Содержание к диссертации
Введение
1. Моделирование систем управления дискретными динамическими процессами с разнотемповыми составляющими 11
1.1. Основные идеи моделирования разнотемповых процессов и построения их упрощенных моделей на основе метода двойной шкалы времени 12
1.1.1. Общая характеристика метода ДШВ и области его применения 12
1.1.2. Класс объектов с разнотемповыми процессами, для которого предлагается метод ДШВ 14
1.1.3. Способы расчета параметров для модели (1.2) с сепаратным представлением медленной и быстрой составляющих 16
1.1.4. Достаточные условия наличия разнотемповости 21
1.1.5. Последовательность расчета параметров при использовании метода ДШВ для моделирования динамики сложного процесса 22
1.2. Направления развития метода дшв для дискретных систем 24
1.3. Методика моделирования дискретных систем управления по методу ДШВ 26
1.3.1 Методика моделирования систем с разнотемповыми процессами 26
1.3.2. Пример выполнения расчетов и моделирования по разработанной методике для объекта четверного порядка с разнотемповыми составляющими 38
1.4. Использование метода двойной шкалы времени при моделировании
электродвигателя постоянного тока 49
1.5. Выводы 58
2. Проектирование алгоритмического обеспечения цифрового пи-регулятора с учетом свойств объектов с разнотемповыми процессами 59
2.1. Схема построения цифрового пи-регулятора для объектов с разнотемповыми составляющими 60
2.2. Оценка эффективности использования «двушкальных» цифровых пи-регуляторов 70
2.2.1 Система показателей качества для оценки эффективности введения ДШВ. 73
2.22 Исследования качества управления объектом с применением «двушкалъного» цифрового ПИ-регулятора 76
2.3. Выводы 80
3. Синтез многомерных субоптимальных систем управления объектами с разнотемповыми подпроцессами 81
3.1. База для оценки эффективности использования метода дшв 82
3.2. Синтез субоптимальных управляющих воздействий для объектов с разнотемповыми составляющими на основе метода дшв 85
3.2.1. Исходные положения, принимаемые для синтеза субоптимальных управляющих воздействий 86
3.2.2. Сравнение точного и приближенного решения задачи АКОР (на примере управления объектом 4-го порядка) 96
3.3. Использование фильтров пониженного порядка в задаче синтеза субоптимальных управлений 98
3.4 Выводы 103
Заключение 104
Список использованной литературы
- Класс объектов с разнотемповыми процессами, для которого предлагается метод ДШВ
- Методика моделирования дискретных систем управления по методу ДШВ
- Оценка эффективности использования «двушкальных» цифровых пи-регуляторов
- Исходные положения, принимаемые для синтеза субоптимальных управляющих воздействий
Введение к работе
Актуальность темы. Перевод управляющей техники на цифровую основу не только открывает возможности усовершенствования алгоритмов управления, но и ставит перед разработчиками задачу повышения эффективности использования ресурсов вычислительной (в частности, микропроцессорной) техники. Одним из направлений решения этой важной проблемы является поиск упрощающих допущений на этапе постановки задачи создания управляющей системы, позволяющих получить более простые и быстродействующие алгоритмы без заметного ухудшения качества управления и одновременно улучшить вычислительную процедуру, их реализующую. Ресурсы цифровой системы, которые высвобождаются благодаря упрощению алгоритмов, могут быть использованы для расширения состава информационных функций локальных систем управления и, соответственно, для повышения надежности и экономической эффективности автоматизации.
Источником возможных упрощений постановок задач алгоритмизации является учет особенностей структуры и свойств объектов управления. В работе исследуется одно из направлений учета свойств некоторых распространенных объектов, основанное на выделении существенно различных по показателям инерционности (т.е. разнотемповых) составляющих (субпроцессов) в автоматизируемом технологическом процессе.
В предшествующих работах [8, 13, 14, 15, 68, 71, 73, 81, 82] был предложен подход к исследованию систем с разнотемповыми составляющими в непрерывном времени. Теоретической основой данных работ являлся метод малого параметра [13, 15, 22, 24]. В частности, в работе [61] рассматриваются вопросы использования метода малого параметра для придания новых, полезных свойств нелинейным законам управления. В работе [42] метод малого параметра использован для решения задач математического программирования.
