Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Сайты и полные брауэровы решетки 22
1. Предпучки и т-замыкания 22
2. Функторы, индуцирующие эквивалентности категорий пучков и (К,т)-пространства 52
3. Локальная конечность и представимые семейства 83
4. Нормальные (К,т)-пространства и пространства Майкла 116
5. Нормально вложенные элементы и нормально расположенные семейства 133
Глава II. Пучковые когомологии (к,т)-пространств 150
1. Когомологии и локализация 150
2. Теоремы сравнения и обращения в нуль 181
3. Бипучки и суммирование локально конечных семейств 201
Глава III. Когомологическая размерность (к,т)-пространств 230
1. Вялые и мягкие пучки 230
2. Когомологическая размерность пространств Майкла 258
Глава IV. Когомологии топологических и равномерных пространств 282
1. Когомологии и размерность А-полурешеток 282
2. Когомологии и размерность топологических пространств 301
3. Когомологии и размерность равномерных пространств 323
Литература 334
- Функторы, индуцирующие эквивалентности категорий пучков и (К,т)-пространства
- Нормально вложенные элементы и нормально расположенные семейства
- Теоремы сравнения и обращения в нуль
- Когомологическая размерность пространств Майкла
Введение к работе
Основные объекты исследования данной работы - категорные аналоги и обобщения понятия топологического пространства, названные нами (К,т)-пространствами, являются предпучками множеств на категории К. Топология Гротендика Т задает на них различные структуры, отражающие специфику изучаемой ситуации. Особое внимание уделяется пространствам Майкла, то есть (К,т)-пространствам, удовлетворяющим условиям типа паракомпактности.
Анализируются структуры подпространств (К,1)-пространства, группы когомологий с коэффициентами в пучке, когомологические размерности, определяются группы гомологии. На основе общего категорного понятия вялости [44] вводятся и изучаются классы вялых и мягких пучков, а также вялая и мягкая размерности (К,т)-пространств. Основные результаты относятся к случаю, когда категория К является квазиупорядоченным множеством, то есть малой категорией, множество морфизмов между любыми двумя объектами которой не более, чем одноэлементно.
Частными случаями групп когомологий (К,Т)-пространств являются производные функторы обратного предела спектров абелевых групп. Как известно [80], важным для их изучения понятием является понятие вялого спектра, определяемое по аналогии с вялыми пучками на топологических пространствах. Сами же производные функторы обратного предела не только служат аппаратом, используемым в алгебраической топологии и гомологической алгебре, но и являются объектами исследования в рамках теории размерности малых категорий и частично упорядоченных множеств [67].
Каждому топологическому или равномерному пространству можно многими способами сопоставить (К,т)-пространство. Мы делаем это таким образом, что получаемые (К,Т)-пространства являются пространствами Майкла, то есть в некотором смысле паракомпактными. Применяя общие результаты о (К,Т)-пространствах, мы получаем теоремы о когомологиях и когомологических размерностях топологических и равномерных пространств, размерности Бредона, о непрерывных и равномерно непрерывных отображениях. Важной характеристикой (К,т)-пространства является тот факт, что некоторое множество его подпространств образует полную брауэрову решетку, в другой терминологии - фрейм.
Таким образом, представляемое исследование лежит на стыке общей теории пучков и пучковых когомологий на сайтах, когомологической теории вялой и мягкой размерностей, теории производных функторов обратного предела, когомологической теории частично упорядоченных множеств, теории когомологий и теории размерности топологических и равномерных пространств. Каждая из этих.областей активно развивается.
Основное из связанных с топологией направлений в теории фреймов основано на том, что фреймом является множество открытых подмножеств топологического пространства. Поэтому понятия и результаты общей топологии, при получении которых можно ограничиться рассуждениями с открытыми множествами, переносятся на фреймы, как, например, в работах [52], [53], [57], [62], [78], [79], [90].
Когомологий и гомологии частично упорядоченных множеств развиваются как из внутренних потребностей теории, так и в целях обобщения имеющихся топологических результатов, а также самых разных приложений [10], [16], [47], [63], [71], [74], [55], [76], [92], [95], [96]. Особое направление составляет теория гомологической размерности малых категорий и частично упорядоченных множеств [48], [49], [67]; библиография по этой теме составляет порядка двухсот работ.
С момента формирования классической теории пучков на топологических пространствах [2], [4], [5], [81], указанная область обогатилась теорией производных категорий, новыми понятиями и приемами, описанными в книгах [69] и особенно [11]. Традиционные темы теории паракомпактных и локально компактных пространств, связанные с гомологиями, когомологиями, в том числе когомологиями Александера - Спеньера, когомологиями с носителями, мягкой размерностью, отражены в работах [17], [20], [21], [22], [54], [58], [59], [70], [82], [86], [88], [97].
Как выяснилось в исследованиях А.Гротендика и его последова-телей [51], [64], [65], пучковые когомологии определяются небольшим количеством простых свойств класса открытых покрытий данного топологического пространства. Формализация этих свойств привела к понятию топологии Гротендика на произвольной категории и позволила не только углубить результаты в традиционных для теории пучков областях, но и существенно расширить область ее применения. При этом из-за общности нового понятия пучка объекты исследования весьма разнообразны. В терминах пучков описывались представления групп [3], когомологии слоений [66], свойства динамических систем [91], свойства класса борелевских множеств [93], изучались классы пучков и топосы Гротендика на решетках [94], топологии Гротендика и пучки определялись на 2-категориях [89].
Пара (К,Т), где К - категория, а т - топология Гротендика на К, называется сайтом. Теория пучков на топологическом пространстве совмещается с общей теорией пучков на сайтах следующим образом. Если X топологическое пространство, то множество ОХ его открытых подмножеств рассматривается как множество объектов категории, морфизмами которой служат включения. Стандартная теория пучков получается, если топология Гротендика задается всеми открытыми покрытиями всех U€0X. В 1980-х годах автор заметил [23], что если ограничиться классом нормальных покрытий, то получается топология Гротендика на ОХ и содержательная теория когомологий, расширяющая класс топологических пространств, к которым применимы те методы теории пучков, которые до этого были развиты для пара-компактных пространств.
Открытое покрытие топологического пространства называется нормальным или нумерируемым, если имеется подчиненное ему непрерывное разбиение единицы, или, что эквивалентно, если в него можно вписать локально конечное покрытие конулевыми множествами.
Разбиения единицы широко применяются в топологии и анализе, конечные покрытия конулевыми множествами использовались в теории размерности с начала 1950-х годов. Класс нормальных покрытий оказался полезным в теории расслоений [60], в переносе результатов и конструкций с категории полиэдров на категории более общих топологических пространств и в других ситуациях [1], [6], [56], [73], [75]. В частности, с его использованием были определены нормальные когомологий Александрова - Чеха и нормальная размерность топологического пространства (в обычных определениях класс всех открытых покрытий заменяется на класс нормальных), доказана гомотопическая представимость нормальных когомологий, дана когомологическая характеристика нормальной размерности. Нормальная размерность изучалась в связи с тем, что с одной стороны она является естественным аналогом лебеговской размерности, наследуя многие ее свойства, а с другой - для любого вполне регулярного пространства X она равна лебеговской размерности Стоун - Чеховского расширения рХ.
Размерность топологического пространства была одним из основных понятий, вокруг которых сформировалась и на протяжении десятков лет развивалась общая топология. Она была охарактеризована с помощью групп гомологии, что дало начало гомологической теории размерности, лежащей на стыке общей и алгебраической топологии. Итоги ее развития для локально компактных и паракомпактных пространств подведены в обзорах [13] и [7]. Деятельность в этом направлении продолжается, решаются старые задачи [8], даются новые определения, связанные с когомологическими функторами, отличными от обычных когомологий [61]. Отметим, также, что лебеговская размерность и ее аналоги, в том числе (ко)гомологические, играют важную роль в активно развивающейся в последнее время асимптотической топологии, где вопросы, связанные с классическими понятиями теории размерности, весьма актуальны [9].
