Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Классический метод Монте-Карло .
1.1. Классический метод Монте-Карло 19
1.2. Модели, используемые при исследованиях методом Монте-Карло 26
1.3. Стандартный алгоритм метода Монте-Карло 36
1.4. Кластерные алгоритмы метода Монте-Карло 38
1.5. Граничные условия 44
1.6. Анализ ошибок в методе Монте-Карло 46
ГЛАВА II. Исследование статических критических свойств моделей реального магнетика
2.1. Гадолиний и его статические критические свойства. Данные лабораторных экспериментов 54
2.2. Микроскопические модели гадолиния 61
2.3. Метод исследования 63
2.4. Основные положения теории конечно — размерного скейлинга 66
2.5. Статические критические свойства моделей гадолиния. Результаты численного эксперимента 71
ГЛАВА III. Исследование квантовых спиновых систем методами Монте-Карло .
3.1. Квантовый метод Монте-Карло , 93
3.2. Стандартный алгоритм квантового метода Монте-Карло 105
3.3. Блок-кластерный алгоритм 107
3.4. Петлевой (Loop) алгоритм 112
ГЛАВА IV. Исследование квантовой XXZ-модели со спином методом Монте-Карло .
4.2. Исследование одномерной XXZ- модели квантовым методом Монте-Карло 119
4.3. Исследование двумерной XXZ — модели квантовым методом Монте-Карло 128
Заключение 136
Литература 140
- Модели, используемые при исследованиях методом Монте-Карло
- Гадолиний и его статические критические свойства. Данные лабораторных экспериментов
- Стандартный алгоритм квантового метода Монте-Карло
- Исследование двумерной XXZ — модели квантовым методом Монте-Карло
Введение к работе
Актуальность темы. В последние годы достигнут значительный прогресс в понимании проблемы фазовых переходов (ФП) и критичесісих явлений (КЯ). Наиболее плодотворными в построении теории ФП оказались методы ренормализационной группы и е- разложения, а также применение гипотезы скейлинга и универсальности [1,2]. При помощи этих методов удалось установить основные закономерности, наблюдающиеся в области фазового перехода, рассчитать значения критических индексов (КИ), а также получить соотношения между КИ. Идеи, лежащие в основе этих методов, внесли значительный вклад в наше понимание природы фазовых переходов и критических явлений.
Тем не менее, в теории конденсированного состояния на сегодняшний день не разработана строгая, последовательная микроскопическая теория фазовых переходов и критических явлений. К тому же, остается не до конца решенным вопрос о влиянии на результаты различных возмущающих факторов (таких как различного рода примеси, анизотропия, диполь-дипольное взаимодействие, многоспиновый обмен, учет колебаний решетки и т.д.) присущих реальным системам.
Строгое исследование реальных трехмерных систем на основе сложных микроскопических гамильтонианов методами современной теоретической физики - задача чрезвычайно сложная. В связи с этим на современном этапе значительно возрастает роль и актуальность методов вычислительной физики -различных вариантов классического и квантового методов Монте-Карло, которые позволяют успешно исследовать критические свойства систем со сложными реалистичными гамильтонианами в широком диапазоне изменения внешних параметров [3-7].
В последнее время ФП и КЯ интенсивно исследуются методами вычислительной физики: методами Монте-Карло (МК). Эти методы оказались весьма эффективными в статистической физике, физике фазовых переходов, а также в ряде других самых разнообразных областей науки и техники (физики, механики, химии, биологии, социологии, кибернетики и т.д.).
Численные методы обладают рядом ценных преимуществ, связанных не только с их строгой математической обоснованностью и возможностью контроля за погрешностью в рамках самого метода, но и с тем, что данные численного эксперимента можно сопровождать «физической картиной» происходящих процессов и большим объемом детальной сопутствующей информации.
О значении, которое придается в настоящее время методам вычислительной физики, свидетельствует разработка специализированных ЭВМ и процессоров, строго ориентированных на эти методы и решение конкретных задач статистической механики и молекулярной физики [7].