Однако результаты, полученные для систем с непрерывным временем, недостаточны для получения конструктивных и практичных методов построе-
5 ния цифровых управляющих систем, описание работы которых естественно проводить в дискретном времени.
Поэтому целесообразно развить и обобщить теоретические методы на класс задач цифрового управления дискретными разнотемповыми процессами, разработать методику моделирования цифровых систем управления с разнотемповыми составляющими и принципы построения цифровых регуляторов, использующих особенности объектов с различными инерционными характеристиками. Этим вопросам и посвящена данная работа.
Актуальность темы работы в решении теоретических вопросов состоит в выработке подхода к упрощению методов моделирования процессов с разнотемповыми субпроцессами и синтеза алгоритмического обеспечения цифровых управляющих систем, основанного на декомпозиции системы на подсистемы автономного управления быстрой и медленной составляющими технологического процесса.
Актуальность темы в решении прикладных задач подтверждается широкой распространенностью технологических процессов, обладающих разнотемповыми составляющими, например:
электродвигатели постоянного тока, изменение скорости вращения которых характеризуется гораздо большей инерционностью, чем изменение тока в якорной цепи;
аппараты химической промышленности, в которых изменение характеристик катализатора имеет гораздо большую инерционность, чем процесс производства продуктов.
Объектом исследования являются линейные дискретные системы управления динамическими процессами с существенно различными инерционными характеристиками.
Целью работы является разработка методов моделирования и синтеза алгоритмов управления технологическими процессами с разнотемповыми составляющими. Результаты излагаются применительно к задачам управления многомерными линейными дискретными динамическими объектами.
Для достижения цели в работе решены следующие задачи:
Анализ особенностей и принципов моделирования технологических процессов с разнотемповыми составляющими, разработка методики моделирования систем управления такими процессами на основе введения двойной шкалы времени.
Разработка алгоритмического обеспечения двухконтурного дискретного пропорционально-интегрального (ПИ) регулятора с двойной шкалой времени.
Оценка эффективности предлагаемых алгоритмов при решении практической задачи управления процессом стабилизации скорости вращения электродвигателя постоянного тока.
Синтез дискретных субоптимальных алгоритмов управления процессами с разнотемповыми составляющими на основе обобщения методов аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) и использования фильтров пониженного порядка для восстановления неизмеряемых составляющих вектора состояния объекта.
Методы исследований. Проведение исследований базируется на теоретических методах описания дискретных процессов управления в пространстве состояний, принципах понижения порядка математических моделей с использованием метода малого параметра и двойного временного шкалирования, а также на методах имитационного моделирования.
Достоверность результатов. Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечивается путем сопоставления показателей качества и характеристик системы, алгоритмы моделирования и синтеза для которой раз-
7 работаны на базе предлагаемых упрощений, с исходной системой, в которой эти задачи решались без использования декомпозиции процесса на быструю и медленную составляющие.
Научная новизна. Впервые разработаны принципы моделирования дискретных систем с разнотемповыми составляющими для переменных задающих воздействий; разработаны показатели и критерии, позволяющие оценить параметры, необходимые для декомпозиции модели процесса на медленный и быстрый подпроцессы, а также определить потери точности математического описания, возникающие при использовании декомпозиции.
На основе разработанных принципов предложен новый вариант алгоритмического обеспечения двухканального линейного цифрового пропорционально-интегрального (ПИ) закона управления, обладающего свойством двойной шкалы времени («двушкальный ПИ-регулятор») и благодаря этому применимого для использования в системах управления разнотемповыми технологическими процессами.
Разработана процедура получения субоптимального закона управления, основанного на снижении размерности задачи аналитического конструирования оптимальных регуляторов благодаря возможности автономного управления медленной и быстрой составляющими технологического процесса.
Предложен способ оценки эффективности использования предлагаемых методов декомпозиции процесса управления на основе сопоставления показателей, характеризующих инерционность быстрой составляющей, с показателями, характеризующими частотные свойства задающих воздействий.
Практическая значимость результатов.
