конфигурации. В принципе процедура метода Монте-Карло гарантирует переход в состояние теплового равновесия из любой начальной конфигурации. Но выбор начальной конфигурации может существенно повлиять на время релаксации в равновесное состояние. Обычно выбирают случайную начальную конфигурацию или упорядоченную по какому-либо принципу. Иногда в качестве начальной конфигурации при данной температуре задают равновесную конфигурацию, полученную при проведении вычислений для ближайшей температуры.
Статические критические и термодинамические свойства трехмерной модели Изинга с немагнитными примесями на простой кубической решетке. Результаты численного эксперимента
Первоначально при изучении фазовых переходов второго рода предполагалось, что рассматриваемые системы являются идеально однородными. В реальных образцах, однако, всегда присутствуют какие-либо дефекты и примеси. Поэтому вполне естественным является вопрос о влиянии беспорядка на фазовые переходы. Следует отметить, что главный вклад в термодинамику вблизи критической точки дают крупномасштабные флуктуации. Единственным масштабом, который существует в системе вблизи критической точки, является корреляционная длина
которая растет при приближении к критической температуре Тс, и в самой точке фазового перехода корреляционная длина становится бесконечной. Наличие крупномасштабных флуктуации приводит к сингулярно стям термодинамических параметров. Эти сингулярности являются основным предметом изучения теории фазовых переходов.
Если концентрация примесей мала, их влияние на фазовый переход остается слабым до тех пор, пока корреляционная длина не станет достаточно большой, то есть пока температура не слишком близка к критической Тс. Соответственно в этом режиме, критическое поведение остается таким же, как и в чистой системе без примесей. Однако при г- 0, {Т- Тс), где г = 27Гс-1 корреляционная длина Rc в конце концов становится больше, чем среднее расстояние между примесями, и их влияние, может стать существенным. В этих условиях картина становится существенно нелокальной и необходимо совместно учитывать взаимодействие флуктуации и рассеяние их на неоднородностях.
Несколько лет назад доминировала точка зрения, что примеси либо полностью разрушают длинноволновые флуктуации, в результате чего сингулярности термодинамических функций сглаживаются [24], либо только сдвигают критическую точку, но на само критическое поведение влияние не оказывают, то есть критические индексы остаются такими же, как и в чистой системе [127]. Позднее, однако, удалось понять, что возможна и промежуточная ситуация, когда достаточно близко к точке перехода благодаря примесям устанавливается новый критический режим, который описывается новыми универсальными критическими индексами [128]. Более того, был выработан очень простой критерий, так называемый критерий Харриса, который позволяет, используя лишь критические индексы чистой системы, на качественном уровне предсказать, в каких случаях примеси существенны для критического поведения, а в каких нет [24]. Согласно этому критерию слабый беспорядок влияет на критическое поведение только в тех случаях, когда критический индекс теплоемкости соответствующей чистой системы положителен, а 0 (то есть, теплоемкость в точке перехода является расходящейся). В противоположном случае, когда а 0 (то есть теплоемкость конечна в точке перехода), слабый беспорядок не влияет на критическое поведение.
Это можно объяснить тем, что теплоемкость - линейный отклик на возмущение температуры. Если а 0, то при Т- ТС отклик неограниченно возрастает. При этом естественно ожидать существенное влияние примесей на критическое поведение.
Данному критерию удовлетворяют только трехмерные спиновые системы, эффективный гамильтониан которых вблизи критической точки изоморфен модели Изинга. Отметим также, что в маргинальной ситуации, когда критический индекс теплоемкости чистой системы а=0 влияние беспорядка, вносимого присутствием примесей, становится неопределенным, и в этой ситуации требуется более детальное рассмотрение. В качестве примера подобных чистых спиновых систем, для которых критический индекс теплоемкости а равен нулю можно привести, четырехмерную модель ф4 и двумерную модель Изинга. Однако вычисления показывают, что во всех подобных случаях, если теплоемкость чистой системы является логарифмически расходящейся в критической точке, то наличие слабого беспорядка оказывается существенным для критического поведения [14].
