Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Обзор основных численных методов исследования течений разреженного газа 16
1.1. Кинетические методы 16
1.2. Континуальные методы 19
ГЛАВА 2. Математическая модель 24
2.1. Связь функции распределения молекул и макропараметров газа 24
2.2. Уравнение Больцмана 25
2.3. Связь уравнений сохранения и уравнения Больцмана 26
2.4. Моментный метод Грэда 28
2.5. Система уравнений R13 для потока газа 32
2.6. Система граничных условий для R13 на твёрдой стенке с заданной температурой 38
ГЛАВА 3. Численный метод 41
3.1. Численный метод системы уравнений R13 41
3.2. Численный алгоритм для моделирования граничных условий на твёрдой стенке с заданной температурой 44
ГЛАВА 4. Тестирование
4.1. Тестирование численного моделирования течения в отсутствии стенок 48
4.1.1. Структура ударной волны 48
4.1.2. Взаимодействие ударной волны с неоднородностью 58
4.2. Тестирование граничных условий в газодинамическом режиме 60
4.2.1. Нарастание пограничного слоя на пластине в газодинамическом режиме 60
4.2.2. Течение Пуазейля в газодинамическом режиме 62
4.3. Тестирование граничных условий в переходном режиме течения 64
4.3.1. Течение Пуазейля в умеренно разреженном газе 64
4.3.2. Течение Куэтта в умеренно разреженном газе 67
4.3.3. Течение в каверне 70
ГЛАВА 5. Образование ударно-волновых структур от наносекундного разряда в гелии 73
5.1. Постановка эксперимента 73
5.2. Численная модель и результаты 75
ГЛАВА 6. Течение газа в микро-насосах 81
6.1. Функционирование насоса Кнудсена 81
6.2. Функционирование системы каналов Кнудсена 86
6.3. Функционирование многоступенчатого микро-насоса
6.4. Функционирование микро-насоса, работающего на граничном тепловом эффекте 89
7. Заключение 91
8. Приложения 93
8.1. Симметричный тензор и девиатор 93
8.2. Линейный и нелинейный варианты A, i?y и тг]к 94
8.3. Якобиан для граничной процедуры 95
9. Литература 106
- Континуальные методы
- Связь уравнений сохранения и уравнения Больцмана
- Численный алгоритм для моделирования граничных условий на твёрдой стенке с заданной температурой
- Тестирование граничных условий в газодинамическом режиме
Введение к работе
Актуальность работы
В настоящее время активно развиваются технологии, связанные с разработкой микро-электро-механических систем (MEMS) для широкого спектра применений, в том числе и устройств, в которых реализуются микро-и нано-течения [1]. Вопросами течений среды на микро- и нано- уровнях занимается специальный раздел газодинамики, а именно: газодинамика микро- и нано- течений.
Течения газа в миниатюрных устройствах имеют часто малую скорость, малое число Рейнольдса и являются при этом неравновесными (разреженными) течениями. Это связано с тем, что газодинамические потоки, заключенные в объемах с малыми геометрическими размерами, проявляют особые свойства, отличные от свойств течений в больших масштабах. В качестве примеров таких особых свойств, связанных с эффектами разреженности, можно указать, например, возникновение слоя Кнудсена вблизи стенок, парадокс Кнудсена при течении в канале (зависимость массового расхода от числа Кнудсена, имеющая экстремум (минимум)), несовпадение направления вектора теплового потока с направлением, противоположным градиенту температуры, тепловое скольжение вблизи поверхности.
Такое уникальное поведение разреженных (неравновесных) течений может быть использовано при создании устройств с новыми возможностями (например: насос Кнудсена – компрессор, не имеющий движущихся частей).
Критерием, с помощью которого можно судить о появлении
существенных в данном течении эффектов разреженности, служит такой
параметр подобия течения, как число Кнудсена Kn:
(1)
Т т L Q
Число Кнудсена показывает, находится ли газ в локальном
термодинамическом равновесии с точки зрения средней длины свободного
пробега и характерного масштаба длины L для рассматриваемой системы.
В определяющем число Кнудсена соотношении Q - величина
макропараметра, представляющего интерес в данном течении: давление, температура или плотность. l - пространственное направление наибольшего возрастания.