1. Разработано и реализовано в среде пакета прикладных программ для научных расчетов MathCAD [17, 27, 39] электронное методическое пособие, позволяющее автоматизировать выделение медленных и быстрых компонент вектора состояния в многомерном дискретном процессе с разнотемповыми
8 составляющими, исследовать дискретные системы с двойной шкалой времени и выбирать параметры алгоритмов для таких систем.
Предложена система показателей, позволяющих оценить потери качества управления, связанные с раздельным управлением быстрой и медленной составляющими вектора состояния.
Предложенный в работе двушкальный ПИ-регулятор использован в разработке алгоритмического обеспечения системы регулирования скорости вращения электродвигателя постоянного тока.
На защиту выносятся:
Методика моделирования и синтеза дискретных систем управления процессами с разнотемповыми составляющими.
Алгоритмы субоптимального управления, основанные на обобщении методов аналитического конструирования оптимальных регуляторов и синтеза фильтров для восстановления неизмеряемых компонентов вектора состояния объектов на задачи синтеза составных управляющих воздействий.
Программные средства для проведения вычислительных экспериментов с двушкальными моделями систем управления.
Алгоритмическое обеспечение двушкального цифрового ПИ-регулятора.
Внедрение. Результаты разработки алгоритмического и программного обеспечения двушкального ПИ-регулятора переданы на предприятие Филиал ОАО энергетики и электрификации «Волгоградэнерго» для использования в системе управления электроприводом.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на VIII, IX, X международных конференциях «Mathematics. Computer. Education» (Пущино 2001, Дубна 2002, Пущино 2003), шестой международной конференции «Экология и здоровье» (Краснодар, 2001), международной научно-технической конференции «Информационные технологии в образо-
9 вании, технике и медицине» (Волгоград, 2002), Всероссийской конференции «Прогрессивные технологии в обучении и производстве» (Камышин, 2002), конкурсе научно-методических работ в Волгоградском государственном техническом университете (Волгоград 2000, 2001, в 2000 году работа получила первое призовое место).
Публикации. Основные результаты работы опубликованы в [25,26,48, 49,50,51].
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, содержит 126 страниц основного текста, 40 рисунков, 2 таблицы, список использованных источников (82 наименования), материалов о внедрении и приложения (14 страниц).
В главе 1 излагаются вопросы моделирования систем управления процессами, переменные состояния которых имеют различные инерционные характеристики. Известно, что для таких систем имеется возможность понижения порядка математической модели процесса за счет введения различных шкал времени для описания малоинерционной (быстрой) и существенно более инерционной (медленной) составляющих. В развитие теоретических положений, изложенных в [21, 36, 43, 59, 69, 74], рассматривается методика понижения порядка модели объекта применительно к цифровым системам.
Класс объектов с разнотемповыми процессами, для которого предлагается метод ДШВ
Рассматриваются класс линейных дискретных многомерных объектов управления [18, 64, 67, 77] математическая модель которых представлена в 77-мерном евклидовом пространстве состояний R": x[s]eRn, s = 0, 1, ...- такты дискретного времени, отсчитываемые с заданным интервалом At; начальное состояние JC[0] считается известным.
Предполагается, что по физическим соображениям в векторе состояния могут x[s] быть выделены медленные и быстрые подпроцессы, описываемые субвекторами состояний xx[s] eR"1 и x2[s] eR"2 соответственно, п\+ п2 = п, после чего модель объекта представляется в виде: х, [s +1] 4, Аг ф] + s. x2[s + \] А2Х Ац x2[s] в2 где u[s] є Rm - вектор управляющих воздействий, Ay, /,/=1,2 и В і, /=1,2 - матрицы размерностей п\хп\, п\хп2, п2хщ, п2хп2, щхт, п2хт соответственно.
Внедиагональные (возможно, ненулевые) блоки Ay, irf показывают перекрестные связи между медленным и быстрым подпроцессами. Наличие этих связей не позволяет подтвердить интуитивные предположения о разнотемпово-сти подпроцессов и (тем более) получить ее количественную оценку (из-за влияния медленной составляющей на быструю реакция быстрого подпроцесса на внешние воздействия имеет примерно такой же характер, как и реакция медленного).
