Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Литературный обзор 7
1.1. Сущность явления квазикристаллов 7
1.2. Физические свойства квазикристаллов 12
1.3. Влияние выделения квазикристаллических фаз на механические свойства сплавов 14
1.4. Теоретическое описание атомной структуры квазикристаллов 19
1.5. Политопный подход к описанию структуры квазикристаллов 34
1.6. Постановка задачи исследования 46
Глава 2. Методика проведения исследований 49
Глава 3. Атомарная модель структуры икосаэдрическои фазы(1-фазы) 73
Глава 4. Сопоставление параметров модели с экспериментальными данными 94
4.1. Сравнение с электронномикроскопическими и рентгенографическими данными 94
4.2. Модель превращения икосаэдрического квазикристалла в ОЦК-фазу . 98
4.3. Химический состав икосаэдрического квазикристалла 106
Глава 5. Модель атомной структуры кубической апериодической фазы (квазикристалла без запрещенной оси симметрии) 111
Заключение и выводы 123
Выводы 129
Литература 133
- Физические свойства квазикристаллов
- Политопный подход к описанию структуры квазикристаллов
- Атомарная модель структуры икосаэдрическои фазы(1-фазы)
- Модель превращения икосаэдрического квазикристалла в ОЦК-фазу
Введение к работе
Актуальность работы. Икосаэдрические квазикристаллы, т.е.
объекты с некристаллографической икосаэдрической симметрией картин
точечной дифракции электронов были октрыты в 1984 в сплавах системы
алюминий-марганец после закалки из жидкого состояния. С тех пор диапазон
систем сплавов, образующих квазикристаллические фазы, значительно
расширился, он включает в себя сплавы на основе титана, циркония, магния,
палладия, галлия и др. Во всех случаях дифракционные картины
свидетельствуют об отсутствии трансляционного дальнего порядка в этих
фазах, поэтому их можно отнести к классу апериодических структур. Однако
до сих пор проблема атомного строения квазикристаллических материалов
остается нерешенной проблемой физики конденсированного состояния.
Наиболее распространенным методом описания структур
квазикристаллических фаз остается т.н. метод срезов и проекций (МСП) 6-мерных кубических решеток. Этот чисто формальный математический прием позволяет объяснить происхождение икосаэдрической симметрии точечных картин дифракции электронов, но не дает реальных атомных позиций в структуре. Кроме того, давно открытые в системах V-Ni-Si, Fe-Nb-Si-B, Mg-А1 апериодические фазы с кубической симметрией картин точечной дифракции (названные "квазикристаллами без запрещенных осей симметрии") до сих пор остаются вообще без теоретического объяснения. Между тем в рамках алгебраической геометрии возможен общий подход к описанию кристаллических и некристаллических структур, основанный на использовании конструкций, определяемых 8-мерной решеткой Е8, при этом широко используемые в теориях квазикристаллов 6-мерные кубические решетки являются лишь подструктурами этой решетки.
Практическое значение квазикристаллов к настоящему времени сводится к двум аспектам: (1) открытие объектов с некристаллографической
картиной точечной дифракции указывает на ограниченность обычных методов описания структуры конденсированных фаз с помощью трехмерных периодических решеток и дефектов в решетках, а значит и на возможность получения материалов с иным, ранее неизвестным способом организации структуры; (2) в настоящее время обнаружено, что выделение наночастиц икосаэдрических квазикристаллов при распаде твердого раствора в промышленно важных сплавах - высокопрочных мартенситно-стареющих сталях и массивных металлических стеклах на основе циркония существенно улучшает их механические свойства; (3) сами квазикристаллы обладают необычной комбинацией физических свойств, в частности исключительно высоким удельным электросопротивлением и аномально низким поверхностным натяжением. Всеми этими обстоятельствами определяется актуальность настоящей работы, посвященной разработке структурных моделей апериодических фаз с икосаэдрической и кубической симметрией картин точечной дифракции с единых позиций на основе концепций алгебраической геометрии.
