Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Предыстория динамического хаоса: физические корни и истоки исследований систем со сложным поведением (1880-1940-е годы) 24
1.1. Точка отсчета - качественные методы. А.Пуанкаре и А.М.Ляпунов (1881-1918) 24
1.1.1. Качественная теория дифференциальных уравнений 24
1.1.2. Вопросы устойчивости 31
1.1.3. Фигуры равновесия вращающихся жидкостей. Бифуркации 37
1.1.4. Ж.Адамар и геодезические потоки на поверхностях отрицательной кривизны (1898) 44
1.2. Дж.Биркгоф. Теория динамических систем. Теория нелинейных колебаний. Школа А.А.Андронова 46
1.2.1. Дж.Биркгоф и теория динамических систем 46
1.2.2. Начальный период исследований динамических систем в СССР 50
1.2.3. Теория нелинейных колебаний. Школа А.А.Андронова 52
1.3. Начальный период эргодической теории. Работы Н.С.Крылова 62
1.3.1. Истоки эргодической теории. Первые эргодические теоремы 62
1.3.2. Работы Н.С.Крылова по обоснованию статистической механики 69
1.4. Развитие теории турбулентности 72
1.4.1. Статистическая теория турбулентности. Теория А.Н.Колмогорова 72
1.4.2. Зарождение турбулентности. Линейная теория гидродинамической неустойчивости В.Гейзенберга 78
1.5. Выводы 84
Глава II. Теория динамических систем (1950-1980-е годы) 87
2.1. Предварительные замечания 87
2.2. Теория Колмогорова-Арнольда-Мозера 89
2.2.1. Состояние "основной проблемы" динамики до работ Колмогорова (1954 г.)... 89
2.2.2. Формулировка Колмогоровым основных положений теории КАМ 94
2.2.3. Проблема доказательства: Ю.Мозер и В.И.Арнольд. Первые применения теории К AM 100
2.2.4. Программа Чебышева-Колмогорова 106
2.3. Эргодическая теория. Гиперболические системы 108
2.3.1. К-системы и метрическая энтропия. Развитие энтропийного направления эргодической теории 108
2.3.2. Гиперболические системы. Работы С.Смейла и Д.В.Аносова (1960-е гг.) 116
2.4. Теория бифуркаций. Гомоклинические структуры 121
2.4.1. Теория бифуркаций ! 121
2.4.2. Гомоклинические структуры. Работы С.Смейла, Ю.И.Неймарка, Л.П.Шильникова, В.К.Мельникова, В.И.Арнольда (1960-1970-е гг.) 126
2.5. Алгоритмическая сложность 151
2.6. Выводы 143
Глава III. Хаос в гамильтоновых системах (конец 1950-х -1980-е гг.) 146
3.1. Новые задачи теории нелинейных колебаний. Стохастическая неустойчивость 146
3.1.1. Начало исследований. Критерий Чирикова 146
3.1.2. Проблема Ферми-Паста-Улама. Задача об ускорении Ферми 154
3.1.3. Интерпретация ФПУ-проблемы Б.В.Чириковым и Ф.М.Израйлевым 158
3.1.4. Вычислительный эксперимент 160
3.2. Проблема зарождения хаоса. Стохастический слой. Стандартное отображение 164
3.3. Слабый хаос и стохастическая паутина 171
3.3.1. Диффузия Арнольда 171
3.3.2. Паутина Заславского 176
3.4. Биллиардные задачи. Квазислучайная динамика : 183
3.4.1. Гиперболические биллиарды. Работы Я.Г.Синая 183
3.4.2. Квазислучайная динамика в финальных движениях в задаче трех тел (В.М.Алексеев, 1960-е гг.) 186
3.5. Выводы 193
Глава IV. Диссипативный хаос (1960-1970-е гг.) 196
4.1. Лазерный аттрактор (1963 г.) 196
4.2. Состояние вопроса о возможности хаоса в маломерных диссипативных системах к началу 1970-х гг 204
4.3. Аттрактор Лоренца и другие аттракторы 212
4.3.1. Аттрактор Лоренца. Работа В.С.Афраймовича, В.В.Быкова и Л.П.Шильникова 212
4.3.2. Квазиаттракторы. Отображений Заславского 216
4.4. Теория турбулентности, новые подходы, новые надежды (1960-1970-е гг.) 218
4.4.1. Плазменная турбулентность 218
4.4.2. Гидродинамическая турбулентность. Сценарии перехода к хаосу 223
4.5. Выводы 234
Глава V. Многообразие аспектов феномена хаоса 236
5.1. Хаос и неинтегрируемость 236
5.1.1. Интегрируемые системы. Э.Бур, Ж.Лиувилль (1955 г.). Переход к неинтегрируемости. А.Пуанкаре, Дж.Биркгоф (1881-1927 гг), В.И.Арнольд (1963 г.)... 236
5.1.2. Неинтегрируемость в гамильтоновых системах 242
5.1.3. Качественное интегрирование в диссипативных системах 248
5.2. Методологические аспекты динамического хаоса 251
5.3. Динамический хаос: взаимодействие физического и математического аспектов... 259
5.4. Особенности открытия динамического хаоса 264
5.5. Динамический хаос и случайность 271
5.6. Хаос и самоорганизация 284
5.6.1. Нелинейное уравнение диффузии. Работы А.Н.Колмогорова, И.Г.Петровского, И.Г.Петровского, Н.С.Пискунова (1937 г.), Я.Б.Зельдовича, Д.А.Франк-Каменецкого (1938 г.) 284
5.6.2. Структуры и хаос в астрономических объектах (планетные кольца, Галактики, комета Галлея). Работы А.М.Фридмана и Н.Н.Горькавого (1980-е гг.), Б.В.Чирикова и В.В.Вечеславова (1989 г.) 289
5.7. Выводы 296
Заключение 299
- Фигуры равновесия вращающихся жидкостей. Бифуркации
- Проблема доказательства: Ю.Мозер и В.И.Арнольд. Первые применения теории К AM
- Проблема зарождения хаоса. Стохастический слой. Стандартное отображение
- Состояние вопроса о возможности хаоса в маломерных диссипативных системах к началу 1970-х гг
Введение к работе
Открытие динамического хаоса явилось одним из крупнейших достижений науки XX в. Прогресс науки обеспечивают не только новые фундаментальные теории, он может происходить при изменении точки зрения на уже сложившиеся области, и это может существенно повлиять на научную картину мира в целом. Такой пример как раз демонстрирует теория хаоса, не только описывающая широкий круг явлений практически во всех разделах современной классической и квантовой физики, но и приведшая к концептуальным изменениям в основаниях научного знания.