Одна из главных проблем для описания течения газа заключается в том, что замкнутого макроскопического описания (подход, не включающий в себя кинетический уровень описания газа) течения не существует. Наибольшие сложности в макроописании течения проявляются по мере приближения средней длины свободного пробега молекул к характерным линейным размерам газодинамической системы, что влечёт за собой всё больший уход от равновесного распределения молекул по скоростям. Отсутствие термодинамического равновесия означает, что линейные соотношения для вязких напряжений и тепловые потоки (то есть соотношение Ньютона и соотношение Фурье), которые используются в системе уравнений Навье-Стокса (НС), не являются справедливыми.
Обычно для описания течения газа в “нормальных” условиях
используется континуальное описание среды (модель сплошной среды),
основанное на уравнениях НС. Однако с условиями прилипания газа на
стенке эта модель справедлива для режимов течения, характеризуемых
диапазоном чисел Kn<10-3 (кроме медленных неизотермических течений). По
мере уменьшения характерных размеров задачи и с приближением к
масштабам течений в микро- и нано-устройствах реализуется режим течения
со скольжением на стенке (10-3<Kn<10-1). При этом течения,
соответствующие начальному участку этого диапазона, могут
моделироваться уравнениями НС, но с использованием модифицированных
граничных условий на стенке, а именно: c условием скольжения на стенке и
условием скачка температуры. При этом применение этих граничных
условий не позволяет адекватно моделировать течение и теплопередачу газа
в переходном режиме. В целом, и основная часть режима скольжения, и
переходный режим течения от континуального к свободномолекулярному
при 10-1<Kn<10, не могут быть адекватно описаны как течение
квазиравновесной среды, то есть как течения с функцией распределения,
близкой к равновесной. Также следует отметить, что большинство микро- и
нано-устройств (размер которых порядка от сотен нанометров до сотен
микрон) на практике работают в достаточно широком диапазоне значений
чисел Кнудсена в различных частях этих устройств. Например, микросопла
работают в режиме, когда в камере сгорания, трансзвуковой части и ядре
потока сверхзвуковой части сопла реализуется континуальный режим
течения, а вблизи стенок, на кромках среза сопла, в зонах больших
градиентов ударно-волновых структур и начальной части струи реализуется
режим скольжения и переходный режим. В дальнем же поле струи может
наблюдаться и свободномолекулярный режим течения. Разнообразие
режимов течения делает более трудным моделирование течений в таких
устройствах и приводит к необходимости либо использовать разные модели
среды в разных зонах расчетной области с необходимостью сопряжения
(состыковывания) разнородных решений на границах зон, либо к
использованию универсальных подходов для всей задачи, что не всегда
является оптимальным подходом. К таким универсальным подходам, при
которых все режимы течения рассчитываются с помощью однородных
кинетических алгоритмов, относятся моделирование неравновесных течений,
основанное на прямом решении уравнения Больцмана [2-4] или модельных
уравнений [5-9], прямой метод статистического моделирования (метод Монте-Карло) [10,11] и метод молекулярной динамики. Однако, для низкоскоростных течений газа в пространственных областях получение точного решения кинетическими методами затруднено и часто находится за пределами возможностей современных вычислительных средств (так например, методы прямого статистического моделирования Монте-Карло (ПСМ) обладают в таких условиях большим статистическим разбросом, а методы решения уравнения Больцмана и молекулярной динамики очень требовательны к вычислительным ресурсам в случае малых чисел Кнудсена). Тем не менее, отсутствие достаточного количества экспериментальных работ в области неравновесных (разреженных) течений в переходной области приводит к необходимости при разработке новых подходов к моделированию микро- и нано-течений опираться на расчеты по кинетическим моделям как на независимые тестовые примеры.
Определенной альтернативой кинетическим (молекулярным) методам при расчетах течений в переходной области являются два подхода. Первый – это группа методов макро-моделирования, то есть методов, использующих те или иные континуальные модели. К ним относятся методы расширенной газовой динамики (extended gas dynamic), например: моментные методы [12-14], газокинетические методы [15,16] и т.д.
Другой альтернативный путь - группа методов мезомоделирования, к которым относятся методы решетчатого газа Больцмана (Lattice Boltzmann Method) [17-19].
Оба данных макро- и мезо- подхода имеют то преимущество перед кинетическими микроподходами, что они вычислительно более эффективны. В настоящее время макро- и мезо- подходы продолжают развиваться и находятся в фокусе внимания современных работ по моделированию
неравновесных разреженных течений. В данной работе мы остановимся на моментном методе.