В последние годы значительное внимание уделяется также исследованию численными методами низко-размерных (\d и 2d) квантовых систем. С одной стороны этот интерес обусловлен тем, что низко размерные системы легче исследовать, чем системы более высоких размерностей. С другой стороны
РОС. НАЦИОНАЛЬНА* і БИБЛИОТЕКА
интерес стимулируется большим количеством экспериментальных работ на квазиодномерных и квазидвумерных магнитных системах.
Следует отметить, что теоретическое исследование этих систем чрезвычайно затруднено, в то время как различные подходы, основанные на квантовом методе Монте-Карло, являются весьма мощными средствами для получения численных данных о поведении этих систем.
Из всего вышесказанного следует, что исследование критических свойств моделей реальных магнитных материалов, а также термодинамических свойств квантовых спиновых систем является важной и актуальной задачей современной статистической физики, теории фазовых переходов и критических явлений.
Целью работы является исследование статических критических свойств моделей реальных магнетиков кластерными алгоритмами метода Монте-Карло, а также квантовых спиновых систем высокоэффективными алгоритмами квантового метода Монте-Карло. В процессе выполнения работы решались следующие основные задачи:
-
Разработка комплекса программ для ЭВМ, с помощью которого можно исследовать статические критические свойства сложных моделей реальных магнетиков, а также квантовых спиновых систем;
-
Обобщение высокоэффективного одно-кластерного алгоритма Вульфа для исследования моделей, где несколько различных типов слабых релятивистских взаимодействий действуют одновременно на фоне друг друга, а также возможны кроссоверные явления;
-
Исследование высокоэффективными алгоритмами метода Монте-Карло статических критических свойств моделей реального ферромагнитного гадолиния (Gd). Определение с помощью теории конечно-размерного скейлинга статических критических индексов а, р,у, tjm v моделей гадолиния;
-
Проверка справедливости теории конечно-размерного скейлинга для моделей, в которых могут наблюдаться кроссоверные явления;
-
Исследование термодинамических свойств квантовых спиновых систем с помощью высокоэффективных алгоритмов квантового метода Монте-Карло, основанных на формуле Сузуки-Троттера;
Практическая ценность работы.
Полученные в диссертации результаты по исследованию статических критических свойств моделей сложных реальных магнитных систем, а также квантовых спиновых систем, представляют интерес для дальнейших исследований в теории магнетизма, физики фазовых переходов и статистической теории твердых тел. Разработанный комплекс программ для ЭВМ формирует базу, на основе которой возможны высокоточные исследования статических критических явлений в моделях реальных магнетиков, а также квантовых спиновых систем.
Обобщение одно-кластерного алгоритма Вульфа для исследования сложных моделей реальных магнетиков показало, что кластерные алгоритмы являются ценным инструментом при исследовании сложных реалистичных систем и позволяют определять с высокой степенью точности критические параметры системы. Сопоставление результатов численных экспериментов с данными лабораторных исследований и теоретических предсказаний позволило определить особенности практического использования теории конечно-размерного скейлинга при исследовании моделей реальных магнитных материалов.
Проведенные высокоточные исследования квантовых решеточных спиновых систем петлевым (Loop algorithm (LA)) алгоритмом квантового метода Монте-Карло, основанного на формуле Сузуки-Троттера показало, что этот алгоритм является значительно более эффективным, по сравнению с другими (стандартный (World line algorithm (WLA)) и блок-спин-кластерный (Block-spin-cluster algorithm (BSCA)) алгоритмы) и позволяет проводить высокоточные исследования квантовых спиновых систем, содержащих большое число спинов (до 106 спинов), в низкотемпературной области. Таким образом, на основе квантового метода Монте-Карло создан пакет программ, который позволит в будущем исследовать модели реальных магнетиков с учетом квантового характера этих систем.
Экспериментальные результаты данной работы используются для чтения спецкурсов: «Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло», «Компьютерное моделирование в физике», «Методы вычислительной физики в магнетизме», а часть программ для ЭВМ при выполнении лабораторных работ по указанным спецкурсам в Дагестанском государственном университете.
