Содержание к диссертации
Введение
1. Непрерывные отображения между степенями прямой Зоргенфрея 22
1.1, Уплотнения 22
1.2. Другие непрерывные отображения 35
2. Связь между прямой Зоргенфрея и вещественной прямой 50
2.1.Непрерывные отображения прямой Зоргенфрея и ее степеней на вещественную прямую и отрезок 50
2.2. Пространство непрерывных функций над прямой Зоргенфрея 62
Литература 66
- Непрерывные отображения между степенями прямой Зоргенфрея
- Другие непрерывные отображения
- Связь между прямой Зоргенфрея и вещественной прямой
- Пространство непрерывных функций над прямой Зоргенфрея
Введение к работе
Впервые прямая Зоргенфрея, также называемая стрелкой встречается в книге "Мемуар о компактных топологических пространствах" П.С. Александрова и П.С. Урысона в 1929 году [1]. В этой книге Александров и Урысон рассматривают топологическое пространство две стрелки, которое служит примером сепарабельного совершенного компакта с первой аксиомой счетности без второй аксиомы счетно-сти. При этом пространство две стрелки является дизъюнктным объединением двух множеств ("стрелок"), каждое из которых в наследственной топологии является прямой Зоргенфрея. С точки зрения Д.Кэмерона, которое он высказал в справочнике по истории общей топологии 1993 года издания [21], Р.Зоргенфрей открыл стрелку независимо в 1947 году — в том году вышла статья Зоргенфрея [48], в которой он представил топологическое пространство в качестве контрпримера, показывающего, что квадрат паракомпакта может не быть нормальным. Впоследствии пространство S назвали прямой Зоргенфрея.
Итак, прямая Зоргенфрея, которую мы будем обозначать символом S, представляет из себя числовую прямую с топологией, базу которой образуют все полуинтервалы вида [а, Ъ). Это пространство и производные от него очень часто встречаются в различных работах по общей топологии в качестве контрпримера к тем или иным гипотетическим утверждениям — собственно в качестве такого контрпримера оно и
Введение
было придумано. Ричард Энгелькинг в книге "Общая топология" [12] называет его "универсальным контрпримером" в общей топологии. Из свойств этого пространства в первую очередь нужно отметить следующие: прямая Зоргенфрея является сепара-бельным, совершенно-нормальным, наследственно линделефовым, с первой аксиомой счетности, без второй аксиомы счетности, с несчетным сетевым весом, наследственно несвязным, сильно нульмерным, не Е -компактным, не локально-компактным, псевдометрическим не метризуемым топологическим пространством, квадрат которого не нормален. За последние почти 60 лет вышло много статей, касающихся непосредственно свойств этого пространства. Сделаем небольшой исторических обзор этих материалов.
В 1971 году Р.Хис и Е.Майкл доказали [37], что любая конечная и счетная степени прямой Зоргенфрея являются совершенным пространством, при этом они указывают, что таким образом прямая Зоргенфрея является примером совершенного пространства, любая конечная и счетная степень которого совершенна, которое при этом не является полу-расслаиваемым (semi-stratifiable) пространством. А в 2002 году Т.О.Банах показал [16], что прямая Зоргенфрея также является примером четверть-расслаиваемого (quarter-stratinable), но не полу-расслаиваемого пространства.
В том же году Е.Майкл опубликовал статью о сохранении паракомпактности и свойства Линделефа конечными и счетными произведениями [43]. В этой статье он указывает, что прямая Зоргенфрея удовлетворяет первой аксиоме счетности, наследственно сепарабельна, наследственно линделефова, любое ее несчетное подмножество имеет несчетный сетевой вес. Кроме этого множество D = {х Є S" | 12=17Гі(х) = г Є Щ является замкнутым дискретом в S. И главный для нас результат — Майкл доказал, что при СН для любого п Є N существует подмножество прямой Зоргенфрея Y С S такое, что Y, Y2, ..., У" — наследственно линделефовые пространства, a Yn+1 даже не нормально.
В 1972 году Д.Лутцер в статье [40] доказал, что любая конечная и счетная степе-
Введение
ни прямой Зоргенфрея субпаракомпактны, т.е. в любое открытое покрытие можно вписать сг -локально конечное замкнутое покрытие.
В 1973 году Г.Грюнхаге показал [35J, что прямая Зоргенфрея является примером паракомпактного монотонно нормального пространства, которое при этом не elastic space. В том же году П.Никое доказал [44], что любая конечная степень прямой Зоргенфрея сильно нульмерна, т.е. любая пара непересекающихся нуль-множество отделяется открыто-замкнутыми окрестностями. А в 1981 году Дж.Дийкстра показал [24], что при этом размерность S2 по конечным открытым покрытиям бесконечна. В 1977 году А.Емерик и В.Кульпа доказали [27], что прямая Зоргенфрея не имеет связной компактификации, т.е. любой компакт, который содержит S в качестве плотного подпространства несвязен. Затем в 1981 году Дж.Пелант доказал [47], что любое несчетное подмножество прямой Зоргенфрея не имеет связной компактификации. А в 1999 году А.Федели и А.ЛеДонне доказали [31], что прямая Зоргенфрея имеет локально-связную коннектификацию со счетным наростом. В 2001 году они же доказали [30], что у S есть и локально линейно связная коннектификация.
В 1979 году Э. ван Дауен [25] показал, что прямая Зоргенфрея является примером сильно ретрактифицируемого, наследственно ретрактифицируемого, но при этом не наследственно сильно ретрактифицируемого пространства. (Сильная) ретракти-фицируемость пространства X означает, что для его любого непустого замкнутого подмножества F существует (замкнутая) ретракция X на F,
В том же году ван Дауен и В.Пфеффер доказали [2С], что для любых натуральных n,mN пространства Sn и Тт негомеоморфны, где Т — иррациональная прямая Зоргенфрея, т.е. множество иррациональных чисел в топологии стрелки. Кроме этого они доказали, что любая конечная степень прямой Зоргенфрея является D -пространством, т.е. если для каждой точки х Є Sn мы произвольным образом зафиксируем ее окрестность ф(х), то обязательно найдется дискрет D С " такой, что семейство {ф(х)\х D) будет покрытием всего пространства S".
Введение
А двумя годами позже, в 1981 году П. де Ко усилил их результат, показав [22], что любое подпространство S" также является D -пространством.