В 1949м году Грэдом был предложен моментный метод [12,13]. С помощью уравнения Больцмана выводится система моментных уравнений, которая записывается относительно макропараметров течения газа. Такая бесконечная система уравнений оказывается эквивалентной основному кинетическому уравнению Больцмана при любом режиме течения. Для получения конечного числа уравнений необходимы дополнительные замыкающие соотношения. С помощью усечения бесконечной моментной системы в [12] Грэдом была получена система из 13 моментных уравнений.
Позже, однако, было показано, что моментный метод Грэда имеет ряд недостатков [13,20]. В случае конечного радиуса взаимодействия молекул ряд по полиномам Эрмита, представляющий функцию распределения в ударной волне, не сходится. Это приводит к появлению нефизических скачков в газодинамических параметрах в сверхзвуковых течениях при числе Маха большем, чем M=1.65 [21,22].
В данной работе для моделирования течений газа используется
регуляризированная тринадцатимоментная система Грэда (R13),
предложенная в [14]. Регуляризация оригинальной системы Грэда заключалась в ином варианте усечения моментной системы. В результате этого в 13-моментной системе уравнений моменты более высокого порядка (по сравнению с плотностью, скоростью, напряжениями и тепловым потоком) были выражены через уже существующие тринадцать моментов системы уравнений (плотность, три компоненты скорости, шесть компонент симметричного тензора напряжений и три компоненты теплового потока) новым способом [14].
Постановка задачи
1. Разработка численной модели для решения системы моментных
уравнений
2. Разработка и реализация нового метода численного
моделирования граничных условий для твердой стенки для системы моментных уравнений
3. Исследование применимости моментных уравнений для
моделирования эффектов неравновесности (эффектов
разреженности) газа
4. Исследование появления экстремума в полной температуре в
задаче о структуре ударной волны для одноатомного газа при решении уравнений R13
5. Исследование влияния геометрического фактора и эффекта
теплового скольжения в работе газовых микро-насосов
6. Исследование влияния эффектов разреженности на течение газа
при плазменном взрыве
Цели диссертационной работы
Разработка и реализация численного метода для математического моделирования газодинамических течений на основе континуального подхода (метод моментных уравнений)
Исследование физических процессов, протекающих в неравновесных разреженных газовых течениях
Исследование диапазона применимости моментных уравнений для моделирования динамики неравновесных газовых течений
Исследование динамики газовых микро-течений при
функционировании газовых микро-насосов
Исследование влияния разреженности газа при ударно-волновых и взрывных процессах
Научная новизна работы
В работе разработана и реализована оригинальная методика моделирования граничных условий твердой стенки с заданной температурой для системы уравнений R13
Произведена оценка величины температурного экстремума в структуре ударной волны одноатомного газа для решения моментной системы уравнений R13.
Проведено исследование работы микро-устройств на примере различных типов газовых микро-насосов с помощью системы моментных уравнений R13.
Исследовано влияния эффектов разреженности на газовое течение при плазменном микро-взрыве.
Научная и практическая ценность работы
Научная ценность работы состоит в детальном анализе возможности применимости регуляризированной системы уравнений R13 для численного моделирования и исследования для газовых течений газа как в газодинамическом режиме так и в переходном режиме. Важным результатом диссертации является исследование газовых микро-течений, возникающих в результате плазменного микро-взрыва и во время работы микро-устройств на примере микро-насосов на основе разработанного программного комплекса.
Результаты работы могут быть применены в качестве рекомендаций
при исследовании течений газ с наличием умеренной неравновесности,
связанной с эффектам разреженности. Предложенный программный комплекс может быть применён и для медленных течений, и для течений, близких к гиперзвуковым.
Основные положения, выносимые автором на защиту:
1. Программный комплекс для численного моделирования течений
одноатомного газа в широком диапазоне чисел Кнудсена в двумерной постановке с различной степенью сложности геометрии на основе регуляризированной системы моментных уравнений Грэда (R13).
2. Валидация математической модели и разработанной численной схемы
на основе регуляризированной системы уравнений R13 для широкого диапазона газовых течений.
3. Результаты двумерного численного моделирования с использованием
моментной системы уравнений для распространения ударной волны по нестационарному газовому слою, образованному в результате плазменного микро-взрыва.
4. Исследование на основе моментных уравнений течений газа в микро-
устройствах на примере работы газовых микро-насосов.
Апробация работы
Основные результаты диссертационной работы были представлены автором на следующих конференциях, семинарах и съездах:
1. 3-я Всероссийская школа-семинар «Аэрофизика и физическая механика классических и квантовых систем» (Москва, 2009)
-
VIII Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях (Алушта, 2010)
-
XVII Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта, 2011)
-
4-ая Всероссийская школа-семинар «Аэрофизика и физическая механика классических и квантовых систем» (Москва, 2010)
-
X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011)
-
Вторая Всероссийская школа молодых учёных-механиков «Современные методы механики» (Нижний Новгород, 2011)
-
5-ая Всероссийская школа-семинар «Аэрофизика и физическая механика классических и квантовых систем» (Москва, 2011)
-
IX Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях (Алушта, 2012)
-
XXIII Всероссийский семинар по струйным, отрывным и нестационарным течениям (Томск, 2012)
-
28th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics (Сарагоса, Испания, 2012)
-
IX Международный Симпозиум по радиационной плазмодинамике (Звенигород, 2012)
-
6-ая Всероссийская школа-семинар «Аэрофизика и физическая механика классических и квантовых систем» (Москва, 2012)
-
10th International Conference for Mesoscopic Methods in Engineering and Science (Оксфорд, Великобритания, 2013)
-
XVIII Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта, 2013)
15. Всероссийская конференция с участием иностранных ученых
«Современные проблемы динамики разреженных газов»
(Новосибирск, 2013)
Список работ, опубликованных по теме диссертации:
По материалам диссертации опубликовано 6 статей в периодических изданиях из списка ВАК:
-
Тимохин М.Ю., Иванов И.Э., Крюков И.А. Применение системы моментных уравнений R13 для моделирования ударно-волновых газодинамических течений. // Вестник Московского авиационного института, 2010, т.17, №7, с. 80-87.
-
Тимохин М.Ю. Применение системы моментных уравнений R13 для численного моделирования газодинамических течений // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, №4 (3), с. 1168-1170.
-
Ivanov I.E., Kryukov I.A., Timokhin M.Yu., Bondar Ye.A., Kokhanchik A.A., Ivanov M.S. Study of Shock Wave Structure by Regularized Grad’s Set of Equations // Proc. of 28th Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics, edited by M. Mareschal and A. Santos, Melville, New York, 2012, pp. 215-222.
-
Timokhin M.Yu., Ivanov I.E., Kryukov I.A. 2D Numerical Simulation of Gas Flow Interaction with Solid Wall by Regularized Grad’s Set of Equations // Proc. of 28th Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics, edited by M. Mareschal and A. Santos, Melville, New York, 2012, pp. 843-848.
-
Тимохин М.Ю., Иванов И.Э., Крюков И.А. Применение системы моментных уравнений для математического моделирования газовых микротечений // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2013, №10, том 53, № 10, с. 1721–1738.
-
Знаменская И.А., Иванов И.Э., Крюков И.А., Мурсенкова И.В., Тимохин М.Ю. Образование ударно-волновых структур от наносекундного разряда в гелии // Письма в ЖТФ, 2014, том 40, №. 12, с. 81–87.
Континуальные методы
При рассмотрении газа можно говорить о трёх характерных масштабах: молекулярном (размер молекул), кинетическом (средняя длина свободного пробега молекулы между столкновениями) и характерный линейный макро-масштаб данного течения. Кинетический подход основан на кинетическом масштабе течения. Этот вариант описания оказывается наиболее универсален для исследования течений газа и в результате формально позволяет получить исчерпывающее описание состояния и динамики газа практически при любой степени неравновесности и разреженности рассматриваемого газового течения. Основанием кинетической теории газов является кинетическое уравнение Больцмана.
Уравнение Больцмана [23] (или Больцмана-Максвелла [24]) является управляющим уравнением для эволюции функции распределения молекул газа по скоростям. При выводе данного уравнения рассматриваются только парные столкновения молекул, пренебрегая маловероятными соударениями трёх и более молекул. Выводом этого уравнения Больцман пытался согласовать необратимое поведение термодинамической системы многих частиц с детерминистическими динамическими обратимыми законами движения составляющих её молекул. Дискуссии о причинах появления необратимости в основном кинетическом уравнении продолжаются до сих пор [обзор в 25,26,27].