Критерий Харриса легко выводится. Единственное при выводе данного критерия, надо предположить, что при описании спиновой системы на основе гамильтониана Гинзбурга-Ландау наличие примесей должно проявляться в слабых случайных пространственных флуктуациях приведенной температуры г, то есть примеси приводят к пространственным флуктуациям эффективной локальной температуры перехода.
К настоящему времени, интенсивно исследуется статические критические и термодинамические свойства изинговских спиновых систем с вмороженными немагнитными примесями, которые характеризуются гамильтонианом без трансляционной симметрии идеальной решетки [129]. При рассмотрении любой такой системы важно отметить, что узлы таких неупорядоченных спиновых систем или неодинаково заполнены или по-разному взаимодействуют с соседями. Более того, с точки зрения динамики можно указать на два противоположных типа беспорядка: Если характерное время динамики примесей соизмеримо с временами релаксации чистой системы, с примесными переменными можно работать так же, как и с динамическими переменными для чистых систем, так как они являются частью фазового пространства неупорядоченной системы. Беспорядок, обусловленный примесями такого вида в спиновой системе называется отожженным. Если же время релаксации примесей будет много больше времени релаксации чистой спиновой системы, то примеси обуславливают беспорядок вмороженного типа.
Практически спиновые системы с вмороженным беспорядком можно получить, например, следующим образом. Если нагреть образец до некоторой температуры Th при которой времена релаксации примесей и спинов сравнимы между собой, а затем дать им прийти в состояние термодинамического равновесия друг с другом, хотя это вовсе и не обязательно. Затем, быстро охлаждая систему до некоторой температуры Tch, при которой время релаксации примесей будет много больше времени релаксации чистой системы, причем это соотношение будет иметь место в некотором интервале температур, содержащим Tch, и в интервалах других термодинамических параметров системы. Если работать в этих интервалах во временной шкале, много меньшей времени релаксации примесей, но много большей времени релаксации чистой системы, то состояние примесей можно считать замороженным (фиксированным), а состояние чистой системы -равновесным.
Критическое поведение трехмерной слабо разбавленной модели Поттса с q=3 на простой кубической решетке. Результаты численного эксперимента
Четырехпетлевые разложения были пересуммированы при помощи методов Чисгольма - Бореля, первой конфлюэнтной формы s -алгоритма Винна, а также метода Паде-Бореля [72], и при этом получились близкие результаты (см. табл. 2.2). Анализ выражений пятипетлевого приближения позволил авторам работ [73] получить пятипетлевые оценки критических показателей трехмерной слабо неупорядоченной модели Изинга.
Похожая техника пересуммирования была также применена к РГ функциям [27, 74]. В этих работах изучалось как асимптотическое, так и эффективное критическое поведение. Подобно массивной схеме РГ пересуммирование здесь снова восстанавливает наличие нетривиальной неподвижной точки в двухпетлевом приближении и сохраняет ее в трех [74] и четырех петлях [27]. Однако в пятипетлевом порядке примененная схема пересуммирования Чисгольма-Бореля не привела к действительному решению для неупорядоченной неподвижной точки [27]. Одной из причин такого поведения может служить возможная несуммируемость по Борелю рассматриваемых рядов. В работе [75] с рекордной точностью в шестипетлевом приближении для трехмерной слабо разбавленной модели Изинга были получены критические индексы.