Формальное определение свойства разнотемповости. В [71] предложен прием, позволяющий диагностировать наличие разнотемповости путем формального преобразования модели вида (1.1) в эквивалентную модель, в которой перекрестные взаимодействия между подпроцессами исключены. Существо приема состоит в расчете параметров линейного преобразования (агрегирования) исходных «физических» переменных состояний такого, чтобы уравнения динамики для быстрого XE[S] и медленного XM[S] подпроцессов в преобразованной модели стали автономными: xMis+1] xB[s + \] О О xM[s\ xE[s] + м В В, Ф], (1.2) где [xM[s] xE[s] J =С[лг,[5] 2ІАІ J , С-«х« матрица линейного преобразования (агрегирования) исходных блоков вектора состояния, AM, АБ, ВМ, ВБ - матрицы размерности ЩУ-Щ, п-ртг, п\хт, пщт соответственно, полученные путем расчета по параметрам модели (1.1). Наличие свойства ДНІВ формально проявляется в существовании «зазора» между собственными числами медленной %І, і = 1, ... , щ и быстрой Xj, j = 1,... , «2 подсистем: д д ЛБ Лм гДе ЯБ = max Яj(AE)\; Ям = т т\Я{(Ам)\. (1.3) Из (1.3) видно, что самая медленная мода быстрой подсистемы в объекте с ДШВ затухает быстрее, чем самая быстрая мода медленной подсистемы. Достаточным признаком наличия свойства ДШВ является условие Г1 11-1 (1.4) А где Ц...Ц - евклидова норма матрицы. В (1.4) использована известная оценка границ спектра собственных чисел иуНл-слд/)! г7 ;тах J Я АБ)\ \\АБ\
Соотношение (1.4) используется для того, чтобы избежать сложной процедуры расчета спектра собственных значений, необходимых для непосредственной проверки условия (1.3). В соответствии с последним исходные уравнения (1.1) должны быть преобразованы в форму с сепаратными уравнениями для медленного xM[s]e R"1 и быстрого x2[s\ Є R 2 подпроцессов (1.2).
Способы расчета параметров для модели (1.2) с сепаратным представлением медленной и быстрой составляющих
Известны два способа расчета параметров матриц Ам, АБ, Вм, ВБ для модели (1.2): - Б-преобразование, состоящее в первоначальном исключении влияния медленного подпроцесса на быстрый и завершающееся сепарацией медленного подпроцесса; - М-преобразование, двойственное к Б-преобразованию и состоящее в первоначальном исключении влияния быстрого подпроцесса на медленный и завершающееся сепарацией быстрого подпроцесса. Технология Б-преобразования состоит в следующем. Быстрый сепаратный подпроцесс формируется как агрегат «физических» исходных подпроцессов: xE[s] = x2[s] + PExl[s], (1.5) где РБ - поправочная П2хщ матрица, элементы которой рассчитываются ниже так, чтобы исключить влияние x\[s] налг ]: An A i [s] xE[s] u[s], (1.6) 0 An Bi xjs + l] xE[s + \] причем Аи, А12, В2 подлежат определению из условий совпадения динамики (1.6) и (1.1). Для этого выполняются следующие действия: 1. Из (1.6) выписывается соотношение для x\[s], в которое подставляется выражение для XB[S] из (1.5): [5 + 1]= J1IAr1[,s]+i4j2JC5[j]+5jM[j] = = Iuxl[s]+Al2(x2[s]+PExl[s]) + Blu[s], Ar,[5 + l]=( n + AxlPB)xx[s] + AX2x2[s] + Bxu[s]. (1.7) Для того чтобы (1.7) тождественно совпадало с формулой для i[s+l] из (1.1), А и должна быть определена следующим образом д 2. Аналогично выписываются соотношения для xE[s]: xE[s+\]=A22XE[s] + B2u[s], (1.9) Х2[S +1] + РБХХ [S +1 ] = 22 2[s] + АцРБХ1 [s] + Biu[s\ . Подстановка уравнения связи ,-[s+l] с x,[s], u,\s\t і = 1, 2 из (1.1) в последнее уравнение