Понятие размерности широко применяется и в гомологической алгебре, причем размерность объекта абелевой категории часто определяется через длины его резольвент того или иного типа. Лебеговская размерность топологического пространства определяется через кратности покрытий и считается основной. С появлением теории пучков выяснилось, что она также может быть выражена через длины резольвент. А именно, если Х- конечномерное паракомпактное топологическое пространство, то его лебеговская размерность равна наименьшей длине мягких резольвент постоянного пучка целых чисел над X. Такая характеристика получена за счет особых свойств мягких пучков и факта изоморфности когомологий Александрова - Чеха когомологиям Гротендика, то есть производным функторам функтора перехода от пучка к группе его глобальных сечений. Аналогично, через вялые резольвенты были определены вялая размерность и размерность Бредона [2], [15], связанные с лебеговской. Таким обра зом, в теории когомологической размерности топологических пространств заработали методы гомологической алгебры и активно развивающейся теории пучков. Были выявлены новые свойства когомологической размерности и существенно обобщены известные ранее.
Некоторые итоги этого этапа были подведены в работах [13], [15], [2]. Упомянутые выше, близкие и аналогично определяемые классы пучков и различные связанные с ними понятия активно изучаются [11]. Задача их изучения по-прежнему остается актуальной.
В описываемом круге вопросов теория пучков применяется к наследственно паракомпактным, а также к локально компактным пространствам, несколько менее эффективно к паракомпактным пространствам. Однако класс паракомпактных пространств не является вполне естественным. Известно, что подпространство паракомпактного пространства может не быть даже нормальным, не нормальным может быть и пространство гладких отображений между двумя многообразиями. В связи с этим и были определены упомянутые выше нормальные когомологий и размерность, дающие удовлетворительные результаты для вполне регулярных пространств.
С 1950-х годов изучалась также размерность равномерных пространств (размерность Исбелла), определяемая по аналогии с лебе-говской размерностью по кратностям равномерных покрытий [68]. Позже была построена теория групп когомологий равномерных пространств Чеховского типа [14]. В терминах этих групп была дана когомологическая характеристика размерности Исбелла, что позволило дать содержательное определение когомологической размерности равномерного пространства. Что касается пучков, то обычная теория пучковых когомологий не отражает специфики равномерной структуры, поскольку определяется индуцированной топологической структурой.
Эффективность теории пучков в топологии во многом объясняется фактом изоморфности когомологий Гротендика и Александрова-Чеха. Но это не всегда имеет место даже для "хороших" пространств и групп когомологий. Например, группы когомологий, определяемые по конечным покрытиям, еще в 1940-х годах были использованы для характеристики размерности нормальных пространств [50]. Применяются они и в современных исследованиях. Однако, даже для конечномерных метрических пространств, они не изоморфны, вообще говоря, обычным пучковым когомологиям Гротендика.
Упомянутые выше, а также и другие примеры, связанные, например, с теорией решеток, в том числе фреймов, ставят задачу распространения обычной теории пучков и пучковой когомологической размерности на возможно более широкий класс объектов и топологий Гротендика. Объекты произвольных категорий представляются (К,т)-пространствами. Ограничения же на топологию Гротендика определяются теми свойствами, которыми мы хотим наделить получающуюся теорию.
Схема построения когомологической теории мягкой и вялой размерностей паракомпактных пространств, согласно работам [13], [2] и [15], может быть описана следующим образом. Если X - топологическое пространство, А - абелев пучок на X, U =X - открыто, A=X\U, то НП(1Ы) - это (Rnrx)U), где Ги( )= (и), 1 - п-й правый производный функтор Г„. Обозначим через Aj подпучок А, ограничение которого на U совпадает с ограничением А на U, и который равен 0 вне U, а А определим из точной последовательности пучков О— Лт— А—»А—-О. Группа Hn(X,X ) при некоторых, достаточно слабых, ограничениях на включение А—»Х изоморфна НП(А,ЛА), откуда, как точная последовательность производных функторов, следует точная последовательность пары (Х,А), где А =Х замкнуто. Если обозначить Гх U( )={S€ (X)SU=0}, то имеется точная слева последовательность О—»ГХ гг(Л)— Л(Х)— A(U)—»0, которая точна, если А инъективный пучок. Полагая (RnIV тт) (Л)=Нп(Х,и,Л) получаем точную последовательность когомологий пары (X.U). Вялая Л-размерность пространства X определяется, как минимум длин вялых резольвент А, а размерность Бредона - как sup вялых Л-размерностей по всем пучкам А на X. Вялая -размерность характеризуется рядом условий, одно из которых такое: она п о НП(Х,Л)— Нп(и,Л) - эпиморфизм для любого открытого U =X. Вялый пучок ацикличен, точнее, Нп(и,Л)=0=Нп(Х,и,Л) при П 1 для любого открытого U =X, и любой инъективный пучок вял.
Пусть теперь X - паракомпактное пространство. Пучок А называется мягким, если каноническое отображение А(Х)— А (X) является эпиморфизмом для любого замкнутого множества А. Так как X пара-компактно, то всякий инъективный пучок мягок, а всякий мягкий ацикличен, точнее, Нп(Х,Л.)=0 при n 1 .
Когомологическая (мягкая) -размерность X - это минимум длин мягких резольвент А. Если лебеговская размерность dlmX oo, то dlmX равна мягкой Z-размерности X и равна максимуму мягких Л-размерностей X по всем абелевым пучкам А. Мягкая размерность характеризуется различными способами, один из которых такой: она п о НП(Х,Л)— Нп(Х,Лд ) - эпиморфизм для любого замкнутого А =Х.
Далее теория мягкой размерности паракомпактных пространств строится так. Существенно используя мягкость инъективных пучков и ацикличность мягких, доказывается ряд критериев мягкости, опираясь на которые получаются основные теоремы когомологической мягкой размерности: локально конечной и счетной суммы, Даукера, о монотонности размерности, теорема Ситникова о препятствиях в когомологической форме. Строится спектральная последовательность непрерывного отображения f :Х—»Y, сходящаяся к когомологиям пространства X и из нее выводятся теоремы о поведении размерности при непрерывных отображениях и условия когомологической эквивалентности отображения 1.
Очевидная параллельность при изложении теорий вялых и мягких пучков и размерностей объясняется и используется так. Пусть СХ -множество замкнутых подмножеств паракомпактного пространства X, А - пучок на X, „А абелев предпучок на СХ, задаваемый равенством w4(A)=A (X). Тогда мягкость А - это то же самое, что вялость ХЛ. Если на СХ задать топологию Гротендика, полагая сС={А- =А l€l}€V(A) о в сС вписывается локально конечное в X замкнутое покрытие А, то jA становится гнпучком и функтор А— А из 5 в S точен. В [42] доказано, что мягкая Л-размерность X равна минимуму длин вялых резольвент ХЛ.
При реализации этой схемы используются, иногда неявно, следующие важные свойства:
(I) Множество ОХ всех открытых подмножеств X, упорядоченное по включению, является фреймом, и cC={U.cX 1} является покрытием U =X о supcC=U в ОХ (то есть о сСбА,(Х), где А, - каноническая топология Гротендика на ОХ), так что пучок на X - это то же самое, что Х-пучок на ОХ.
(II) В любое открытое покрытие X, то есть в любое СССАДХ), вписывается локально конечное замкнутое покрытие X.
(III) Если ее локально конечное замкнутое покрытие множества F, А пучок на X, то 1г(а, А)=Ар (X), где „А задается равенством ХЛ(С)=А, (X). Точнее, если [і топология Гротендика на множестве СХ замкнутых подмножеств X, задаваемая локально конечными замкнутыми семействами, то соответствие А\- -угА является точным функтором из категории Л,-пучков в категорию (Х-пучков.
(lv) Любое сечение абелева пучка продолжается с замкнутого множества на некоторую его окрестность, или, что равносильно, инъективные пучки являются мягкими.
(V) Вялые и мягкие пучки ацикличны.
В ситуации произвольных частично упорядоченных множеств условие (I) очевидно не выполняется, условие (11) нарушается для любых не паракомпактных пространств. Нетрудно привести примеры нарушения условий (111) и (lv). Условие (v), нуждающееся в нетривиальном доказательстве в случае паракомпактных пространств, тем более должно доказываться в более общих случаях.
Опишем технические приемы, позволяющие реализовать эту схему для квазиупорядоченных множеств (обозначения и термины приводятся в основном тексте).
Проще всего добиться выполнения условия (1). Доказывается, что если 1 - терминальный объект категории предпучков множеств на К (в частности, являющийся (К, т)-пространством), то упорядоченное по включению множество его подпространств Кл является фреймом, и имеется функтор J :К— КЛ , индуцирующий эквивалентность кате X I у X гории абелевых Т-пучков и категории абелевых канонических пучков на EL . Таким образом, мы можем, не теряя общности, работать в
I , X
ситуации, когда выполняется свойство (1).
Более того, если U любое (К,Т)-пространство, то мы трактуем его, как обобщенное топологическое пространство, а его подпространства, как открытые подмножества. Согласно "обобщенной теореме Стоуна" [34] множество Kxj является фреймом.
Для работы с аналогами замкнутых множеств, то есть элементами А €(КТТ ) , а также локально замкнутых множеств, используется
U у X
А-полурешетка с нулем L-, , из [41], где в качестве L берется
Kg . Ее элементы имеют вид А,АВ, где А.ВсКц- , так что очевидным образом определяется локальная конечность в U семейства {А €(Ктх ) ( 1}. Такие семейства образуют субканоническую топологию V на (Kg ) и если Л - Т-пучок, то предпучок ЛіМ), задаваемый равенством ттД(Л) (A )=Hom(U,A. , ) является г -пучком. Условие (11) заменяется на его решеточный аналог, так что удовлетворяющее ему (К,X)-пространство называется пространством Майкла. При его выполнении доказывается, что Bh: S — S - точный функтор. Свойства (111), (lv), и другие нужные для реализации схемы свойства выводятся из (1) и (11). Для формулировки достаточных условий ацикличности вялых и мягких пучков вводится и анализируется понятие представимых семейств [39], [41].
Если же мы хотим применить указанные результаты к топологическим пространствам, то возникают затруднения, связанные с тем, что в общих топологических пространствах нарушается равенство Н (ос,хЛ)=Ар(Х). Поэтому приходится рассматривать подрешетку N =K , для каждой пары элементов которой выполняется условие (111), то есть, в соответствие с вводимой терминологией, каждая пара является алгебраически нормально расположенной.
Топологическое условие, влекущее (111), носит название нормальной расположенности. Решеточный анализ его, в контексте топологий Гротендика, вместе с сопутствующим анализом субканонических топологий и понятия локальной конечности, в терминах которого формулируются многие из основных результатов работы, опубликован в [41], а также в [35] и [36]. Алгебраическая нормальная расположенность анализируется в [41] и [37].
Таким образом, общая схема оказывается применимой и к общим топологическим пространствам. Для равномерных пространств не требуется дополнительных топологических рассмотрений.
Диссертация состоит из 4 глав. Глава I содержит 5 параграфов. В ней выявляются топологические, в смысле топологий Гротен-дика, свойства (К,т)-пространств, используемые далее в теории когомологий и в приложениях.
В §1 вводится, следуя [64], понятие топологии Гротендика на категории, а также сопутствующие понятия, связанные с предпучками множеств. Формулируются свойства категорий предпучков и пучков множеств и универсальных алгебр и анализируется технически важное понятие т-замыкания. Замечается (теорема 1.4.4), что класс т-замкнутых подпредпучков предпучка множеств является фреймом, если его элементы образуют множество. Формулируется ряд технических результатов о топологиях Гротендика, используемых в дальнейшем. Доказательства часто опускаются, если они тривиальны,, либо, в отличие от формулировок, не существенны для дальнейшего. Необходимые подробности содержатся в [34] и [41]. В целом можно сказать, что параграф состоит из удобных для целей дальнейшего изложения переформулировок результатов работ [64] и [65].
В §2 доказывются теоремы о функторах между категориями, индуцирующими эквивалентности категорий пучков или предпучков. Наиболее часто используется в остальной части работы лемма 2.2.6, являющаяся обобщением леммы сравнения из работы [64], также лемма 2.2.7 [34]. Далее вводится понятие (К,т)-пространства - основного объекта исследований в данной работе, а также связанного с ним понятия F-пространства. Определяется каноническая пара топологий Гротендика на (К,т)-пространстве, доказываются их общие свойства. В конце параграфа рассматриваются группы гомологии на (К,Т)-пространстве. В качестве базисной теории берутся гомологии Ситни-кова [18]. В частном случае метрического топологического пространства получается формула для ситниковских цепей [19], [29], отсутствующая, как известно, в первоначальном определении Ситни-кова.
В §3 рассматриваются решеточные аспекты нескольких, основных для дальнейшего, понятий, а также свойств элементов и семейств элементов (К, т)-пространств. Анализируются нормальная вложенность, нормальная расположенность, локальная конечность, представимость. Кроме того, формулируются условия, при которых локально конечные семейства образуют топологии Гротендика. Устанавливается связь условий дистрибутивности с локальной конечностью. Все результаты этого параграфа подробно изложены в работе [41], а также в работах [35], [36].
В §4 вводится понятие пространства Майкла. Мы выделяем одно из условий, эквивалентное паракомпактности топологического пространства в силу соответствующей теоремы Майкла [12], и кладем его в основу определения. Доказываются топологические свойства пространств Майкла, аналогичные свойствам паракомпактных пространств. Вводится и изучается понятие нормальности в (К,т)-пространстве.
В §5 рассматриваются свойства замкнутых элементов квазиупо-рядоченых множеств, которыми должны обладать замкнутые подмножества топологических пространств для удобства формулировок некоторых теорем когомологической пучковой теории общих топологических пространств. Выделяется нужный класс замкнутых элементов и доказываются его свойства [41]. Кроме того, доказывается важный для приложений общей теории результат об эквивалентности некоторого свойства А-полурешетки, снабженной топологией Гротендика, тому факту, что сопоставляемое ей (К, т)-пространство является пространством Майкла (лемма 5.2.3). Вводится понятие размерности (К,т)-пространства и относительной размерности замкнутого элемента решетки, по аналогии с лебеговской, по кратности семейств элементов, так или иначе связанных с заданной топологией Гротен-дика.
В целом глава I содержит вспомогательные сведения, небходи-мые для проводящегося в последующих главах анализа когомологий и когомологической размерности.
Глава II, состоящая из трех параграфов, содержит общие конструкции и результаты теории пучковых когомологий.
В §1 формулируются общие свойства категорий абелевых пред- пучков и пучков на сайтах [64], [65], используемые в дальнейшем. Определяются пучковые группы когомологий Гротендика
(К,т)-пространства, формулируются их основные свойства. Вводится каноническая короткая точная последовательность пучков, соответствующая (К.Т)-пространству. Основные результаты содержатся в лемме 1.4.7 и теоремах 1.4.9 и 1.4.10. В первых двух содержатся аддиционные когомологические последовательности, доказывается локальность когомологий, даются достаточные условия жесткости когомологий, локальной продолжимости гомоморфизмов предпучков множеств. В последней доказывается, что функтор когомологий продолжается с фрейма Ктт _ на л-полурешетку локально замкнутых элементов, что является важным для дальнейшего техническим результатом.
В §2 доказывается, что группы когомологий Гротендика любого пространства Майкла могут быть получены предельным переходом из когомологий нервов покрытий, то есть изоморфны когомологиям Чеха (теорема 2.2.5). Кроме того, из известных результатов гомологической алгебры выводится, что когомологий Чеха (К,Т)-пространств обращаются в нуль в размерности, превышающей размерность пространства.
В §3 устанавливаются условия, при выполнении которых из того, что предпучок на произведении сайтов (ЬД) и (N,v) является пучком по одному аргументу, следует, что он является пучком и по второму, а также условия, при которых из А,-точности последовательности предпучков следует г -точность. Формулируются вспомогательные результаты об ацикличности. Доказывается ацикличность тонких пучков и устанавливаются достаточные условия разложимости в локально конечную сумму гомоморфизма из (К,т)- пространства в абелев пучок. Кроме того, устанавливаются когомологические свойства нормальной расположенности (определение 1.5.1.1 ).
Глава III является основной в диссертации.
В §1 вводится понятие вялости и вялой размерности объектов абелевой категории и доказываются характеристики вялой размерности (теорема 1.1.6). Несмотря на формальную простоту, эти понятия и результаты эффективно применяются в дальнейшем к вялым и мягким пучкам и размерностям (К,т)-пространств и относятся к центральным в работе.
Выделяются условия ацикличности вялых пучков (теоремы 1 .3.6, 1.3.7 и 1.3.8), вводятся семейства носителей и определяются кого-мологии с носителями, в терминах которых даются характеристики вялых размерностей, другие характеристики выводятся из соответствующих общих результатов начала параграфа.
Полученные результаты применяются к производным функторам обратного предела на дистрибутивной решетке. Показывается, что их частными случаями являются некоторые классические результаты теории производных функторов обратного предела на счетных множествах.
Далее рассматриваются мягкие пучки и мягкая размерность, и при условии ацикличности мягких пучков даются характеристики мягкой размерности.
В §2 представлены наиболее полные результаты, относящиеся к пространствам Майкла. Доказывается тонкость инъективных и мягкость и ацикличность тонких пучков (теорема 2.1.7), ацикличность и ряд других важных свойств мягких пучков, в том числе некоторые критерии мягкости (теоремы 2.2.2, 2.2.8), доказывается ряд теорем о свойствах мягкой размерности: теоремы о препятствии, о размерности локально конечной и счетной суммы, о монотонности размерности, о локальности размерности, Даукера (соответственно, теоремы 2.3.3, 2.3.4, 2.3.5, 2.3.6, 2.3.5, 2.3.8), устанавливается связь между вялой и мягкой размерностями. Все основные результаты этой главы опубликованы в [44].
В главе IV даются некоторые приложения полученных результатов к топологическим и равномерным пространствам.
В §1 результаты предыдущих глав I и III переформулируются для Л-полурешеток.
В §2 изучаются нормальные пучки и когомологии топологических пространств. Формулируются нужные свойства нормальных покрытий [6], [34], а также свойства нормальных топологий Гротендика, то есть таких, которые задаются нормальными покрытиями. Доказываются основные свойства: изоморфность нормальных когомологии Чеха и Гротендика, жесткость когомологии, когомологические характеристики вялой размерности. Доказываются основные теоремы мягкой когомологической размерности, в том числе, теоремы типа Гуревича и Вьеториса-Бегля о когомологических свойствах непрерывных отображений [24], [25], [30], [31], [32], [34]. В частности, доказывается монотонность мягкой размерности по функционально открытым подмножествам и, на основании этого, устанавливается связь между вялой и мягкой размерностями. Отмечается, что из свойств нормальной расположенности и результатов §1 следует описание мягкой размерности как вялой.
В качестве частного случая одной из доказанных теорем получается, например, описание когомологий метрических пространств, задаваемых конечными покрытиями (или бесконечными покрытиями ограниченной мощности), как когомологий Гротендика.
Доказывается, что нормальные группы когомологий, в том числе и определяемые по конечным покрытиям, могут быть описаны, как когомологий Александера-Спеньера (с соответствующими изменениями в определении последних).
В §3 на произвольном равномерном пространстве определяются пучковые когомологий, причем соответствующая топология Гротендика задается конечными равномерными покрытиями. Доказывается, что соответствующее (К.Т)-пространство является пространством Майкла, так что можно применить результаты §1 и главы III, в частности результат об изоморфности когомологий Чеха и Гротендика. По теореме 3.3.1, пучковые когомологий с постоянными коэффициентами конечномерного равномерного пространства изоморфны когомологиям Кузьминова - Шведова. На основании этого и когомологической характеристики размерности Исбелла [14] из общих теорем о мягкой и вялой размерностях (теоремы 3.3.2, 3.4.1, 3.4.3, 3.4.4, 3.4.5) получаются результаты о размерности Исбелла и размерности Бредо-на, определяемой по аналогии с соответствующим топологическим понятием [2].
Из общих результатов §2 выводится существование спектральной последовательности равномерного отображения, доказывается теорема типа Гуревича о замкнутом отображении равномерного пространства на компактное (теорема 3.6.2). Доказывается также, что когомологий Кузьминова - Шведова могут быть описаны, как когомологий Александера-Спеньера (соответствующим образом модифицированные).
Таким образом, к основным результатам, полученным автором, можно отнести следующие:
1. Найдены когомологические характеристики вялой размерности объектов абелевой категории, определяемой, как минимальная длина вялых резольвент. На этой основе даны когомологические характеристики вялых и мягких размерностей (К,т)-пространств.
2. Для (К,т)-пространств и пространств Майкла доказаны аналоги и обобщения основных теорем когомологической теории размерности паракомпактных топологических пространств.
3. Для случая, когда К - квазиупорядоченное множество, доказана изоморфность групп когомологий Гротендика и Чеха (К.т)-пространств Майкла и доказана жесткость когомологий.
4. Доказана изоморфность групп когомологий Кузьминова - Шведова и пучковых групп когомологий Гротендика конечномерных равномерных пространств, на основании чего для таких пространств дана характеристика размерности Исбелла в терминах пучковых групп когомологий, а когомологическая размерность Кузьминова - Шведова охарактеризована, как мягкая. Из общих результатов о когомологиях и размерностях (К,т)-пространств выведены когомологические характеристики вялой и мягкой размерностей, а также соотношение AX dBX AX+1, где АХ размерность Исбелла, а СІВХ - размерность Бредона конечномерного равномерного пространства X, определяемая по аналогии с соответствующим топологическим понятием. Доказаны свойства мягкой когомологической размерности в форме теоремы о препятствиях, теоремы суммы, теоремы Даукера.
5. Доказано, что (К,т)-пространства, соответствующие произвольному топологическому пространству и некоторому классу связанных с ним топологий Гротендика, являются пространствами Майкла. Отсюда и из общих результатов о когомологиях и размерностях (К,т)-пространств выведены изоморфность нормальных когомологий Чеха и Гротендика, жесткость когомологий, когомологические характеристики вялой размерности, обобщения на произвольные пространства основных теорем мягкой когомологической размерности параком-пактных пространств, монотонность мягкой размерности по функционально открытым подмножествам, на основании чего устанавлена связь между вялой и мягкой размерностями. В частности, из теоремы 2.3.1 главы IV следует описание когомологий Чеха метрических пространств, задаваемых конечными покрытиями (или бесконечными покрытиями ограниченной мощности), как когомологий Гротендика.
Результаты данной диссертации опубликованы в работах автора [23]-[46], [83]-[85] и совместной работе с К.А.Ситниковым [19].
В диссертации используется терминология гомологической алгебры и теории пучков [11], [4], [2], [51], [64], [65]. Малоизвестные и новые, вводимые автором термины, подробно поясняются в тексте.
Ссылка типа 3.2.6.4)а) означает подпункт а) пункта 4) теоремы 3.2.6 параграфа 3 данной главы. Если же делается ссылка на теорему другой главы, то перед номером параграфа указывается номер соответствующей главы: III.3.2.6.4)a).
Функторы, индуцирующие эквивалентности категорий пучков и (К,т)-пространства
Пусть (К,Т) сайт, Я - класс предпучков множеств на К. Тогда имеется максимальная (наиболее тонкая) среди всех топологий Гро-тендика на К, таких, что каждый предпучок из Я является т-пучком. Эта топология описывается так: RT(k) « Vf:l— k, канонический отображение Л(1)— Hom (g Ш),Л) биективно. Если Я - класс всех предпучков множеств на К вида і (к) (ксОЬК), то соответствующая топология 1 называется канонической. Топология, более грубая, чем каноническая, называется субканонической. Если т - каноническая топология, то т-пучки называются каноническими пучками. Опишем каноническую топологию на квазиупорядоченном множестве. ЛЕММА 2.1.1.Пусть К - квазиупорядоченное множество, Ret (а) - решето элемента а К. Тогда следующие условия эквивалентны: 1).Hom(RJ(b))=J(b)(a) VbeK; 2).supR=a (то есть, sup{CKR(c) 0}=a); Если R=RC(J где сс={а. а ІІ) - семейство элементов К, то эти условия эквивалентны каждому из следующих: 3).H(cC,J(b))=J(b)(a) VbK. 4).sup(ct)=a. Доказательство. Ясно, что 1)« 3), 2)«4). 1)= 2). Пусть Ь=а. Тогда Hom(R,J(a) ) 0, то есть VcK, задан морфизм R(c)— Да) (с). Если R(c)/0, то Да)(с) 0, откуда с а. Таким образом, R a. Пусть dK - такой, что R d. Тогда Hom(R,J(d)) 0 = J(d)(a) 0 = a d. 2)=И). Имеется отображение множеств мощности 1 : ДЪ)(а)—НотШ.ДЪ)). Пусть Hora(R, ДЬ) ) 0. Тогда R b, откуда a b, то есть указанное отображение биективно. Отсюда следует такой стандартный факт. ТЕОРЕМА 2.1.2.Пусть К - квазиупорядоченное множество, 1 -каноническая топология на К. 1).Решето Rct (k) принадлежит т(к) о для любого 1 к l=SUp(Rj), где Rj={mRm L}. Если О - нуль К, то 0Т(к) « к=0. 2).Предположим, что для любых двух элементов к,1 квазиупоря-доченного множества К существует к 1. Семейство cC={k. k ІКт(к) « Vl k, Z=sup(cc l), где сс 1={к 1 tl}. 3).Пусть К - полная брауэрова решетка, кбК, с={к,К ІІ}. Тогда сСТ(к) о V{K j(l}=k. Покажем, что любая топология
Гротендика на произвольном квазиупорядоченном множестве задается канонической топологией на полной брауэровой решетке. ЛЕММА 2.1.3.Пусть (К,т) - сайт. 1).Следующие условия эквивалентны: а).К - квазиупорядоченное множество; b).Vk0b(K), J(к) изоморфен tk(k); c).Vk0b(K) (единственное) отображение і (к)— 1 является мономорфизмом; d).Vk0b(K), VA E0b(K), Vf EHom (ik (к) ,A), 1 является мономорфизмом. Пусть К - квазиупорядоченное множество. Тогда: 2).Т - субканоническая топология » Vk0b(K), j(k)=Jx (k). 3).К - частично упорядоченное множество « j инъективное отображение. Доказательство: 1 ) .d)= c)= b)= a) очевидно (так как J(k)=im(ik(k) D. a)= d).no условию, і (k) (l)=Homv(l,k) - не более чем одноэле ментное множество. Поэтому, VB0b(K) Hom(B,i (к)) не более чем одноэлементно, а значит Нот(В,1 (к))—- Нот(В,А) - инъективно. 2).(= )Так как і (к) - Т-пучок, то по 1), J(k) - Т-пучок, и значит, т-замкнут в любом содержащем его Т-пучке (по лемме 1.3.5): Jx(k)=[J(k)]x=J(k). ( =)Так как 1 - т-пучок, то по лемме 1 .3.5, j (к) является ТЕОРЕМА 2.1 .4.1 ) .Пусть (К,Т) - квазиупорядоченный сайт, cC={k. k ІІ} - семейство морфизмов категории К. Утверждается, что сст(к) о х(к)=зир{ (к{)С1}. 2).Если ОсК - нуль, то 0Т(О) о j (О) - нуль решетки К, т, то есть о j (О)=[0] . Доказательство: 1).(=0 содержится в лемме 1.4.6. последнее равенство - из леммы 1.4.6.4), а предпоследнее - из утверждения 1.3.2.2). Используя утверждение 1.3.2.3)с) и лемму 2.1.3.1)с), получаем (обозначая D=l (к)): [R ]?=0"1 ([0(R ) ]1 )=0"1 ([0(1к(к)) ]1) = [0"1 (0(tk(k)) ] ) =1К(к), что и означает R Т(к). а 2.2.В этом пункте будем рассматривать только такие сайты (К,Т), что Vk0b(K) имеется множество т-покрытий рт(к) объекта к, такое, что VRT(k) 3cCpT(k):R =R. Будем считать также, что сово купность гомоморфизмов между любыми двумя предпучками множеств на К является множеством, откуда следует, что если М - категория универсальных алгебр, то Рк м является категорией. Будем также предполагать, что в категории универсальных алгебр М имеются индуктивные пределы. Таким образом, для любого функтора F:K— L функтор SY R- м— V„ м обладает левым сопряженным Рм, и правым сопряженным FM)K функторами.
Основной целью данного раздела является формулировка лемм 2.2.6, и 2.2.7, первая из которых обобщает известную "лемму сравнения" из работы [64]. Из нее, в частности, следует эквивалентность категории пучков на произвольном квазиупорядоченном сайте (К,т) категории канонических пучков на полной брауэровой решетке К1,Т Нам будут полезны следующие понятия ([64], [65]): называется непрерывным, если для любого [0,-пучка множеств В, пред-пучок BoF является т-пучком, и конепрерывным, если VkOb(K), VRn(F(k)), UHom(K)F(r)R} - т-покрытие k. Функтор Bi- BoF из S уг в S м (в случае, когда F - непреры-вен) будем обозначать F м. Из свойств функтора Su „ сразу следует, что функтор Sj, MOFW, сопряжен слева F ; будем обозначать его F „,. Если F - конепрерывный функтор, то известно [64], [65], что FM# переводит т-пучки в (х-пучки, так что его ограничение на категорию т-пучков можно считать функтором S уг $ мі будем обозначать его F м#. Из свойств функтора S_ м сразу следует, что функтор STjMoFJjot„ сопряжен слева Рх м#. Таким образом, если F одновременно непрерывен и конепреры-вен, то F M:S w— в S ,, имеет сопряженный слева F ,,, и сопряженный справа F м#. Отметим также [64], что если F - непрерывный функтор, то Vcc={f{:kl kil}T(k), F(cc)={F(f{ ):F(kt)—F(k) fl)i(F(k)).
Нормально вложенные элементы и нормально расположенные семейства
Например, если X топологическое пространство, т топология Гротендика нормальных покрытий, то данное свойство означает, что любая окрестность замкнутого множества а является его функциональной окрестностью. В данном разделе строится "достаточно большой" класс таких элементов, любое конечное семейство элементов которого нормально расположено. Пусть (К,т) - квазиупорядоченный сайт, 1 - финальный объект категории К. Напомним (1.4), что имеются отображения J:K— K,j, JT:K— К т. Если (L,[L],[]) = (K1,1Ц ТЛ.1Т) - F-пространство, соответствующее (К,т)-пространству 1, (цД) - его каноническая пара топологий Гротендика, то J(k)L, J,(k)[L]. Если cC={X. xjJ) - семейство элементов К, то в силу доказанных ранее результатов, аТ(Х)о/(сС)Ц(Лх) ) {J%Uj ) JJ} ( UUj ) ] JJ)=JX (x) = [ Лх) 1. Введем следующие обозначения, удобные при работе с квазиупо-рядоченными сайтами, в частности, с топологическими и равномерными пространствами. Если а,Ь,ХК, то аїЬ в X, a 5b в х, аЗЬ в X, a 3b в X обозначают то же, что и соответственно, J(a)aJ(b) в Лх), Ла) (Ь) в Лх), Ла)й/0 ) в Лх), Ла) й/(Ъ) в J(x). Семейство сс={а. К ІІ} (соответственно, сс ={а КУ іІ ) будем называть Т-локально конечным в ХК, если J(cC)={J(ai )L ІІ) (соответственно, J(cc) ={J(a. )L ІІ ) локально конечно в Лх), то есть если JT(cC) (соответственно, Л(сс) ) локально конечно в Л(х) в фрейме К1 _. Это определение согласовано с определением 3.4.3 локальной конечности элементов -полурешетки или дистрибутивной решетки с субканонической топологией Гротендика. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.1 .1 .Пусть (L,[L],[]) - F-пространство, ((J,,А,) -его каноническая пара топологий Гротендика, a,b,XL, QcL. Элемент а называется 0-х-[а-плотным в Ь, если [а] - [С)]-[х]-плотен в [Ъ] в решетке [L] в смысле определения 3.3.6, иначе говоря, если Vv Q, из соотношения v b в X следует voa в X. В частности, если U -(К, 1)-пространство, Q =KTJ, A,B,XKTJ, ТО предпучок А называется Q-X-LL-ПЛОТНЫМ в В, если [А] - [Q] -[X] -плотен в [В] в решетке 1 XXX X Ктт т, то есть если VV Q, из соотношения Шв? в X следует VoA в X. Пусть (К,т) сайт, К - А-полурешетка, хсК, Q =K. Семейство {а!КІІ} называется Q-нормально расположенным в X, если 3 a =v{a K ІІ} и VvcQ из того, что v5 a в х следует {VAX,a.AXtl}X(X). Элемент а К - Q-нормально вложен в X, если VucQ из того, что и а в х следует и а в х. ЛЕММА 5.1.2.Пусть (К,т) - сайт, К - л- полурешетка, ХК, QcK, a=v{a КіІ}. Семейство {ajl il} является Q-т-нормально расположенным в X о предпучок U{J(a.)tl} - Л0)-Лх)-1-плотен в J(a) в (К, т)-пространстве К... Если же а х и QCKX, то это равносильно j (Q)-j (х)-\1-плотност J (а) в (К, т)-пространстве К х _.
Доказательство. (= ).Пусть VQ, J(V№J(SL) В J(X). Тогда via в х, а значит {vAX,a, xtl T(x), откуда [j(Y)]-[\J{j(ai)\il}] [j(x)]t то есть J(v) (U{J(ai) іІ}) в Лх). ( =).Пусть VQ, v5a в х. Тогда ЛУ) Ла) в Лх) и значит J(v)B(U{J(at)tl}) в Лх), то есть и(У)ПЛх),Лае)ПЛх)ІІ}-і(х), откуда {v-x,a{-x (І Т(х). ЛЕММА 5.1.3.Пусть (К,Т) - субканонический сайт, К -л-полурешетка, Р =К. 1).Пусть P={b.KjJ - Р-Т-представимое семейство. Тогда: a).VjJ b.P, и если J cJ, то имеется d=v{b, j«J КР и {b,jJ»}T(d). В частности, имеется X=v{b,j JKP и 3Т(Х). Ь).Если J=U{J{fl) и Vtl Ci="{bJ\jJl}, то 7={ctPtl} -Р-т-представимо и 7 (х). 2). Пусть ее и р семейства элементов К, 3Т(х) Р-т-представимо и 3- оС. Тогда имеется Р-т-представимое %(х), такое, что 3- 7 а 7 комбинаторно вписано в сС. При этом, если 3 -локально конечно в некотором УК, то и - локально конечно в у. Доказательство. Прямо следует из леммы 3.5.7. ЛЕММА 5.1.4.Пусть (К,т) - субканонический частично упорядоченный сайт, ХК, РСК - —подполурешетка К. 1).Пусть сс={а4КИШ, 1=и{1, JJ , bj ia lzlj}, а="{а4 tl}=v{b. jJ}=b, P={b.jJ , сС - Р-Т-нормально расположено в X. Тогда P ={b jJ} - Р-Т-нормально расположено в X. 2)а).Пусть a.j,... ,апР, пары {aj.a }, {аА,а.ла} {а ,&1А.. «ла л} - Р-т-нормально расположены в х и в каждое т-покрытие х вида {v.a ... vak_. .а }, где VP, вписывается Р-т-представимое т-покрытие X. Тогда УЮ2 семейство {а.1 ,...,аЛ} Р-Т-нормально расположено в X. Ь).Пусть сс={а КЇІ} такое семейство элементов, что для любого конечного (непустого) scl существует а = {а.\ its}. Предпо-ложим, что VscI - конечного, Vi s, пара {а ,а } Р-т-нормально расположена в х и в любое т-покрытие х вида {v,a.,a }, где v P, вписывается Р-т-представимое Т-покрытие X. Тогда любое конечное семейство элементов вида a (s =I конечно) - Р-т-нормально распо-ложено В X. С).Пусть S,T =P, каждое из множеств S,T замкнуто относительно конечных v и в любое конечное т-покрытие х элементами Р вписывается Р-т-представимое т-покрытие. Если каждая пара элементов {c ,d }, где c,dSUT, Р-т-нормально расположена в X, то любое конечное семейство элементов множества (SUTU(SVT)) Р-Т-нормально расположено в X. 3).Пусть сС={а К il , (3={Ь К&Ю - т-локально конечные в X семейства элементов и Vtl,V&#, пара (а ,Ь } - Q-нормально расположена в X, а=л{а.ІІ , Ь=Л{Ь, К&Ю. Тогда пара {а ,Ь -Р-Т-нормально расположена в X. Доказательство. 1)а).Если veP и (v,a}T(x), то по условию, {v,aj ЕІКт(х), а значит и {v.b jJ)T(x). 2)а).Сделаем индуктивный шаг от к-1 к к. Пусть veP и {v.a .. .vak_1vak T(x). Так как пара {а .а л.. .ла _1} Р-т-нормально расположена в х, то {v,a1 v.. ,ak T(x) и значит 3{c,d,e}T(x) - Р-т- представимое т-покрытие х, комбинаторно вписанное в {v.a. v.. . ,). Тогда cve (a1 v.. .vak-1) в x, CveP, значит по индукции {c e.a.,...»ak_1 T(x) и так как по лемме 5.1.3, (с,еКт(с е), то {с.е.а ,... .а }Т(х), откуда {у.а а .-.-а Кт(х). Ь).По а), каждое конечное подсемейство cc ={a tl} Р-т-нормально расположено в X, так что нужный результат следует из 1). с).Если c,dSUT, то пара {c ,d } - Р-т-нормально расположена в X по условию. Если CS, dSvT, то d=avb, aS, bT, так что avCS. Пары {а1,с }» {Ъ .а С} - Р-Т-нормально расположены в X по условию, значит, по а), такой же будет тройка {а ,Ь ,с }, а следовательно, по 1), и пара {С ,а,лЬ }. Аналогично разбирается случай СТ, dSvT. Обозначим M=SUT. Если М - совокупность sup всех конечных подмножеств М, то M=SUTU (SvT) =P, и мы доказали, что любая пара вида {а .Ь }, где асМ, bM, Р-т-нормально расположена в X. По Ь)
Теоремы сравнения и обращения в нуль
Тогда {Cn(cC, ),dnnZ} - комплекс и группы Hn(cX, 4)=kerdn/imdn называются когомологиями Чеха семейства сС. Коцепи и когомологий семейств более общего вида [51] в произвольных категориях фактически в этой работе не используются; точнее, в лемме 2.1.6.2) ниже показано, что в интересующих нас случаях когомологий можно определять по коцепям только что описанного вида. ЛЕММА 2.1.1.Пусть К - л-полурешетка, cc={atK (І), Ra=UU(at)tl}c1K. Тогда: Hn(cc„4)=Rn(H(cc, -)) ( l)=Rrl(Hom(Roc, )) U) M\t где H (cc, ), Hom (R ) -Pv— Ab - функторы, задаваемые равенствами H(cc, -) Ы)=Н(а,А), Hom(Ra, ) M)=Homg(Ra,.4). Доказательство. По 1.1.1.9,2), Н (cf, 4)=Hom (Ra,H). Равенство Hn(cC,I)=0 Vn 1 , если 1 - инъективный предпучок, хорошо известно и доказано, например, в [51]. Если О— Л— В— С— 0 - точная последовательность абелевых предпучков, то 0- Сп(сС,Л)- Сп(сС,Я)- Сп(сС,С)- 0, где Cn(cC,H)=n{ (ks)Sln+1 }, k =k /QX ...лк / ч, (s:[n]— I)ln , является точной последова тельностью комплексов абелевых групп, и значит имеется длинная точная последовательность 0- (0:, )- ...- , )- (0:,5)- ,0- 1 (ее, Л)-»... Таким образом, функторы Н (сС, ) образуют универсальный d-функтор, так же, как и R H(R , О» и так как Н(сс, )=Hom(R ,). то RnH(cc, ) M)=RnHom(Ra, ОМ). ЛЕММА 2.1.2.Пусть (К,т) - сайт, рЖ1, где р,т - целые числа, {Нп0 Жр} - точный 5-функтор в смысле Гротендика из Яг в АЬ, так что для каждой короткой точной последовательности предпучков О— А— В— С—»0 фиксирована длинная точная последовательность ( ) Н(Л)- ...- Нр()- Нр(С). Предположим, что УЛєРтт - Т-нулевого, 1 (.4)=0 при ОСШМ . Тогда: 1 )а).Если \1:А- Б - т-изоморфизм, то Нп(и):Нп(Л)— НП(#) является изоморфизмом при (ХГЩП-2 и мономорфизмом при n=m-1 , а если, кроме того, U - мономорфизм, то Hn(u) - изоморфизм при 0 n m-1 и мономорфизмом при n=m. b) .{HnST0 Il m} - точный 5-функтор из S в АЬ, так что точная последовательность Н (Л)— ...— (#)- (0 имеется для каждой короткой точной последовательности Т-пучков О— А—+В— С— 0. 2).Пусть q m 1, {GnOOKq} - точный б-функтор из ST в АЬ, так что для каждой короткой точной последовательности т-пучков О—»Л— 2?— Предположим также, что каждый т-пучок вкладывается в такой lS%, что Gn(J)=lP (1)=0 при ЮКа, и что Б5Т изоморфен G. Тогда: а).Если а=т, то а-функторы {Hn5T0 n m} и {Gn0 n m} изоморфны, так что НП(Л) изоморфен GnM) V ST при О ІЩП. Ь).Если q m,p m,a m, то имеется также мономорфизм Hm+1ST- Gm+1. Доказательство. Все утверждения данной леммы являются частными случаями общих теорем стандартной гомологической алгебры, см., например, [5]. ЛЕММА 2.1.3.Пусть (К,Т) - сайт, К - квазиупорядоченное множество, N =K - л-подполурешетка, U - некоторый класс семейств сС={а.N ІЄІ}, направленный по вписыванию, А,В0Ь(К). Определим Fn:PK- Ab формулой FnU)=coZtm{Hn(cC, (Л4 )В) cCW}. Тогда: 1).F является когомологическим функтором на Руг, то есть точным (Э-функтором, определенным во всех степенях. 2).Пусть т 1 целое число и УЛ&тт - т-нулевого, Fn( )=0 при (ХШМ .
Тогда a).{FnST0OKm} - точный d-функтор и Уи:А В Т-изоморфизма, fn(A)— Fn(S) является изоморфизмом при (ХГЩїі-2 и мономорфизмом при n=m-1 , а если, кроме того, U - мономорфизм, то Fn(u) - изоморфизм при 0 n m-1 и мономорфизм при n=m. Более того, Чи:Л— В, такого, что (Аг ) —»(2г" ) Т-изоморфизм, FnM)—+Тп(В) является изоморфизмом при (XlKm-2 и мономорфизмом при n=m-1, а если, кроме того, ( )В—(2 -мономорфизм, то Fn(u) - изоморфизм при СЮКт-1 и мономорфизм при п=т. Ь).Если V 5T (/ )В=Л, то VAtS% COZiOT{Hn(cC, )cCW}=Rn(F0ST)(H) при ОСКШ и имеется мономорфизм COZMHm+1 (cC, )cCW}- Rm+1 (FST)M). В частности, если УЛ 5Т (Аг ) =А и UeOb(K) такой, что V e FU)=Hom (U,H), то V ST Іп(А)=соІіт{ і(оі,А)\аеЮ=Щ( ,А) при 0 rKm и имеется мономорфизм Fm+1 U)=coZm{Hm+1 (a,A) cCW}- I +1 (ЇЇ.И). Доказательство. 1).Если О— А—+В—+С— 0 - точная последовательность предпучков, то последовательность О— UA )В— (ВА )В- (СА )В- 0 также точна. По лемме 2.1.1, Нп(сс, )=Rn(H(cC, )), так что А[+Е (а, (,4А )В) - когомологический функтор на Руг и переходя к направленному копределу получаем, что Р - когомологический функтор на Яг. 2)а).Первый абзац прямо следует из 1 ) и леммы 2.1.2.1 )а). Второй абзац следует из первого с учетом равенства Fn(A)=Fn((Ar ) ) и того факта, что если А— В - т-изоморфизм, либо мономорфизм, то таким же будет (Аг ) — (1г ) . Ь).Положим в лемме 2.1.2.2) HnM)=FnM) УЛ?К Vn O, и Gn=Rn(FST) Vn O. Тогда {Gnn2 0} - точный d-функтор и Gn(1)=0 VJST - инъективного, Vn 1. По 1 ), {E n O} - точный д-функтор, а по лемме 2.1.1, Hn(X)=0 Vl5T - инъективного, Vll1 . Так как F0 точен слева, то G=R0(F0ST)=F0ST=HST. По лемме 2.1.2.2) получаем требуемое. ЛЕММА 2.1.4.Пусть F:K—- L - функтор между категориями, В абелев предпучок на L. Тогда: 1).Если сС={Г:к.—к ІІ семейство морфизмов К, то имеется естественный гомоморфизм ф:Н (F(cC),,4)—»R (cC,Z?oF), который является мономорфизмом. 2)а).Пусть K,L - категории, cC={k.ll) - такое семейство объектов категории К, что Vn O, V(s:[П]—»І)І существуют S=ks(0)x-- xkS(n) F s=F ks(0) x"-xF(ks(n) и s cOs (так будет, если в К и L существуют конечные произведения и F перестановочен с конечными произведениями). Тогда Hn(cC,SoF)=Hn(F («),#) при ШО. Ь).Пусть К - л-полурешетка, сС={а К tl}, А - абелев предпучок на К, С - абелев предпучок на К.. Тогда Hn(cC,CoJ)=Hn(,/(cC) ,С),
Когомологическая размерность пространств Майкла
Образ при этом гомоморфизме элемента SHom (B,A,) обозначается через s(C ,E). Таким образом, если (F ,GH(C ,EH(A ,B), то (S(C ,E)) (F ,G)=s (F .G). Если Е В, то НопЫВ.Л., )— Нот(Е,Лд , ) совпадает с отображением ограничения, а если АсС, то Н0Ш(В,Лд,)—»Нот (В,Ис,) совпадает с отображением НопЫВ.сС), где сС:Лд,—+AQ, - канонический эпиморфизм. Пусть U - (К,Т)- пространство, AS%, сС={АіКд ІІ}. Напомним, что согласно определению II.3.4.5, семейство {У.Нот(и,Л)1} называется локально конечным, если 3 {V cKn,/J}J,(U), такое, что VjJ Ij={tl (v{ V,; 0)} конечно. Оно является локально конечным разложением УНот(и,Л), если VJeJ vV =2{(УСУ,) tlj . Оно подчинено сС, если VCcIBS K S A в U, ЛЕММА 2.1.1.Пусть (К,т) сайт, U0b(K), AtS%, oC={AiK[J ІІ . Семейство V={v{Hom(U,,4) ІІ подчинено cC о Vil v{ (A ,U)=0. Доказательство. Прямо следует из определения и леммы П.1.4.6.2)Ь). Предпучком колец будем называть предпучок ассоциативных колец с единицей. Если О предпучок колец, то абелев предпучок А называется левым (правым) 0-модулем, если задан гомоморфизм пред-пучков множеств 0 А— А, такой, что Vk0b(K), 0(к) Л(к)—»Л(к) задает структуру левого (правого) унитарного 0(к)-модуля на Л(к). Тензорным произведением АВ абелевых предпучков А и В называется предпучок (АВ) (к)=Л(к)#(к) с естественно определяемыми, на основании свойств универсальности тензорного произведения абелевых групп, гомоморфизмами (АВ) (t): (АВ) (к)— (Л5) (1) для 1:1—»к. Предпучок гомоморфизмов Ж)Лр(А,В) определяется формулой WMp(A,B)(k)=Rom(Z(iK(k)A,B), где Z(lK(k)) - абелев предпучок, vr свободно порожденный предпучком множеств і (к). Сформулируем легко проверяемые стандартные свойства указанных операций, которые будут использоваться при рассмотрении мягких пучков. ЛЕММА 2.1.2.Пусть К - категория, А,В,С0Ъ(Рк). 1).Имеется билинейный гомоморфизм абелевых предпучков 7ЮЛр(В,С) Ж)Лр(Л,В) ?ЮЯр(Л,С), задаваемый формулой V:Z(tK(n)W- C, u:Z(tK(n))«U- , v.u:Z(tK(n) )Л—С, (V U)(k) (Is)=v(k)(f 3)U(k) (fs)). Оно ассоциативно в том смысле, что если w:Z(t (n) )С— V, то w« (v«u) = (w-v) -и. Если А=В и уг e=e.:Z(l (п))Л— А задается равенством e(k)(fs)=s, то е является единицей, точнее, e U=U«e,=U. Наконец, оно функториально по П0Ь(К) и при замене п единица переходит в единицу. Используя эту операцию, абелев предпучок можно рассматривать, как модуль. Точнее: 2)а).На 7ЮЛр(Л,А) имеется естественная структура предпучка колец. Ь).На ЮЛр(А,В) имеются естественные структуры левого 7ЮЛр(В,В)- и правого ТЮЛр (Л,А)-модуля, причем они согласованы, то есть vuaoMp(tf,tf)(n) vvm u,tf)(n), VWCTOJ и,лмп) (U V)-W=U-(V W). с).А является левым ЮЛр(А,А)-модулем. При этом действие 7ЮЛр(А,А) на А задается формулой: иНоп _а1 (Z(tK (П) )Л,Л)» S (n), u-s=u(n)(lns). З).Пусть 0 - предпучок колец, А - левый О-модуль. Тогда имеется унитарный гомоморфизм предпучков колец с единицей (рА:0-»ТЮЛр(А,А), задаваемый формулой Vr0(n) 1?(п)00, S (k), определение 2.1.3.