Научную новизну и значимость диссертации определяют основные положения, которые автор выносит на защиту:
-
Применение высокоэффективного одно-кластерного алгоритма Вульфа метода Монте-Карло для исследования моделей с кроссоверными переходами. Исследование статических критических свойств моделей реального ферромагнитного гадолиния (Gd) одно-кластерным алгоритмом метода Монте-Карло.
-
Определение основных статических критических индексов теплоемкости а, намагниченности Д восприимчивости у, индекса Фишера 77 и критического индекса радиуса корреляции v моделей гадолиния Демонстрация влияния на характер критического поведения гадолиния изотропных диполь-дипольных взаимодействий.
-
Применение теории конечно-размерного скейлинга для исследования критических свойств моделей реального ферромагнитного гадолиния.
-
Исследование в широком диапазоне температур высокоэффективным петлевым алгоритмом квантового метода Монте-Карло термодинамических свойств одномерных квантовых моделей:
ферромагнитной и антиферромагнитной моделей Гейзенберга, XY-модели, а также промежуточных квантовых XXZ - моделей. Исследование в широком диапазоне температур высокоэффективным петлевым алгоритмом квантового метода Монте-Карло термодинамических свойств двумерных квантовых моделей: ферромагнитной и антиферромагнитной моделей Гейзенберга, XY-модели, а также промежуточных квантовых XXZ - моделей. Сложный комплекс программ для ЭВМ, позволяющий проводить высокоточные исследования статических критических явлений в сложных моделях реальных магнетиков, а также термодинамические свойства квантовых спиновых систем.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях, совещаниях, семинарах: Межгосударственной конференции «Компьютерные технологии в науке, экономике и образовании», CT-SEE'97 (Махачкала, 1997); Международной конференции «Фазовые переходы и нелинейные явления в конденсированных средах» (Махачкала, 2000); Международной конференции по вычислительной физике (Ахен, 2001); II всероссийской конференции по физической электронике ФЭ-2001 (Махачкала, 2001); XVIII международной школе-семинаре «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (Москва, 2002); Международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах» (Махачкала, 2002); V международном семинаре «Магнитные фазовые переходы» (Махачкала, 2002); Международной конференции по магнетизму (Рим, Италия, 2003); II международной конференции по физике жидкостей (Киев, Украина, 2003); Международном симпозиуме ОМА-2003 (Сочи, 2003); Всероссийском семинаре по проблемам магнетизма LFCM-2003 (Астрахань, 2003); Всероссийской школе-семинаре «Физика фазовых переходов» (Махачкала, 2003).
Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 25 работах. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы (155), изложенных на 152 страницах, содержит 59 рисунков и 6 таблиц.
Модели, используемые при исследованиях методом Монте-Карло
В этом параграфе мы рассматриваем наиболее часто используемые при исследовании методом Монте-Карло модели: модели Изинга, Гейзенберга, XY-модель, модель среднего поля, модель Поттса, модель Эшкина-Теллера, вершинные модели (шести верши иная модель или модель типа льда, восьмивершинная модель и т.д.), сферическая модель. Большинство высокоточных исследований к настоящему времени проведено с использованием этих моделей или их модификаций (на решетках с различной размерностью, с различными типами связей, с учетом анизотропии, дипольных сил, внешнего поля и т.д.). Рассмотрим наиболее распространенные из этих моделей более подробно.
При изучении критических явлений в решеточных системах наиболее часто используемой, самой простой, и универсальной из всех моделей магнетиков является модель Изинга. В модели Изинга спины размещены на d- мерной решетке. Спиновые переменные модели могут принимать только два значения (+1 или -1), и соответствуют двум возможным ориентациям спинов (вверх или вниз).
Гамильтониан модели Изинга можно представить в следующем виде: где У- параметр обменного взаимодействия между спинами, //о- внешнее магнитное поле, nSi ±l для всех /. Модель Изинга широко применяется как модель решеточного газа, и при изучении простых бинарных сплавов [54]. Несмотря на относительную простоту модели Изинга, до сих пор точно решены только два частных случая с размерностями d- 1 и d = 2 [8], Отметим, что эти точные решения, помогают оценить пригодность приближенных методов, используемых для трехмерных моделей. Кроме того, эти модели могут служить хорошим приближением для некоторых реальных физических систем, поскольку существует большой класс магнитных кристаллов, которые могут быть отнесены к одномерным или двумерным.