Целью настоящей работы является исследование предпосылок, процесса формирования и развития теории динамического хаоса с упором на вклад отечественной науки в данную область.
Актуальность работы. В физике XVII - XIX вв. доминирующее место занимала динамическая базовая модель. Важнейшее место в такой модели отводилось концепции об однозначности причинных связей, всеобъемлющей роли динамических закономерностей (детерминизм Лапласа). Сложился идеал научной рациональности, в основе которой лежат простота описания, регулярность, определенность, полнота информации.
Сквозная линия, проходящая через всю классическую механику и электродинамику вплоть до конца XIX в., заключалась в том, что в основу решаемых задач были положены интегрируемые системы, что непосредственным образом связано с простым поведением. В интегрируемых системах достигался идеал исчерпывающего описания на языке траекторий. Считалось, что на основе таких систем можно было объяснить в главных чертах все многообразие явлений нашего мира. Разнообразие физических задач требовало выхода за рамки интегрируемых систем. Однако подход к такого рода задачам строился на основе интегрируемых систем, а неинтегрируемость рассматривалась в виде поправок. Подавляющее же большинство физических систем неинтегрируемо. Для них характерны неустойчивость, наличие сложных движений, многообразие поведения, недостижимость получения всей полноты информации. Помимо традиционного подхода возможна другая точка зрения. Неинтегри-руемые системы рассматривают сами по себе, как самостоятельный объект, не пытаясь исходить из интегрируемых систем. Главное внимание при этом уделяется не решению как таковому, а качественным характеристикам системы, ее поведению и эволюции, дополненное количественным исследованием. На этом пути произошло открытие явления хаоса. Оказалось, что с хаосом связан тип сложных движений динамических систем, принципиально отличных от известных ранее простых движений, причем хаотическое поведение может быть у систем, описываемых уравнениями с простыми правыми частями.
Исследования хаоса приоткрыли наличие сложности в таких объектах, которые традиционно относили к системам с простым поведением. В этом контексте само явление динамического хаоса представляет, хотя и очень важную, но все же частность. Проявление сложности очень многообразно, и изучение этого только начинается.
Хаос представляет собой типичное свойство динамических систем. Системы только с регулярным поведением являются редкими. Новый этап в развитии знаний потребовал принципиально новых взглядов, новой системы понятий и нового языка. Все это оказало глубокое воздействие на наши представления о физическом мире.
Научная новизна. Основные результаты, изложенные в ряде статей и монографии автора, можно сформулировать следующим образом.
Впервые в историко-научной литературе систематически изложены предпосылки, становление и развитие концепций динамического хаоса. В работе показано, что открытие динамического хаоса явилось закономерным результатом перехода от изучения динамических систем с простым поведением к динамическим системам со сложным характером движения. Открытие хаоса явилось сложным и противоречивым процессом. К нему привело несколько линий развития, которые переплелись, воздействуя друг на друга.
Истоком одной из этих линий явилась проблема интегрирования дифференциальных уравнений. Поворотным пунктом в понимании принципиального различия между интегрируемыми и неинтегрируемыми системами стали фундаментальные работы А.Пуанкаре (1881-1899), который вместе с А.М.Ляпуновым заложил основы качественных методов, что означало переход к принципиально иной стратегии исследования. Преобладающими стали топологические, теоретико-групповые и вероятностные методы. Пришло осознание того, что проблемы динамики связаны с качественным поведением траекторий во всем фазовом пространстве, на смену локальному подходу должно прийти глобальное рассмотрение. Дж.Биркгоф ввел понятие динамической системы (ДС). Теория ДС явилась одним из главных факторов, приведших к открытию хаоса. Прикладные задачи - радиотехника и теория автоматического регулирования, главным образом в трудах Нижегородской (Горьковской) школы в 1930-е гг. стимулировали создание теории нелинейных колебаний, что стало еще одной линией развития, приведшей к открытию хаоса.
Следующая линия исходит из существования двух фундаментальных моделей - динамической и статистической, описывающих два разных уровня реальности. Поиски универсальных объединяющих основ обусловили стремление представить динамическое описание в качестве первичного, отсюда возникло стремление получить статистические законы, исходя из динамики (эргодическая гипотеза). На этом пути возникла эргодическая теория, изучающая
статистические свойства ДС. Еще одна линия в открытии хаоса связана с исследованиями турбулентности.
Историю динамического хаоса отнесем к отрезку времени с середины 1950-х до середины 1980-х гг. и выделим следующие три периода:
-
От формулировки Колмогоровым основных положений теории КАМ (Колмогорова-Арнольда-Мозера) в 1954 г. до конца 1950-х гг., когда начался мощный взлет теории ДС, появился вычислительный эксперимент, что привело к постановке новых физических задач;
-
С конца 1950-х до конца 1970- гг. - в этот период произошли основные события. Был твердо установлен феномен хаоса в консервативных (гамильтоновых) и диссипативных физических системах, была обнаружена широкая распространенность хаоса в физических системах; пришло понимание явлений и построена их теория;
-
С конца 1970-х до середины 1980-х гг. - распространение теории, в это время было получено огромное количество результатов по хаотической динамике в конкретных системах, приобрели большую интенсивность экспериментальные исследования хаоса, произошло осознание тесной связи хаоса и упорядоченности.
В исследованиях хаоса можно выделить несколько теоретических программ. Глобальная программа Пуанкаре-Биркгофа предполагала изучение всех возможных типов движений ДС. Программа Андронова-Смейла сосредоточена на изучении типичных свойств ДС; программа Арнольда была направлена на исследование бифуркаций; задача исследования гамильтоновых систем была поставлена в программе Чирикова. Программа Чебышева-Колмогорова базировалась на строгой постановке и решении трудных в математическом плане и представляющих значительный интерес в физическом отношении задач с применением разнообразных методов современной математики, что вело к выявлению всех существенных особенностей исследуемых проблем. Изучение хаоса проходило при взаимодействии и конкуренции этих программ. Сами программы нередко имели более широкий характер, чем исследования только явления хаоса.
Впервые развитие представлений о хаосе рассмотрены в контексте эволюции понятия сложности. Наличие у теории хаоса точек опоры во многих естественнонаучных областях, привлечение идей и методов разных разделов математики, механики, физики, астрономии обусловили междисциплинарность нового подхода. Понятие сложности может стать фундаментом нового синтеза науки в противовес все углубляющейся специализации.
Очень часто, говоря об открытии хаоса, ограничиваются диссипативными системами. Однако не меньшее значение, как для понимания феномена, так и для приложений, имеет хаотическое поведение в гамильтоновых системах. Гамильтонову хаосу в исторических и
методологических работах обычно уделяется значительно меньше внимания, чем диссипа-тивному. В данной работе автор попытался восполнить этот пробел. Впервые в историко-научной литературе отмечено место и значение понятия динамического хаоса в физике и в науке в целом. Особое внимание уделено отечественному вкладу в теорию хаоса, который столь велик, что в значительной степени определяет современный облик данной области знания.
В свете концепции хаоса наметились новые подходы к вопросу о природе случайности, вероятности. Картина мира, основанная на строгом детерминизме, оказалась неполной. Определились ограничения на возможности предсказуемости, на соотношение детерминизма -индетерминизма. Изучение хаоса привело к новому взгляду на вопросы устойчивости - неустойчивости, локального описания - глобального подхода, хаотичности - упорядоченности. Представления о динамическом хаосе приобрели общефизический и общенаучный характер. В работе рассмотрены методологические аспекты концепции динамического хаоса. Один из основных итогов в изучении динамического хаоса состоит в том, что в тех случаях, когда фундаментальные уравнения теории давно установлены, получение следствий из них может привести к важным концептуальным изменениям. На защиту выносятся следующие основные положения:
1. Изучение двух фундаментальных проблем классической физики - обоснование статисти
ческой механики и возникновение турбулентных течений, а также проблема интегрирования
уравнений динамики и нелинейные задачи физики и техники явились предпосылками иссле
дований, приведших к открытию динамического хаоса (1880-е - начало 1950-х гг.).
2. В этот период были развиты качественные методы (А.Пуанкаре, А.М.Ляпунов,
Дж.Биркгоф), при использовании которых на первый план вышли описание поведения сис
тем и их эволюции. Качественные методы нашли применение и получили дальнейшее разви
тие в задачах радиофизики и теории автоматического регулирования (Б.Ван дер Поль,
Л.И.Мандельштам, А.А.Андронов), где фундаментальное значение имела нелинейность.
-
Решающее место в открытии и исследованиях хаоса занимают математический формализм, глубокое взаимодействие математики и физики и вычислительный эксперимент.
-
Показано значение теории ДС, составившей математическую основу феномена хаоса, без которой понимание явления было бы невозможно. Бурное развитее теории ДС происходило главным образом в Германии, СССР, США и во Франции.
-
Огромный вклад в открытие и изучение хаоса внесла отечественная наука, что в значительной степени определяет современный облик рассматриваемой области знания. На харак-
тер этого вклада наложили определенный отпечаток социальные, экономические, культурные и другие условия в СССР.
-
Предложена периодизация истории хаоса (1950-е - 1980-е гг.). В первый период были сформулированы основные положения теории КАМ (1954) - одной из главных составляющих в фундаменте теории хаоса; поставлены новые физические задачи, обусловившие открытие хаоса; стремительно развивалась теория ДС; появился вычислительный эксперимент, сыгравший ключевую роль в открытии хаоса.
-
Открытие хаоса было сделано в 1960 гг. относительно независимо в консервативных (га-мильтоновых) и диссипативных системах. Оно явилось закономерным итогом развития физики и математики. Открытие хаоса в диссипативных системах можно изобразить цепочкой Э.Лоренц - С.Смейл - Д.Рюэль, Ф.Такенс, хотя феномен хаоса также проявился в ряде других исследований в разных областях физики.
8. В гамильтоновых системах к открытию хаоса привели задачи физики плазмы и физики ускорителей (Б.В.Чириков, Г.М.Заславский), астрофизики (М.Эно, К.Хейлес), биллиардные задачи (Я.Г.Синай), проблемы небесной механики (В.М.Алексеев). Если открытие диссипа-тивного хаоса с некоторой степенью полноты рассмотрено в литературе, то истории гамиль-тонова хаоса почти не уделено внимания. В работе сделана попытка восполнить этот пробел. 9. Рассмотрены методологические аспекты концепции хаоса, имеющие общефизическое и общенаучное значение, среди которых впервые затронут вопрос о том, как при получении следствий из давно сложившейся фундаментальной теории могут происходить глубокие концептуальные сдвиги. Проблемы хаоса позволили также наметить новые подходы к пониманию случайности и необходимости, их связи с понятием сложности.
Апробация работы.
Материалы диссертационной работы докладывались на Международной юбилейной конференции, посвященной столетию В.Гейзенберга (2001) и конференции, посвященной столетию П.Дирака и Ю.Вигнера (2002) в Москве, ИИЕТ РАН; конференции в Mill У, посвященной столетию А.В.Перышкина (2002) в Москве; Международной конференции "Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность" (2004) в Москве, ИКИ РАН; на семинарах в ИИЕТ РАН, в Физическом институте им. П.Н.Лебедева РАН, в Институте философии РАН, на общемосковском семинаре "Синергетика" в МГУ, в Институте машиноведения РАН,
Структура и объем диссертации.
Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка литературы. Объем диссертации 368 страниц, 26 рисунков, список литературы насчитывает 779 наименований.
Фигуры равновесия вращающихся жидкостей. Бифуркации
Первое систематическое изложение теории хаоса было дано в диссертации Б.В.Чирикова, опубликованной в 1969 г. небольшим тиражом (100 экз.) в виде препринта [526] и в монографии Г.М.Заславского [180]. В диссертации Чирикова с помощью критерия перекрытия резонансов рассматривается зарождение и развитие хаоса в гамильтоновых системах, и развитые методы применяются для решения многочисленных физических задач. Работа Чирикова была затем издана в ЦЕРН в Женеве (1970). Однако, труднодоступность работы Чирикова затруднила ознакомление с ней широкого круга физиков. Распространению идей хаоса очень способствовали монография Г.М.Заславского [180] и обзор Г.М.Заславского и Б.В.Чирикова [201]. В 1979 г. в Physics Reports был опубликован обзор Чирикова [595], получивший широкую известность во всем мире. В нем дано изложение основ теории хаоса в гамильтоновых системах.
Важное значение в развитии исследований хаоса имели Горьковские школы по колебаниям и волнам, первая из которых была организована в марте 1972 г. Материалы этих школ целиком заняли два »номера журнала Известия вузов. Радиофизика [385,386], а затем стали выходить отдельными сборниками в издательстве Наука [387-393]. Позднее эти сборники стали переиздаваться издательством Springer. В Горьковских школах проблемы хаоса обсуждались во всех аспектах и в самом широком контексте.
Распространению идей хаотической динамики в диссипативных системах очень способствовали обзоры А.В.Гапонова-Грехова и М.И.Рабиновича [144], А.С.Монина [332] и М.И.Рабиновича [439], опубликованные в одном и том же номере Успехов физических наук. Например, по свидетельству Д.И.Трубецкова [494], именно обзор Рабиновича пробудил интерес к хаосу в Саратовском университете, который ныне является одним из центров исследований в этой области в России.
С 1978 г. издательство Springer стало выпускать специальную серию, посвященную вопросам хаоса и самоорганизации. Первой книгой этой серии была Синергетика Г.Хакена, вскоре переведенная на русский язык [509]. В этой книге дано общее введение в предмет. В следующей книге Хакена (тоже переведенной на русский язык [510]) последовательно изложены главные идеи и математический аппарат. Хаос и самоорганизация предстают у Хакена как две составляющие единого целого - нелинейной динамики. В конце 1970-х гг. нелинейная динамика сложилась как самостоятельное направление. В 1980-е гг., особенно во второй половине, нарастет поток литературы по предмету. Остановимся на наиболее примечательных публикациях.
В 1981 г. в издательстве Мир под редакцией Я.Г.Синая и Л.П.Шильникова вышел сборник Странные аттракторы [482], куда вошли основополагающие работы Э.Лоренца, Д.Рюэля и Ф.Такенса, Б.Мандельброта, Дж.Йорке и др. в том же году Springer выпустил сборник Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности под редакцией Х.Суинни и Дж.Голлаба (русский перевод 1984 г. [154]). Среди авторов - О.Е.Ланфорд, Дж.Гуккенхеймер, Д.Д.Джозеф и др. Оба сборника посвящены хаотической динамике в диссипативных системах. В 1984 г. вышел сборник Синергетика под редакцией Б.Б.Кадомцева [474]. Примечательным из этого сборника является обзор Ж.-П.Экмана [616], посвященный возникновению хаоса при переходе к турбулентности.
Нельзя не упомянуть еще два труда - монографии А Лихтенберга и М.Либермана Регулярная и стохастическая динамика, изданной в 1983 г. (русский перевод 1984 г. [295]) и1 Г.М.Заславского Стохастичностъ динамических систем (1984) [182]. В обеих книгах последовательно представлены основные идеи, математический аппарат, и развитые методы применены к многочисленным физическим задачам. Рассматриваются как гамильтоновы, так и диссипативные системы, но основной упор делается на гамильтонов хаос. Кроме того, в книге Заславского приведены ранние результаты исследований квантового хаоса. Примечательными по теории хаоса являются книга М.Табора [485] и два обзора А.Ю.Лоскутова [297,298].
Очень ясное изложение основных идей, понятий и фактов современной теории динамических систем дано в книге В.И.Арнольда и А.Авец Эргодические проблемы классической механики, изданной в Париже в 1967 г. [563] (русский перевод 1981 и 1999 гг. [65]). Благодаря своим достоинствам эта книга является одной из самых цитируемых в мировой литературе. Изложению некоторых математических аспектов хаотической динамики посвящена книга Ю.Мозера Лекции о гамилътоновых системах, изданная в 1968 г. (русский перевод 1973 г. [329]). Систематическое изложение современного понимания всего круга вопросов о математической структуре уравнений динамики дано в книге Арнольда Математические методы классической механики, изданной в 1974 г. [53]. Книга Арнольда оказала огромное влияние на утверждение теории гамильтоновых систем как самостоятельного раздела теории динамических систем. Современный взгляд на классическую механику с учетом последующих достижений теории динамических систем и краткая история даны во втором издании объемистой книги Р.Абрагама и Дж.Марсдена Основания механики [553]. Она не переведена на русский язык, но на Западе эта книга получила широкую известность. Очень ценным и известным во всем мире пособием по эргодической теории является книга И.П.Корнфельда, Я.Г.Синая и С.В.Фомина [276], в которой эргодическая теория представлена в широком контексте теории динамических систем. Другой примечательный труд - лекции В.М.Алексеева Квазислучайные колебания и качественные вопросы небесной механики на 19-й летней Украинской математической школе в 1971 г., и изданные в Киеве в 1976 г. Эти-лекции-с дополнениями и приложениями были переизданы в 1999 г. [13]. Современное изложение теории динамических систем дано в книге А.Б.Катка и Б.Хассельблата [231].
Особое место занимает серия Современные проблемы математики. Фундаментальные направления., издающаяся с 1985 г. под редакцией Р.В.Гамкрелидзе. Серия была задумана- как своего рода энциклопедия современной математики. В предисловии от редколлегии к первому тому говорится: "Тома настоящей серии будут содержать сводное изложение всех основных разделов современной математики и ее приложений, увиденные глазами- работающих сейчас математиков в системе ценностей последних десятилетий. Статьи серии- будут вполне доступными не только специалистам-математикам в смежных областях, но и физикам, механикам и другим научным работникам, профессионально пользующимся математикой в своей работе и заинтересованным тематикой статьи" [174]. Первый том открывается,обзором-Обыкновенные дифференциальные уравнения. В томах, посвященных теории динамических систем, рассматриваются гладкие динамические системы, эргодическая теория, теория бифуркаций, теория- катастроф, особенности гладких отображений и т.д. [35,66-72,174,175,224]. Среди авторов этих обзоров В.И.Арнольд, Я.Г.Синай, Д.В.Аносов, Ю.С.Ильяшенко, А.М.Вершик, Я.Б,Песин, М.В.Якобсон и другие известные математики. В настоящее время серия насчитывает более ста томов, она вся переведена на английский язык.
Много ценной информации.содержится в трудах и воспоминаниях В.И.Арнольда [55,5864,73], Д.В.Аносова [31-34], Я.Г.Синая [465,466,468,469], Л.П.Шильникова [544], Ю.И.Неймарка [380,381,383], Ю.Мозера [702], М.Эно [645], С.Смейла [750,751], Д.Рюэля [448], Г.М.Заславского [779], С.Улама [500], в комментариях к трудам А.Пуанкаре [434], А.М.Ляпунова [479], А.Н.Колмогорова [263], юбилейном издании Колмогоров [270], в воспоминаниях о М.А.Леонтовиче [4,135], Л.И.Мандельштаме [5,144], Г.И.Будкере [3], Б.В.Чирикове [570], Дж. фон Неймане [765], А.Б.Мигдале [136], Ю.Л.Климонтовиче [237].
Проблема доказательства: Ю.Мозер и В.И.Арнольд. Первые применения теории К AM
Вот что по этому поводу говорит сам Ляпунов во вступительной лекции курса "О форме небесных тел", читавшегося им осенью 1918 г. в Новороссийском (Одесском) университете незадолго до смерти: "В1 1882 г., желая подыскать подходящую тему для магистерской диссертации, я не раз беседовал с Чебышевым по поводу различных математических вопросов, причем Чебышев-всегда высказывал мнение, что заниматься легкими, хотя бы и новыми вопросами, которые можно разрешить общеизвестными методами, не стоит, и что всякий молодой ученый, если он уже приобрел некоторый навык в решении математических вопросов, должен попробовать свои силы на каком-либо серьезном вопросе, представляющем известные теоретические трудности. При этом он предложил мне следующий вопрос.
"Известно, что при некоторой величине угловой скорости эллипсоидальные формы перестают служить формами равновесия вращающейся жидкости. Не переходят ли они при этом в какие-либо новые формы равновесия, которые при малом увеличении угловой скорости мало отличались бы от эллипсоидов". При этом он прибавил: "Вот если бы вы разрешили этот вопрос, на вашу работу сразу обратили бы внимание".
Впоследствии я узнал, что этот же самый вопрос Чебышев предлагал и другим математикам, как, например, Золотареву, молодому тогда ученому, блестящие лекции которого я слушал в университете, и Софии Ковалевской.
Не знаю, пробовали ли решить этот вопрос Золотарев и Ковалевская. Я же сильно заинтересовался вопросом, тем более, что Чебышев не дал никаких указаний для его решения, и я тотчас же принялся за работу. Однако при тех ничтожных математических ресурсах, которыми я обладал тогда, лишь два года спустя после окончания курса, я встретил непреодолимые затруднения" [306.C.314].
Ляпунов довольно быстро решил задачу в первом приближении и пришел к следующим заключениям. С ростом момента импульса при некотором критическом значении Ji эллипсоиды Маклорена теряли устойчивость и переходили в эллипсоиды Якоби. С дальнейшим ростом J при J = J2 эллипсоиды Якоби становились неустойчивыми и переходили в какие-то новые фигуры равновесия, представляющие алгебраические поверхности третьего порядка. Эти фигуры впоследствии были названы грушевидными. Эти результаты Ляпунова вошли в его магистерскую диссетрацию и были опубликованы в 1884 г. [301]. О новых фигурах равновесия, о которых можно было судить лишь по первому приближению и существование которых осталось недоказанным, Ляпунов лишь упомянул в своей диссертации. Главная трудность, с которой столкнулся Ляпунов, состояла в получении следующих приближений; Эту трудность тогда ему преодолеть не удалось.
В следующем, 1885 г. в Comtes Rendues появилась небольшая,заметка Пуанкаре [716], положившая начало большой серии его работ по фигурам равновесия вращающейся жидкости. Внимание Пуанкаре к этой проблематике было привлечено представленной в 1874 г. в Геттингенский университет (опубликованной в 1885 г.) работы Ковалевской о кольце Сатурна, в которой она строго доказала, что кольцо является фигурой равновесия. Тогда же Пуанкаре обратился к общей задаче, поставленной Томпсоном и Тэтом, которая занимала и Ляпунова [37].
Совершенно естественно, что Ляпунов и Пуанкаре получили одни и те же результаты, ограничившись первым приближением. Однако Пуанкаре, в отличие от Ляпунова, прямо утверждает о существовании новых фигур равновесия. Здесь к задаче качественной теории у Пуанкаре еще старый, локальный подход. Он ищет решение в виде поправок к известному решению (в данном случае новые фигуры равновесия получаются посредством поправки первого приближения к эллипсоидам Якоби). Ляпунов с самого начала ставит глобальную задачу, что составляет суть качественных методов. Он говорит, что если при доказательстве существования новых фигур равновесия использовать метод последовательных приближений, то необходимо учитывать приближения сколь угодно высокого порядка и исследовать сходимость полученного разложения [306].
Пуанкаре дал подробное изложение своих результатов в большом мемуаре, напечатанном в Acta Mathematica [717]. Из этой работы берут свое начало понятия о линейных сериях фигур равновесия и о бифуркациях.
Пуанкаре установил, что различные фигуры равновесия жидкой массы образуют линейные серии; в одной и той же серии эти фигуры зависят от переменного параметра. С каждой фигурой Пуанкаре связал бесконечную последовательность коэффициентов, названных им коэффициентами устойчивости. Условие устойчивости заключается в положительности этих коэффициентов. При обращении одного из коэффициентов в нуль имеем дело с фигурой бифуркации. Понятие бифуркации является одним из центральных в теории хаоса. Вот что говорит Пуанкаре о том, что привело к этому понятию: "... если двигаться вдоль одной серии фигур равновесия, мы увидим, что один« из коэффициентов устойчивости обратился в нуль, то мы будем знать, что имеется еще другая серия форм равновесия, которой также принадлежит фигура бифуркации. Другой результат состоит в том, что две линейные серии, в которые входит эта фигура, обмениваются своей устойчивостью. Если следуя вдоль одной из этих серий, мы встретимся лишь с устойчивым равновесием до фигуры бифуркации, то в дальнейшем здесь мы найдем только неустойчивые фигуры. Устойчивые фигуры появятся только во второй серии" [435.С.644].
На современном языке под бифуркацией (от лат. bifurcus - раздвоенный) понимается качественное изменение топологии фазового пространства при изменении управляющих параметров. Пуанкаре установил связь между бифуркациями и устойчивостью, бифуркации у него выступают как смена устойчивостей. Вся конструкция находится в полном соответствии с идеями качественного описания. Вместо одной системы с фиксированными параметрами рассматривается семейство систем, зависящих от одного или нескольких параметров. Задача состоит в определении качественных изменений, происходящих с системой при изменении параметров, и нахождении их бифуркационных значений.
Вернемся к работа Ляпунова. Ознакомившись с мемуаром Пуанкаре [717], Ляпунов, по его словам, остался совершенно неудовлетворенным [306.С.317]. Неудовлетворенность Ляпунова мемуаром Пуанкаре опять исходила из традиционной там постановки качественной задачи. Надо заметить, что работа самого Ляпунова [301], написанная на русском языке, оставалась неизвестной на Западе, пока в 1904 г. не была переведена на французский язык [674]. После магистерской диссертации [301] Ляпунов обратился к общим вопросам теории устойчивости и вернулся к фигурам равновесия вращающихся жидкостей лишь два десятка лет спустя, когда "после избрания меня в Академию, получив надлежащий досуг, вновь возвратился к вопросу Чебышева. Замечательно, что я при этом вновь встретился с Пуанкаре, который около этого же времени занялся вопросом об устойчивости грушевидной формы равновесия" [306.С.317].
Для решения вопроса об устойчивости Пуанкаре занялся поисками второго приближения, что и составило основную часть содержания упомянутой работы [717]. Надо сказать, что в ближайшие годы Пуанкаре переосмыслил свой подход к качественным задачам. Вспомним формулировку им "основной проблемы" динамики в первом томе "Новых методов небесной механики" (1892) [434], где он имеет в виду учет всего ряда теории возмущений, а не ограничение каким-то конечным порядком. Тот или иной подход к качественным задачам мог иметь далеко идущие последствия, что видно на примере космогонической теории Дарвина.
Проблема зарождения хаоса. Стохастический слой. Стандартное отображение
Биркгоф поставил задачу в более общей форме, применительно уже к общей теории динамических систем В седьмой главе его труда [576], играющей центральную роль, была выдвинута программа, в которой в полной общности ставится задача изучения динамических систем. Будем ее называть программой Пуанкаре-Биркгофа-. "Конечной целью теории движения динамической системы должно служить качественное определение всех возможных типов движения и взаимоотношений между этими движениями" [576.С.194] [курсив мой.- Р.М.]. Поставленная грандиозная задача вряд ли когда-нибудь будет решена в полной общности. Биркгоф поставил задачу дать общую классификацию типов движения динамических систем, как консервативных, так и неконсервативных. Он сделал первые шаги в осуществлении данной программы и ввел ряд важных понятий, составляющих неотъемлемую часть теории динамических систем.
Первая задача, которую поставил Биркгоф - показать, что с любой динамической системой, не ограниченной тем, что движения будут возвращаться бесконечно много раз в окрестность своего первоначального состояния, всегда связана некоторая замкнутая совокупность так называемых центральных движений, к которым все другие движения системы стремятся асимптотически. Для характеристики центральных движений Биркгоф ввел понятия блуждающих и неблуждающих точек. Точка Ро называется блуждающей, если существует открытое множество оо и вещественное число I], такие, что сто содержит Ро и что с не имеет общих точек с сто при I В противном случае точка Ро называется неблуждающей.
Для решения задачи классификации Биркгоф исходил из идеи, что в некотором отношении неконсервативные системы стремятся вести себя подобно консервативным [16]. К центральным движениям некоторым образом приближаются все другие движения. Точка, движущаяся по любой траектории, в конечном счете будет двигаться почти исключительно вблизи совокупности центральных движений. Совокупность самих центральных движений можно охарактеризовать совокупностью движений консервативной системы. "Для уравнений классической динамики центральными движениями, очевидно, будут все движения системы по крайней мере для случая несингулярных систем, который нас единственно интересует в данный момент" [576.С.202].
Другое важнейшее понятие, введенное Биркгофом - а - и со предельные точки. Для этого он рассмотрел кривую и точку Р(, движущуюся по ней. со — предельной точкой называется всякая предельная точка совокупности Рь соответствующая пределу при X — оо, а всякая предельная точка совокупности Р{ при I — - оо будет называться а - предельной точкой. Биркгоф показал, что множества со - и а - предельных точек движения Р( образуют инвариантное замкнутое множество, т.е. расстояние точки Р1 от этого множества стремится к нулю при со (соответственно - оо ).
Следующий класс движений у Биркгофа - это рекуррентные движения. Характерной чертой рекуррентных движений является регулярная повторяемость во времени. Если взять начальную точку на рекуррентной траектории, то для этой точки можно определить такой конечный промежуток времени Т(в), что изображающая точка будет возвращаться и находиться на расстоянии, меньшем с, от своего начального положения с периодичностью, не большим, чем Т(Б). Причем, при заданном Б ЭТОТ промежуток времени может быть выбран одним и тем же, независимо от того, какая точка рекуррентного движения выбрана за исходную. Таким образом, рекуррентное движение равномерно себя приближает, что любой отрезок траектории, соответствующий промежутку времени Т(е), находится на расстоянии, меньшем е, от любой точки рекуррентной траектории.
В вопросе о рекуррентных движениях у Биркгофа можно увидеть зарождение группового подхода к динамическим системам. Отсюда уже один шаг до определения абстрактной динамической системы в групповых понятиях. Точки Рь движущиеся по кривой, образуют группу данного движения. В групповых понятиях формулирует Биркгоф и условие рекуррентности:
Для того, чтобы точечная группа, образованная движением Рь была рекуррентной, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного количества в можно было найти такое положительное число Т, чтобы всякая дуга Р1 Р1+т кривой движения содержала точки, лежащие на расстоянии, меньшем 8 от любой точки кривой движения [576.С.203].
Периодические движения составляют важнейший класс движений динамических систем. Изучение периодических движений на протяжении одного периода дает возможность определить движение на всей временной оси. Далее, существование периодических движений удается строго доказать. Они могут быть вычислены с заданной точностью для любого момента времени. Все это обусловило особую роль периодических движений, на что указывал еще Пуанкаре. Он говорил, что периодические движения представляют единственную брешь, через которую можно проникнуть в области, бывшие недоступными для исследований. Периодическим движениям посвящена третья глава первого тома "Новых методов". Пуанкаре высказал гипотезу, что в гамильтоновых системах общего положения периодические траектории всюду плотны, для любого частного решения "можно всегда найти такое периодическое решение (период, которого, правда, может быть очень большим), что разность между обоими решениями будет сколь угодно мала на протяжении любого сколь угодно большого промежутка времени" [434.Т.1 .С.75]. Эта гипотеза пока не доказана, если она окажется справедливой, значение периодических движений еще больше увеличится.
За две недели до смерти Пуанкаре прислал в итальянский журнал статью под названием "Об одной геометрической теореме" [722]. Статья начинается словами: "Никогда до сих пор я не выступал в печати с настолько незаконченной работой, поэтому считаю необходимым пояснить в нескольких словах, почему я решился на такую публикацию ... уже довольно давно я доказал существование периодических решений в задаче трех тел, однако результат не был полностью удовлетворительным ... размышляя над этим вопросом, я пришел к убеждению, что ответ должен зависеть от справедливости или ложности некоторой геометрической теоремы, формулировка которой очень проста ... было бы правильно, если бы я был уверен в том, что смогу со временем снова взяться за эту проблему, но учитывая мой возраст, я не могу за это поручиться. С другой стороны значение предмета слишком велико ..." [722.С. 112-113]. Через полгода теорему, которую называют последней теоремой Пуанкаре, доказал Биркгоф [575], что сразу принесло ему известность в научном мире.
Последняя теорема Пуанкаре утверждает, что, если дано сохраняющее площадь гомеоморфное отображение плоского кругового кольца на себя и граничные окружности кольца сдвигаются отображением в разные стороны, то это отображение имеет не менее двух неподвижных точек. Этот результат является фундаментальным и составляет одну из основ теории хаоса.
Как приложение этой теоремы Биркгоф доказал, что для устойчивых гамильтоновых- систем с двумя степенями свободы существует бесконечное множество периодических движений в окрестности данного периодического движения. К периодическим движениям Биркгоф вернулся в так называемом Римском мемуаре (1935) [578]. В этой работе Биркгоф показал, что любая трансверсальная точка является пределом счетного числа периодических точек. Эти результаты Пуанкаре и Биркгофа оказались очень важными для описания гомоклинических структур, к которым мы вернемся в следующей главе.
Состояние вопроса о возможности хаоса в маломерных диссипативных системах к началу 1970-х гг
Проблема турбулентности насчитывает более ста лет, и на ее решение были направлены усилия многих выдающихся исследователей. На этом пути получены замечательные результаты. Однако г до настоящего времени проблема турбулентности остается одной из самых загадочных и волнующих, ее относят к самой значительной нерешенной задаче классической физики. Приведем два высказывания. На открытии представительного международного коллоквиума в 1961 г. в Марселе Т.фон Карман сказал, что "когда он, наконец, предстанет перед Создателем, первое, о чем он попросит, будет раскрытие тайн турбулентности" (цит. по [337.С.63]). И другое высказывание, Д.Лайтхилл на симпозиуме в Киото в 1966 г. заявил, что "кладбище теорий турбулентности давно уже переполнено, а проблема до сих пор не решена" (цит. по [495.С.5]). Проблема турбулентности, даже несмотря на ее незавершенность, чрезвычайно обширна. Различные ее аспекты составляют отдельные большие области науки и ее приложений [89,91]. Под проблемой турбулентности в дальнейшем будем понимать возникновение турбулентной динамики, исходя из первых принципов, в качестве которых берутся уравнения гидродинамики вязкой жидкости.
После того как в XIX в. обратили внимание на существование двух принципиально различных форм течения, под турбулентностью стали понимать неустановившееся и сильно нерегулярное течение. Сам термин "турбулентность" принадлежит В.Кельвину [285]. Внимание к проблеме усиливалось вследствие распространенности турбулентных течений в природе, к которым1 принадлежит подавляющее большинство всех течений жидкостей и газов. Хаотический, случайный характер течения в пространстве и времени является одной из главных характеристик турбулентности. При ее описании случайность представляет базовое понятие.
В теории турбулентности сформировалось два, на первый взгляд слабо соприкасающихся, направления. Первое касается зарождения турбулентности, когда возбуждается относительно небольшое число степеней свободы. Совершенно иной является вторая область, относящаяся к развитой турбулентности. В последнем случае при стремлении числа Рейнольдса к бесконечности задействованы все пространственные и временные масштабы, характеризующие турбулентность, и мы имеем дело с системой с огромным числом степеней свободы.
В описании развитой турбулентности крупнейшей и неотъемлемой ее частью является статистическая теория турбулентности [333-335,688,341]. Из всех ее создателей упомянем три имени, чей вклад был определяющим: Л.Ричардсон, Дж.Тейлор и А.Н.Колмогоров. Ричардсон выдвинул физический механизм диссипации энергии при развитом турбулентном движении [726]. По схеме Ричардсона в турбулентном потоке присутствуют вихри с различными размерами. Самые крупные вихри имеют размеры порядка характеристических длин, определяющих область турбулентного движения. В основе механизма лежит идея о процессе каскадной передачи энергии от крупных вихрей к меньшим и т.д. до самых меньших, энергия которых рассеивается за счет трения. В свое время- эти оригинальные и глубокие идеи Ричардсона остались мало замеченными. Значительный шаг был сделан Тейлором, выдвинувшим идею изотропной однородной турбулентности [759]. Исходным моментом была инвариантность распределения вероятностей гидродинамических величин при ортогональных преобразованиях (параллельных переносах, вращениях и отражениях). Данная инвариантность ведет к существенным математическим упрощениям, хотя реальных течений с такими свойствами не существует, если не учитывать некоторых специальных частных случаев.
А.Н.Колмогоров издавна и постоянно интересовался прикладными проблемами, об этом неоднократно говорили его ученики (см., например, [63,488,501]). По поводу своих работ по турбулентности Колмогоров вспоминал: "Интерес к изучению турбулентных потоков жидкостей и газов возник у меня в конце 30-х годов. Мне сразу стало ясно, что основным математическим аппаратом исследований призвана стать теория случайных функций многих переменных (случайных полей), которая в то время только зарождалась. Кроме того, вскоре мне стало ясно, что трудно надеяться на создание замкнутой в себе чистой теории. За отсутствием такой теории придется опираться на гипотезы, получаемые из обработки экспериментальных данных" [265.С.421].
Еще О.Рейнольдс в своей классической работе предложил операцию усреднения для описания хаотически флуктуирующей около среднего значения скорости потока [725]. Хотя сам Рейнольде рассматривал только простейшее временное усреднение, он указал и общие условия, которым операция усреднения должна удовлетворять. Впоследствии вопросу усреднения в теории турбулентности было посвящено большое число специальных исследований. Процедура усреднения порождает проблему замыкания результирующей бесконечной системы уравнений, подобно цепочке уравнений Боголюбова-Борна-Грина- Кирквуда-Ивона (ББГКИ - иерархия) для функции распределения по скоростям в динамике жидкости. В работах Колмогорова и его учеников применен другой подход. В его изложении будем следовать работам [334,335].
При таком подходе вместо специальных операций усреднения, применяемых к индивидуальному полю скорости и(хД), предлагается рассматривать ансамбль всевозможных турбулентных течений, допустимых при фиксированных внешних условиях. При этом под средними значениями понимаются средние по статистическому ансамблю аналогичных течений, находящихся в макроскопически одинаковых внешних условиях. Все гидродинамические поля, в том числе поле скорости, можно рассматривать как случайные поля в смысле, принятом в современной тории вероятностей. При этом сразу были устранены многие трудности, связанные с применением временного или пространственного усреднения. Такой статистический подход в значительной степени базируется на глубоких идеях Колмогорова в теории вероятностей [656] и стал возможным только после появления теории случайных функций, одним из создателей которой является Колмогоров. Впервые изложенный подход к теории турбулентности, видимо, был намечен в 1939 г. аспирантом Колмогорова М.Д.Миллионщиковым [325] и в появившейся в то же время работе Ж.Кампе де Ферье [652].
Таким образом, задачи статистической теории турбулентности в наиболее широком смысле заключаются в нахождении распределения вероятностей Р(с1ш), точками со которого являются всевозможные бездивергентные векторные поля и(хД), удовлетворяющие уравнениям Навье-Стокса. Полное нахождение распределений Р(ско), даже в редуцированном случае, представляет собой задачу исключительной сложности. Поиски путей упрощения привели Тейлора к концепции однородной и изотропной турбулентности.