и группировка элементов с одинаковыми сомножителями приводит к соотношению: (Лі + РБА\\ - A2iPE)xl[s] + (А22 + PEAn)x2[s] + + (В2 + PEBx)u[s] = 22X21 ] + B2U[s]. Для того чтобы модели (1.1) и (1.6) были эквивалентными, последнее соотношение должно выполняется тождественно. Это будет достигнуто, если матрицу РЕ рассчитать из условия равенства нулю сомножителя перед x\[s] и если определить 22,#2 следующим образом: _ Д Л 22 =- 22 " " -МБ- 12 _ д (ЫО) Вг — В2 + РБВХ, Таким образом, получено матричное уравнение для расчета элементов РБ А2[+РБАп-А22РЕ=0. С учетом (1.10) получим матричное уравнение размерности пгхщ (уравнение типа Риккати [11,44, 55]) А21+РБАп-А22РБ-РБАиРБ=0. (Ы1) 3. После того, как (1.1) приведена к форме (1.6), производится агрегирование исходного медленного подпроцесса с сепаратным быстрым агрегатом xG[s] по мощью линейного преобразования:
Методика моделирования дискретных систем управления по методу дшв
Описание методики проведено по следующей схеме: вначале кратко аннотируются этапы расчета (п. 1.3.1), затем вводится необходимый формальный аппарат для каждого этапа. Апробация методики проведена на двух примерах. Первый (рассмотрен в данном подразделе, п. 1.3.2) иллюстрирует положения методики применительно к абстрактному многомерному процессу, без упрощения формальных соотношений. Второй (рассмотренный в подразделе 1.4) направлен на решение конкретной прикладной задачи (моделирование переходных процессов в электродвигателе постоянного тока). Этот пример иллюстрирует возможность упрощения формальных (матричных) соотношений методики применительно к распространенным объектам второго порядка, поскольку раз-нотемповые подпроцессы в таких объектах описываются в скалярах.
Методика моделирования систем с разнотемповыми процессами 1) Общие положения. Конечная цель моделирования - определить, могут ли различия в инерционности подпроцессов в объекте, выявленные интуитивно, обеспечить приемлемую точность представления подпроцессов в различных шкалах времени, с соответствующим понижением порядка (уровня сложности) модели объекта в системах управления.
Содержательно методика состоит в следующем. Вначале осуществляется сепарация (разделение) медленной и быстрой составляющей на независимые процессы способом, аналогичным описанному в подразделе 1.1. Затем проводится диагностирование наличия существенно разнотемповых процессов либо по соотношениям, аналогичным (1.29), либо по факту сходимости итерационных процедур расчета матричных коэффициентов (РБ, QE) (1.23), (1.25) или (Рм, QM) (1.24), (1.26).
В случае подтверждения наличия таких процессов определяются параметры шкал времени для описания медленной и быстрой составляющей, т.е. рассчитывается дискрета отсчета быстрого времени в зависимости от заданного значения дискреты отсчета медленного времени и определяется число тактов медленного времени, на которых целесообразно учитывать собственную динамику быстрого подпроцесса.
Вводится неравномерный ритм работы управляющей системы: временные интервалы, в течение которых собственной динамикой быстрого подпроцесса можно пренебречь без заметных потерь точности, отсчитываются с дис-кретой медленного времени; в моменты инициирования свободной составляющей быстрого подпроцесса (т.е. при резких изменениях задающих воздействий или возмущений) происходит переход к отсчету с дискретой быстрого времени.