Целью диссертационной работы является разработка в рамках концепций алгебраической геометрии структурных моделей икосаэдрических квазикристаллических фаз и кубических апериодических фаз на основе единого представления об их иерархической структуре (сборки кластеров из кластеров), а также сопоставление параметров модели с экспериментальными данными. Для достижения этой цели было необходимо решить следующие задачи:
используя экспериментально наблюдаемые атомные кластеры, построить атомарные модели строения апериодических фаз с икосаэдрической (сплавы Al-Mn, Al-Mn-Si, Al-Cu-Fe) и кубической (сплавы Mg-Al, Fe-Nb-Si-B, V-Ni-Si) симметрией как иерархическое объединение 3-мерных сечений 4-мерных политопов, определяемых 8-мерной решеткой Е8;
установить возможность получения строительной единицы икосаэдрического квазикристалла декорированием четырехмерного политопа, определяемого решеткой Е8;
найти возможные варианты заполнения пространства икосаэдрического квазикристалла полученной строительной единицей и сопоставить полученную модель квазикристалла с моделью трехмерного разбиения Пенроуза, определяемого в общепринятом методе срезов и проекций;
на.основе экспериментально наблюдаемых кластеров построить иерархическую структурную модель кубической апериодической фазы, образующейся после закалки из жидкого состояния в сплавах V-Ni-Si, Fe-Nb-Si-B, Mg-Al;
провести сопоставление параметров полученных моделей с экспериментальными данными.
Научная новизна полученных в работе результатов заключена в следующем:
впервые в рамках алгебраического подхода построены 3-мерные модели икосаэдрической и кубической периодических фаз, использующие для декорирования четырехмерных политопов экспериментально наблюдаемые атомные кластеры;
явление икосаэдрических и кубических апериодических фаз впервые объяснено с единых позиций образованием иерархических атомных кластеров (кластеров из кластеров) диаметром несколько десятков нанометров;
впервые построена геометрическая модель превращения
икосаэдрической фазы Al-Cu-Fe в кристалл с неупорядоченной ОЦК-
структурой, объясняющая наблюдаемые ориентационные соотношения
между икосаэдрической и кубической фазами.
Практическая ценность работы определяется разработкой в ней структурных моделей образующихся в технически важных сплавах апериодических фаз с икосаэдрической и кубической симметрией, модели превращения икосаэдрической фазы в кубическую. Полученные модели указывают на возможность получения новых материалов с иерархическим типом организации структуры и являются составной частью научных основ строения наноматериалов.
Основные положения и результаты, выносимые на защиту:
Иерархическая структурная модель икосаэдрической фазы в сплавах Al-Мп и Al-Cu-Fe, основанная на декорации четырехмерных политопов, определяемых 8-мерной решеткой Eg.
Иерархическая структурная модель кубической апериодической фазы (кубического квазикристалла) в сплавах Mg-Al, Fe-Nb-Si-B, V-Ni-Si.
Структурная модель превращения икосаэдрической фазы Al-Cu-Fe в кубическую.
Физические свойства квазикристаллов
Физические свойства квазикристаллов проявляют значительные аномалии и поэтому представляют большой интерес для физики конденсированного состояния. Прежде всего, надо отметить чрезвычайно высокое удельное электроспоротивление квазикристаллов (порядка 10 -10 мкОмсм) и его отрицательный температурный коэффициент (как у полупроводников), что хорошо видно на рис. 1.4 из монографии Janot [7]. Кроме того, для электросопротивления квазикристаллов характерна высокая чувствительность к малым вариациям химического состава и необычная реакция на отжиг литого квазикристалла - при отжиге электросопротивление квазикристалла повышается (показано на рис. 1.5 по данным [26]).