Уравнение Больцмана имеет аналитическое решение только в ряде частных случаев ([13,28]). Численное решение же оказывается достаточно трудоёмким. При этом существует большое количество успешных попыток
Знание точной функции распределения во всём фазовом пространстве течения зачастую оказывается излишним. Обычно, главным образом, при исследовании течения, интересуют макропараметры газа (макроскопическая скорость, плотность, температура, тензор напряжений, давление и тепловые потоки). Отсюда появляется востребованность в упрощённых модификациях кинетического уравнения Больцмана. Одной из самых простых среди них является релаксационное уравнение Бхатнагара-Гросса-Крука (БГК-уравнение, [5]). Его можно получить с помощью разложения обратного интеграла столкновений в правой части уравнения Больцмана по полиномам Эрмита (например, [33]). Позже были предложены более точные модели. Такие, как модель Шахова (S-модель, [34]), эллипсоидальная модель ([33]), а также, например, модель, предложенная в недавней работе [35]. Эти, так называемые, модельные кинетические уравнения активно используются для численного моделирования различных газодинамических течений с 60-х годов двадцатого века и по настоящее время (например, [36-41]).
Другим направлением развития кинетических методов динамики разреженного газа является метод прямого статистического моделирования Мотне-Карло (ПСМ, Direct Simulation Monte-Carlo method, DSMC), который можно рассматривать как решение уравнения Больцмана. Метод ПСМ был предложен Бёрдом для моделирования стационарных задач динамики разреженных газов ([10,42]). Суть метода состоит в представлении газа набором дискретных частиц, распределённых по пространственным ячейкам. Каждая из частиц в свою очередь является представителем большого количества реальных молекул газа. Между актами соударения частицы двигаются равномерно прямолинейно. Таким образом, стационарное решение получается путём моделирования двух процессов: разыгрывания мгновенных парных столкновений моделируемых частиц и свободного пролёта частиц между актами столкновений. В дальнейшем по полученной функции распределения можно получить макропараметры газа. Такой подход формально оказывается универсален почти для любого газового течения (от континуального режима до свободномолекулярного режима). В то же время, с увеличением плотности газа метод требует сгущения сетки и увеличения количества моделируемых частиц. Поэтому применение ПСМ для геометрически сложных задач до сих пор оказывается практически не осуществимо в силу ограниченности вычислительных ресурсов. Метод ПСМ в классической постановке не применим для нестационарных газовых течений. В силу этого последователями Бёрда были предложены модернизации метода для нестационарных задач (например, [46-48]). Метод ПСМ на данный момент является мощным инструментом для научных и инженерных исследований. Его успешно применяют и для моделирования обтекания летательных аппаратов и для микро- и нано-течений газа (например, [42-49]).
Связь уравнений сохранения и уравнения Больцмана
Тогда в законы сохранения (12)-(14) входят моменты нулевого (плотность), первого (импульс), второго (тензор напряжений) порядков, а также свёртка моментов третьего порядка (тепловой поток). Аналогично получению соотношений (12)-(14) можно составить уравнения и для моментов более высокого порядка (PtJ, qt и остальных моментов более высокого порядка), взяв соответствующие весовые функции. В то же время в уравнения для моментов TV-ого порядка всегда будут входить моменты (7V+l)-ого порядка. То есть уравнение Больцмана эквивалентно лишь бесконечной системе моментных уравнений. При этом в уравнениях для моментов более высокого порядка 1(р уже не будет тождественно обращаться в нуль как в законах сохранения (12)-(14). Поэтому в моментное уравнение TV-ого порядка неизвестными оказываются и моменты (7V+l)-ого порядка, и интегралы 1(р. Следовательно, в первую очередь оказывается необходимым выразить правые части уравнений через моменты.