Вводятся модели пониженного порядка для описания медленной и быстрой динамики. Модель для описания медленных динамических процессов (ее размерность соответствует размерности вектора состояния медленного подпроцесса) ориентирована на представление медленного подпроцесса и вынужденной составляющей быстрого подпроцесса. Последняя обусловлена влиянием медленного подпроцесса, управляющими воздействиями и внешними возмущениями. Потери точности связаны с представлением вынужденной составляющей быстрого подпроцесса как безинерционной. Ниже (как в данной, так и в остальных главах) используется следующий прием построения модели пониженного порядка для описания медленных компонентов вектора состояния:
Запишем вместо (1.1) модель объекта в форме, явно показывающем взаимодействие подпроцессов: х\ Is +1] = A i i М + Агхг М + В\и\А x2[s + \] = A2lx][s] + A22x2[s] + B2u[s]. Считая, что в медленном времени можно пренебречь свободной динамикой быстрого подпроцесса, приближенно оценим вынужденную (медленную) составляющую быстрого подпроцесса как результат безинерционного слежения за медленной составляющей и управляющим воздействием. Для этого заменим второе уравнение статическим, т.е. вместо х2 [s + \] = А2 хх\ [s]+А22х2 [s] + B2u[s] запишем: x2[s] = А2\Х\ [s] + A22x2[s] + B2u[s]. Из последнего соотношения определим оценку вынужденной составляющей быстрого подпроцесса: где Ум (Е Л22)-В2, Е - единичная матрица размерности «2Х«2 (предполагается, что (Е-А22) обратима).
Замена динамического описания быстрого подпроцесса статическим (алгебраическим) уравнением позволяет приближенно представить динамику в МеДЛеННОМ Времени МОДеЛЬЮ j[.S + l] = А\ \Х \+ A\2X2\s\ +B\l s\ . Отметим, что в цитированных [70, 71, 72] работах (см. подраздел 1.1) не учтено влияние управляющих воздействий.
Модель для описания быстрых динамических процессов (ее размерность соответствует размерности вектора состояния быстрого подпроцесса) ориентирована на представление свободной составляющей быстрого подпроцесса. Потери точности связаны с отсутствием учета изменений медленной составляю 29 щей в интервале времени, на котором рассматривается свободная составляющая быстрого подпроцесса.
В моменты изменений режима работы объекта (вызываемых, например, ступенчатым изменением задающего воздействия или возмущения) начинается отсчет дискрет быстрого времени г = 0, 1,..., rmax. Здесь rmax - число тактов таких, что при т ттах динамику свободной составляющей быстрого подпроцесса можно считать завершившейся. Значения управляющего воздействия UM[S], «ответственного» за медленные процессы xM[s], так же как и значение вектора состояния медленного подпроцесса i[s], считаются постоянными. Может быть введено управляющее воздействие UE[S,T\, «ответственное» за динамику свободной составляющей (этот прием использован в главах 2 и 3 для синтеза составных управлений U[S,T] = uM[s] + uE[s,r]. Для моделирования динамики свободной составляющей быстрого подпроцесса X2S[S,T] используется модель с понижением порядка до размерности п2 быстрого подпроцесса:
Количественная оценка потерь точности из-за понижения порядка моделей объекта и введения двух шкал времени производится путем сопоставления динамических процессов в системах управления с моделями пониженного порядка и двойной шкалой времени с динамическими процессами в системах с моделями полного порядка и равномерной шкалой времени, отсчитываемой с быстрой дискретой. Вводятся показатели, подлежащие расчету при этом сопоставлении.
Оценка эффективности использования «двушкальных» цифровых пи-регуляторов
Предлагается подход для обоснования эффективности введения двойной шкалы времени при проектировании цифровых систем управления. Подход основан на сопоставлении затрат ресурсов ЭВМ на организацию ДШВ, с одной стороны, и эффектов от повышения точности управления быстрой фазой за счет введения ДШВ и от расширения функций локальной системы управления которые могут быть реализованы на свободных ресурсах вычислительной системы, с другой стороны.
Расчет эффективности основывается на следующих данных. 1. Неизменяемая часть: малый параметр /л, показывающий степень различия инерционных характеристик объекта; характеристики задающих воздействий; представляются в форме средней частоты изменения режима работы объекта. 2. Варьируемая часть: вариант технической структуры, задается характеристиками ресурсов цифровой системы (быстродействием, объемом оперативной памяти, скоростными характеристиками передачи данных др.); состав дополнительных информационных функций автоматического или автоматизированного управления [41] (учет, контроль, протоколирование действий персонала, техническая диагностика и т.п. [37, 38, 45]), которые могут принести экономический эффект, но непосредственно не связаны с управлением переменными состояния.