Интерес к вопросу об исследовании фазовых переходов методами численного эксперимента тем более велик, что для случая трехмерной модели Изинга, а для некоторых моделей и в одномерном случае, до настоящего времени еще не удалось решить ни одной аналогичной задачи.
В работе [62] метод Монте-Карло впервые применен для расчета энергии и намагниченности двумерной модели Изинга с взаимодействием между ближайшими соседями. Этот расчет воспроизводит точный результат Онзагера для энергии с погрешностью в пределах 1% в широкой области, исключая непосредственную область критической точки. Подробное исследование модели Изинга на квадратной и простой кубической решетке было выполнено еще в 70-е годы [63-66].
В работах [65, 66] методом Монте-Карло исследована модель Изинга, на простых решетках с ПГУ и свободными поверхностями. Получена довольно подробная информация об эффектах, связанных с малостью рассматриваемых решеток. Рассматривается также вопрос о влиянии свободной поверхности на свойства системы. В работе [66] отмечается сильная зависимость энергии, намагниченности и восприимчивости от линейного размера ячейки Монте-Карло со сдвигом температуры упорядочения в сторону низких температур по сравнению с макрообразцами. При наложении на систему ПГУ эти зависимости слабее, более того, в низкотемпературной области параметр порядка не зависит от размера системы. В [67] исследовано критическое поведение изинговского антиферромагнетика на объемо-центрированной решетке в магнитном поле.
Модель Изинга с ближайшими соседями может быть усовершенствована, если учитывать взаимодействие с соседями, следующими за ближайшими. Поэтому в последующие годы акцент сместился в сторону изучения моделей со сложными типами взаимодействий и на других классах решеток. Модель Изинга в дальнейшем изучалась с анизотропией [68], с биквадратным взаимодействием [69], в случайных полях [70, 71], в сильных магнитных полях [72], в поперечном поле [73], с трехспиновым взаимодействием [74], с четырехспиновым взаимодействием [75], в антиферромагнитных системах [67, 76, 77], с фрустрацией [78], с учетом взаимодействия между более далекими соседями [79-81], на квазирешетках [82, 83], со смешанным значением спина [84]. Модель Изинга в различных размерностях подробно изучена в [16], где получены одни из самых последних и высокоточных результатов для двух, трех и пятимерного случаев, а также даны основные базовые аспекты различных алгоритмов и применения конечно-размерного скейлинга. На основе этих исследований получена обширная информация о модели Изинга. Рассчитаны параметры ближнего и дальнего порядка, вычислена внутренняя энергия, теплоемкость, а также и другие термодинамические величины, и критические индексы для модели Изинга и ее различных вариантов. В [85] сделан вывод о том, что результаты расчетов методом Монте-Карло для ограниченной модели Изинга позволяет проводить экстраполяцию и получать надежные результаты для макросистемы. Модель среднего поля.
В любой статистико-механической системе каждая компонента взаимодействует с внешним полем и с соседними компонентами. В модели среднего поля взаимодействие с соседними компонентами заменяется величиной, усредненной по всем компонентам. Эта модель является в некотором смысле «бесконечномерной», так как каждый спин одинаково взаимодействует со всеми остальными [8].
Таким образом, гамильтониан модели Изинга (1.16) для системы состоящей из N спинов, где каждый спин имеет q — соседей, при переходе к модели среднего поля принимает следующий вид:
Гадолиний и его статические критические свойства. Данные лабораторных экспериментов
Оба эти алгоритма эргодичны и нелокальны. Несмотря на то, что, на практике они широко используются, все еще остается ряд вопросов, связанных с эффективностью этих алгоритмов как при сравнении между собой, так и применительно к тем или иным моделям. Например, в [99] отмечалось, что главная причина более высокой эффективности алгоритма Вульфа заключается в том, что средний размер переворачиваемого кластера больше, чем в случае алгоритма Свендссна-Янга. Также отметим, что до последнего времени эти алгоритмы в основном использовались при исследовании относительно простых модельных систем (таких как модель Изинга, Гейзенберга, XY - модель, модели Поттса и т.д.)- Исследованию сложных моделей реальных материалов, из-за возникающихся различных трудностей, уделялось слишком мало внимания.