В 1980 году Ц.Боргез доказал [18], что гиперпространство компактов прямой Зоргенфрея не нормально. В том же году М.Геванд и С.Вильяме доказали [34], что при МА и ->СН существует подмножество прямой Зоргенфрея такое, что его квадрат нормален, но не коллективно-нормален.
В 1983 году Дж.О'Фарелл доказал [45], что прямая Зоргенфрея не вполне ме-такомпактана, а в 2001 году Ф.Лупианез доказал [39], что прямая Зоргенфрея даже не вполне паракомпактна. Вполне паракомпактность (вполне метакомпактность) означает, что для любой базы найдется локально конечное (точечно конечное) ее подсемейство, являющееся покрытием пространства.
В 1984 году Д.Б.Моторов доказал [7], что метрические образы прямой Зоргенфрея являются в точности Л-пространствами. А в 1988 году С.Светличный доказал [49], что открытые метрические образы конечных степеней прямой Зоргенфрея полны по Чеху.
В 1987 году Д.Лутцер и Д.Бурке доказали [19], что для любых различных натуральных п, т Є N пространства S" и Sm не гомеоморфны, а также не гомеоморфны пространства Т и Т. В той же статье они построили уплотнение S2 на S.
В 1996 году Ф.Экертсон доказал [28], что никакая конечная или счетная степень прямой Зоргенфрея не слабо псевдокомпактна, т.е. Gj -плотна в некоторой компак-тификации.
В 1998 году Д.Бурке и Дж.Мур опубликовали большую статью о прямой Зоргенфрея [20]. В ней они, в частности, доказали, что ни для каких натуральных п > т и ни для какого X С — несчетного подмножества прямой Зоргенфрея, Хп не вкладывается в Sm. В частности, тем самым они ответили на вопрос из [19] показав, что для любого несчетного подмножества прямой Зоргенфрея все его ко-
Введение
нечные степени топологически различны. Также они показали, что в утверждении, доказанном Майклом в [43] о том, что при СН существует несчетное подмножество У С S, квадрат которого обладает свойством Линделефа, нельзя освободиться от СН — они показали, что при PFA [17] квадрат любого несчетного подмножества прямой Зоргенфрея не линделефов. В той же статье Бурке и Мур дали характеристику всем подмножествам прямой Зоргенфрея, гомеоморфным ей самой — это F„ и одновременно Gs множества без изолированных точек. Точно такую же характеристику независимо получил и Д.Перевалов, опубликовав ее в [11] в 2001 году. Из этой характеристики, в частности, следует, что S вкладывается в Т, и что Канторово совершенное множество без левых концов дополнительных интервалов в топологии прямой Зоргенфрея гомеоморфно ей самой.
В 2003 году А.МакКласки и Т.МакМастер, отвечая на вопрос Архангельского, показали [41], что прямая Зоргенфрея является примером к-нормального (т.е. пространства, в котором непересекающиеся канонически-замкнутые подмножества отделяются окрестностями) регулярного пространства, которое не плотно-нормально (см., например [14]).
Недавно на конференции памяти Золтан Балог С.Попвассилев анонсировал, что во-первых, прямая Зоргенфрея — "base-base рагасотпрас\ т.е. существует открытая база такая, что любое ее подсемейство, которое также является базой, обладает локально-конечным подпокрытием (неизвестно, является ли каждое паракомпактное пространство base-base паракомпактом), а во-вторых, подмножество прямой Зоргенфрея имеет тип Fc тогда и только тогда, когда оно является "base-cover пара-компактом", т.е. у него существует открытая база такая, что любое ее подпокрытие имеет локально конечное подпокрытие (это свойство сильнее base-base паракомпактности), и тогда и только тогда, когда оно обобщенно лево-отделенное пространство (generalized left separated). Стоит отметить, что в [20] Бурке и Лутцер дали характеристику Fir -подмножествам S как непрерывным образам S в S. Кроме этого
Введение
С.Попвассилев анонсировал еще один результат о том, что подпространство прямой Зоргенфрея счетно тогда и только тогда, когда оно base-family par acorn pact.
В 2005 году В.А.Чатырко анонсировал результат [23] о том, что если Хі — несчетные подмножества S, то Q х ГТГ=1 А"» вкладывается в Sn+1, но не вкладывается в ЕР, тем самым усилив результат Д.Бурке и Дж.Мура в [20].
Как мы видим, багаж знаний о прямой Зоргенфрея на сегодняшний день достаточно велик, при этом можно сказать, что особенно активно изучались конечные степени прямой Зоргенфрея. Когда мы изучаем какие-либо топологические объекты, то, пожалуй, основной вопрос, который мы должны себе задавать, заключается в том, как эти объекты связаны между собой непрерывными отображениями. Поэтому интересно было бы знать, как связаны между собой прямая Зоргенфрея и ее конечные степени посредством непрерывных отображений.
К настоящему времени касательно этого вопроса было известно следующее: во-первых, нельзя непрерывно отобразить на S", где п > 2 — это связано с тем, что прямая Зоргенфрея наследственно линделефова, а ее конечные степени, старшие первой, не нормальны. Во-вторых, как уже отмечалось, Д.Лутцер и Д.Бурке в статье [19] построили уплотнение S2 на S, из чего следует (следствие 1.8), что любая большая конечная степень прямой Зоргенфрея уплотняется на меньшую. В-третьих, в той же статье было доказано, что все конечные степени прямой Зоргенфрея топологически различны, т.е, между ними не существует гомеоморфизмов. И, наконец, в-четвертых, всегда большую степень топологического пространства можно открыто отобразить на меньшую при помощи проектирования.
Мы видим, что в решении вопроса о том, как связаны между собой конечные степени прямой Зоргенфрея при помощи непрерывных отображений есть существенный задел, однако белых пятен в этом вопросе больше. Если вспомнить, что известно относительно аналогичного вопроса о вещественной прямой, то наиболее интересными фактами тут являются следующие: во-первых, различные конечные степени R не
Введение
уплотняются друг на друга — это связано с тем, что они имеют разные топологические размерности, во-вторых, IR можно непрерывно отобразить на R2 — это классическое отображение Пеано, или кривая Пеано (следовательно, меньшую конечную степень прямой можно непрерывно отобразить на большую), и в-третьих, в 1957 году Л.Келдыш построила непрерывное открытое отображение трехмерного куба на четырехмерный ([4], [5]).
Как мы видим, существенную роль здесь играет тот факт, что различные степени числовой прямой имеют разные размерности. В отличие от вещественной прямой все конечные степени прямой Зоргенфрея нульмерны в смысле размерности dim. Кроме вышеперечисленного интересно заметить, что прямая Зоргенфрея уплотняется на вещественную прямую (топология на S сильнее евклидовой'топологии на Е),в то время, как вещественную прямую нельзя непрерывно отобразить ни на какое подпространство Y С , кроме точки, поскольку прямая Зоргенфрея наследственно несвязна. Что касается существования других видов непрерывных отображений S на R, то этот вопрос также был открыт.
Учитывая все вышесказанное, можно сформулировать следующий вопрос, который и был поставлен перед автором этой работы:
Как связаны прямая Зоргенфрея и ее конечные степени друг с другом, а также с вещественной прямой и отрезком при помощи различных классов непрерывных отображений, таких как уплотнения, факторные, открытые, замкнутые, совершенные, псевдооткрытые, псевдофакторные, компактные, компактно накрывающие и другие?
Первая глава этой работы посвящена изучению непрерывных отображений между конечными степенями прямой Зоргенфрея. В первом параграфе изучаются уплотнения, т.е. непрерывные взаимно-однозначные отображения.
Как уже говорилось, не существует не только уплотнения, но даже и непрерывного отображения прямой Зоргенфрея на любую ее конечную степень, старшую первой.
Введение
Также упоминалось, что Бурке и Лутцер построили уплотнение S2 на S [19]. Из этого результата следует
Следствие 1.8 Для любых натуральных п > т> 1 существует уплотнение S" на т.
Оставался открытым вопрос о существовании уплотнения с меньшей степени прямой Зоргенфрея, старшей первой, на большую. В первом параграфе дается ответ на этот вопрос, а именно, доказываются теорема и следствие из нее:
Теорема 1.5 Существует уплотнение S2 на S3 .
Следствие 1.7 Для любых натуральних п,т таки±, что 2 < т < п, существует уплотнение Sm ко S .
Итак, касательно уплотнений степеней прямой Зоргенфрея, получаем, что любая конечная степень S, кроме первой уплотняется на любую другую ее конечную степень. Из этого автоматически следует, что для тех же пар пространств существуют компактное, конечнократное и счетнократное непрерывные отображения одного пространства на другое.
Во втором параграфе первой главы изучаются остальные непрерывные отображения между степенями прямой Зоргенфрея. В первую очередь отмечается следующий очевидный факт: для любых двух степеней прямой Зоргенфрея существует непрерывное открытое отображение с большей степени на меньшую и, следовательно, существует факторное и псевдооткрытое непрерывные отображения большей степени S на меньшую. Основными результатами второго параграфа являются дне следующие теоремы.
Теорема 1.11 При любом, натуральном п > 3 не существует непрерывного 4шкторного отображения S2 на п.
Введение
Теорема 1.15 Пусть f — непрерывное замкнутое отображение, действующее из п на Ус S, где п > 2. Тогда множество Y счетгю.
Непосредственным следствием теоремы 1.15 является
Теорема 1.17 Для всех натуральных п > 1 не существует непрерывного замкнутого отображения Sn на S.
Из теоремы 1.11 следует, что не существует открытого, замкнутого, совершенного, псевдооткрытого и компактно накрывающего непрерывных отображений S2 на Sn, где п > 3. Из теоремы 1.17 следует, что не существует совершенного отображения 8П на S, где п > 2.
Помимо этих теорем во втором параграфе первой главы приводится лемма, полезная для изучения конечных степеней прямой Зоргенфрея.
Лемма 1.12 Если множество С S" несравнимо в смысле отношения частичного порядка " < " на п, то это множество является замкнутым дискретом в " .
Напомним, что отношение частичного порядка " < " на S" определяется следующим образом: а < Ь *=; тг;(а) < тг»(Ь) для всех г Є {1,..., п} . В конце первой главы ставятся следующие вопросы:
Вопрос 1.18 Существует ли непрерывное замкнутое отображение S" ко Sm при натуральных п > тп > 2 ?
Вопрос 1.19 Существует ли непрерывное факторное отображение S" на S при натуральных 3 < п < т ?
Вопрос 1.20 Верно ли, что конечные степени прямой Зоргенфрея, старше второй, неотличимы при помощи классических видов непрерывных отображений,
Введение
кроме гомеоморфизмов, т.е. верно ли, что при любых натуральных п, т > 3 существуют непрерывные факторное, замкнутое, открытое, совершенное, компактное, псевдофакторное, псевдооткрытое, бифакторное, компактно накрывающее и другие классические непрерывные отображения " на Sm ?
Во второй главе изучаются непрерывные отображения между прямой Зоргенфрея и ее конечными степенями с одной стороны, и вещественной прямой и отрезком с другой.
Как уже отмечалось, не существует непрерывного отображения вещественной прямой или отрезка ни на какое подмножество прямой Зоргенфрея или ее конечной степени, отличное от одноточечного. Также нужно отметить, что существует уплотнение S на R — это тождественное отображение на числовой прямой. Основными результатами первого параграфа являются следующие теоремы.
Теорема 2.1 Существует непрерывное открытое отображение прямой Зоргенфрея на вещественную прямую.
Теорема 2.15 Пусть f : В с S —> К — непрерывное замкнутое отображение подпространства В прямой Зоргенфрея є -числовую прямую. Тогда его образ f{B) счетен.
Из этих теорем вытекают
Следствие 2.12 Существует непрерывное открытое отображение прямой Зоргенфрея S на отрезок [0,1].
Следствие 2.16 Не существует непрерывного залікнутого отображения прямой Зоргенфрея S но числовую прямую Е или на отрезок 1.
Также из теоремы 2.1 следует, что для любого п Є N существует непрорывные открытое, псевдооткрытое и факторное отображения S" как на вещественную прямую, так и на отрезок. Следствие 2.16 влечет, что не существует совершенного
Введение 13
отображения прямой Зоргенфрея на вещественную прямую или отрезок. Также в первом параграфе доказывается
Теорема 2,17 Существует уплотнение прямой Зоргенфрея на отрезок.
Из теоремы 2.17 и следствия 1.8 следует, что для любого натурального п существует уплотнение, а значит и непрерывные компактное, конечнократное и счетно-кратное отображения S" на R или на I.
Во втором параграфе второй главы изучается пространство CP{S) — пространство непрерывных вещественных функций над прямой Зоргенфрея, наделенное топологией поточечной сходимости. Нужно отметить, что в математическом анализе непрерывные функции из S в R известны как вещественные функции, "непрерывные справа", В этом параграфе доказывается следующая
Теорема 2.18 Для любого п N пространство <7p(Sn) секвенциально-сепарабелъно.
Также говорится о том, что таким образом пространство CP(S) является примером секвенциально-сепарабелыюго не наследственно сепарабельного пространства.
Основные результаты диссертации опубликованы в [8]—[ 10J и [46), а также докладывались на топологической конференции "Александровские чтения" на механико математическом факультете МГУ в мае 2002 года и июне 2005 года, и неоднократно — на семинаре сектора топологии отдела алгебры и топологии IIММ УрО РАН.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору, доктору физ.-мат. наук Н.В.Величко за постановку задач и за внимательное и заботливое отношение к своему ученику, профессору, доктору физ.-мат. наук Е.Г.Пыткееву за первоначальную постановку задачи и за неоценимую поддержку и плодотворные научные дискуссии на протяжении всего времени написания диссертации, и своим родителям за понимаЕше и поддержку.
Введение
Автор также благодарен всему творческому коллективу общегородского научного семинара по общей топологии, проходящего в секторе топологии отдела алгебры и топологии ИММ УрО РАН за творческие дискуссии и дружескую обстановку в коллективе.
Непрерывные отображения между степенями прямой Зоргенфрея
Известно, что не существует не только уплотнения, но даже и непрерывного отображения прямой Зоргенфрея на любую ее конечную степень, старше первой. Это связано с тем, что, как доказал Р.Зоргенфрей в 1947 году (см. [48]), квадрат прямой Зоргенфрея не нормален (его доказательство проходит и для Sn, п 2), в то время как сама прямая Зоргенфрея наследственно линделефова (см. [43]). Что касается обычной вещественной прямой, то для любых различных натуральных т и п не существует уплотнения К" на IR171. Это связано с тем, что различные конечные степени вещественной прямой имеют различные топологические размерности, а также с тем, что вещественная прямая — Е-компакт, а уплотнение компакта — гомеоморфизм. В отличие от вещественной прямой любая конечная степень прямой Зоргенфрея нульмерна, у нее есть база из открыто-замкнутых множеств. А поскольку старшие степени прямой Зоргенфрея не различаются по каким-то классическим топологиче- ским свойствам, разве что они не гомеоморфны друг другу [20], то вроде бы нет особых препятствий к тому, что бы эти степени уплотнялись друг на друга. И действительно, в 1987 году Д.Бурке и Д.Лутцер в статье [19] построили уплотнение S2 на S. Из этого результата очевидно следует, что для любой старшей конечной степени S существует уплотнение на младшую степень этого же пространства (см. следствие 1.8). Оставался открытым вопрос о существовании уплотнения степени 1 пространства на большую степень S. Ответом на этот вопрос является теорема 1.5, в которой построено уплотнение S2 на S3. Непосредственным следствием этой теоремы является следствие 1.7 в котором утверждается, что для любых п т 2 существует уплотнение т на ". Итак, получаем, что любая конечная степень , кроме первой, уплотняется на любую другую конечную степень. Для доказательства теоремы 1.5 нам потребуются два важных факта из общей топологии (терема 1.1 принадлежит Мазуркевичу, теорема 1.2 принадлежит Сер-пинскому). Теорема ([6], 36, гл.Ш]) 1.1. Всякое множество типа Gf, плотное в полном сепарабелъном нульмерном метрическом пространстве и имеющее плотное в нем дополнение, гомеоморфно пространству иррациональных чисел Jf. Теорема ([6], 37, гл.Ш]) 1.2. В полном сепарабелъном метрическом пространстве, всякое борелевское множество, пересечение которого с каждым открытым множеством несчетно или пусто, является взаимно однозначным и непрерывным образом пространства J . Напомним, что полуинтервал {0,1) в топологии, порожденной на нем прямой Зоргенфрея, мы обозначаем 0. Справедливо следующее утверждение: Доказательство.
Любой полуинтервал вида [х,у) С S является открыто-замкнутым множеством. Поэтому прямую Зоргенфрея можно представить в виде счетной прямой суммы непересекающихся открыто-замкнутых полуинтервалов вида [J?,JS+1), где z —целое число. Точно так же о можно разбить на счетную сумму непересекающихся открыто-замкнутых полуинтервалов вида [1 — ,1 — -), где ті Є N. Из этого непосредственно следует утверждение леммы. Лемма 1.3 доказана. Введем отношение частичного порядка " " на всем пространстве Sn : считаем й Ь тогда и только тогда, когда Кі{а) %і(Ь) , {а) ж2(Ь) , ... и 7г„(а) 7гп(Ь). Определим следующие множества: Введем отношение линейного порядка на множестве D : считаем, что а b тогда и только тогда, когда 714(a) тгі(6). При а,Ь Є Rn обозначим через (а,Ь) и [а,Ь] соответствующие интервал и отрезок на прямой в К, проходящей через точки а и Ь . При а, Ь D, а Ь положим Выберем подмножество К С D такое, что в евклидовой топологии на D множество К гомеоморфно канторову совершенному множеству К. Пусть {(/5 71} С D} — множество дополнительных интервалов К в D, (рассматриваем К как канторово совершенное множество). Очевидно, что можно выбрать множество К таким образом, что для любого г Є N выполняется 0г ф (0,1) Є З2 и 7 ф (1,0) Є Sa. Положим Р = i \Ui{ .7 }- Из теоремы 1.1 следует Лемма 1.4. Р гомеоморфно J. Продолжим серию определений, начатую перед леммой 1.4. Положим При p Є R пусть Lp = {a S3 S ui = p} — плоскость в S3, перпендикулярная первой координатной оси и пересекающая ее в точке р. Пусть Q2 С R —множество двоично-рациональных чисел, а L = {Lp \р Є Ob}- При р = ттг/2" Є Q 2, где m/2n — несократимая дробь, положим Rang(p) = п. Выберем разбиение {Л .тЛт.п.іеМ множества натуральных чисел N такое, что каждое множество Nn mj С N бесконечно. Пусть Выберем разбиение {П,} пространства 3 такое, что Мы сделали все предварительные построения, теперь можно сформулировать основной результат. Это следует из того, что S2 можно разбить на множества, конгруэнтные SQ, при этом они будут открыто-замкнуты в S2. Поэтому нам достаточно построить уплотнение / пространства N х на S3. Будем строить / следующим образом.