Предположим, что вариант технической структуры [32] выбран. Тогда задачу удается параметризовать, рассчитывая перечисленные эффекты и затраты в функции средней частоты изменения задающих воздействий и возмущений. ДШВ Комментарии к рис. 26:
1. Затраты, связанные с организацией собственно режима ДШВ (т.е. с расчетом параметров, агрегированных фильтров, преобразованных элементов объекта и т.д.) можно считать независимыми от частоты смены режима работы.
2. Потери от функциональной неполноты системы из-за недостатка ее ресурсов, будут небольшими при редких изменениях режима, поскольку после операций по расчету медленной составляющей управляющего воздействия высвобождается большая доля интервала времени At (эта доля и используется для выполнения дополнительных функций).
3. При увеличении частоты смены режима быстрая шкала занимает все большую часть шкалы медленного времени; при этом возрастает количество дополнительных функций системы, которые должны быть исключены из контура управляющей системы; соответственно, растут потери, связанные с их невыполнением.
4. Потери, связанные с ухудшением точности управления быстрой составляющей, уменьшаются по мере увеличения интервала действия быстрой фазы. Это уменьшение тем заметнее, чем чаще изменяется режим.
Если просуммировать все эти составляющие, то окажется, что имеется экстремум, соответствующий минимуму суммарных потерь качества управления при использовании цифровой системы с заданными ресурсами для управления объектом с заданными характеристиками разнотемповости. Положение минимума показывает, при какой средней частоте смены задающих воздействий экономический эффект от введения ДШВ максимален. Возможна также оценка диапазона частот изменения режима работы объекта, внутри которого эффект от введения ДШВ превосходит потери от утраты части функций цифровой системы (правая ветвь экстремальной кривой на рис.26) или от снижения качества управления быстрой составляющей (левая ветвь).
Выше изложенные положения иллюстрируются на примере задачи управления электродвигателем постоянного тока, моделирование которого по методу ДШВ рассматривается в главе 1 (п.п. 1.4). 2.2.1. Система показателей качества для оценки эффективности введения ДШВ
Для оценки качества использования цифрового «двушкального» ПИ-регулятора по сравнению с обычным ПИ-регулятором вводятся следующие показатели качества:
1. Количество свободного времени (в тактах медленного времени) в промежутках между включениями быстрого управления - timefree. Показатель определяет, какой резерв времени имеется в цифровой системе для реализации дополнительных информационных функций, не связанных непосредственно с управлением (контроля, учета и т.д.). Для расчета показателя определяется количество тактов быстрого времени, когда быстрое управление равно 0. Полученное значение времени делится на количество тактов быстрого времени в одной дискрете медленного.
2. Среднее квадратическое отклонение быстрого процесса от задающего воздействия при использовании составного (СКОв) и только медленного управления (СКОБ М) В пограничном слое
Исходные положения, принимаемые для синтеза субоптимальных управляющих воздействий
Приведенные выше теоретические положения иллюстрируются примером решения задачи управления объектом 4-го порядка, в котором можно выделить подпроцессы с существенно различными инерционными характеристиками. Модель и параметры объекта приведены в приложении 1, данный объект рассматривается в качестве примера также в главе 1.
Модель объекта описывается линейной дискретной системой уравнений [63] x[s +1] = ADx[s] + BDu[s] + F[s], где x[s] - «-мерный вектор состояния объекта, в котором выделяются две группы подпроцессов (медленные -XiM, x2[s] и быстрые -ЯзМ, x4[s]) , u[s] - r-мерный вектор управляющих воздействий; F[s] - «-мерный вектор детерминированных возмущающих воздействий; D, BD - матрицы параметров дискретной модели размерности пхп и пхг соответственно (значения параметров приведены в Приложении 1).
Согласно вышеизложенным теоретическим положениям задача управления «-мерным вектором состояния может быть приближенно заменена более простой задачей управления только медленным подпроцессом (3.13) и медленной составляющей быстрого подпроцесса (3.12) с понижением порядка до размерности медленного подпроцесса x\[s]. При этом оптимальное управляющее воздействие рассчитывается по формуле (3.20). Результаты управления рассматриваемым объектом по модели пониженного порядка приведены на рис. 33.