В реальных статистических системах число составляющих частиц достигает N 10 . Вычислить функции типа f(x) или U(x) при таких размерах системы невозможно. При расчетах на современных ЭВМ приходится ограничиваться числом частиц от нескольких десятков до нескольких сотен тысяч, в зависимости от моделируемой системы и используемых при этом параметров. Поэтому подход к изучению поведения реальных макроскопических систем на основе расчетов для малых систем представляет собой одно из наиболее серьезных приближений метода Монте-Карло [54]. Для того чтобы осуществить разумную экстраполяцию на термодинамический предел на систему необходимо накладывать различные граничные условия [54].
Физически наиболее простым условием является условие «свободных поверхностей», моделирующее маленькую частицу. Взаимодействие через поверхность частицы принимаются тогда равными нулю. При условии свободных поверхностей рекомендуется делать выборку на поверхности (и в прилегающих слоях) больше, чем внутри объема.
При наложении «случайных граничных условий» на поверхности системы допускается действие случайных сил, которые строятся так, что их корреляционная функция совпадает с корреляционной функцией реальных сил, действующих через мысленно проведенную поверхность общей системы. Такая методика пока еще трудна в реализации, однако представляет потенциальный интерес, так как она может открыть новые возможности применения метода Монте-Карло [54].
Обычно для устранения влияния граничных эффектов при моделировании макросистем с помощью образцов, содержащих сравнительно небольшое число частиц, используются так называемые «периодические граничные условия». В сложных системах это просто означает отождествление (я + 1)-го слоя с первым. При этом не возникают свободные границы и стенки. Отметим, что выбор подходящих линейных размеров и граничных условий должен осуществляться осторожно. Например, если для изинговского ферромагнетика линейный размер может быть четным или нечетным, то в случае изинговского антиферромагнетика этот размер должен быть четным, иначе структура анти ферромагнетика не будет совпадать с решеткой. В некоторых случаях иногда вводят «антипериодические граничные условия», когда («+1)-й слой отождествляется с первым, но знак локального параметра порядка меняется на обратный. Хотя периодичность и является разумным условием для любой конечной системы, это условие не есть наилучшее приближение для бесконечной системы [54].
Часто используют граничные условия типа «эффективного самосогласованного поля». В этой методике используются свободные граничные условия и некоторое «эффективное поле», которое взаимодействует лишь со свободными поверхностями системы. Это условие ликвидирует граничные эффекты в рамках теории фазовых переходов Гинзбурга-Ландау, в то время как в общем случае это выполняется лишь приближенно. Этот метод приводит к ярко выраженной критической точке с показателями среднего поля. Тем не менее, этот метод предпочтительней: если использовать только свободные поверхности, или только периодические граничные условия, то возникает сглаживание критических аномалий вблизи Тс. В случае «эффективного поля» имеет место переход от истинного критического поведения к критическому поведению среднего поля, но не сглаживание.
Дальнейшее усложнение состоит в замене постоянного эффективного поля «случайно флуктуирующим эффективным полем» с тем же средним. Однако следует подчеркнуть, что все эти приемы значительно усложнятся, если рассматривать несколько параметров порядка, как это имеет место в системах с несколькими упорядоченными фазами. Тогда потребовалось бы построить эффективное граничное поле для каждой из этих упорядоченных фаз и определить эти поля в совместной итерационной процедуре. Возможны и другие способы наложения граничных условий, а также использование различных граничных условий в сочетании друг с другом [54].