Обзор магнитных свойств квазикристаллов приведен в работах [27,28]. В квазикристаллических сплавах наблюдали почти все виды магнитного поведения - парамагнетизм, диамагнетизм, ферро-, антиферро- и ферримагнетизм, поведение спинового стекла (замораживание магнитных моментов в случайных направлениях при охлаждении до определенной температуры (температуры перехода в спиновое стекло). Сильная магнитная аномалия соответствующая переходу в спиновое стекло обнаружена в работе [29] у квазикристаллов двойной системы А1-Мп: при низкой температуре они обнаруживают максимум магнитной восприимчивости (вместо обычного закона Кюри-Вейсса), при этом величина замороженного гигантского магнитного момента оказывается рекордной: 13,6 ц,в в икосаэдрической фазе А180Мп2о и 17,4 д,в в декагональной фазе А178Мп22 (здесь ц.в означает магнетон Бора).
Как уже было сказано выше, практическое значение квазикристаллов в настоящее время можно связать не только с их особыми физическими свойствами, но и с процессом выделения квазикристаллических частиц при распаде аморфной фазы металлических стекол, и вообще при распаде пересыщенных твердых растворов.
В работах [30, 31, 32] было показано, что при некоторой модификации химического состава мартенситностареющей стали по границам зерен в ней выделяются наноразмерные частицы квазикристаллической фазы. Благодаря этому сталь становится чрезвычайно устойчивой к, отпуску: высокие значение твердости на уровне в ней сохраняются при температуре отпуска 500С в течение более 1500 часов. Положительное влияние зернограничных выделений икосаэдрической фазы на механические свойства промышленного алюминиевого сплава системы Al-Li-Mg-Gu обнаружено в работе [12]. Особенно большое значение выделение икосаэдрических фаз имеет при распаде аморфного состояния в т.н. массивных металлических стеклах на основе циркония, титана и алюминия. Массивные металлические стекла -материалы, с низкой критической скоростью закалки, обеспечивающей образование стеклообразного состояния, характерное сечение получаемых образцов (заготовок) составляет 1-15 мм. Работ по массивным стеклам так много, что и обзоров много, в списке литературы приведем лишь, несколько : [33,34,35,36,37].
В настоящее время эти материалы интенсивно исследуются как с общенаучной, так и с практической точки зрения, поскольку обладают интересной комбинацией механических свойств. Одновременно с высоким уровнем механической прочности они обладают высокой величиной упругой деформации (благодаря более низкому модулю упругости), что делает их перспективными в качестве пружинных материалов и конструкционных элементов, требующих накопления энергии упругой деформации (клюшки для гольфа). Оказалось, что выделение квазикристаллических фаз при отжиге оказывает благоприятное влияние на механические свойства массивных металлических стекол, что видно из диаграммы для стекол на основе алюминия, приведенной на рис. 1.6 [34].
Политопный подход к описанию структуры квазикристаллов
В настоящем разделе описан более общий (по сравнению с методом срезов и проекций) подход к описанию атомного строения икосаэдрических квазикристаллов, который условно назван политопным. Политоп является четырехмерным обобщением ряда полигон (двумерное пространство), полиэдр (трехмерное пространство) на пространство с размерностью больше трех. Поэтому более строго использованный в настоящем разделе подход следовало бы назвать подходом в рамках алгебраической геометрии. По существу этот раздел тоже относится к теоретическим методам описания структуры квазикристаллов, но он вынесен в самостоятельный во-первых потому, что не является общепринятым, во-вторых потому, что является основным методом описания структуры апериодических фаз, принятых в настоящей диссертационной работе.
