Содержание к диссертации
Введение
1. Методы определения динамических характеристик непре рывных случайных стационарных процессов 12
1.1. Обзор и классификация методов получения аналитических выражений спектральных плотностей и корреляционных функций 15
1.2. Сравнительная оценка методов 30
1.3. Выводы 31
2. Разработка алгоритмов идентификации спектральных и корреляционных характеристик непрерывных случайных стационарных процессов 32
2.1. Алгоритм констант типовых спектральных плотностей 32
2.2. Алгоритм констант типовых корреляционных функций 45
2.3. Алгоритм цифрового моделирования непрерывных случайных стационарных процессов с заданными характеристиками 50
2.4. Разработка алгоритма идентификации корреляционной функции методом, основанным на 2-преобразовании 68
2.5. Способы получения аналитических выражений спектральной плотности 79
2.6. Выводы 87
3. Вопросы метрологического и математического обеспечения идентификации и моделирования непрерывных случайных стационарных процессов 88
3.1. Определение шага дискретизации реализации и корреляционной функции при идентификации непрерывного случайного стационарного процесса 88
3.2. Погрешность экспериментальных значений корреляционной функции и спектральной плотности 90
3.3. Определение количества экспериментальных значений корреляционной функции 93
3.4. Определение шага дискретизации и длительности переходного процесса при моделировании непрерывных случайных стационарных процессов 96
3.5. Алгоритм решения алгебраического уравнения II-ой степени xwo
3.6. Выводы 117
4. Разработка и экспериментальное исследование инженерных методик идентификации и моделирования непрерывных случайных стационарных процессов П9
4.1. Методика цифрового моделирования непрерывных случайных стационарных процессов 119
4.2. Методика идентификации непрерывного случайного стационарного процесса с дробно-рациональной спектральной плотностью 124
4.3. Идентификация линейных стационарных устойчивых САУ по экспериментальным временным характеристикам 151
4.4. Выводы 168
Заключение 169
Литература 171
Приложение I 180
Приложение 2 182
Приложение 3 183
Приложение 4
- Сравнительная оценка методов
- Алгоритм констант типовых корреляционных функций
- Погрешность экспериментальных значений корреляционной функции и спектральной плотности
- Методика идентификации непрерывного случайного стационарного процесса с дробно-рациональной спектральной плотностью
Сравнительная оценка методов
Все приведенные в І.І методы можно сравнить между собой, исходя из требований универсальности и простоты представления аналитического выражения спектральной плотности или корреляционной функции.
Метод полиномиального приближения дает возможность получить оценку спектральной плотности в виде полинома (І.І). Достоинство метода - его универсальность, недостаток - возможность полу-чения слишком сложного аналитического выражения оценки SC J и невозможность получения дробно-рациональных аналитических выражений.
Метод дробно-рационального приближения, как и предыдущий, является универсальным, но имеет преимущество в том, что число членов полиномов в формуле (1.6) оказывается меньше числа членов полинома (I.I).
Метод приближения, основанный на разложении реализации непрерывного случайного стационарного процесса в ряд Фурье, обес-печивающий представление оценки о (и)) в виде (1.8) неуниверсален, сложен и громоздок. Этот метод требует решения алгебраического уравнения высокой степени, трехкратной замены переменных и соответствующих этим заменам функциональных преобразований.
Логарифмический метод приближения может привести к дробно-рациональной функции, имеющей высокие степени полиномов числителя и знаменателя.
Метод приближения, основанный на применении функций Ляггера отличается громоздкостью и сложностью.
Метод Леннинга и Беттина отличается сложностью, громоздкостью и не может дать удовлетворительных результатов при аппроксимации функций с резко выраженным колебательным характером.
Метод приближения Юла-Уокера не дает возможности получить выражение для непрерывной спектральной плотности. Кроме того недостатком метода является сложность определения знаменателя выражения (1.34) для оценки спектральной плотности при большом числе слагаемых этого знаменателя.
Метод приближения Кардашова оказывается сложным для реализации на мини-ЭВМ потому, что требует разложения на элементарные дроби -изображения соответствующей корреляционной функции (1.35) и решения различных систем уравнений, в том числе и нелинейных. Метод не дает возможности определить количество экспоненциальных составляющих корреляционной функции.
Метод Юла-Уокера и метод Кардашова принципиально пригодны для идентификации дробно-рациональной спектральной плотности и экспоненциальной корреляционной функции любой сложности.
Наиболее перспективным из существующих методов определения аналитического выражения спектральной плотности являются методы Юла-Уокера и Кардашова. Однако, эти методы во многих отношениях недостаточно проработаны и нуждаются в упрощении. Так как экспериментальные значения корреляционной функции получаются более точными, чем экспериментальные значения спектральной плотности [7, 343 , то косвенные методы являются предпочтительными.
В настоящей главе предлагается три алгоритма идентификации спектральных плотностей и корреляционных функций случайных стационарных процессов. Согласно требованию простоты алгоритма предлагается простейшие, но неуниверсальные алгоритмы типовых констант. Согласно требованию универсальности предлагается детально проработанный метод, основанный на применении 2 -преобразования, являющийся развитием методов Юла-Уокера и Кардашова.
Алгоритм сводится Г24] к сравнению графика Sy, (м%) с графиками типовых, часто встречающихся на практике, спектральных плотностей (табл.2.1), выбору подходящего по форме аналитического выражения Ъу.(сд) и определения его параметров. Из них первые шесть форм являются двухпараметрическими, остальные трех-параметрическими. Общим параметром является дисперсия - , оцен-ка которой Ъи получается в результате обработки U (К-A b).
Алгоритм констант типовых корреляционных функций
Этот алгоритм аналогичен алгоритму типовых спектральных плотностей. Он заключается в сравнении к. () с графиками наи-более часто встречающихся на практике К С О и определении его параметров.
Так как определение экспериментальных значений к. (т) связано с меньшими погрешностями, чем определение S(o0)t то предпочтительнее использовать при идентификации непрерывных случайных стационарных процессов алгоритм типовых корреляционных функций. I. Оценка R( E) в виде функции первой формы определяется формулой
В связи с разработкой алгоритма идентификации непрерывных случайных стационарных процессов, основанного на использовании 2 -преобразования, целесообразно рассмотреть вопрос моделирования непрерывных случайных стационарных процессов с дробно-рациональной спектральной плотностью. Так как задача идентификации будет решена как обратная.
Непрерывную случайную стационарную функцию Y ("k) с дробно-рациональной спектральной плотностью Su(UJ) и экспоненциальной корреляционной функцией К-у, СЕ) можно рассматривать ГЗ, і і, Ь5-Ц0] как реакцию непрерывной линейной стационарной системы с передаточной функцией W(p) в установившемся режиме на входное воздействие в виде непрерывного центрированного белого шума со спектральной плотностью S Cu")— % . Цифровое моделирование такой непрерывной случайной функции заключается в воспроизведении на ЦВМ решетчатой случайной функции с решетчатой корреляционной функцией
Представление полинома CL(w) в виде произведения (2.93) требует определения всех его нулей 0$ решением алгебраического уравнения П.-ой степени 0.(иї)=0 . Определение нулей полинома в ъ(из) выполняется аналогично.
Алгоритм решения алгебраических уравнений ҐІ -ой степени рассматривается в 3.5. Воспользовавшись соотношениями (2.60) получают выражение для дискретной передаточной функции (2.61) и реккурентное выражение (2.63) для ІКЛ . В установившемся режиме решетчатая функция У -к представляет цифровую модель реализации U (-fc) заданной случайной функции Y f"t) . Рекомендации по определению времени переходного процесса приведены в 3.4.
Возможно Г4 7] получение передаточной функции W(P) , необходимой для моделирования случайного процесса і ("О , с заданной корреляционной функцией без перехода от К и, (ъ) к соответствующей спектральной плотности о Если подвергнуть правые ветви корреляционных функций к ( С ) и кх.М , реакции и входного воздействия системы с передаточной функцией W(p) , преобразованию
На основании материала, изложенного в 2.3 разработан алгоритм идентификации непрерывных случайных стационарных процессов с целью получения аналитических выражений корреляционных функций, соответствующих дробно-рациональным спектральным плотностям.
Алгоритм требует получения реккурентного выражения описывающего решетчатую корреляционную функцию 2 и L К ] = Ru (ДТ-К) » Для которой непрерывная корреляционная функция является огибающей. Реккурентное выражение ки[К] (2.101) является усеченным разностным уравнением (2.63).
Погрешность экспериментальных значений корреляционной функции и спектральной плотности
Процесс вычисления экспериментальных значений корреляционной функции связан с погрешностью этих значений. Эта погрешность складывается из пяти составляющих обусловленных соответственно ограниченностью числа отсчетов дискретизированной реализации, дискретизацией по времени, квантованием по уровню, ограниченностью разрядной сетки и погрешности измерителя.
Четвертая составляющая является случайной величиной І6,67І, она обусловлена погрешностью округления при выполнении арифметических операций. Так как функция неизвестна, то предварительный расчет Az fr согласно (3.8) невозможен. Важными вопросами при цифровом моделировании непрерывных случайных стационарных процессов является определение шага дискретизации ДІ , моделируемой случайной функции и значения fC = К0 , за пределами которого при К Ко решетчатую функцию, формируемую согласно реккурентному выражению (2.63) можно считать реализацией стационарной случайной функции
Реккурентным выражениям (2.63)-(2.65) соответствует усеченное реккурентное выражение (2.81) решетчатой корреляционной функции 1с м L К 3 .В результате 2 -преобразования этого выражения, с учетом (2.62) получаем операторное уравнение которому соответствует характеристическое уравнение (3.18).
Таким образом, одно и то же характеристическое уравнение (3.18) соответствует различным разностным уравнениям в рекку-рентной форме (2.63) и (2.81). Это означает, что переходные составляющие решений уравнений (2.63) и (2.81) должны быть идентичны по форме, отличаясь только постоянными коэффициентами.
Существует множество алгоритмов для решения алгебраических уравнений И.-ой степени Лина, Лобачевского, Бернулли, Ньютона, Бэрстоу и другие [ б Я 75 3 . Однако все перечисленные методы невозможно использовать в случае наличия корней близких по модулю 176,771 .
Разработан алгоритм, лишенный указанного недостатка. Использование этого алгоритма позволяет определить корни близкие по модулю, вещественные, комплексно сопряженные и чисто мнимые.
Определение верхней оценки степени устойчивости позволяет установить, что хотя бы один корень находится в интервале от [О;-л], в том случае, если исследуемая система устойчива. Таким образом, вещественная часть хотя бы одного корня захвачена в вилку Е 0 ; - Г[ ] . Задача состоит прежде всего в выделении этой вещественной части.
Используя схему, приведенную в табл.3.I, полученный многочлен вида (3.34), (3.35) анализируется по критерию Рауса на наличие правых корней. Каждой строке элементов Рауса можно поставить в соответствие многочлен четных или нечетных степеней UL . Если при расчете всех без исключения элементов, элементы какой-либо і -ой строки оказываются равными нулю Ч-і(Ц) = 0, то эти элементы заменяются производной 1 (U) многочлена предыдущей строки. Число правых корней равно числу перемен знака в последовательности главных элементов 10 , , ,..., -» .
Используя.подстановку X=U-0C , получают многочлен i n(u) вида (3.34), используют его по критерию Рауса, чтобы определить мнимую часть корня.
Строка элементов таблицы Рауса непосредственно предшествующая строке, все элементы которой равны нулю, представляется в виде соответствующего многочлена. Приравняв этот многочлен нулю находят мнимую часть комплексно сопряженного корня й
На основе полученных алгоритмов были разработаны и исследованы инженерные методики идентификации непрерывных стационарных случайных процессов с дробно-рациональной спектральной плотностью 5 (ьо) , цифрового моделирования непрерывных стационарных случайных процессов с заданными характеристиками и методики идентификации линейных САУ. Эти методики позволили автоматизировать процесс получения аналитических формульных выражений корреляционной функции, спектральной плотности и передаточной функции.