Надежность результатов, полученных методами Монте-Карло, зависит от точности самого метода и от того, насколько исследуемая модель соответствует реальной системе. Последнее зависит от того, правильно ли описано взаимодействие частиц друг с другом, как учтены квантовые эффекты и т.д. При анализе точности метода Монте-Карло следует различать статистическую погрешность, обусловленную конечностью числа испытаний (цепи Маркова), и систематическую погрешность, обусловленную конечностью числа частиц в моделируемой системе, периодическими граничными условиями и приближениями при подсчете термодинамических характеристик системы [16].
Систематические ошибки возникают, когда радиус корреляции становится больше линейных размеров системы, т.е. при приближении к точке фазового перехода. Однако использование основ теории конечно-размерного скейлиига позволяет довольно хорошо снимать эффекты конечных размеров, и соответственно уменьшить связанные с ними систематические ошибки.
Конечность марковской цепи, и связанная с ней статистическая погрешность,-одно из основных ограничений метода Монте-Карло. Время наблюдения, в принципе, должно быть бесконечным, что, естественно, не возможно реализовать. При проведении численного эксперимента неизбежно возникает вопрос: что лучше, считать небольшую систему и набрать большую статистику, или считать большую систему, но с малой статистикой?
При выборе размеров моделируемой системы необходимо учитывать большое количество различных часто взаимоисключающих факторов. И этот выбор зависит от исследуемой модели, изучаемых термодинамических параметров, близости к критической области, типа компьютера, на котором проводятся расчеты, способа программирования, и целого ряда других факторов. Очевидно, что все это требует от исследователя осторожности и большого опыта.
Стандартный алгоритм квантового метода Монте-Карло
В последние годы исследованию численными методами низко размерных (\d и 2d) квантовых систем уделяется значительное внимание. С одной стороны этот интерес обусловлен тем, что низко размерные системы легче исследовать, чем системы более высоких размерностей. С другой стороны интерес стимулируется большим количеством экспериментальных работ на квазиодномерных и квазидвумерных магнитных системах. Некоторыми квазиодномериыми магнитными системами, изученными экспериментально, являются: CuClj-DMSO (диметил сульфоксид), CuClrTMSO (тетраметил сульфоксид), и (C(,HuNHy)CuCl [38]. Все три перечисленные соединения состоят из цепочек атомов с сильным ферромагнитным взаимодействием между атомами меди со спином S= 1А в одной цепочке и намного меньшим (10" — 10"1) магнитным взаимодействием между цепочками. Опыт последних лет показывает, что такого рода системы эффективно исследуются квантовыми методами Монте-Карло. Большое внимание многими авторами уделено исследованию одномерной (\d) ферромагнитной и антиферромагнитной модели Гейзенберга [38, 40, 133-135]. Много работ посвящено изучению UXY-модели [39], а также XXZ- модели [137, 138].
Открытие высокотемпературной сверхпроводимости сильно усилил интерес к двумерным (2d) квантовым спиновым системам [43, 139, 140]. Теоретически, механизм спаривания, связанный с флуктуациями спинов, был использован как один из возможных вариантов объяснения высокотемпературной сверхпроводимости. На данный момент еще до конца не известно, вносят ли существенный вклад в сверхпроводимость спиновые флуктуации или нет.