Преимущество алгебраических конструкций перед пространственными Федоровскими группами можно проиллюстрировать на простом примере. На множестве всех векторов, образующих примитивную кубическую решетку, введена операция сложения векторов: сумма любых двух векторов есть снова вектор этой же решетки. Относительно такой операции все множество векторов образует группу трансляций. При этом сумма двух компланарных векторов — также компланарный им вектор. На этом же множестве векторов можно ввести еще одну операцию — векторное произведение. Очевидно, что векторное произведение любых двух векторов — это вектор той же решетки. При этом между векторами устанавливаются дополнительные (по отношению к группе трансляций) соотношения связи; например, векторное произведение двух базисных векторов — это некомпланарный им вектор, отличный от их векторной суммы. Возможность появления таких дополнительных связей определяется тем, что множество всех векторов примитивной кубической решетки с определенными выше двумя (более точно тремя) операциями является уже не группой трансляций, а алгеброй, т.е. более общей конструкцией алгебраической геометрии [85]. В группе между тремя некомпланарными векторами связи нет, а в алгебре есть. Преимущество алгебраической геометрии заключается в установлении дополнительных по отношению к классической кристаллографии соотношений связи. В обычном кубе согласно теории групп, рассматривающей только жесткие движения (движения, не изменяющие расстояния между точками), имеется 48 элементов симметрии, а в рамках алгебраической геометрии.их 8!, что больше в 840 раз.
Минимуму энергии межатомного взаимодействия равновеликих атомов соответствует тетраэдр, однако сплошное заполнение 3-мерного пространства правильными тетраэдрами невозможно: объединив вокруг общего ребра 5 правильных тетраэдров с 2-гранным углом 70.53, убедимся, что остается щель с углом 360-5-70.53 = 7.34 (см. рис. 1.17). Оказалось, что трехмерное пространство без промежутков может быть заполнено только кубами (двугранный угол куба равен 90, соответственно 90-4=360), но при этом упаковка примитивных кубов оказывается рыхлой (52.36%), а это неприемлемо с энергетической точки зрения. Компромисс достигается заполнением пространства правильными полиэдрами 2 сортов: октаэдрами и тетраэдрами (двугранные углы тетраэдра и октаэдра составляют в сумме 180), из двух тетраэдров и октаэдра можно составить 60-градусный ромбоэдр, топологически совпадающий с кубом. Укладка таких ромбоэдров периодически заполняет пространство с плотностью упаковки 74% (ГЦК или ГПУ).
В четырехмерном пространстве можно получить плотные (без зазоров) упаковки всех пяти видов Платоновых тел. Все полиэдры (многогранники) образованы плоскими фигурами — многоугольниками (полигонами), объединенными по ребрам и вершинам. Из плоской развертки правильного додекаэдра (т.е. части двумерного пространства, разбитого на правильные пятиугольники с ромбическими зазорами между ними) мы можем вращением части плоскости получить трехмерную упаковку правильных пятиугнольников без зазоров, но уже в трехмерном пространстве, т.е. Рис 1.17. Объединение пяти правильных тетраэдров вокруг общего ребра оставляет незаполненным зазор с углом 360-5arccos(l/3)=7,35 правильный додекаэдр (рисі. 18). Зазоры устранены повышением размерности пространства на единицу. Подобно этому четырехмерные полиэдры (политопы) образованы объединением трехмерных полиэдров по общим граням, а зазоры между полиэдрами устранены вращением уже всего трехмерного пространства. Лишь в случае трех кубов, объединенных вокруг общего ребра, зазор составляет угол 90, и для его устранения вращения пространства не требуется: в зазор помещается точно четвертый куб, и мы получаем бесконечную кристаллическую решетку.
Геометрические особенности упаковки тетраэдров особенно важны для описания металлических структур. Оказалось, что в 4-мерном пространстве мы можем объединить, по граням 600 правильных тетраэдров, всего в этой замкнутой на себя фигуре будет 120 вершин. Эта фигура называется четырехмерным икосаэдром или политопом {3,3,5}. Здесь использованы символы Шлэфли, обозначающие тип политопа, поскольку представить себе фигуру в четырех измерениях мы не можем. Символ Шлэфли/ многоугольника записывается в виде {р}, где р равно числу его ребер, {3} -треугольник, {4} - квадрат и т.д. Символ Шлэфли полиэдра {р,д}, где р и q соответственно число ребер грани и число ребер, сходящихся в одной вершине. Тогда {3,3} -тетраэдр, {3,4} октаэдр, {3,5} икосаэдр, {4,3} куб, {5,3} додекаэдр. Четырехмерный полиэдр (политоп) имеет индексы Шлэфли вида {p,q,r}, где первые два символа {p,q} как и прежде определяют полиэдр (ячейку политопа), а индекс г определяет число ячеек (полиэдров), объединенных вокруг общего ребра [86]. Увидеть 4-мерный полиэдр нетрудно, если построить его проекцию в трехмерное пространство, подобно тому, как трехмерные фигуры мы изображаем на плоскости в виде нескольких проекций.
Атомарная модель структуры икосаэдрическои фазы(1-фазы)
Недостатки описания структуры икосаэдрических фазом методом срезов и проекций 6-мерных кубических решеток (примитивной решетки Вб, гранецентрированной кубической D6 и дуальной к ней ОЦК-решетки 6 были указаны в Главе 1. В этих моделях для декорирования абстрактной математической конструкции (разбиения Пенроуза) используются кластеры, наблюдаемые в близких квазикристаллам кристаллических фазах (часто рассматриваемых как рациональные аппроксиманты квазикристалла). Это триангулированный икосаэдр Маккэя и кластер Бергмана [3,7]. Естественно, что обнаружение этих кластеров в эксперименте в качестве фрагментов кристаллических структур является серьезным подтверждением такого подхода. Однако, внутренняя оболочка этих кластеров представляет собой пустой икосаэдр, что невыгодно с энергетической точки зрения. Обычно в интерметаллидах икосаэдрический координационный полиэдр стабилизируется атомом другого размера (другой химической природы) [69]. Представляется, что до сих пор при описании структуры икосаэдрических фаз не были рассмотрены все возможности, как с точки зрения использованного математического аппарата, так и с точки зрения наблюдаемых в эксперименте икосаэдрических конфигураций. Поэтому были предложены, хотя и в самом общем виде, без связи с экспериментом, трактовки икосаэдрических квазикристаллов как подструктур решетки Е8 [94,95,96], образованными многослойными оболочками с икосаэдрической симметрией. Такой подход представляется более эффективным, т.к. все перечисленные выше варианты 6-мерных кубических решеток вкладываются в решетку Е8 [111]. Как было сказано выше, независимо от этого была предложена полуэмпирическая модель икосаэдрического квазикристалла [92], в которой в качестве стартовых кластеров были использованы не изолированные икосаэдры, а известные из эксперимента кластеры, образованные взаимным пересечением трех и четырех икосаэдров (см. рис. 1. 19). Объединение трех икосаэдров имеет тригональную симметрию, аналогично тригональной призме, а объединение четырех икосаэдров имеет тетрагональную симметрию. Поэтому в этой главе будет построена модель искосаэдрического квазикристалла из экспериментальных кластеров с симметриями Dsh и Td и проанализирована ее связь с описанием икосаэдрического квазикристалла в методе срезов и проекций 6-мерного куба и возможностью вложения модели в 8-мерную решетку Eg.