Положим где Ы : {г} х Е 1 -» S= \ Г и ft : S \ Г - (Ц\ UL) U (UL0 СУТЬ уплотнения (обозначение IJL расшифровывается как (J{MM Є L} с S3 ). При этом отображение hi задается по следующей формуле: ЛДг, a) = h(a), где h : (; — SQ\Г — уплотнение. Поскольку {г} х SQ открыто-замкнуто в N х SQ, а семейства {Щ};еИ и {LJL»beN суть разбиения пространств S3 и {U UheN соответственно, то полученное таким образом отображение / будет уплотнением S2 на S3. Итак, нам осталось построить отображения h и ?» (г Є N). I. Построение уплотнения h : Sg — Q \ Г . Сначала докажем следующий лемму: Лемма 1.6. Для каждого п Є N существует є 0 такое, что Аеп С Ап. Доказательство. Обозначим b = min({ n j8i 7"}u{{l10 Є D})t где максимум и минимум берутся по отношению на Глава 1. Непрерывные отображения между степенями прямой Зоргенфрея. 27 — это легко следует из геометрических соображений. Поскольку /Зп Ф (О, X) и 7" ф (l.O)i то а Д„ и Ь 7п- Но тогда из определения АЕп следует, что найдется такое є 0, что Л С Л„ П М0](, = Лп и лемма 1.6 доказана. Пользуясь леммой 1.6 зафиксируем для каждого п Є N некоторое єп 0 такое, что Л С Лп и є„ 1/п. Заметим, что семейства {Л } И {С;} ем являются дизъюнктными семействами открыто-замкнутых подмножеств SQ. Отметим также следующие факты: Определим отображение h : S — S \ Г. Ha A n С An отображение h действует как гомотетия с коэффициентом 1/2 (т.е. сжатие в 2 раза) с центром в точке zn S2, : г" = ( (7") + єп , n2(j3n) -4- єп). Заметим, что Очевидно, что при этом отображение /ІЛ : Л М п") С Л " является уплотнением. Кроме того, легко устанавливается формула Далее, отображение h на F и на UieN \- i ) определим как тождественное: /i(p = id и hy ,ДДДЇ;Ч = id. В силу (3) нам осталось определить h на Utew -Это необходимо сделать так, чтобы выполнялось и чтобы h на UieR было уплотнением. С учетом (5), (4), (1) и леммы 1.3, понятно, как это можно сделать. Осталось проверить непрерывность отображения h. Пусть а: Є S2,. Из (3) следует, что возможны следующие четыре случая.
Другие непрерывные отображения
В первом параграфе мы получили, что для любых натуральных п 2 и т 1 существует уплотнение Sn на Sm. Следовательно, для тех же пар пространств существуют компактное, конечнократное и счетнократное непрерывные отображения одного пространства на другое. Так же мы отметили, что не существует непрерывного отображения S на Sn, где п 1, и кроме этого различные конечные степени прямой Зоргенфрея не гомеоморфны друг другу (см. [19]). Кроме этих результатов нужно отметить что для любых двух степеней прямой Зоргенфрея существует непрерывное открытое отображение с большей степени на меньшую степень, это проекция. Следовательно, существует факторное и псевдооткрытое непрерывные отображения большей степени на меньшую степень (непрерывное открытое отображение является псевдооткрытым, см., например [2], гл. VI, стр. 340). Основными результатами этого параграфа являются две теоремы о непрерывных отображениях между степенями прямой Зоргенфрея. Первая из них, теорема 1.11, утверждает, что не существует факторного непрерывного отображения S2 на " при п 3. Вторая теорема (теорема 1.15) утверждает, что при замкнутом непрерывном отображении S" в S, где п 2, образ не более чем счетен. Следовательно, не существует замкнутого непрерывного отображения S" на S, где п 2 (теорема 1.17). Из теоремы 1.11 автоматически следует, что не существует открытого, замкнутого, совершенного и псевдооткрытого непрерывных отображений а на ", где п 3 (непрерывное псевдооткрытое отображение является факторным, см., например [2], гл. VI, стр. 340). Также из этой теоремы следует, что не существует компактно накрывающего отображения S2 на " — это связано с тем, что компактно накрывающее отображение со значениями в к -пространстве является факторным ([12], упр.5-5.11., стр.507), а пространство S" является к -пространством, поскольку оно удовлетворяет первой аксиоме счетности (см, например [12], теорема 3.3.20., стр.238). Из теоремы 1.17 следует, что не существует совершенного отображения п на S, где п 2. Для доказательства теоремы 1.11 нам понадобится лемма, описывающая непрерывные факторные отображения между секвенциальными пространствами в терминах сходящихся последовательностей. Лемма 1.9. Пусть f : X —ї Y — непрерывное факторное отображение такое, что f(X) — Y, а X и Y — секвенциальные Т2 -пространства.
Тогда для любой точки уеУ и любой последовательности {у„}„н С У\{у}, сходящейся к у, найдутся последовательность {гПд} Н СХ и точка х Є X такие, что хПк Є /_1Q/» ). Є f l(y) « Xnk - x, при к - со. Доказательство. Пусть последовательность {уп}„ен С \{у} сходится к точ- ке у Є У. ПОЛОЖИМ F = {уп}пвп U {у}- Множество F замкнуто, поскольку Y — Т2 -пространство, следовательно, замкнут и его прообраз /_1 (- )- Множество А = {уп}пеы не замкнуто, а так как отображение / факторно, то /-1(Л) тоже не замкнуто, значит найдется точка х Є / (- ) \ /""Ч )- Поскольку / 1(i7) замкнутой f l(F)D f l(A), то х Є /_1(Л \/-1 (Л) = /_Чї/)- Поскольку X — секвенциальное пространство, то найдется последовательность {гп}п С / г(А) сходящаяся а точке х. Но тогда множество { А; Є N существует m Є N : zm Є /_1(гд) } является бесконечным — s противном случае, если оно конечно, мы получим, что образ последовательности {-г„}„єщ при отображении / конечен и при этом у — его предельная точка, чего быть не может. Ну а поскольку это множество бесконечно, то мы сможем выбрать искомую подпоследовательность {znt}keii-Лемма 1.9 доказана. Заметим, что справедливо и обратное к лемме 1.9 утверждение, которое вместе с леммой дает критерий факторности непрерывного отображения для секвенциальных Т2 -пространств. Лемма 1.10. Пусть множество А С S2 несчетно. Тогда найдется тонка а Є А такая, что для любого є 0 и для любого х Є О(о) \ {а} найдется ЬєА\{а} такое, что х Є О2Д6). Доказательство. Для точки х 2 и є 0 рассмотрим два множества Wf\x) = {z Є S2 І тгіОО Є \хі{х)-є,іГі(х)+є],іГ2(г)Є [тг2(г) - є,іг2(х)]}, И?(х) = {z Є S2 Пі{г) Є [тп(х) - є,щ{х)],іь(г) Є [тга(і) - е(іг2(х) +є]}. Далее рассмотрим пару других множеств Докажем, что С LJ И \С2\ ш. От противного: пусть, без ограничения общности, Поскольку Unew п = С1! то найдется та Є N такое, что \С}по\ ш. Возьмем две различные точки а, Ь Є С и докажем, что евклидово расстояние между точками а и Ь больше 1/тпо. От противного, пусть р(а, Ь) 1/то. Рассмотрим вторые координаты этих точек 7г2(а) и 1Г2(Ь). Возможны два случая: 7г2(а) 7Гг(Ь) и ЇГ2(Й) 7г2(Ь). Из первого неравенства следует, что Ъ Є ИЛ11,то(а), из второго следует, что а Є Wi/mo(&)-В обоих случаях, учитывая, что а,Ь Є С ,0, мы получим, что а = Ь, а это противоречит тому, что точки а и b различны. Итак, /о(а,Ь) 1/тпо, следовательно, евклидовы окрестности OJ? іа) и OJ?2m0C ) не пересекаются. Поскольку мы брали произвольные точки а,Ь С ,0, а множество С 0 несчетно, то мы получим несчетное семейство непересекающихся окрестностей на евклидовой плоскости, что противоречит счетности ее числа Сусли-на. Таким образом мы доказали, что 1С1! ш и Поскольку множество А несчетно, то найдется точка а Є А \ (С1 U С2). Возьмем произвольные є 0 и х Є Ос(а)\{а}. Поскольку а ф х, то найдется координата, по которой точки а и х будут отличаться. Пусть, без ограничения общности, 7Гі(а) ф ffi(x). Рассмотрим 5 = 7Гі(г) — я"і(а). Заметим, что для каждой базисной є -окрестности 0(а) произвольной точки а Є Sn справедливо следующее представление: Из (34) следует, что 0 8 є. Так как а не лежит в С1, то найдется точка Ь А\ {а} такая, что 6 Є і(а). Заметим, что множество {х Є 2 х : Ь} покрывает множество {у Є 2 у ; а и тгДу) тгДа) -f 5} Из этого замечания, (34) и того факта, что 0 S Є, следует, что х Є Фзе(Ь). Лемма 1.10 доказана.
Нужно отметить, что для степеней прямой Зоргенфрея, старших второй, подобная лемма не будет справедлива. При п 3 в качестве несчетного множества А С S", для которого утверждение леммы 1.10 не выполняется, можно взять, например, прямую /, которая будет рассмотрена ниже в доказательстве теоремы 1.11, По сути, теорема 1.11 является следствием того факта, что для S2 лемма 1.10 справедлива, а для S3 и более старших степеней — нет. Теорема 1.11. При любом натуральном п 3 не существует непрерывного факторного отображения S2 на ". Доказательство. От противного, пусть такое отображение / : S2 на " существует. Пусть I — прямая в ", проходящая через точки (1,0,0,...,0} Є В" и (0,1,0,0,...,0) \ Для каждой точки а Є I рассмотрим прямую /а С " такую, что а Є Iа, а сама прямая Iа параллельна третей координатной оси, т.е. справедливо, что для любого с Є Iа и для любого і {1, --,"} і ф 3 = тгДс) = тг;(а). (35) Для каждой точки а Є I зафиксируем последовательность точек { }neN С Iа \ {а} такую, что для всех і Є N выполняется 7г3(у") = 7г3(а) -f- j. Из (34) следует, что последовательность {у"}„Ра сходится к точке а. Теперь по лемме 1.9 для каждой точки а / и каждой последовательности {y}nN найдем последовательность {i lfeeN С S2 и точку ха є S2 такие, что x"fc є /-1( )і ха є /-1(о), и сама последовательность {я Неи сходится к точке ха. Сделав переобозначения мы можем считать, что то х є f l{y ) и последовательность {х}пе сходится к точке ха. Заметим, что для любых а,Ь Є I а ф Ь = ха ф хь, (36) для любого а I и для любого п Є N х ф х. (37) Положим Ln — {а є I \ f{Oi/n{xa)) а}. Поскольку отображение / непрерывно, то из (34) следует, что для каждой точки х Є S2 найдется п Є N такое, что f{Oi/n(x))bf(x)- Значит \JneNLn = lt поэтому найдется п0 Є N такое, что ІАіоІ \Ц ы. Из (36) следует, что множество { ха \ а Є L„0 }cS2 также несчетно. Поэтому по лемме 1.10 найдется точка с Є Lno такая, что для любого є 0 и для любого х Є 0Е(хс) \ {хс} найдется Ъ С Lna \ {с} такое, что х Є 02Е(ХЬ). Последовательность { }„ем сходится к точке хс, следовательно, найдется к Є N такое, что х Є Оі/2По(х :) Из (37) следует, что х% ф хе, поэтому если мы возьмем = 1/2п0 то точка х = х будет лежать в 06(хе)\{хс}. Следовательно, х є 02е(хь) = Oi/no{xb). Поскольку Ь L„0 то /(O1/no(x6)) ; 6, значит Точки с и b различны и лежат на прямой I. Нетрудно показать, что либо Так как /() : 6, то яі(Ь) яі(/(а:)), следовательно, я"і(с) яі(/(х)). Мы знаем, что /(я) = j/fc Є 1е, поэтому из (35) следует, что 7Гі(с) = яі(/(х)). Мы получили противоречие, тем самым теорема 1.11 доказана.
Связь между прямой Зоргенфрея и вещественной прямой
Нужно сразу отметить, что не существует непрерывного отображения вещественной прямой или отрезка ни на какое подмножество прямой Зоргенфрея или ее конечной степени, отличное от одноточечного. Это утверждение следует из того, что непрерывный образ связного пространства связен, а прямая Зоргенфрея наследственно несвязна. Что касается отображений, о которых идет речь в этом параграфе, то тождественное отображение на числовой прямой является уплотнением S на R (так как топология прямой Зоргенфрея сильнее евклидовой топологии). Кроме этого было известно, что метрические образы прямой Зоргенфрея являются в точности А-пространствами [7] и что открытые метрические образы конечных степеней прямой Зоргенфрея полны по Чеху [4Э]. Основными результатами этого параграфа являются следующие. Во-первых, построено непрерывное открытое отображение прямой Зоргенфрея на вещественную прямую (теорема 2.1). Во-вторых, доказано, что не существует непрерывного замкнутого отображения прямой Зоргенфрея на вещественную прямую или на отрезок (следствие 2.16). Также построено уплотнение прямой Зоргенфрея на отрезок (теорема 2.17). Из теоремы 2.1 следует, то для любого натурального п существует непрерывное открытое, а следовательно, и непрерывные псевдооткрытое и факторное отображения S" как на вещественную прямую, так и на отрезок (поскольку вещественную прямую можно открыто отобразить на отрезок). Следствие 2.16 влечет, что не существует совершенного отображения прямой Зоргенфрея на вещественную прямую или отрезок. Из теоремы 2.17 и следствия 1.8 следует, что для любого натурального п существует уплотнение (а значит и компактное, конечнократное и счетнократное отображения) S" на R или на I. Теорема 2.1. Существует непрерывное открытое отображение прямой Зоргенфрея на вещественную прямую R. Доказательство.
По лемме 1.3 пространство So (полуинтервал [0,1) в топологии, порожденной на нем прямой Зоргенфрея) гомеоморфно прямой Зоргенфрея, поэтому мы будем строить искомое непрерывное открытое отображение / на множестве [0,1). Для к Є и, ПІ Є N определим действительные числа о.п1і..іПк, 1Пи..,пк i m,..,nkt n,,..,njt — причем при к = 0 будем считать, что аПіі„ Пк есть а, и т.п. для I, b, h и других аналогичных далее вводимых обозначений. При к = 0 положим а = 0, / = 1, 6 — 0, h = . Далее по индукции определим множества Построим последовательность {fk}ku ступенчатых функций из [0,1) в К, непрерывных в топологии прямой Зоргенфрея (что то же самое — ступенчатых непрерывных справа) следующим образом. Положим В силу пункта 1 леммы 2.2 это определение корректно. Очевидно, что Д непрерывны. Лемма 2.5. Последовательность функций {Д} е« равномерно сходится. Доказательство. Зафиксируем точку те [0,1). По пункту 2 следствия 2.3 найдется последовательность {щ, ..nit..) Є NN такая, что х є Тщ... ,... Тогда fi(x) = ЬПІ,..ПІ- Для начала докажем, что последовательность {/i( )}ieN фундаментальна. Рассмотрим номера fc, m є N такие, что т k : Значит, существует Іііщ-юс Д(х), который мы обозначим через /(х). Теперь докажем, что последовательность функций Д равномерно сходится к f(x) . 2 2К«+Ч/2] = 2t( )/ai-» ( ПР" Ш Мы получили, что для любой точки х Є [0,1) выполняется j/(x) — /m(z)l 5 1/21 +1 2 2 , следовательно, функциональная последовательность Д равномерно сходится к функции /. Лемма 2.5 доказана. Итак, мы построили отображение j(x) = limt oo Д(х) , которое переводит полуинтервал [0,1) в R. Мы докажем, что это отображение непрерывно, открыто, и образом /([0,1)) является интервал Доказательство. Пусть х Є [ЬП11„)Г1к - ,,,,. Ь«і,..,т. + ....я ] Выберем индукцией по і номера mj Є N таким образом, что База индукции при і = О выполнена. Предположим, что мы построили тп такое, что (68) выполняется при г = п. Построим mn+l так, чтобы (68) выполнялось при і = п + 1. Рассмотрим два случая: 1. По пункту 6 леммы 2.2 получим Тогда по (66) Итак, мы построили последовательность {т } такую, что выполняется (68). Положим Из леммы 2.4 следует, что диаметр i?„ стремится к нулю, при п —» оо. Кроме того, система множеств i/n центрирована, так как по (68) т Є Я„. А поскольку bn,...,nfc,mi....tn» Я„, то получаем, что Снова получаем, что выполняется (71). Применив лемму 2.6, получим, что х Є f{Tni,..,nk,m)- Из пункта 1 леммы 2.2 получим, что /C?ni,..,nfc) Э х, включение " Э" доказано. Для доказательства второго включения докажем следующую лемму. Лемма 2.8. ДЛЯ любых (щ, ..}щ,..) Є NN, к Є w найдется є 0 такое, Второе неравенство, утверждающее, что доказывается аналогично. Лемма 2.8 доказана.
Продолжим доказательство леммы 2.7. 2е. Докажем, что Зафиксируем произвольную точку х Є TniT..i7,fc. По следствию 2.3 существует последовательность (mb ..,mj,..) NH такая, что х Є Tmi,.., ,,,.. Из пункта 1 леммы 2.2 следует, что mi = тії, тк = "ь По определению f(x) — limj oobjnj n,.. Для произвольного і N большего к, применив лемму 2.8 (г — к) раз, получим следующую цепочку вложений: А поскольку f(x) = linii-+oobmi....mo то мы доказали второе включение. Лемма 2.7 доказана. Следствие 2.9. Образ полуинтервала [0,1) при отображении f равен интервалу (—1,1). Доказательство. Достаточно взять k = 0 и применить лемму 2.7. Следствие 2.10. ДЛЯ любой точки с Є [0,1) найдется база окрестностей в этой точке В(с) такая, что для любой U Є В (с) образ f(U) открыт в Е. Доказательство, По следствию 2.3 найдется последовательность (пі,.., п ,..) такая, что с Є ПієгЛ0"!.-.". ПІ.--.«І + щ,-.".)- Тогда искомая база окрестностей в точке с имеет следующий вид: Включение " С " следует из леммы 2.7. Обратное включение " Э " доказывается практически так же, как и часть 1 доказательства леммы 2.7, только с небольшим изменением: в обоих пунктах, и а), и Ь), на то накладывается дополнительное условие: тпо должно быть настолько большим, чтобы выполнялось условие: в-пх,..,пк,т с (тот факт, что так можно сделать, следует из пункта 8 леммы 2.2). Все рассуждения при этом сохранятся, и мы получим, что /(ТПіі..П(!іт) Э х, А поскольку аП1 пк,т с, то ), следовательно, /([с, ani,..,nk + п1,..,пк)) Э X, ЧТО И требовалось. Второе включение доказано, а вместе с ним доказано и следствие 2.10. Лемма 2.11. Отображение f открыто и непрерывно. Доказательство. Отображение / непрерывно, как предел равномерно сходящейся последовательности функций (лемма 2.5). Тот факт, что отображение / открыто вытекает из следствия 2.10. Лемма 2.11 доказана. Объединив следствие 2.9 и лемму 2.11 мы получим, что теорема 2.1 доказана. Непосредственно из теоремы 2.1 вытекает Следствие 2.12, Существует непрерывное открытое отображение прямой Зоргенфрея S на отрезок [0,1]. Теперь мы докажем теорему 2.15. Предварительно сформулируем две теоремы из общей топологии, из которых теорема 2.15 следует.
Пространство непрерывных функций над прямой Зоргенфрея
Обратное включение " Э " доказывается практически так же, как и часть 1 доказательства леммы 2.7, только с небольшим изменением: в обоих пунктах, и а), и Ь), на то накладывается дополнительное условие: тпо должно быть настолько большим, чтобы выполнялось условие: в-пх,..,пк,т с (тот факт, что так можно сделать, следует из пункта 8 леммы 2.2). Все рассуждения при этом сохранятся, и мы получим, что /(ТПіі..П(!іт) Э х, А поскольку ), следовательно, /([с, ani,..,nk + п1,..,пк)) Э X, ЧТО И требовалось. Второе включение доказано, а вместе с ним доказано и следствие 2.10. Лемма 2.11. Отображение f открыто и непрерывно. Доказательство. Отображение / непрерывно, как предел равномерно сходящейся последовательности функций (лемма 2.5). Тот факт, что отображение / открыто вытекает из следствия 2.10. Лемма 2.11 доказана. Объединив следствие 2.9 и лемму 2.11 мы получим, что теорема 2.1 доказана. Непосредственно из теоремы 2.1 вытекает Следствие 2.12, Существует непрерывное открытое отображение прямой Зоргенфрея S на отрезок [0,1]. Теперь мы докажем теорему 2.15. Предварительно сформулируем две теоремы из общей топологии, из которых теорема 2.15 следует. Теорема ([2], гл. VI, упр.87, стр.353) 2.13. Пусть / — непрерывное замкнутое отображение паракомпакта X на Ті -пространство Y с первой аксиомой счетности. Тогда существует такое замкнутое подпространство X пространства X, что f(X ) = У и f0 = f \Х , /о : X — Y — совершенное отображение. Теорема ([12], у пр.5.5.7(b), гл-V) 2.14. Паракомпакт X с диагональю Д типа G$ в X У. X метризуем в том и только том случае, если X допускает совершенное отображение на метризуемое пространство. Теорема 2.15. Пусть f : BcS- E — непрерывное замкнутое отображение подпространства В прямой Зоргенфрея в числовую прямую. Тогда его образ j {В) счетен.
Доказательство. Положим A = f(B), От противного, пусть А ш. Так как прямая Зоргенфрея наследственно паракомпактна, то по теореме 2.15 существует подпространство В С В такое, что /о = f\B : В — А — совершенное отображение и /о(В ) = А. Поскольку очевидно, что В имеет диагональ G& в В хВ , то по теореме 2.14 В метризуемо. Поскольку множество А несчетно, то несчетно и В" = f l(A), следовательно, сетевой вес В несчетен [43]. Поскольку прямая Зоргенфрея наследственно сепарабельна и В метризуемо, то вес В счетен, следовательно, счетен и его сетевой вес. Мы получили противоречие, тем самым доказали теорему 2.15. Следствие 2.16. Не существует непрерывного замкнутого отображения прямой Зоргенфрея на числовую прямую R или на отрезок Ї. Докажем последнюю теорему этого параграфа. Теорема 2.17. Существует уплотнение прямой Зоргенфрея на вещественный отрезок. Доказательство. Учитывая лемму 1.3 будем строить уплотнение / из полуинтервала [0,1) на отрезок [0,1]. Зафиксируем последовательность хп = 1/п, сходящуюся к точке 0. Определим / следующим образом: /(0) = 0 и для любого nN отображение / переводит полуинтервал [хп+і,хп) на полуинтервал (:rn+i,xrt], при этом на [ сСц+ъ %п) отображение / действует как симметрия san : К -» Ж с центром в точке а„ — "+ "t , Очевидно, что определенное таким образом отображение / является биекцией между полуинтервалом [0,1) и отрезком [0,1]. Чтобы доказать непрерывность отображения / в точке а Є [0,1) нужно рассмотреть два случая: 1) а = 0 и 2) найдется п Є N такое, что а Є [хп+і,хп). Во втором случае непрерывность очевидна. В первом случае нужно доказать, что для любого " $ 0 найдется є 0 такое, что /([0, є)) С [0,5). Найдем ті Є N такое, что 1/п 5, и возьмем = 1/п. Тогда для любого целого г п выполняется f([xi+i,Xi )) = (ri+l,Xj] С [0, 5), следовательно, /([0, є ) С [0,5), что и требовалось.
Теорема 2.17 доказана. 2.2, Пространство непрерывных функций над прямой Зоргенфрея. Пространство Ср{Х) состоит из множества всех вещественных функций на X, наделенного топологией поточечной сходимости. Напомним, что база окрестностей функции g Ср(Х) образуется множествами вида W[g,xl,...,xm,e) = {f Є Ср(Х)\для любого і {1,...,т} \/{х ) - д(х{)\ є}, где raeN, х1,...,хт є X и є 0. Известно, что СР(Х) сепарабельно тогда и только тогда, когда X уплотняется на пространство со счетной базой (см. [3], гл.1, 1). Поскольку S" уплотняется на R", то пространство Cp(Sn) сепарабельно. В этом параграфе мы докажем, что пространство CP(S") также секвенциально- Теорема 2.18. Для любого п N пространство CP(S") секвенциально-сепарабельно. Доказательство. Для каждого А; Є N рассмотрим множество ступенчатых функций из 3" в Ж с носителем [—к, к)п таких, что на каждой ступеньке вида П»=і[тЬ Г ) Pi е они принимают постоянное значение из множества рациональных чисел Q. Итак, А„ = {/ : S" -+ R / Is-u-fcjk)» = 0 и / 1 = zpu. n Q] . (72) Поскольку любой полуинтервал вида [а,Ь) открыто-замкнут в , то множества вида ПГ=і[ ї) лежащие в [—&, к)п, вместе с п \ [—к, к)п разбивают п на открыто-замкнутые подмножества, следовательно, функции из Ак непрерывны, Множество Af. счетно, так как каждая функция / е Ah однозначно определяется своими значениями на конечном множестве