Пусть U - (К,1)-пространство, сС={А.Ктт іІ}. Пучок А называется сС-тонким, если 1 єЯоїїіїг(ї],?ЮЛр(А,А)) обладает локально конечным разложением, подчиненным ос. Он называется U-тонким, если является сс-тонким для всякого локально конечного сСЦ(11). ЛЕММА 2.1.4.Пусть U - (К,Т)-пространство, сС={А{Ку ІІ , О -предпучок колец, АРуг. 1)а).Следующие условия эквивалентны. (1).0 - сс-тонок. (2).1:11- 0 обладает локально конечным разложением, подчиненным ее. (2 ).Любой гомоморфизм V:U— 0 обладает локально конечным разложением, подчиненным ее. 2)а).Следующие условия эквивалентны. {А) А - сс-тонок. (5)7ЮЛр(А,А) - сс-тонок. (6) А является 0-модулем над некоторым сс-тонким предпучком колец О. Ь).Если А - сс-тонок, А,ВеОЬ(К), то (А, )в - сс-тонок. ЛЕММА 2.1 .5.Пусть U - (К,Т)-пространство, Л Е $Т» cc={AiKu il)(J.(U), p={BfeKuft }[0,(U), ее - локально конечно, си3. 1).Если гомоморфизм предпучков U:U—»Л обладает разложением, подчиненным ее, то U обладает локально конечным разложением, подчиненным р. Доказательство. Так как MS , то можно считать А.бКц _, в&Ки,т 1).Пусть ф:I—»/С - отображение вписывания, то есть А.сВ /.ч, {u. :U— В\ tІ - разложение U, подчиненное се. По условию, 3{U Ки TjJ}J,(U) - такое семейство, что І ={ІА{ЧІ.Д))} конечно и {S K j тіІ} - такое, что V1 StvA,=U и U. Б4=0. Поэтому {ІІ (U. U. O)} =I. - конечно, так что {u. ІІ} локально «і конечно и значит Vfte {u. ф (ft)} локально конечно. Обозначим Vfe=2{ujl(p"1 (ft)}. Положим С&=-{АеСф"1 (ft)}, Tfe=-{St Іф 1 (ft) }. Тогда семейство 7={C,KTJ ,rft} локально конечно и комбинаторно вписано в р. Далее, так как U,S,=0 при Іф (ft), то v,T,=0. Поскольку {S il} локально конечно, то по лемме 1.4.2.4.4)а), в U. Таким образом, К,={кК\С 1], 0}- конечно и ШК\ (У Ц О)} . Имеем (2{Visft })U;=2{(vJeU/)ftX:}, VjfeUJ=2 : (UiUJ) іф 1 (:)01,}. Поэтому 2{(У]гиі)1гб }=2{(иіи ;)гф"1 (ft)niJfftX:} и так как \J{(f\k) Ij\ka}=IJt то (2{vJft E}) 1 =2(( 1 )1 tel, НіЦІ,, то есть 2{v&ftc}=u. 2).Прямо следует из 1). ЛЕММА 2.1.6.Пусть U - (К,Т)-пространство, Л - класс индек о сов, РсКту , Р замкнуто относительно sup локально конечных в U Д-семейств, MS . Рассмотрим 2 условия из списка, приведенного в следующем пункте после леммы 2.2.6. (S4P).VCP, VV C в U, VhHoiIOM) 31l№c в U, 3h»Hom(ZM): h W=hW. (СІ1РЛ).УІЛ, VS={At ,ЕР tl}M-(U) - локально конечного, любое h:U— А, такое, что hE=0, обладает разложением, подчиненным сС={Ае(І}. Утверждается, что если U- Р-.М-пространство Майкла, то (s4P)=»(d1PJt). Доказательство: По условию (ЪРЛО леммы 1.4.2.2, 3{В ,С еР ІІ} - локально конечное в U: V(l А В в U, їЬС в U и -{BJ (1) 0=. Если Lcl. tl. то H =Bv (AJVC )Р, так что в силу (S4P) каноническое отображение Нот(и,Л) со11т{Нот(У,Л)УЙН в U} является эпиморфизмом. Если №зН в U, то в силу условия (Р) леммы 1.4.2.2, пара {B W, (At vC )"W} - P-(J,-OTделима в U. Так как hE=0, то h(C ,U)=0, так что по лемме II.3.4.7, 3h={h{:U—Мtl}- такое семейство, что Vfcl, h,I(AJVC,U)=0 и 2(п)=д. По лемме 2.1.1 семейство h подчинено ос. ТЕОРЕМА 2.1.7.Пусть К тонкая категория, U (К.т)-пространство Майкла. Тогда: 1 ) .Всякий инъективный т-пучок 1 является U-тонким. 2).УЛ Е5Т - U-тонкого, VA,B0b(K), (Л в» - U-тонок и VcCj,(U), Vn 1, Нп(сС,(ЛА)в, )= J(U,MA)B, )=0. В частности, ЫА)В. является U-мягким. Доказательство: 1).Пусть Р=Ктт т. Тогда Р - подрешетка (KTJ _) , замкнутая относительно sup локально конечных семейств и U - R-Д- пространство Майкла, где М. - класс всех множеств. По лемме 2.1.2, Ноїїір(1,7) - вял, поэтому удовлетворяет условию (S4P) леммы 2.1 .6, а значит и (сИРЛ), что и означает U-тонкость I. 2).По лемме 2.1.4, ( д)в является U-тонким. По лемме 1.4.2.2 в ее вписывается локально конечное 3[J.(U), так что по лемме 2.1.5 и лемме II.3.4.8 Нп(сС, (Л. )в, )=0. Переходя к пределу, получаем Йт(и, (A)g, )=0. По теореме II.2.2.5, н(и,иА)в,)=н(и,лА)в,). 2.2.Докажем основные свойства, в том числе ацикличность