В силу ортогональности а(Л=0 при 7V 3. Представление функции распределения в виде (24) называют двадцатимоментным приближением, поскольку аппроксимирующая функция содержит двадцать моментов функции распределения (п, щ, т,Рі],м;]к). Двадцатимоментное приближение оказывается не очень удобным в силу отсутствия прозрачного физического смысла у моментов высокого порядка. Поэтому предпочтительней получить более грубую систему, содержащую только первые тринадцать моментов (физических макропараметров газа п, ut, T, ptj, qt), которые оказываются измеряемы и имеют ясный физический смысл. Поэтому представим функцию распределения в виде:
Система уравнений R13 для потока газа. В качестве математической модели в данной работе была выбрана модификация оригинальной моментной системы уравнений Грэда, так называемая регуляризированная тринадцатимоментная система уравнений Грэда (R13). Её вывод представлен авторами в [14]. Регуляризация оригинальной системы уравнений заключается в ином выражении моментов более высокого порядка (нежели первые тринадцать) в системе уравнений. Соотношения (замыкания тринадцатимоментой системы) для этих моментов представляются как функции тринадцати гидродинамических макропараметров и их производных. Вывод этих соотношений основан на принципе метода Чепмена-Энскога [55] разложения по малому параметру. После получения соотношений для нужных моментов данный малый параметр принимается равным единице.
В тензорном виде систему R13 можно записать следующим образом где плотность р, скорость ц, давление р, тензор напряжений ту и тепловой поток qi(i = x,y,z) составляют тринадцать примитивных переменных, четырнадцатая переменная, температура Т, связана с остальными с помощью уравнения состояния. Моменты более высокого порядка (новые члены в уравнениях по сравнению с системой Грэда [12]) имеют следующий аналитический вид:
Помимо полной системы уравнений R13, исследовалось поведение линейного варианта [78] этой системы уравнений. В линейном случае для расчёта моментов высокого порядка учитываются только члены, которые отвечают за, так называемый, градиентный транспортный механизм (gradient ( transport mechanism (GTM)) [77,79] для тензора напряжений и теплового потока. Именно эти слагаемые обеспечивают стабилизацию оригинальной системы уравнений Грэда. Остальные отброшенные в линейном случае слагаемые представляют собой, так называемый, неградиентный транспортный механизм (non-gradient transport mechanism (NGTM)) [77,79]. В линейном случае (GTM) моменты более высокого порядка будут иметь следующий вид [77-79]: Во всех соотношениях, приведённых выше, к, которая не является индексом, - постоянная Больцмана, а m - масса одной молекулы. Угловые скобки в индексах обозначают бесследовую часть тензора (см. Приложение 6.1). По повторяющимся индексам производится суммирование. Данная система уравнений была выведена для максвелловской модели взаимодействия молекул. В данной работе будет рассматриваться математическая модель, в которой за основу взята система уравнений для максвелловских молекул, где поправку для немаксвелловских молекул вводится с помощью соответствующего закона температурной зависимости для вязкости газа. Вязкость может быть определена степенной температурной зависимостью /и = Р = рт =/иЛ—\ , где 0.5 о 1.0. Значения ю = 0.5 и ю = 1.0 соответствуют моделям взаимодействия твёрдых сфер и максвелловским молекулам соответственно (например, [78]). Значения показателя степени со для реальных газов лежат между двумя этими предельными моделями молекулярного взаимодействия. В 2012ом году Struchtrup предложил линеаризованный вариант системы R13, выведенный для модели твёрдых сфер ([80,81]).
Численный алгоритм для моделирования граничных условий на твёрдой стенке с заданной температурой
Эксперименты проводились на ударной трубе с разрядной камерой [100]. Два плазменных листа площадью 30x100 мм2 инициировались на противоположных стенках камеры секции на расстоянии 24 мм друг от друга. Каналированная структура разряда является причиной формирования полуцилиндрических ударных волн от отдельных тонких плазменных каналов в начальные моменты времени протекания тока разряда. В результате интерференции этих волн в течение 1-3 мкс формируется фронт огибающей ударной волны [100]. Поле течения после инициирования разряда визуализировалось теневым методом; изображения регистрировались в течение 40 мкс после импульса тока разряда. Напряжение на разрядном промежутке было 25 кВ, ток разряда порядка 1 кА, обеспечивают энерговклад 0.36 Дж в плазменный лист за время первого периода тока ( 200 нс). Приведенная напряженность электрического поля составляла Ш 10-20 В-м2 (Е - напряженность электрического поля, N - концентрация молекул гелия).
Исследованный процесс локализованного импульсного энерговклада имеет физическую аналогию с процессом взрыва (“плазменный взрыв”): в результате возникает затухающая ударная взрывная волна, контактная поверхность, ограничивающая зону неравновесных процессов, зона разрежения, локализованная на месте энерговыделения. Динамика среды достаточно адекватно описывается гидродинамическими уравнениями с энергоподводом ([99,102]). Измерения показали, что характерный линейный размер для начальной стадии процесса - диаметр плазменного канала -составляет менее 100 мкм. Это позволяет говорить о нарушении континуальности среды, возможном влиянии эффектов разреженности.