Методика идентификации непрерывного случайного стационарного процесса с дробно-рациональной спектральной плотностью
Задача идентификации 87 96 J непрерывной линейной стационарной устойчивой САУ заключается в достаточно точном опре-делении оценки передаточной функции 1АГ(р) Р\ГСР) . Ее решение требует экспериментального определения одной из переходных функций Ш или НС ) . По экспериментальным значениям импульсной переходной функ ции может быть определена формульная оценка ве совой функции а затем формульная оценка передаточной функции ТАГ (р) . Экспериментальное определение импульсной пере ходной функции как реакции САУ на входное воздействие Vtb) s = 0 (-fc) невозможно из-за нереализуемости дельта-функции. Полу чить h W можно только в таких случаях, когда функционирование исследуемой САУ осуществимо при некоторых ненулевых начальных условиях, эквивалентных, по влиянию на реакцию t(-) , входному воздействию TJ4 0 == о № Экспериментальное определение переходной функции как реакции САУ на входное воздействие ІХМ ІМ затруднений, как правило, не вызывает. В этом случае по экспериментальным значениям определяются значения по ним формульная оценка весовой функции WW — " А 0 ) и оцен-ка передаточной функции . Известно I - і . что весовая функция W("0 является экспоненциально затухающей. Аналогичную форму имеет функция )L [-і) . Поэтому она представляет сумму (4.5) состовляющих, содержащих сомножители вида: С- , e-u cosp±, е"1 sin fit.
1 с заданной дисперсией и корреляционной функцией В DO, огибающей для которой является непрерывная корреляционная функция 0 ) . Методика позволяет рассчитать значение Kt , начиная с которого процесс U IК 3 можно считать установившемся, и выбрать шаг дискретизации.
2. Методика идентификации непрерывного стационарного случайного процесса позволяет по реализации случайного стационарного процесса I C"w определить аналитическое выражение корреляционной функции иЛ1" в виде суммы элементарных экспоненциальных составляющих и аналитическое выражение спектральной плотности S(и)) в Виде дробно-рациональной функции.
3. Методика идентификации линейных устойчивых САУ позволяет аналогично методике определения корреляционной функции определять аналитическое выражение передаточной функции системы.
В диссертации поставлена и решена задача разработки алгоритмов и инженерных методик идентификации непрерывного стационарного случайного процесса, которые позволяют автоматизировать процедуру получения аналитических выражений динамических характеристик в универсальных измерительно-вычислительных комплексах.
Основные результаты диссертационной работы: 1. Предложено решать поставленную задачу, используя алгоритмы констант типовых спектральных плотностей и корреляционных функций. Эти алгоритмы позволяют просто, в отличии от известных методов аппроксимации, получить аналитические выражения спектральной плотности или корреляционной функции. 2. Для случая, если спектральная плотность имеет вид дробно-рациональной функции, разработан алгоритм идентификации корреляционной функции непрерывного стационарного случайного процесса, основанный на і? -преобразовании. Этот алгоритм дает возможность получить аналитическое выражение корреляционной функции в виде элементарных экспоненциальных составляющих. Спектральная плотность получается двумя способами. Первый способ заключается в получении аналитического выражения спектральной плотности по аналитическому выражению непрерывной корреляционной функции с помощью таблицы соответствий . Второй способ позволяет получить аналитическое выражение спектральной плотности по аналитическому выражению решетчатой корреляционной функции с помощью соответствий ЛГКЗ = $рО) . 3. Проанализированы составляющие погрешности экспериментальных значений корреляционной функции. Даны рекомендации по определению количества экспериментальных значений корреляционной функции. 4. Разработан алгоритм решения алгебраических уравнений И--ой степени, позволяющий в отличии от известных методов определять близкие по модулю вещественные, комплексно-сопряженные и чисто мнимые корни.
5. Разработана методика цифрового моделирования непрерывных стационарных случайных процессов с заданной корреляционной функцией или спектральной плотностью. Эта методика позволяет выбирать шаг дискретизации, учитывать длительность переходного процесса, корректировать дисперсию базового случайного процесса, реализуемого датчиками псевдослучайных чисел. Методика ориентирована на применение в ИВК.
6. Разработана методика идентификации непрерывных стационарных случайных процессов, являющаяся развитием методов Юла-Уокера и Кардашова. Эта методика позволяет определять шаг дискретизации процесса и корреляционной функции и аналитические выражения для оценок корреляционной функции и спектральной плотности. Методика обеспечивает оперативную обработку экспериментальных данных в ИВК.
7. Предложена методика идентификации линейных САУ. Методика аналогична методике идентификации непрерывных стационарных случайных процессов. Примерение методики дает возможность получить по временным характеристикам импульсной переходной и переходной аналитическое выражение передаточной функции исследуемой системы.
8. Основные теоретические положения работы проверены экспериментально на цифровых моделях непрерывных стационарных случайных процессов и на реализациях реальных процессов.