Все кластеры, показанные на рис. 1.19, определяются сферическими оболочками, определяемыми различными проекциями политопа {3,3,5} в 3-мерное Евклидово пространство. Единичный икосаэдр (рис. 1.19а) представляет собой часть проекции, начатой от вершины политопа. Кластер с симметрией DSh совпадает с проекцией, начатой от грани политопа/ (Рис. 1.196), кластер с симметрией Td совпадает с проекцией, начатой от тетраэдрическойц ячейки (Рис.1.19.в, Табл.2.6). Для такого выпрямления субструктур политопа необходимы деформации ребер тетраэдра. Необходимые деформации реализуются заселением различных вершин кластера атомами разного диаметра (разной химической природы). Все показанные кластеры являются фрагментами экспериментально установленных кристаллических структур некоторых интерметаллидов (см. Глава 2). Поскольку кластер D3h эквивалентен тригональной призме, а кластер Та тетраэдру, то их объединение по общим гофрированным гексациклам в последовательности Td - D3i,- Td можно рассматривать в качестве ребра додекаэдра (рис.3.1), так что присоединение к трем из четырех гексациклов кластера Td кластеров D3], и соблюдение последовательности Td - D3h- Td... порождает иерархический додекаэдр с длиной ребра 0.7-0.75 нм, показанный в разных проекциях на рис.3.2.1-3.2 в виде фотографий картонной модели и компьютерной пространственной модели, построенной в программе Автокад. Оказалось, что не только кластеры D3h и 7)/, но и составленный из них додекаэдр сам может быть определен как 3-мерная проекция политопа. Более строго, этот додекаэдр может быть рассматриваться как объединение икосаэдрических оболочек, определяемых решеткой корней Е8 (описание 8-мерной решетки Е8 как набора концентрических икосаэдрических оболочек дано в работе Sadoc и Moseri [96].
Поскольку показанные на рис.1.19 кластеры являются объединением сечений политопа {3,3,5}, то в пределах этого политопа они. должны быть объединены без пересечения вдоль их общей тройной оси (в политопе это ось 6i). Другими словами, в политопе {3,3,5} выделяется линейная подструктура, которая может быть представлена как последовательность 3-кластеров TcrDihd. Как было сказано выше, политоп {3,3,5} определяется решеткой Е8, но Е8 определяет также и дуальный;к нему политоп {5,3,3}, и их объединение - политоп {720} [94]. В этом последнем ребро додекаэдрической ячейки политопа {5,3,3} перпендикулярно треугольной грани политопа {3,3,5} и проходит через центр этой грани. Каждая из 600 тетраэдрических ячеек политопа {3,3,5} центрирована вершиной дуального к нему политопа {5,3,3}, соответственно объединение{3,3,5} и {5,3,3}имеет 720 вершин и рассматривается в [94] как 4-мерный аналог триаконтаэдра. Таким образом, ось выделенной нами линейной подструктуры (последовательности 3 кластеров T -D o) совпадает с ребром додекаэдра из {5,3,3}, также являющегося частью политопа {720}.
Модель превращения икосаэдрического квазикристалла в ОЦК-фазу
В большинстве случаев квазикристаллы превращаются в называемые кристаллические фазы-аппроксиманты с большим периодом решетки. Фазы аппроксиманты дают картины дифракции электронов, подобные дифракционным картинам от квазикристаллов [136,137,138]. Однако, было обнаружено, что это не всегда так. Были опубликованы результаты экспериментального наблюдения превращения стабильного икосаэдрического квазикристалла (i-фазы) A Ci Fe .s в кристаллическую ОЦК-фазу, (типа разупорядоченной CsCl или В2) [139]. Превращение было вызвано царапанием поверхности квазикристалла индентером из спеченного твердого сплава на основе карбида вольфрама. При этом были определены ориентационные соотношения между кубической фазой и і-фазой сплава А1-Cu-Fe: 110 в2, ПЗ в2ІА5 и 10 В2, 11 1 В2, 112 В2 А2 где символы А5 и А2 обозначают соответственно оси симметрии 5-го и 2-го порядков икосаэдра. Позже, был предложен механизм превращения квазикристалл-кристалл [106]. Этот модельный механизм основан на рассмотрении 8-мерной решетки корней (векторов) Е8 в качестве прафазы (фазы прототипа) для любого полиморфного превращения. На локальном уровне превращение описывается как взаимная реконструкция координационных полиэдров участников превращения [105,106,107]. В рамках такого подхода фазы, участвующие в превращении, и промежуточные конфигурации, через которые происходит превращение, могут рассматриваться в качестве структурных реализаций конструкций алгебраической геометрии. Экспериментальное подтверждение предложенного механизма заключается в совпадении индексов Миллера плоскостей габитуса- мартенсита в сплавах на основе железа с индексами Миллера полиэдра Франка-Каспера с 14 вершинами. Этот полиэдр является участником превращения ГЦК-ОЦК в качестве промежуточной конфигурации. Причины превращения i-фазы именно в ОЦК-фазу (разупорядоченную В2) в работе [106] не рассматривались. С другой стороны, в работах [108, 109] была предложена- модель мартенситного превращения ОЦК-фазы и в титане и цирконии, и эта модель также была основана на использовании 8-мерной решетки Е8 в качестве прафазы. В настоящей работе предполагается, что превращение икосаэдрического квазикристалла именно в ОЦК-фазу происходит в соответствии с моделью, предложенной в работах [108,109]. Очевидно, что и превращение і-фаза—ЮЦК-кристалл, и ориентационное соотношение между исходным квазикристаллом и продуктом его превращения определяются локальной структурой квазикристалла и механизмом превращения.
