Введение к работе
Актуальность темы исследования. Метод многоугольника Ньютона позволяет находить разложения алгебраических функций ^^ У(у) , заданных уравнением вида РС^/У)-^ » гда , ft &J - полином, в ряди,' вбб'още говоря, по дробным степеням независимой переменной Ji '. Члены разложений определяются с помощью'выпуклой ломаной, которую называют многоугольником Ньютона.
Метод многоугольника сыграл важную роль в математике ХУІІ-- XIX веков. Он был создан Ньютоном в ХНІ веке первоначально-применительно к алгебраическим уравнениям от двух переменных, а затем распространен им на дифференциальные уравнения. В ХУІІІ веке этот метод приобрел широкую известность. К нему обращались такие выдающиеся математики, как Б. Тейлор /1685 - І73І/, ",s Дж. Стирлинг /1692 - 1770/, К. Ыаклорен /1698 - 1746/, Ж.-Л. Лагранж /1736 - 1813/. Особенно плодотворным оказалось использование многоугольника Ньютона в теории алгебраических кривых^ которая в ХУІІІ веке переживала бурный расцвет.
В трудах Дж. Стирлинга, Ж.-П. Де Га де Мальва Д7І2 - 1785/, Г. Крамера /1704 - 1752/ и великого Л. Эйлера /1707 - 1783/ '":";. метод многоугольника стал широко применяться для изучения особых точек, касательных и бесконечяых ветвей алгебраических краевых. XIX век характеризуется тем, что в это время формируется теория функций комплексного переменного. Особую важность приобрело изучение многозначных, в частности, алгебраических функции. Основы теории алгебраических функций заложил*В. Пюизе /1820 - 1883/. Метод многоугольника Ньютона у Пшзе стал одним из основных инструментов исследования таких функций. История дальнейшего развития метода многоугольника в XIX веке связана с именами целого ряда выдающихся ученых, таких как Ш. Врио, К. Лиувилль, К. Гензелъ, Н.В. ЗЗугаев. Активный интерес к методу шогоугольккса и его обобщению - многограннику Ньютона - сохраняется и в настоящее время.
История многоугольника Ньютона изучена недостаточно. Ряд зведений о развитии этого метода имеется в работах А, Брилля и її. Нетера, Г. Вилейтнера, А.П. Юшкевича, А.И. Маркушевича» в ;борнике tJfi'Hcd, d'A^iocze dci ггг&АиъисЬсагШ ffOO-fffOo" под редакцией Ж. Дьедонне, а также в некоторых других работах. Однако эти сведения изложены конспективно, Наи-іолее полным исследованием, посвященным применению многоуголь-
ника Ньютона в различных областях математики, является статья Н.Г, Чеботарева "Многоугольник Ньютона и его роль в современном развитии математики" /1943/. Но и в ней пропущены многие интересные факты из истории этого метода, т.к. с рядом книг Чеботарев не мог ознакомиться. Кроме того уже в 70-е годы XI века Д. Уайтсайд издал собрание рукописей и черновиков Ньютона, что позволило по-новому взглянуть на творчество Ньютона в целом.
Гаки/ образом тема выполненного историкс-матемагического исследования является весьма актуальной.
Пель работы. I. Провести анализ всех имеющихся соянений Ньютона, где трактуется метод многоугольника.
-
Проследить историю развития этого метода и применения его в теории алгебраических кривых в ХУІІІ веке.
-
Показать роль метода многоугольника при создании теории алгебраических функций е XIX веке, а также рассмотреть обобщения его русскими математиками.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Они состоят в следующем:
1. В историкс-математической литературе до сих лор отсутствовал анализ всех сочинений Ньютона, где трактуется метод многоугольника. В диссертации проведен такой анализ и показано следующее. Идея метода многоугольника высказана Ньютоном г- 1669 году в работе -ЛпаЛ^іСі б&Ъ CUUHUXJrtimurn. питіґчо te.tmi-iUft/JW ihp-пііол /"Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов"/. Хотя правило многоугольника здесь явно не сформулировано, примеры Ньютона позволяют сделать вывод о том, что он уже применял этот метод.
В диссертации исследовано также знаменитое сочинение иТ&г, fiutfuvL of -ftuxCOKi OtwflMJ-lnih 4exUi/"Ue?oK флюксий и бесконечных рядов", 1670 - 1671/, в котором Ньютон впервые излагает аналитическое и геометрическое правила многоугольника для алгебраических уравнений от двух переменных. Показано, что геометрическое правило действительно поясняет аналитическое и представляет собой способ построения первой стороны многоугольника.
Кроме, того дан анализ писем Ньютона к Валлису от 1692 года,
где метод многоугольника был применен к дифференциальным урав
нениям вида (jj^~!t)in) cju*j>...x^y*" ~ Показано,
что аналитическо'е'правило Ньютона для таких уравнений соответ-
ствует построению только первой стороны многоугольника. Геометрическое правило у Ньютона в данном случае отсутствует.
-
До настоящего момента в историко-математической литературе, посвященной метод;; многоугольника, не было удовлетворительного анализа и 'Pl&tUoctuA ІнСЧлпип^о^си^У"Мэтод приращений", 1715/ Б. Тейлора. В диссертации изучено гто сочинение и установлено, что Тейлор впервые распространил геометрическое правило многоугольника на дифференциальные уравнения того же вида, что и у Ньютона, причем строил многоугольник полностью. Высказано предположение, что это собственная идея Тейлора. Установлено также, что Тейлор доказал, что показатели возможных первых членов искомых разложений определяются наклоном сторон многоугольника.