Двумерные спиновые системы являются интересными объектами для исследований также и в классическом случае. Так, изинговские системы имеют конечную Тс, однако системы с непрерывной симметрией не имеют дальнего порядка при конечной (ненулевой) температуре. В XY- модели при конечной температуре имеет место топологический порядок, который известен как фазовый переход Костерлица-Таулиса (КТ). В случае квантовой XY-модели вопрос является ли переход КТ-типа или нет, все еще остается спорным [43, 141]. Также важным и до сих пор не решенным является вопрос о структуре основного состояния антиферромагнитной модели Гейзенберга [140]. Используя различные алгоритмы квантового метода Монте-Карло, выполнены достаточно обширные исследования 2d ферро- и антиферромагнитной модели Гейзенберга [38, 41, 51, 139, 142, 143, 148], XY-модели [38, 47, 136, 141], а также XXZ-модели [43]. В некоторых работах выполнены исследования и систем с более высокой величиной спина [41, 42, 142]. Следует отметить, что теоретическое исследование этих систем чрезвычайно затруднено, в то время как различные подходы, основанные на квантовом методе Монте-Карло, являются весьма мощными средствами для получения численных данных о поведении этих систем. Однако, несмотря на значительные усилия, возможность эффективного применения методов Монте-Карло (МК) к изучению свойств квантовых систем, в частности, решеточных моделей с произвольной геометрией, с произвольным значением спина в широком диапазоне изменения различных физических параметров, все еще остается проблематичной [13]. К настоящему времени имеются два разных подхода к использованию процедуры МК в задачах такого рода: подход Хэндскомба [144-147] и подход, основанный на формуле Сузуки-Троттера [86, 87]: где т — целое положительное число (число Троттера). Формула Сузуки-Троттера переводит любую d- мерную квантовомеханическую систему в (d+ I)-мерную классическую общего типа. Разбиение гамильтониана на слагаемые является произвольным [13]. Этот метод был опробован на одномерной поперечной модели Изинга [149], на одномерной модели Гейзенберга и XY-модели [38-40, 133-136]. В большинстве из этих работ и особенно в [38] изучены эффекты, связанные с конечностью добавочной размерности (числа Троттера т). Обычно дополнительную размерность рассматривают как дискретную «мнимую временную» размерность (0 т Д (3 = УкнТ). Использование формулы (3.1) приводить к разбиению шкалы мнимого времени на //дискретных интервалов длиной Am (р = NAm) и справедливо, когда добавочная «временная» размерность бесконечна, что, конечно, не реализуется на ЭВМ. Это означает, что в МК расчетах, использующих этот подход, наряду с обычными погрешностями метода МК, возникает еще дополнительная "-Am погрешность, связанная с конечностью «временного» интервала.
При понижении температуры, для сохранения заданной точности приходится увеличивать число временных разбиений N, следствием чего является увеличение времени счета и рост статистических ошибок. В результате, расчеты в низкотемпературном интервале становятся чрезвычайно затруднительными. Тем не менее, этот подход успешно применялся для изучения широкого класса различных систем. На его основе выполнен ряд интересных исследований по изучению бозонных, фермионных [50], а также магнитных спиновых систем [148]. Принципиально важный шаг был сделан в [150], где было предложено отказаться от дискретного разложения Сузуки-Троттера и осуществить переход к непрерывному времени 0 т fi (Am - 0), что делает метод асимптотически точным. Эта идея получила широкое распространение и была развита в [46, 52] применительно к петлевому алгоритму для спиновых систем.
За последние годы этот подход получил довольно мощное развитие. Предложены различные алгоритмы (блок-спин-кластерный, петлевой и др.), позволяющие в той или иной степени преодолеть проблему низкой эффективности метода в области низких температур (связанную с необходимостью увеличения числа Троттеровского разбиения для сохранения точности вычислений с понижением температуры), и исследовать системы, содержащие большое количество спинов [45, 46, 49, 51]. В связи с ростом производительности вычислительных машин, и с появлением высокоэффективных алгоритмов в последние годы стали интенсивно исследоваться также и двумерные квантовые системы. Следует полагать, что в ближайшем будущем появиться возможность проводить высокоточные исследования также и трехмерных систем, содержащих достаточно большое количество спинов и в низкотемпературной области.
Исследование двумерной XXZ — модели квантовым методом Монте-Карло
Как отмечалось ранее, в квантовом случае возникают проблемы, связанные с тем, что в отличие от классических систем (например, модели Изинга), при генерировании Марковской цепи невозможно перейти из одного возможного состояния в другое путем переворота одного спина. Как будет показано далее, для совершения удачного Монте-Карло шага на плакете необходимо переворачивать четное количество спинов.