Как видно из рис. 33, управление медленным подпроцессом xoptj s] по формуле (3.13) дает очень хороший результат. Полученные траектории почти полностью совпадают с траекториями, рассчитанными по «классической» задаче АКОР. На рис. 34 приведены результаты управления медленной составляющей быстрого подпроцесса Xj[s] по формуле (3.12).
Из анализа графиков на рис. 34 следует, что безынерционная оценка медленной составляющей быстрого процесса хорошо совпадает с оптимальной траекторией JC0/,,[.S]. Можно добиться и более качественного отслеживания задания, если увеличить штрафы за отклонения этих переменных от задающих воздействий в критерии (3.17) и (3.4).
Отличие критериев оптимальности (3.17) и (3.4) для траекторий, приведенных на рис. 33 составляет 1.25%, а на рис. 34 - 7.3%, что подтверждает возможность использования модели пониженного порядка при расчете оптимальных управлений в задаче АКОР. Использование фильтров пониженного порядка в задаче синтеза субоптимальных управлений
Известно, что закон управления, синтезированный методом АКОР, строится на всех переменных состояния объекта. Обычно ряд переменных состояния недоступен непосредственному измерению, и для их восстановления в системах, удовлетворяющих критерию наблюдаемости, используются различные фильтры. В системах с ДШВ имеется возможность приближенного восстановления неизмеряемых компонентов вектора состояния с помощью фильтров пониженного порядка. Предлагается алгоритм приближенной оценки медленной составляющей вектора состояния и медленной фазы быстрой составляющей с помощью фильтра Люенбергера [1, 2] с понижением порядка модели фильтра до размерности медленной фазы.
Пусть непосредственному наблюдению доступна часть y„[s] (w-мерный вектор выхода объекта) компонент «физической» медленной фазы X\[s] (щ-мерный вектор, Щ tn), т.е. где Нп - тхщ-мерная матрица наблюдения. Начальное состояние предполагается неизвестным.
Приведем схему расчета параметров фильтра Люенбергера порядка щ для приближенного оценивания медленной фазы всех переменных состояния объекта. По существу задача сводится к оценке неизвестного начального состояния. 1) Задается спектр собственных чисел матрицы, «управляющей» динамикой уменьшения ошибки фильтра. Проще всего выбрать собственные числа действительными, различными и по абсолютной величине меньшими единицы. Число задаваемых собственных чисел равно щ.
2) Формируется диагональная матрица Г размерности щхщ, в которой заданные собственные числа размещаются по диагонали.
3) Задается почти (см. п.4) произвольная матрица Ф размерности п\х.т, рассчитывается п\хп\ матрица &: и формируется матрица собственных векторов Гп со столбцами: где Ам -параметр медленного подпроцесса, рассчитывается по формуле (1.8) (глава 1); Е- единичная матрица размерности щхщ; 7"jj - j-й диагональный элемент матрицы Г; j - номер столбца,/ = 1,..., щ.
4) Рассчитывается матрица параметров фильтра Люенбергера Кп: Т Если окажется, что матрица Тп необратима, следует изменить матрицу ф.
5) Для проверки рассчитываются собственные числа матрицы \Ам-КгД )у определяющей процесс уменьшения ошибки фильтра. Если расчет проведен правильно, собственные числа должны совпасть с заданными (п.1).
6) Оценивается медленная фаза медленной составляющей xnM[s] объекта с ДШВ приближенно (из произвольного начального состояния) по формуле
7) Оценивается медленная составляющая быстрой фазы с использованием формулы (1.38) (глава 1) прямым расчетом по результатам восстановления вектора состояния медленной фазы.
8) Поскольку оценки получаются приближенными, необходим этап моделирования (для подтверждения факта достижения нужной точности оценивания при различных факторах, неучтенных при расчете параметров фильтра (неточно известная модель объекта, неучтенные и неконтролируемые возмущения и т.п.).
9) Результаты приближенного оценивания неизмеряемых компонент могут быть использованы для построения регуляторов пониженного порядка (в частности, синтезированных методами аналитического конструирования оптимальных регуляторов).