Полученные в трехпетлевых [74], четырехпетлевых [27,76], пятипетлевых [73] и шестипетлевых [75] приближениях, величины асимптотических критических показателей приведены в таблице 2.2. Следует, однако, заметить, что некоторые эффективные схемы, например, е-разложение при исследовании спиновых систем с вмороженными примесями вырождаются ъ 4є - разложение [27, 28], которое, как оказалось, непригодным при количественных расчетах [29], более того исходные ряды по константам связи оказываются также не суммируемыми по Борелю [27]. Пересуммирование по новой процедуре типа Паде-Бореля проблему решает лишь частично. Интересная ситуация сложилась и в исследованиях проведенных на основе методов Монте-Карло. Имеющиеся на сегодняшний день результаты численных исследований трехмерной модели Изинга с вмороженным беспорядком весьма противоречивы, в особенности для трехмерной модели Изинга с вмороженными немагнитными примесями [31-35]. Кроме того, при численных исследованиях разбавленных моделей следует иметь в виду, что есть серьезные основания предполагать наличие зависимости критических параметров от способа реализации беспорядка в исследуемой модели. В работе [34] было обнаружено, что беспорядок, реализованный каноническим способом (фиксацией доли магнитных узлов) ведет к результатам, отличным от случая, когда беспорядок реализовался способом большого канонического ансамбля (доля магнитных узлов в каждой примесной конфигурации флуктуирует). По-видимому, строгое исследование таких закономерностей в ближайшее время возможно лишь на основе данных численного эксперимента и практически невозможно другими методами.
В работах [32-34] полученные критические индексы для трехмерной модели Изинга с примесями на основе методов Монте-Карло зависят от концентрации примесей с. Авторы работы [35] посвященной моделированию трехмерной модели Изинга разбавленной большим каноническим способом утверждают, что полученные критические индексы в широком диапозоне концентраций спинов р, а в работе [31] для этой же модели в слабо разбавленном режиме при р=0.95 и 0.8 являются универсальными, хотя и прослеживается зависимость критических индексов от концентрации спинов. Исследования работ [31,35] основаны на учете поправки к скеилингу.
Таким образом, имеющиеся на сегодняшний день результаты как экспериментальных [41-65], так теоретических[27-29, 67-76] и численных исследований [31-35] трехмерной модели Изинга с вмороженным беспорядком не проясняют вопрос: являются ли новые критические индексы данной модели универсальными, т.е. не зависящими от концентрации примесей вплоть до порога перколяции, или существует линия фиксированных точек, определяющая непрерывное изменение критических индексов с концентрацией.
Отметим также как в экспериментальных исследованиях [41-65], так и в исследованиях посвященных компьютерному моделированию [31-35] представленные результаты отличаются и даже превосходят известные асимптотические величины. Это не универсальное поведение может быть связано с возможным не асимптотическим поведением, найденным в различных потоках, как предполагалось в работах [33, 66]. Такое различие, по-видимому, может быть обусловлено: 1. Различными температурными областями эксперимента. 2. Различными концентрациями спинов р. 3. Различием способа реализации вмороженного беспорядка в спиновой системе. Обособленно от некоррелированного разбавленного беспорядка в последнее время предметом изучения методом Монте-Карло стали другие реализации беспорядка. В качестве обобщения трехмерной модели Изинга разбавленной немагнитными примесями исследовалась термически разбавленная модель Изинга [141]. В этом случае реализация распределения вакансий определялась из локального распределения спинов чистой модели Изинга в критической точке. Оказалось, что критические свойства модели, в частности, класс универсальности, сильно отличаются от трехмерной модели Изинга с примесями и более соответствуют теоретическим предсказаниям для скоррелированного на больших расстояниях беспорядка.
В заключении отметим, что все выше отмеченные теоретико-полевые методы работают только в области слабой неупорядоченности систем. Подтвердить результаты экспериментальных исследований с помощью теоретико-полевых методов возможно лишь для слабо неупорядоченных систем. Поэтому для исследования сильно неупорядоченных систем приоритетное значение приобретают методы компьютерного моделирования.
Таким образом, обращение к надежным и математически строго обоснованным различным вариантам метода Монте-Карло, в том числе и мощным кластерным алгоритмам метода Монте-Карло [15-18, 30-39] является обоснованным и актуальным.
Похожие диссертации на Исследование критических свойств спиновых решеточных моделей с примесями методами Монте-Карло