Выход состоит в том, чтобы переворачивать с соответствующей вероятностью спины, лежащие на одной замкнутой ломанной [38, 39]. Каждая ломанная состоит из отдельных отрезков, соединяющих по два спина на плакете. В зависимости от типа ломаной перевороты могут иметь локальный (не меняют магнитный момент системы) и глобальный характер. На рисунке 3.4 даны различные типы таких ломанных, которые используются в стандартно.м алгоритме (World line algorithm (WLA)) квантового метода Монте-Карло. Эти ломанные строятся следующим образом: 1. ломанная 1 включает все спины с некоторой пространственной координатой /; 2. ломанная 2 имеет более сложную форму и содержит вертикальные и диагональные шаги влево и вправо, с одним условием, что в итоге она должна вернуться в исходную точку; 3. ломанная 3 является самой простой и включает все спины, лежащие на любом из не закрашенных прямоугольников; 4. ломанная 4 является комбинацией двух ломанных типа 3; 5. ломанная 5 строится следующим образом: Стартуя в точке х случайным образом двигаемся по решетке и строим ломанную до тех пор, пока она не пересечется сама с собой в точке у, затем отсекаем участок ху. В связи с большим разнообразием ломанных возникает вопрос, какие из них более эффективны, и в каких пропорциях друг к другу их целесообразно использовать при проведении вычислений. Ответ на этот вопрос неоднозначен и зависит от изучаемой системы, опытности экспериментатора, и имеющихся в наличии вычислительных ресурсов. Отметим также, что одни типы ломанных при сравнении в Монте-Карло шагах могут оказаться эффективнее других, в то же время, уступая им в реально затрачиваемом на вычисления процессором времени. Очевидно, что максимальная эффективность достигается когда различные типы ломанных используются в сочетании друг с другом. Большинство исследователей в основном используют наиболее простые ломанные типа 1 и 3 в различных пропорциях. К примеру, Кикучи (Kikuchi) и другие [39] использовали ломанные 1 и 3 в пропорции 1:4. Более подробно алгоритм (WLA) рассмотрен в [38]. В этой работе авторы, используя (WLA) - алгоритм с различными типами ломанных, детально исследовали ферромагнитную и антиферромагнитную модели Гейзенберга, а также XY-модель. Как было сказано выше, проблему критического замедления для классических систем с двухспиновым обменным взаимодействием удается решить с помощью кластерных алгоритмов (много-кластерный алгоритм Свендсена-Янга и одно-кластерный алгоритм Вульфа). Эти кластерные алгоритмы, однако, не удается применить к системам с четырехспиновым взаимодействием, так как в этом случае невозможно из одного возможного состояния перейти в другое состояние, изменяя направление отдельных спинов. Уэйс (Wiese) и Йинг (Ying) [45] предложили оригинальный способ для решения этой проблемы. Классической спиновой модели с четырехспиновым взаимодействием ставится в соответствие модель блоков спинов, содержащих по четыре спина (в случае двумерных квантовых систем блок содержит восемь спинов), с взаимодействием между блоками (по аналогии с классическим двух спиновым обменным взаимодействием). Полученная таким образом система затем моделируется с помощью кластерных алгоритмов Свендсена-Янга или Вульфа (блок-спин-кластерный алгоритм), с той лишь разницей, что вместо спинов теперь мы работаем с блоками спинов. Блок-спиновая модель в двумерном случае (получаемая из одномерной квантовой спиновой системы) изображена на рисунке 3.5. Как видно из рисунка, блоки спинов образуют две подрешетки (обозначенные буквами я и b соответственно), и при моделировании системы, для достижения эргодичности, блоки следует выбирать поочередно из обеих подрешеток. В случае однокластерного варианта блок-спин-кластерный алгоритм (BSCA) (Block-spin-cluster algorithm) выглядит следующим образом [45]: 1. Случайным образом на решетке выбирается блок спинов 6(5 1, 5г, 5з, SA) И переворачиваем его. Это будет первый блок в нашем кластере. Переворот блока b(S\, S2, Si, St) заключается в просто в перевороте всех спинов входящих в блок - 6(-5ь -5 -5з, -54). 2. Посещаем всех ближайших соседей данного блока и с вероятностью р включаем их в кластер. Вероятность включения блока в кластер имеет следующий вид:
Похожие диссертации на Исследование классических и квантовых моделей магнетиков методами Монте-Карло