Величина энерговклада от прохождения электрического разряда моделируется путем задания дополнительного давления в области разряда. Разрядные каналы задаются в виде цилиндров, прижатых к стенке. Диаметр одного разряда равен d=\00 мкм. При этом принимается в расчет, что в поступательные степени свободы газа идёт /? = 20% или 40% выделяемой энергии (для давлений 5-Ю4 Па и 105 Па соответственно) ([99]). Тогда значение избыточного давления в области разряда рассчитывалось следующим образом: где v = 14nLd2 - объём одного канала разряда. Плотность в области разряда в начальный момент задаётся равной плотности невозбуждённой среды.
В качестве характерного размера для вычисления числа Кнудсена (отношение средней длины свободного пробега к характерному линейному размеру данной задачи) здесь может быть выбран диаметр микроканала. В таком случае число Кнудсена в экспериментах было равно Кп = 4-103 и Кп = 2103 для давлений 5-Ю4 Па и 10 5 Па соответственно. Помимо реализованных экспериментальных условий, были проведены численные расчёты и дальнейшее сравнение результатов для системы R13 и для уравнений Навье-Стокса при значениях давлений 2.0-103, 2.5-103 и 5.0-103 Па. В этом случае значения числа Кнудсена равны Кп = 10 \ Кп = 8-10
Скачок давления в области каналированного энерговклада (плазменный взрыв микроканала) инициирует набор полуцилиндрических ударных волн субмиллиметрового диаметра [98,99]. На рис. 22 представлены распределение плотности в численном расчёте для момента времени 0.2 мкс и экспериментальное изображение свечения каналов разряда (регистрация под углом к плоскости разряда). В дальнейшем фронты инициированных полуцилиндрических волн интерферируют друг с другом на начальной стадии газодинамического процесса и образуют фронт огибающей ударной волны в течение 1-3 мкс. На рис. 23 приведено сравнение теневого изображения возмущенной области с численным теневым аналогом полученным с помощью системы уравнений R13 через 3.8 мкс после инициирования разряда. Отклонения формы фронта ударной волны от квазиплоского на экспериментальном изображении соответствуют влиянию фронтов ударных волн от более интенсивных каналов скользящего разряда. Экспериментальное значение скорости движения фронта ударной волны в течение первых 2 мкс составило -1400+200 м/с, что соответствует числу Маха около 1.4. Затем движение фронта замедляется, и далее волна движется с почти постоянной скоростью V 1150+50 м/с (при давлении 5-Ю4 Па).
Численно решалась нестационарная двумерная задача в плоскости, перпендикулярной направлению прохождения электрических разрядов. Расчетная область представляет собой прямоугольник с размерами 10x13 мм с равномерной декартовой сеткой. Нижняя граница представляет собой изотермическую твёрдую стенку, верхняя и правая - выходные границы, левая граница - плоскость симметрии течения. Моделировался энерговклад от 24 канального разряда (с учётом симметрии вдоль линии, равноудалённой от 12-го и 13-го разрядов) с помощью системы уравнений R13 и уравнений Навье-Стокса. На jtf-диаграмме распространения лидирующего скачка уплотнения (рис. 24) представлено сравнение численных расчётов (для системы R13 и уравнений Навье-Стокса) и экспериментальных данных при различных значениях давления (различных числах Кнудсена). Экспериментальные значения положения фронта огибающей ударной волны, получены усреднением координаты фронта волны по видимому полю изображения (около 7 см). Положение фронта ударной волны из численного расчёта определялось по усреднённому положению максимального значения второй производной плотности.
Тестирование граничных условий в газодинамическом режиме
Из /-диаграммы видно, что с уменьшением давления газа, увеличением разреженности газа, увеличивается скорость распространения ударной волны из-за различия в толщине образовавшихся начальных ударных волн и, соответственно, различия в дальнейшем процессе их интерференции. Во всех случаях обе модели предсказывают резкое возрастание скорости волны на начальном этапе с дальнейшим понижением и выходом на почти постоянное значение. Заметное различие между результатами уравнений Навье-Стокса и системы уравнений R13 начинает наблюдаться в скорости распространения волны только при числе Кнудсена порядка 0.1, то есть уже в переходном режиме. Это подтверждается аналогичными результатами, которые были продемонстрированы и в тестовой задаче, описанной в разделе 4.1.2.
При детальном сравнении профилей температуры на ранних моментах времени развития возникающего в результате плазменного взрыва микроканалов ударно-волнового течения, присутствует разница в результатах R13 и уравнений Навье-Стокса в области начального энерговклада (на субмикросекундном масштабе времён). В силу этого было проведено сравнение на этих временах результатов системы R13 и уравнений Навье-Стокса с результатами, полученными с помощью модельного уравнения Шахова и метода UGKS при числе Кнудсена Кп=0Л. Данное сравнений показало, что моментный подход в данном случае адекватней описывает начальный этап развития данного течения после плазменного взрыва, где существенно начинает сказываться кинетические процессы в газе, которые лучше описываются системой R13, нежели системой уравнений Навье-Стокса.
В то же время и для низкого числа Кнудсена, соответствующему экспериментальному давлению 5-Ю4 Па, для момента времени 1.0 мкс максимальное значение температуры для R13 оказывается на 75 К меньше, чем в распределении температуры, полученном с помощью уравнений Навье-Стокса. Таким образом, результаты, полученные с помощью системы уравнений R13, дают значения температуры около стенки ближе к экспериментальным значениям, нежели результаты уравнений Навье-Стокса [102]. Представленное сравнение численных результатов двух математических моделей (системы R13 и классических уравнений газовой динамики), а также сравнение этих же результатов с данными эксперимента в гелии при давлениях 5-Ю4 Па и 105 Па говорит о применимости обоих подходов для моделирования течения, возникающего при условиях проведения данного эксперимента. В то же время при понижении давлении (увеличении числа Кнудсена) с приближением к переходной области газового течения, возникает разница в таком параметре течения как результирующая скорость распространения ударной волны.
С постоянным стремлением к миниатюризации современной техники в последнее время микро-электро-механических системах всё чаще возникает необходимость использования и миниатюрных газовых насосов. Если мы сталкиваемся с микро-масштабными устройствами, использование в них подвижных частей механизма оказывается достаточно затруднительным. С другой стороны с уменьшением устройства всё больше начинают сказываться эффекты разреженности газа. Поэтому использование классических газовых насосов, уменьшенных до микро-масштаба, оказывается невозможным. Отсюда в последнее время возник острый интерес к идеям Кнудсена ([108]) и активное исследование и создание газовых микро-насосов различной геометрии без подвижных приводных частей механизма ([109-113]).
Численно моделируется плоское двумерное течение умеренно разреженного максвелловского одноатомного газа в замкнутой области, представляющей собой два резервуара, соединённых каналом (рис. 25). В резервуарах поддерживаются постоянные температуры 300 и 500 К соответственно в левом и правом. Температура стенки канала так же как температура объема газа в канале изменяется линейно по х.
В начальный момент времени давление везде постоянно. Число Кнудсена в горячем резервуаре равно Кп = 0.48 (по полуширине канала). При этом длина свободного пробега определяется по формуле (84).
В силу достаточной разреженности газа на начальном этапе при наличии градиента температуры [114,115] возникает течение в сторону более нагретого сосуда. На рис. 26 представлено распределение скорости течения во всей области на начальном этапе развития течения в момент времени г = з-10 5 с. Рис. 27 иллюстрирует распределение продольной скорости течения вдоль оси симметрии в этот же момент времени. При этом течение обусловлено лишь градиентом температуры (градиента давления на начальном этапе развития течения нет). В дальнейшем за счёт этого течения происходит постепенное перетекание газа в горячий резервуар, и появляется градиент давления, который в свою очередь является причиной возникновения течения в направлении, противоположном изначальному направлению тока газа в канале. В результате формируется достаточно сложная структура течения. На рис. 28 представлена общая картина линий тока для установившегося течения. На рис. 29 и 30 представлено распределение линий тока и изолиний горизонтальной скорости в верхней половине канала, соединяющего резервуары. Полученные результаты хорошо соотносятся с численными результатами работы [112]. Ещё одной интересной особенностью данного течения оказывается направление вихря в правом горячем резервуаре (рис. 29). Направленность его по часовой стрелке может быть связана с особенностью угловой точки (место соединения канала и горячего резервуара). В данной точке есть разрыв первой пространственной производной температуры, и отсутствует вторая [115,116].