-
Ранее в историко-математической литературе о многоугольнике Ньютона имя В.Я. С^авесанда не упоминалось. В диссертации показано, что Гравесанд изложил и прокомментировал геометрическое правило многоугольника в книге ц7%х&ш>> Ltnlvtt-
/"Элементы универсальной математики", 1727/. Благодаря его книге это правило получило более широкое распространение.
-
До сих пор не была ясна роль метода многоугольника в теории алгебраических кривых в 2УІІІ веке. Б этой связи упоминались имена Дж. Стирлинга, Ж.-П. Де Га де Мальва и Г. Крамера, но их работы не были достаточно освещены. Отсутствовало также сравнение их результатов. В диссертации рассмотрено сочинение Дж. Стирлинга tl аСслгаг. -t&ttct- OXCUrUl A'&lst&HtQhtCieJ' /"Ньютоновы кривые третьего порядка", 1717/ и показано, как именно Стирлинг начал применять метод многоугольника при изучении бесконечных ветвей и асимптот алгебраических кривых.
-
Ж.-П. Де Га де Мальв в книге ^бйди dz ?(2И&&Ш-ах. "Ck^OCutixil"Применение анализа Декарта"/ , изданной в 1740 году, стал использовать метод многоугольника более широко. Установлено, что посредством этого метода он не только получил новые результаты относительно бесконечных ветвей и асимптот алгебраических кривых, но и впервыо исследовал их особые точки и касательные. Убеждение Де Га в том, что при исследовании кривых остаточно одного только первого члена разложения *. по степеням X , было ошибочным. . /А *
-
Изучен фундаментальный труд Г. Крамера kJntwCW&tiOI* а \}0;МкЬ№ <к* Щп*& СЫгф*. яМАіреА-5, " /"Введение
в анализ алгебраических кривых", 1750/. Показано, что в этом сочинении метод многоугольника стал основным инструментом исследования алгебраических кривых. Г. Крамер развил идеи Де Га, указал на его ошибку и получил ряд новых результатов. 3 диссерта- ( цш приведена сравнительная таблица результатов Де Га де Мальва, Крамера и Эйлера.
7. Йытует їочка.зрения, что Л. Эйлер не применял метод мно
гоугольника. Однако sto не так. В диссертации исследовано сочи-
нение Л. З&тра^Тл^^і^тг^ Оіш^ ^Щкгеф?^і Мс&Ж"
/третья часть "Дифференциального исчисления"/, которое создавалось около 1750 года, но увидело свет лишь в 1862 году. Показано, что Эйлер применил метод многоугольника з теории алгебраических кривых. Он детально рассмотрел, как соотносится наклон стороны многоугольника Ньютона и расположение касательных к кривой в точках с абсциссой У.^-0 или же асимптотой этой кривой. Асимптоты кривой ^ **gf0O при у -^=»о Эйлер считал касательными в бесконечно удаленной точке.
-
Весьмаплодотворным стало применение многоугольника Ньютона при создании теории алгебраических функций в XIX веке. Основы этой теории задожил В. Пюизе. До недавнего времени работы Пюизе оставались в тени. А.И. Маркушевич дал их историко-ма-тематический анализ, но как именно Пюизе применял метод многоугольника, Маркушевич не разбирал. Б диссертации рассмотрена / статья Пшзе „ /ItoJk-tQhU -НП <&А Jbt&k&fiJ ufyifotfWdJ ' /"Исследования об алгебраических функциях", 1850/ и установлено, что он исследовал поведение алгебраических функций в окрестности их особых точек, .разлагая эти функции в ряда по степеням независимой переменной методом многоугольника. Он показал, что если функция ^U^tt-f^) задана нещэиводимым алгебраическим уравнением от tf, : .степени ҐН. относительно "2 , .то этим методом получаются все /? искомых разложений. Пюизе доказал, что функции ^/4 »'^,4), представлешше в окрестности точки Zb—O— этими разложениями, образуют циркулярные системы. Функции каждой такой системы можно занумеровать так, что при обходе точкой В достаточно малой окружности с центром &==*. значения этих функций претерпевают циклическую перестановку. Кроме того в диссертации рассмотрено доказательство Пюизе сходимости разложений, полученных методом многоугольника.
-
Рассмотрены обобщения метода многоугольника русскими математиками Н.В. Бугаевым и'Д.М. Синцовым. Показано, что Бугаев
не только обобщил его на систему двух алгебраических уравнений с тремя неизвестными, но и применил для разложения на множители полинома от двух переменных. Бугаев привел свое правило только в аналитической форме, а геометрическую интерпретацию этого правила дал Синцов.
Практическая реализация. Результаты диссертации могут быть использованы:
для дальнейших исследований в области историк теории функций комплексного переменного и смежных дисциплин;
при разработке учебников, монографий, учебных пособий по истории и методологии математики;
при чтении курсов истории математики в университетах и педагогических институтах.
Апробация. Материалы диссертации докладывались:
на XXXIII и ХХХІУ научных конференциях аспирантов и молодых специалистов в Институте истории естествознания и техники Рос-cij-іской академии наук в Москве /1991, 1992. гг./;
на научно-исследовательском семинаре по истории и методологии математики и механики в МГУ Д987 - 1991 гг./.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, изложенных на 149 страницах машине- писного текста, а также списка литературы из 104 наименований.