Если принять описанную в Главе 3 модель икосаэдрического квазикристалла как проекцию декорированного политопа {5,3,3}, и превращение i-фазы в разупорядоченную фазу В2, и ориентационные соотношения между ними, наблюдавшиеся в работе [139], могут быть легко объяснены.
Ребра иерархического додекаэдра (рис.3.2) образованы кластерами с симметрией D3h, представляющих собой, как сказано выше, объединение трех икосаэдров и совпадающих с 3-мерной проекцией политопа {3,3,5} , начатой от грани (вершины этой грани показаны на рис. 1.196 пустыми кружками). Общая часть трех икосаэдров (выделена пунктирной линией на Рис. 1.196) состоит из 11 вершин, принадлежащих 11 тетраэдрам. Как было показано в работах [108,109], этот 11-вершинный кластер служит промежуточной конфигурацией при мартенситном превращении из ОЦК в ГП-фазу.
Сущность модели превращения ОЦК— ГГГ объясняется на рис.4.2. Здесь показаны два 11-вершинных кластера, первый кластер является объединением трех искаженных октаэдров вокруг общего ребра С-С (Рис.4.2а). Этот октаэдрический кластер является фрагментом гексагональной кристаллической решетки со- фазы, являющейся промежуточным продуктом мартенситного превращения в сплавах на основе титана и циркония [140,141]. Общее ребро трех октаэдров параллельно направлении [0001] кристаллической структуры со-фазы. Разбиение кристаллической структуры со-фазы на 11-атомные октаэдрические кластеры показано на рис. 4.3. Объединение трех октаэдров вокруг общего ребра определяет политоп {3, 4, 3}, имеющий 24 вершины и 24 октаэдрических ячейки в четрыехмерном пространстве [84], поэтому 11 -атомныйt фрагмент структуры ю-фазы, показанный на Рис.4.00а, совпадает с сечением политопа {3,4,3} трехмерной гиперплоскостью, начатым от ребра.
Удаление общего ребра С-С в 11-атомном октаэдрическом кластере со-фазы и введение трех новых связей между вершинами А, лежащими в горизонтальной плоскости зеркального отражения кластера, порождает новый 11-атомный кластер, представляющий собой объединение 11 тетраэдров по граням, т.е. сечение политопа {3, 3, 5}, начатое от грани (Рис. 4.26). В политопе {3, 3, 5} каждая вершина является центром икосаэдра, следовательно, каждый атом в 11-атомном тетраэдрическом кластере может быть окружен двенадцатью атомами, заселяющими вершины икосаэдра. Этот 11-атомный тетраэдрический кластер является результатом взаимного пересечения трех икосаэдров, поскольку каждая вершина центрального треугольника в плоскости (0001)й, служит центром икосаэдра. Таким образом, в результате деформации 11-атомного октаэдрического кластера со-фазы образуется 11-атомный тетраэдрический кластер, и наоборот.
