Содержание к диссертации
Введение
1 Глава первая. Нормальность и счетная паракомпактность в произведениях 43
1.1 Компактность и секвенциальность по множеству ультрафильтров и замкнутые проекции 43
1.2 Нормальность произведения двух пространств 55
1.3 Теснота и нормальность Е-произведений 60
1.4 Нормальные (7-произведения 78
1.5 Замкнутые m-компактные отображения и уплотнения . 87
1.6 Распространение характеристик компактов Корсона и Эберлейна на М-пространства 90
2 Глава вторая. Слабая нормальность 95
2.1 Экспоненциальное пространство 95
2.2 Большие степени 105
2.3 Пространство X2 \ А 106
3 Глава третья. Слабые формы счетной паракомпактности 113
3.1 w-Счетная паракомпактность 113
3.2 Дискретные системы замкнутых множеств 115
3.3 Замкнутые отображения на g-пространства 118
3.4 Аналоги теоремы Зенора 120
3.5 Несчетные произведения 125
3.6 Пространство X2 А 127
3.7 Экспоненциальное пространство 131
3.8 Паранормальность в смысле Ван Дауэна 136
4 Глава четвертая. Свойство -нормальности 139
4.1 5-Нормальность -подмножеств 140
4.2 Наследственная 5-нормальность 148
5 Глава пятая. Нормальность над классом топологических пространств 154
5.1 Наследственная -нормальность 154
5.2 Линдел-нормальность 156
5.3 Совершенная -нормальность 162
5.4 Нормальные функторы степени 165
6 Глава шестая. Свойство D-нормальности 173
6.1 Экспоненциальное пространство 176
6.2 Пространство X2 \ А 180
7 Глава седьмая. Прямоугольные покрытия X2 \ А 187
7.1 Локально конечные прямоугольные покрытия 187
7.2 Счетные прямоугольные покрытия 193
Список диаграмм
- Теснота и нормальность Е-произведений
- Большие степени
- Замкнутые отображения на g-пространства
- Совершенная -нормальность
Введение к работе
Актуальность темы. Класс нормальных пространств, занимаюпщй одно из центральных мест в общей топологии, был определен в 1923 году Титце х и в 1924 году П С Александровым и П.С Урысоном 2 Свойство нормальности ранее появилось и у Вьеториса 3 Условие нормальности топологического пространства, состоящее в том, что "всякие два лежащих в нем непересекающихся замкнутых множества имеют непересекающиеся окрестности" 4, является некоторым естественным ограничением на топологию пространства. Такого рода ограничения принято называть аксиомами отделимости. Возникновение аксиом отделимости связано с именами Ф Хаусдорфа, Ф. Рисса, Л Вьеториса, Г Титце, П С Александрова, П. С. Урысона, А Н Колмогорова, А Н. Тихонова. Хорошо известно, что упомянутое выше 'внутреннее" определение нормальности равносильно определению, сформулированному "внешним" образом, поскольку важнейшим характеристическим свойством нормальных пространств является фундаментальная лемма Урысона 5 о возможности функционального разделения непересекающихся замкнутых множеств в нормальном пространстве.
Класс счетно паракомпактных пространств был независимо введен в 1951 году Даукером 6 и Катетовым 7. Топологическое пространство называется счетно паракомпактным, если в каждое его счетное открытое покрытие можно вписать локально конечное открытое покрытие Даукер
1Tietze Н Beitrage zur allgemeinen Topologie I // Math. Ann — 1923 — V. 88. — P 290-312
2Alexandroff P , Urysohn P Zur Theorie der topologischen Raume// Math Ann —
1924 - V 92.-P 258-266
3Vietoris L. Stetige Mengen// Monatsh fur Math шиї Phys - 1921 — V 31 — P.173-204
4Александров П С , Урысон П С Мемуар о компактных топологических пространствах — М Наука, 1971
5 Urysohn Р Uber die Machtigkeit der zusanunenhangenden Mengen // Math Ami —
1925 — V94 -P 262-295
6Dowker С H On countably paracompact spaces // Canad Journ of Math — 1951 - V 3 - P 219-224
7Katetov M. Measures in fully normal spaces // Fund Math — 1951 — V 38 — P73-84
доказал, что топологическое пространство X нормально и счетно пара-компактно в том и только в том случае, когда произведение X х [0,1] нормально. Нормальные пространства, не являющиеся счетно параком-пактными, получили название даукеровских Задача построения дауке-ровского пространства двадцать лет была известной задачей общей топологии и была решена в 1971 году М Э Рудин 8.
В общей топологии и ее приложениях большое значение имеет конструкция тихоновского произведения Широко известны теоремы общей топологии, характеризующие топологические свойства пространств в терминах нормальности произведений Теорема Даукера только что упоминалась. Напомним еще несколько примеров Тамано доказал, что пространство X является паракомпактом в том и только в том случае, когда произведение X х J3X нормально. Яджима в 1998 году показал 9, что для тихоновского пространства X нормальность подпространства (X х РХ) U (0Х х X) квадрата (fiX х X)2 эквивалентна линделёфовости пространства X В 1971 году Нобл10 доказал, что пространство компактно в том и только в том случае, когда любая степень этого пространства нормальна Согласно знаменитой теореме Катетова 1948 года и, если произведение X х Y наследственно нормально, и пространство У содержит счетное незамкнутое множество, то каждое замкнутое подмножество пространства X является Ga-множеством В 1971 году Зенор 12 показал, что, если произведение X xY наследственно счетно параком-пактно, то либо X совершенно нормально, либо все счетные дискретные подпространства Y замкнуты в Y Естественно возникающая проблема одновременного обобщения теоремы Катетова и теоремы Зенора была поставлена в 1980 году в работе Ван Дауэна 13. Непосредственным след-
8Rudin М Е A normal space X for which X x I is not normal// Fund Math — 1971 -V 73 -P.179-176
9Yajima Y Analogous results to two classical characterization of covering properties by products// Topology Appl - 1998 — V 84 — P 3-7
10Noble N Products with closed projections II// Trans Amer Math Soc — 1971. —
V 160—P 169-183
uKatetov M Complete normality of Cartesian products // Fund Math — 1948 —
V 35 -P 271-274
12Zenor P. Countable paracompactness in product spaces// Proc. Amer Math Soc — 1971 -V30 -P199-201
13van Douwen E К Covering and separation properties of box products // Surveys in
ствием теоремы Катетова является метризуемость компакта, куб которого наследственно нормален, и совершенная нормальность компакта, квадрат которого наследственно нормален. В 1948 году Катетов поставил свою знаменитую проблему о метризуемости компакта, квадрат которого наследственно нормален и. Контрпример в предположении MA+-iCH был построен в 1977 году Никошем 14 Другой контрпример в предположении СН был построен в 1993 году Грюнхаге 15 В 2002 году Ларсон и Тодорчевич16 форсингом построили модель теории множеств, в которой справедлив положительный ответ на проблему Катетова, и тем самым доказали независимость проблемы Катетова от системы аксиом ZFC В связи с проблемой Катетова Грюнхаге 17 в 1984 году доказал, что из наследственной паракомпактности квадрата компакта следует его метризуемость, и более того, из паракомпактности подпространства X2 \ А следует метризуемость X, если X — компакт. В 1990 году в работе 18 было доказано, что компакт X, нормальный вне диагонали, то есть такой, что пространство X2 \ А нормально, удовлетворяет первой аксиоме счетности В 1993 году Грюнхаге построил пример нормального вне диагонали компакта, не являющегося совершенно нормальным 15 В 1997 году Д В.Малыхин 19 доказал, что счетно компактное нормальное вне диагонали пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности В знаменитой работе А Стоуна 1948 года 2, посвященной доказательству паракомпактности метрических пространств, устанавливаются некоторые
General Topology/ G М Reed, ed — New York Academic Press, 1980 — P 55-129.
14Nyikos P A compact nonmetnzable space P such that P2 is completely normal// Topology Proc — 1977 - V. 2 — P 359-363
16Gruenhage G , Nyikos P J Normality in X2 for compact X// Trans Amer Math Soc — 1993 — V 340 - P 563-586
16Larson P, Todorcevi6 S Katetov's problem// Trans Amer Math Soc — 2002 — V. 354 - P 1783-1791
17Gruenhage G Covering properties on X2 \ A, W-sets, and compact subsets of S-products// TopoL Appl - 1984 - V. 17 - P 287-304
18 Arhangel'sku A V , Kombarov A P On V-normal spaces // Topology Appl — 1990
- V 35 — P 121-126
19Малыхин Д В Счетно компактное V-нормальное пространство имеет счетный характер// Вестн Моек ун-та Матем Механ — 1997 №5.— С 31-33
20Stone А Н Paracompactness and product spaces // Bull Amer Math Soc — 1948
- V 54 - P 977-982
достаточные условия нормальности произведения двух пространств, а именно, произведение метрического пространства и нормального счетно компактного пространства нормально В 1958 г Дьедонне 21 доказал более общую теорему: произведение паракомпакта с первой аксиомой счетности и нормального счетно компактного пространства нормально В той же работе А Стоуна 20 доказана ненормальность произведения несчетного числа копий пространства натуральных чисел
Важную роль при изучении несчетных: произведений играют Е-произведения. Е-произведение определяется как подпространство произведения, состоящее из всех точек, отличающихся от некоторой фиксированной точки только на счетном числе координат. Е-произведения были определены в 1959 году Корсоном 22, но сама конструкция Е-произведения была известна гораздо раньше Еще в 1938 году Л.С.Понтрягин м использовал конструкцию Е-произведения для построения примера счетно компактного некомпактного пространства Естественно рассматривать Е-произведения, не совпадающие с произведением пространств. Е-произведения являются "наиболее просто устроенными" всюду плотными подпространствами несчетных произведений и значительно отличаются по своим топологическим свойствам от произведений. Например, Е-произведение не может быть сепарабельным пространством, наследственно нормальным пространством, паракомпакт-ным пространством. Эти и многие другие "экзотические" свойства -произведений позволяют использовать их в качестве инструмента для построения контрпримеров в общей топологии Но Е-произведения обладают и рядом полезных "положительных" свойств Например, каждое метрическое пространство может быть вложено в Е-произведение пространств, гомеоморфных единичному отрезку 22 Компакты, вкладывающиеся в Е-произведение отрезков, обладают настолько замечательными свойствами, что были выделены в отдельный класс и получили название компактов Корсона M Компакт, являющийся непрерывным образом
21Dieudoime J Un critere de normahte pour Ies espaces prodmts// Coll Math — 1958 — V 6. - P 29-32
22Corscm H H Normality m subsets of product spaces // Amer J Math — 1959. — V 81 — P 785-796
23Понтрягин Л. С Непрерывные группы — М -Л , 1938
^Michael Е , Rudin М.Е A note on Eberlem compacts// Pacific J Math — 1977 —
Е-произведения метризуемых компактов, также метризуем 22, а метрическое пространство, являющееся непрерывным образом Е-произведения пространств, любое конечное произведение которых линделёфово, является линделефовьш и, следовательно, сепарабельным пространством № Поскольку Е-произведение не может быть паракомпактом, важной задачей является выяснение условий, при которых Е-произведение является нормальным пространством В 1959 году Корсон 22 доказал, что Е-произведение полных метрических пространств нормально и счетно паракомпактно В той же работе 22 Корсон сформулировал задачу является ли нормальным пространством Е-произведение метрических пространств или хотя бы Е-произведение экземпляров рациональных чисел? Сначала был получен положительный ответ на второй вопрос Корсона в 1973 году в работе 26 было доказано, что Е-произведение метрических сепарабельных пространств нормально В 1977 году С П Гулько 27 и М Э.Рудин 28 независимо дали полный ответ на вопрос Корсона, доказав, что Е-произведение метрических пространств является нормальным пространством. Формально к Е-произведениям близки ог-произведения, но по своим топологическим свойствам эти подпространства произведения сильно различаются Например, Е-произведение компактов по теореме Понтрягина счетно компактно, но не компактно и, следовательно, не паракомпактно, а а-произведение компактов финально компактно и, следовательно, паракомпактно. Упомянем также важную для данной работы теорему Корсона 22 о линделёфовости ст-произведения метрических сепарабельных пространств.
В общей топологии и её приложениях большое значение имеет изучение топологических свойств пространства всех (непустых) замкнутых подмножеств топологического пространства X или, другими словами,
V 72 - Р 487-^95
25Enge]Vmg R On functions defined on Cartesian products // Fund Math — 1966 —
V 59 - P. 221-231
26Комбаров А П , Малыхин В И О ^произведениях // ДАН СССР — 1973 — Т 213 - С 774-776
27Гулько С П О свойствах множеств, лежащих в Е-произведениях // ДАН СССР - 1977 - Т 237. - С 505-508
28Handbook of Set-Theoretic Topology / Kunen К and Vaughan J E, eds — Amsterdam North-Holland, 1984
экспоненциального пространства ехр(Х) в топологии Вьеториса Теория экспоненциальных пространств оформилась в качестве самостоятельного направления общей топологии после работы Э Майкла 1951 года 29, в которой были изучены общие вопросы, связанные с фундаментальными топологическими свойствами экспоненциальных пространств Еще в 1922 году Вьеторис 30 доказал, что компактность пространства X эквивалентна компактности пространства ехр(Х) и, следовательно, из компактности пространства X следует нормальность ехр(Х) В 1955 году В М Иванова 31 показала, что из нормальности ехр(Х) следует счетная компактность пространства X. В 1970 году Кислинг 32, предполагая континуум-гипотезу, доказал, что из нормальности ехр(Х) следует компактность пространства X В 1973 году В. И. Малыхиным и Б Э Ша-пировским з3 теорема Кислинга была распространена на более широкий класс моделей И, наконец, в 1975 году Н В Величко и доказал эту теорему в ZFC, то есть без каких-либо дополнительных теоретико-множественных гипотез. Теория экспоненциальных пространств оказалась чрезвычайно полезной для такого важного и интенсивно развивающегося в последние годы направления общей топологии как изучение геометрических свойств ковариантных функторов Особенно необходимо отметить здесь работы В В Федорчука 35, Е В Щепина Зб, А.В.Иванова 37,
29Michael Е Topologies on spaces of subsets// Trans Amer Math Soc — 1951 — V 71-P 152-182
30Vietons L Bereiche zwerter Ordnung// Monatsh fur Math und Phys — 1922 — V.32—P 258-280
31Иванова В M К теории пространств подмножеств// ДАН СССР — 1955 — Т101.—С 601-603
32Keeshng J. On the equivalence of normality and compactness in hyperspaces // Pacific Journal of Math - 1970 —V 33 -P 657-667.
33Малыхин В И , Шапировский В Э Аксиома Мартина и свойства топологических пространств// ДАН СССР- 1973 -Т 213 - С 532-535
34ВеличкоН В О пространстве замкнутых подмножеств// Сиб матем ж —1975 — Т16 - С 627-629
35Федорчук В В О некоторых геометрических свойствах ковариантных функторов// Успехи математических наук — 1984 — Т 39 — С 169-208
звЩепин Е В Функторы и несчетные степени компактов// Успехи математических наук — 1981 — Т 36 — С 3-62
37Иванов А В. О функторах конечной степени и ^-метризуемых бикомпактах// Сибирский математический журнал. — 2001 — Т 42 — С. 60-68
Л Б.Шапиро м В середине 70-х годов Е В.Щепин, выделив ряд естественных условий, ввел важное понятие нормального функтора, включающее в себя и степенной функтор и конструкцию экспоненциального пространства В 1989 году В В Федорчук т доказал теорему, если для какого-нибудь нормального функтора Т степени > 3 компакт Т{Х) наследственно нормален, то X — метризуемый компакт Теорема Фе-дорчука является обобщением классической теоремы Катетова о кубе М М Чобан т доказал, что если экспоненциальное пространство ехр(Х) является наследственно нормальным пространством, то X — метризуемый компакт
Понятие нормального пространства появилось в прошлом веке на начальном этапе развития общей топологии, возникновение которой оказалось следствием перестройки оснований математического анализа, происходившей в течение девятнадцатого века По образному выражению известнейшего американского тополога М Э Рудин "понятие нормальности находится на границе, где теоретико-множественная топология переходит от математического анализа к теории множеств" 4г Таким образом, естественной задачей общей топологии является задача выяснения границ действия многих результатов, вовлекающих свойства нормальности и счетной паракомпактности, в случае, когда эти свойства заменяются на более общие топологические свойства, близкие к нормальности или счетной паракомпактности При этом возможны следующие обобщения свойства нормальности- 1) молено ослаблять условия на функции, разделяющие замкнутые множества; 2) можно сужать класс разделяемых замкнутых множеств, 3) можно изменять класс множеств, с помощью которых разделяются замкнутые множества. Все три логические возможности рассматриваются и исследуются в диссертации.
Общеизвестно, что аксиомы Тг , г < 3|, сохраняются тихоновскими
38Шапиро Л Б Об однородности диадических бикомпактов// Матем заметки — 1993 - Т 54, № 4 - С 117-139 39Федорчук В. В К теореме Катетова о кубе // Вестн Моек ун-та Матем
Мехак-1989 №4-С 93-96
"Чобан М М Многозначные отображения и их приложения Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук — Тбилиси, 1979
41Grunberg R. , Junqueira L R, Tall F.D Forcing and normality// Topol. Appl — 1998. — V. 84 — P. 145-174
произведениями Простейшие примеры показывают, что свойство нормальности (аксиома Zk) разрушается даже при возведении пространства в квадрат Таким образом среди общих проблем в этом направлении естественно выделить следующие: (I) Нахождение достаточных условий, при выполнении которых подпространство произведения или само произведение обладает каким-либо свойством типа нормальности или счетной паракомпактности (II) Выяснение характера ограничений на сомножители, которые накладывает условие типа нормальности или счетной паракомпактности, выполняющееся в подмножествах произведения (III) Выяснение характера ограничений на пространство X, которые накладывает условие, что пространство Т{Х) обладает каким-либо свойством типа нормальности или счетной паракомпактности, если Т — некоторый нормальный функтор Проблемы I, II и III, а также проблема выяснения границ, внутри которых остаются справедливыми аналоги классических теорем о произведениях и экспоненциальных пространствах, вместе с вышеприведенной проблемой одновременного обобщения теорем Катетова и Зенора и послужили отправными моментами диссертационной работы
Цель работы — изучение классов топологических пространств, близких к нормальным и к счетно паракомпактным пространствам, усиление ряда результатов, касающихся нормальности и счетной паракомпактности в тихоновских произведениях, экспоненциальных пространствах, пространствах вида Т{Х), где Т — некоторый нормальный функтор, решение ряда естественных задач общей топологии, относящихся к свойствам типа нормальности и счетной паракомпактности
Основные методы исследования. Используются различные методы общей топологии, и в частности, методы теории кардинальнозначных инвариантов, методы комбинаторной теории множеств, методы теории нормальных функторов, а также оригинальные методы и подходы, в том числе, разработанный автором метод изучения топологии пространства с помощью новых понятий секвенциальности и компактности по непустому множеству свободных ультрафильтров
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем
Доказана эквивалентность свойства нормальности Е-произведеяия паракомпактных р-пространств свойству счетности тесноты Е-произведения
Решена поставленная Ван Дауэном 13 проблема одновременного обобщения теоремы Катетова 1948 года и теоремы Зенора 1971 года, а именно, доказано, что, если произведение X xY наследственно ^-нормально, то или пространство X совершенно нормально или все счетные подмножества пространства Y замкнуты В частности, доказано, что счетно компактное пространство, куб которого наследственно 5-нормален, является метризуемым компактом
Доказано, что класс паранормальных в смысле Ван Дауэна пространств совпадает с классом нормальных пространств Полученный результат позволил дать ответы на некоторые вопросы, поставленные Ван Дауэном в 1980 году
Доказано, что, если для какого-нибудь нормального функтора Т степени > 3 и компакта X пространство Т(Х) \ X наследственно ненормально, то X — метризуемый компакт
Доказано, что пространство X удовлетворяет первой аксиоме счетности в следующих случаях (1) если X — компакт, слабо нормальный вне диагонали, (2) если выполняется теоретико-множественное предположение PFA и X — компакт, ^-счетно паракомпактный вне диагонали, (3) если X — счетно компактное пространство, регулярное и D-нормальное вне диагонали
Доказана эквивалентность утверждений (1) пространство X является компактом, (2) пространство X счетно компактно и экспоненциальное пространство ещ>(Х) является слабо нормальным пространством, (3) пространство ехр(Х) является ^-Анормальным пространством, (4) любая степень пространства X является слабо нормальным пространством, (5) любая степень пространства X является Рст-5-нормальным пространством. