Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Работа посвящена топологии расположений вещественных алгебраических кривых на веществашых алге--браических поверхностях.
Вещественная алгебраическая геометрия — область математики,' тесно связанная с топологией. С одной стороны, вещественная (и комплексная) алгебраическая геометрия — источник примеров в топологии, полезных для доказательства существования многообразий с предписанными свойствами. Например, образующие группы кобор-дизмов могут быть представленьї как вещественные алгебраические гиперповерхности, с другой стороны, вещественная алгебраическая геометрия служит полигоном для общих топологических теорем. Кроме того, вещественная алгебраическая геометрия — источник идей и методов в топологии; так, например, понятие бирациональной эквивалентности вещественных алгебраических многообразий приводит к понятию эквивалентности с точностью до раздутий, в дифференциальной топологии, эта эквивалентность имеет простые образующие, но в то же время тривиальна, т.е. любые два гладких замкнутых многообразия одинаковой размерности эквивалентны.
Естественно возникает вопрос о возможной топологии вещественных алгебраических многообразий, о том, насколько общими в категории гладких многообразий являются иеособые алгебраические многообразия. Вопрос был поставлен к решен Лж. Нашем, доказавшим, что любое неособое замкнутое гладкое многообразие является алгебраическим, т.е. может быть задано системой полиномов п К".
В случае кривых и поверхностей этот вопрос сопсем тривиален, но приводит к другому естественному вопросу, какова топология вещественных алгебраических многообразий данной степени.
Этот ропрос нетривиален уже для поверхностей. Случай поверхностей степени, не превосходящей трех, однако, прост, так как в этом случае поверхности рациональны. Вопрос о топологической классификации поверхностей степени четыре был поставлен Д.Гильбертом, отпет на него был получен В.М. Харламовым (1976): Лля поверхности степени 5 и выше этот вопрос открыт. Неизвестна даже точная цепка сверху числа компонент вещественной поверхности степени 5.
Топологическая классификация неособых плоских вещественных алгебраических кривых данной степени — вопрос полностью решенный еще а XIX веке Харнаком, но топологическая классификация расположений вещественной кривой данной степени на вещественной алгебраической поверхности неизвестна даже для плоских кривых. Вопрос о такой классификации составляет первую часть шестнадцатой проблемы Гильберта открытой до сих пор. Наибольшая степень плоєних кривых, классификация топологических расположений которых известна, — 7, такал классификация была получена О.Я.Виро в 1980 году. Для кривых на квадриках наибольшая степень (в объемлющем ЖР3) — 8, такая классификация была получена Д.А.Гудковым (1979) для гиперболоида и Д.Л.Гудковым и Е.И.Шустиным (1978) для эллипсоида. Диссертация содержит как одно из приложений основных результатов классификацию кривых степени 6 на несвязной кубике.
Все эти результаты были получены с помощью комбинации запретов и построений. Большая часть запретов (кроме следствий теоремы Безу) носят.топологический характер, т.е. используют лишь несколько топологических свойств комплексификаций вещественных алгебраических кривых (см. [1]). Одним из основных топологических запретов'является сравнение Рохлина (1972), и его аналоги, доказанные Харламовым, Гудковым и Крахновым (1973). Этот запрет— сравнение по модулю 8 для эйлеровой характеристики одной из половин дополнения кривой в поверхности (более точно, для множества точек на поверхности, где однородный многочлен четной степени, определяющий кривую, положителен). Однако случаи, в которых этот запрет применим, очень ограничены, а именно, запрет применим к М~ и (М — 1)-кривым на поверхности при выполнении трех условий.
-
кривая имеет четную степень на поверхности.
-
тотальное йг-число Бетти поверхности максимально среди тотальных чисел Бетти поверхностей той же степени
-
все компоненты кривой содержатся в одной компонент* поверхности.
В.А.Рохлин доказал свое сравнение, используя двулистное накрытие поверхности с ветвлением идоль кривой. Преимуществом такоіч
юдхода является то, что он без труда обобщается на многомерный :лучай (для пар, состоящих из вещественного алгебраического много-эбразия и вещественного алгебраического подмногообразия коразмерности 1 в нем). Недостатком является то, что кривая должна быть четной степени, d том смысле, что комплексификашія кривой должна быть 2г-гомологичной нулю, иначе такого двулистного накрытия не существует.
А.Марен d 1980 году предложил другой подход к доказательству сравнения Рохлина и передоказал псе известные обобщения сравнения Рохлина для плоских кривых, работая не с накрытием над поверхностью, а с фактормногообразием комплексификации поверхности под действием инволюции комплексного сопряжения.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Обобщение сравнения Рохлина ослаблением всех трех перечисленных выше условий. Приложение полученного обобщения к кривым на простейших поверхностях — квадриках, кубиках. Получение новых запретов для кривых на гиперболоиде и эллипсоиде. Топологическая классификация расположений кривых степени 6 (т.е. пересечений в R3 с квадриками) на несвязной кубике в Л3.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты диссертации являются новыми.
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ.' Применяются методы и результаты гладкой четырехмерной топологии. Используется подход Марена. Основным средством является сравнение Гийу-Марепа для Ъ\-квадратичной формы характеристической поверхности гладкого четырехмерного многообразия.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Получены новые ограничения на топологию вещественных алгебраических поверхностей и расположений на них вещественных алгебраических кривых. Результаты и методы работы могут найти применение п вещественной алгебраической геометрии и топологии вещественных алгебраических многообразий.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на топологическом семинаре ЛОМИ АН СССР (1991), на конфереіщии по веществешгай алгебраической конференции в Ренне (La Turballe, 1991), на топологическом семинаре Мичиганского университета (East
Lansing, 1991).
ПУБЛИКАЦИИ. Две опубликованные рабогы автора по теме диссертации приведены в конце автореферата.
ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация содержит 43 страницы машинописного текста и состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 19 наименований.
