Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ЖИЗНЬ И.ТВОРЧЕСТВО ХЕВИСАЙДА 23-65
1.1. Образование, научное сотрудничество с Ч.Уитстоном 23-28
1.2. Влияние работ Максвелла.на направленность исследований Хевисайда 28-37
1.3. Систематизация Хевисайдом теории Максвелла 37 - 65
ГЛАВА II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ХЕВИСАЙДА 65 -102
2.1 Операционное исчисление Хевисайда 65-76
2.2. Универсальное свойство оператора 77-78
2.3. Единичная и импульсная функции Хевисайда 78 - 87
2.4. Применение Хевисайдом оператора tf 87-92
2.5. Примеры результата дифференцирования оператора 7. 92-95
2.6. Расширение и обобщение области применения интегралов. Эйлера и показательной функции 95-98
2.7. Теория линейных операторов Хевисайда 98 -102
ГЛАВА III. РАЗВИТИЕ ИДЕЙ.МАКСВЕЛЛА В ТВОРЧЕСТВЕ ХЕВИСАЙДА 102 -124
3.1. Запись уравнений Максвелла в векторной форме 102 -111
3.2. Общее решение уравнений Максвелла Хевисайдом 111 -118
3.3. Вектор потока электрической энергии и его интерпретация в операционной и кватернионной формах 118 -124
ГЛАВА ІV. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ИДЕЙ ХЕВИСАЙДА В ОБЛАСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ В ТВОРЧЕСТВЕ СОВЕТСКИХ И ЗАРУБЕЖНЫХ МАТЕМАТИКОВ 124 -138
4.1. Развитие идей операционного исчисления Хевисайда в работах Н.М.Крылова,Н.Н.Боголюбова и их учеников 124 -133
4.2. Развитие идей Хевисайда в творчестве зарубежных математиков 133 - 137
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 137
БИБЛИОГРАФИЯ 138-154
ПРИЛОЖЕНИЯ 155-160
- Образование, научное сотрудничество с Ч.Уитстоном
- Операционное исчисление Хевисайда
- Запись уравнений Максвелла в векторной форме
Образование, научное сотрудничество с Ч.Уитстоном
О жизни гениального английского математика, физика и инженера конца XIX и начала XX века О.Хевисайда известно мало: некоторые сведения обнаружены учеными в.архивах. Англии, другие - в письмах его друзей, его современников. Поэтому представляются понятными встречающиеся противоречия и.различные версии. французский ученый М.Дж.Бетенод в 1918г. писал:"...Я имел счастье переписываться с ним на протяжении семи лет. За это время я узнал немного о жизни, творчестве великого ученого. Я думаю, что публикация некоторых собранных сведений воздаст дань уважения памяти Оливера Хевисайда, подчеркивая замечательный пример жизни, полностью отданной науке - такой редкостный пример в истории человечества" f 5,c.232].
О.Хевисайд родился в Лондоне 18 мая 1850г., Кинг-стрит 55, Камден-Таун.( место и дату рождения О.Хевисайда уточнял Р.Эпплярд, так как у некоторых авторов встречается дата.рождения - 13 мая ), в семье талантливого гравера-краснодеревщика, чертежника и художника-акварелиста Томаса Хевисайда. Его мать Элизабет Вест получила образование и право работать гувернанткой. Она прекрасно играла на фортепиано, привила любовь к музыке своим детям ( у семьи была традиция - посещать по праздникам и воскресным дням музыкальные вечера ). Дядя Хевисайда .известный физик, инженер-телеграфист, профессор Лондонского Королевского колледжа Чарльз Уитстон заметил все -стороннюю, одаренность племянника и старался всячески развивать ее. О.Хевисайд унаследовал талант художника .от деда, отца и дяди, музыкальную одаренность от.матери и аналитический склад ума от Уитстона,
Дж.Ли [160]пишет, что Хевисайд учился в закрытой школе для привилегированных мальчиков. Е.Т.Уиттекер [204] сообщает, что начальное образование 0.Хевисайд и его братья Герберт, Артур,Чарльз получили дома. 0.Хевисайд продолжил учебу в школе, которую открыла для бедных девочек его мать/204,с.200.7. Оливеру не хотелось посещать такую школу, но отец силой заставил его учиться. У него сложились противоречивые впечатления о школе, учителях. В 1865 г. он сдавал экзамены по 13 предметам: английскому, латыни, математике, физике, химии, географии и другим. Набрал 1140 баллов из 2600 возможных. По количеству набранных баллов 0.Аевисайд вышел пятым. Вместе с тем он завоевал специальный приз за лучшие знания естественных наук. Однако по геометрии Эвклида знания ОДевисайда оценены лишь в 15$ баллов. Такая низкая оценка знаний объясняется скорее тем, что его личное мнение не совпадало с мнением учителя.Позже, в 1912г., 0.Хевисайд писал:"На мой взгляд,геометрия более экспериментальная наука, чем другие,и ее надо изучать экспериментально" [160,с.II) .
С детства его мучили проблемы, для решения которых необходимы были знания, и практический опыт. Например, одна из них - можно ли. сделать такую батарею, чтобы внешнее сопротивление было равно внутреннему Наиболее важной была мысль о бесконечности вселенной, о том, что солнечная система является атомом в огромной вселенной, с одной стороны, а обычный атом ЯЕЛЯЄТСЯ вселенной - с другой стороны [204, с.199].
Ч.Уитстон помогал Хевисайду глубоко изучать вопросы электричества, магнетизма, математики,знакомил его со своими работами в области телеграфа. Под его руководством Хевисайд проделал опыты по электричеству, магнетизму, изучил азбуку Морзе, сделал батареи,так необходимые ему для опытов( одну из них подарил своему отцу ).
Школьная программа и методы.изучения многих предметов не удовлетворяли пытливый ум Хевисайда. По совету Ч.Уитстона он оставляет школу в 1866г. и начинает самостоятельно изучать естественные науки, датский и немецкий языки. Его самообразование было направленным. Видимо, Уитстон помогал.ему выбирать материалы для изучения и составлять программы самообразования. Влияние дяди было огромным, и Хевисайд,пытаясь подражать дяде и работать вместе с братом Артуром, в 1868г. поступает на службу в Большую Северную те -леграфную компанию. Он. выполняет работы по изучению сигнализации через разнородные контуры.между Ньюкасл-апон-Тайном и Данией. Хевисайд обнаружил, что скорость сигналов, передаваемых из Англии в Данию, на 20-40$ выше скорости сигналов в обратном направлении.Такие же случаи.наблюдались в телеграфных линиях Лондон-Амстердам, Лондон-Дублин. Для него, как и для других телеграфистов того времени, наблюдаемое явление было.загадкой. Гораздо позже он понял причину, предложил способы устранения такой разницы и дал рекомендации по их предупреждению [95,98] .
Операционное исчисление Хевисайда
Как упоминалось выше, Хевисайд самостоятельно изучил математику того времени, умел применять методы Фурье, Тейлора, Эйлера, Коши, Лапласа, Бесселя, операторы Гамильтона и Лапласа и математический анализ, интегральное и дифференциальное исчисления. Однако, работая над решением многих практических и теоретических проблем телеграфа, телефона, а также проблем, вызванных развитием математики, физики, математической физики и электротехники, он заметил, что многие методы классической математики непригодны для их решения. Поэтому он ставит перед собой задачу - создать новый метод, который упростил бы решение многих практических вопросов физики, теплотехники, математической физики, электротехники, телеграфа и телефона. Ему одному из первых удалось создать операционное исчисление, основными методами которого были: метод степенных рядов, теорема разложения, единичная и импульсная функции, метод дробного дифференцирования, "импульсная" теорема. Это исчисление, систематически совершенствуясь, стало одним из направлений прикладной математики конца XIX века. В арсенале математических методов Хевисайда не только операционное исчисление, но и векторный анализ, который введен им в физику ( одним из первых записал уравнения Максвелла в векторной форме ). Хевисайд обобщил и расширил области применения интегралов Эйлера, показательной функции и применил в электромагнитной теории.
Чаще всего в работах.Хевисайда встречаются.методы Фурье:"... иногда мой метод ведет к решениям гораздо проще, чем метод Фурье. Может показаться, что я недооцениваю и стараюсь заменить его работу. Но ничего подобного...Никто не восхищается Фурье так, как я. ...Анализ Фурье положен в основу операционного метода (142,с.32] и [54,с. 166]. , ... . Хевисайд создал метод для упрощения решения дифференциальных уравнений обыкновенных и в частных производных. Он использовал символ р. для обозначения оператора дифференцирования, р - оператора интегрирования. Если я. функция t t то
Уравнения будут справедливы, если:.1).при t o, f(t)=o ,2). если
функция х- Н \ равняется при t o нулю, и изменяется при -o скачком .от нуля до конечной величины, то интегрирование надо начинать не с момента М , а на бесконечно малую долю времени раньше. JJ3] Он .считал, что операционное исчисление должно быть использовано для .получения практического метода.решения дифференциальных уравнений непревзойденной компакт.ности. .
Хевисайд решал дифференциальные уравнения,не применяя интегрирования. Он превращал дифференциальное уравнение
В алгебраическое ( операционное находил интересующую величину как функцию от оператора;
Затем разложил в ряд по убывающим степеням р выражение в скобках В полученное выражение ввел замену Далее я. кратное интегрирование заменил обратной функцией факто риала откуда следует; или (2.4) можно записать
С - ток, R - сопротивление, е - напряжение, і - индуктивность. Карсон, сравнивая два ряда (2.3а) и (2.4), заметил, что операторный ряд может быть преобразован в явное решение путем замены через . Это положение, полученное индуктивным путем, составляет основу решения Хевисайда при помощи степенных рядов [8]. Операционное уравнение может быть преобразовано в явное решение лишь.в том случае, когда найдено подходящее.разложение в ряд первообразной функции или ее обратной величины. При написании опера-ционного уравнения и его преобразования в явное решение можно совершенно не. принимать во внимание начальные условия. В этом состоит большое преимущество операционного исчисления. Начальные условия автоматически учтены в предположении, что рассматриваются ус -ловия равновесия [8,с.34]
Запись уравнений Максвелла в векторной форме
Д.К.Максвелл опубликовал свой "Трактат об, электричестве и маг нетизме" в 1873 году. Он основан на идеях Фарадея об электричес - ком и магнитном, полях, а также на обобщении законов, установлен - ных экспериментальным путем до 60-х годов XIX века,и представляет законченную теорию единого электромагнитного поля, созданного сис темой зарядов.и.токов. . Хевисайд, вопреки мнениям современников, .воспринял теорию Максвелла"...как величайшую из всех существующих об электромагнетизме", глубоко .изучил ее и.стал пропагандировать с 1874 года, а немного позже начал .цикл исследований.по.систематизации теории и применения ее к явлениям электромагнитной индукции. Этой работе подготовлена математическая основа - векторный анализ, введение им жирной печати для записи векторов, с последующим введением его в физику. В работе [II5J-S 1885г. Хевисайдом впервые записаны уравне -ния Максвелла в векторной форме: Вспомагательные уравнения, исключающие униполярный магнетизм,записал в работе [l22,c.I3l] ctiirb = 0 (3.7) и позже уравнение cUv-V tinp (3.8).. В работе [l22,c.I3lJ Хевисайд отметил, что уравнение (З.б) записано, как естественный компаньон уравнения (3.4), и считал его "наиболее важной линией" своей схемы ( действительно, у Максвелла такой записи уравнений не было ). .В работе [115] Хевисайд записал два вихревых уравнения (3.4) и.(З.б), замечая:"Мы должны заменить магнитную силу на электрическую, взятую отрицательно, а электрический ток на магнитный ток", причем ток применяется-в максвелловском смысле, включая члены,производные по времени. Предполагается, что ток смещения делает та -кую форму возможной. "Электрический ток смещения для нее был той самой вещью, которая была необходима для координации электростатики и электрокинетики и для того, чтобы последовательно согласовать уравнения электромагнетизма [2]. Хевисайд даже пользуется симметрией для обобщения уравнений Максвелла: он явно вводит член с магнитным током проводимости ( физически несуществующая величина ), чтобы уравновесить член с электрической проводимостью и таким образом сделать уравнения полностью симметричными, за исключением знаков, несмотря на признание, что "...вероятно, не существует такой вещи, как магнитный ток проводимости с диссипацией энергии" 37,0.441]. В работе [140] Хевисайд рассматривает эту симметрию как вспомагательное средство при расчетах, основанных на уравне -ниях Максвелла "...этот метод трактовки электромагнитной схемы Максвелла, употребляемый в тексте ( впервые введенный в статье "Электромагнитная индукция и ее распространение") может быть на -зван "дуплекс-методом", так как он характеризуется выявлением электрических, магнитных и электромагнитных соотношений в двойной форме, симметричной относительно электрической и магнитной сторон. Но это не просто метод выявления скрытых ранее соотношений путем введения вектор-потенциала и паразитных формул, а представляет собой также и рабочий метод". Введение симметрии приписывалось многим ученым, в том числе Максвеллу, Хевисайду, Кемпбеллу, Герцу. Только исследования работ , этих ученых дали возможность отдать предпочтение в нововведении О. Хевисайду. Так, А.Борк [2] в работах П.Дюгема нашел следующее: ". ..Максвелл внезапно вводит это (ток проводимости ) недостаточно подготовленное понятие, в противоположность тому, что можно было бы ожидать от французского или немецкого физика. Он утверждает, что этот ток смещения был введен Максвеллом для того, чтобы дополнить определение свойств диэлектрика cwL кос .... [он] имеет некоторые близкие аналогии с током проводимости" [2,с.314].
