Введение к работе
В процессе развития математики любая теория оказывается свя-анной с другими, иногда весьма удаленными по своему содержанию методам. Такие связи возникают в различные периоды времени, од воздействием самых разных причин. Спустя некоторый срок некоторые из них перестают быть заметны или утрачиваются совсем, .оскольку в них отпадает необходимость, а некоторые становятся ітправной точкой для новых математических теорий. Совершенно
ІСТЄСТВЄННО, ЧТО Изучение ОТДеЛЬНОЙ ТеорИИ. ИСТОРИИ ЄЄ В08НИКНО-
іения и развития возможно проводить лишь в ее взаимосвязи с дру-'ими областями.
В полной мере это относится к теории симметрических функций, face первый взгляд на нее позволяет понять, что она связана со ішогими разделами математики: алгебраической теорией уравнений, теорией чисел, комбинаторикой, представлениями групп, теорией инвариантов. Один из важных вопросов заключается в том, как мог-по случиться, что теория симметрических функций получила столь широкую "географию" применений, как происходило ее возникновение и развитие. »
Дж.К.Рота , цитируя Хигмана, отмечает, что "каждое поколение вновь открывает их [симметрические функции] и излагает на новейшем жаргоне. Сегодня это К-теория, вчера - категории и функторы, а позавчера - представления групп. За этими и некоторыми другими привлекательными теориями стоит один неиссякаемый источник - заурядное, грубое определение симметрических функций и тождества, которым они удовлетворяют".
Как известно, сашатдаческоЗ называют функцию от нескольких аргументов, которая не изменяет своего значения при произвольных перестановках аргументов., Принято выделять несколько часто
1. Мао Mahon P. A. Collected papers, ed. S. Е. Andrews, Massachusetts Institute of Technology, Vol. 1 - 1978, Vol. 2 -1986. Cambridhge. Massachussets. London, серия "Математики наое-го времени", общая ред.. предисл. ДхК.Рота. с. па.
испольвуеыых классов симметрических функций. Пусть л - разбиени произвольного целсго числа Л на слагаемые: А ** (и/Аг — лп) Тогда мономиальные симметрические функции - это многочлены о переменных Х{ вида
А - 2Z хіх х1л ... xin j ^ОлЛ
элементарные симметрические функции:
полные однородные симметрические функции:
где сумма берется по всем возможным разбиениям А числа fl ; степенные суммы: .
»
выделяют и другие классы симметрических функций, например, функ ции Щура.
Существуют соотношения, которые связывают между собой раз личные классы симметрических функций.. Например, соотношение, на вываемое рекуррентной формулой Ньютона:
і». * а, з„_, + ... + /»ад«.(? ,
Основная теорема теории утверждает, что любая симметрическа функция может быть выражена через элементарные, другими словами элементарные симметрические функции образуют базис в алгебр симметрических функций. Несложно показать, что любой из назван ных выше классов симметрических функций также образует базис.
По сути, сказанное выше представляет собой краткое описан» теории симметрических функций. Очевидно, что в "чистом виде" ОЇ вряд ли смогла бы претендовать на значительное место в ряду другими, математическими теориями. Все основные ее достоинств состоят в большом числе приложений, которые возникали в разлив ные периоды времени, н оказывались важны для определенного мс мента развития математической теории.
Актуальность темы связана, прежде всего с тем, что в исторі
развития симметрических функций имеется еще довольно много страниц, которые могут быть использованы современными математиками. Это подтверждается частыми обращениями комбинаториков (Рота, Стенли, Эндрюс). к наследию Е А. Мак-магона, алгебраистов к результатам Якоби. Щура, КНга по теории представлений, и т.п. Часто такие обращения затрагивают и историко-математический материал, который однако оказывается .трудно доступен и поэтому почти всегда недостаточен для ответов на конкретные вопросы.
Де ль работы состоит в том, чтобы:
исследовать, какие проблемы и математические теории стали основой для возникновения симметрических функций:
изучить содержание теории в различные периоды ее становления и развития, возникновение основных понятий, постановку проблем и используемые методы:
проанализировать свяэи симметрических функций с другими математическими областями: как они возникли и развивались;
в частности, выяснить роль, которую сыграли симметрические функции в ХІХ-ХХ вв. в комбинаторном анализе, начиная от работ Мак-Шгона
И, наконец, общей целью работы является изучение места теории симметрических функций в процессе развития математического знания, в различные периоды и под воздействием различных причин.
Методы исследования, используемые в диссертации, включают в себя:
историко-научный анализ работ, в которых изучаются симметрические функции, и их применения к решению различных математических проблем в разные периоды времени,
историко-методологический анализ развития теории симметрических функций во взаимосвязи с развитием других теорий,
обзор современного состояния теории и областей ее использования.
Научная новизна История развития, симметрических функций еще не была предметом целенаправленного изучения. Некоторые важные вопросы поднимались, но в связи с исследованием других более общих либо специальных нсторико-математических вопросов.
Следует выделить работы И. Г. Башмаковой ' ' , А. П. Шке-вича *л а также работу R А. Никифоровского Л в которых освещался процесс возникновения симметрических функций и их использования для нахождения корней алгебраических уравнений (XYII-XYIII в.в.).
Вопросы развития симметрических функций в XIX в. не изучались, хотя довольно подробные сведения автору удалось почерпнуть в ряде курсов по алгебре и теории чисел, изданных в XIX веке, в частности в "Курсе высшей алгебры" ЕА.Серре Р , работе "Элементы теории уравнений" JL Е. Диксона v , "Теории чисел" Е. Доки
, а также в математических энциклопедиях i0" **' , изданных на рубеже XIX-XX веков.
Названные издания помогли нам определить направления исследований, проведенных в настоящей работе, а также оказали некоторое влияние на ее содержание. Так, ыы сочли возможным не повто-
-
Бапмакова JL Г. О некоторых особенностях развития алгебр ХУШ века/ Иот.-ыат. исследования, вып. 17. Ы.: Наука. 1Є66.
-
Еашмакова И. Г. О доказательстве основной теоремы алгебрь Ист.-мат. исследования, вып. 10, Ы.: Наука, 1957.
-
Еашмакова И. Г. Алгебраические уравнения у Ньютона и Варив га/ Ист.-мат. исследования, вып. 12. Ы.: Наука. 1959,
-
История математики с древнейших времен до начала XIX векг Под ред. Шкевича А.П./ VL: Наука, т.2. 1970.
-
Ннкифоровский а А. Из истории алгебры ХУІ - XYII ві Ы.: Наука. 1979.
-
Serret J. A. Algebre super!euro, 2Aufl - Leipzig, 1878. 5< - Paris. 1885. На русск. яз. - перевод Ю. Н. Росевича. под pej Л. А. Левенстерна. С.-Петербург-Москва, год изд. не указан.
-
Dickson LE. Elements theory of equations. 1914.
-
Lucas E. Theorle des nombres. Paris, 1891.
-
EncyVdopadV
-
Encyclopedic des sciences mathematlque pures appliques, t. 1, v. 2-3, 1907-1908.
рять подробного изложения Диксона v , относяадэгося к прилогязни-
ям симметрических фунгацій к теории чисел, поскольку работа
Диксона исчерпывающе раскрывает эти вопросы, доступна для любого
исследователя. Есть и другие особенности, которые мы отметин ни-
иэ. *
Приведенные в настоящей работе выводы, полнота рассмотрения процесса развития теории являются новыми, нигде ранее не встречавшимися, что свидетельствует о новизне настоящей работы. Автор не претендует однако на новизну сведений об используемых им фактах. Ряд исторических и методологических фактов и комментарии к ним взяты из историко-математической и математической литературы, их источники указаны в тексте.
Практическая ценность работы. Результаты диссертации могут быть исполь8ованьи
при разработке учебников, монографий, курсов по истории и методологии математики;
для дальнейших исследований в истории алгебры, теории инвариантов, теории симметрических функций, комбинаторном анализе;
в, целях получения методологических выводов из истории симметрических функций и областей математики, с которыми они связаны.
Апробация работа Штериаш диссертации докладывались:
на научных конференциях аспирантов и молодых специалистов по истории естествознания и техники ИИЕиТ АН СССР (1987,91 гг.),
на семинарах по истории и методологии математики и механики МТУ и ИИЕиТ АН СССР, .
на семинаре по комбинаторному анализу ЫГУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, перечень которых приведен з конце автореферата.
Объем работы. Диссертация содержит 145 страниц машинописного текста В списке литературы 103 наименований.
12. Dickson L. Е. History of the theory of numbers, v. 1-3, N. Y. . 1934.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литература В качестве приложения приводится также полный библиографический перечень работ П. А. Цак-ыагона.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту.
-
Решение алгебраических уравнений в радикалах являлось не единственной проблемой, которая положила начало формированию понятия симметрических функций, как это представлялось ранее. В диссертации показано, что еще в XYII веке, то есть в начальный период формирования понятия симметрической функции, это понятие появилось при изучении другой важной проблемы: подсчета числа разбиений числа на слагаемые, изучавшегося в работах Лейбница, Эйлера. Тем самым, более точно указано время возникновения связей между теориями разбиений и симметрических функций. Как известно, эти связи ^шеют длительную и яркую историю, продолжаются и в современной математике.
-
Период формирования общего понятия симметрических функций и возникновение основных контуров теории симметрических функций завершились к началу XIX в. К этому времени:
появились представления об основных классах: элементарных, полных, мономиальных симметрических функциях, степенных суммах корней;
доказана основная теорема о симметрических функциях - о возможности выразить любую симметрическую функцию через элементарные;
возникли устойчивые связи симметрических функций с алгеброй, разбиениями, другими разделами математики, что оказало влияние на дальнейшее развитие теории и ее место в ряду других теорий в последующем.
3. Связи симметрических функций с проблемой решения алгебра
ических уравнений в радикалах перестали активно изучаться в кон
це XIX в. Это было вызвано тем, что результаты теории Галуа дахи
ответы на большинство вопросов, ответы на которые ранее отыски
вались через изучение симметрических функций корней алгебраи
ческих уравнений. К этому времени симметрические функции уже
іформились в самостоятельное направление, тесно связанное с іругими разделами математики.
-
Применение симметрических функций к другим разделай мате-йтики оказалось предопределено тем местом, которое они занимали і алгебре середины XIX в.
-
Симметрические функции, наряду с операторами Хаммонда и іроизводяшими функциями, оказались одним из главных источников сомбинаторной доктрины, развитой П. А. Мак-Ыагоном в ряде работ юнца XIX в. и получившей наиболее полное изложение в двухтошш-се "Комбинаторный анализ" [М-122І, изданном в 1915-1916 гг.
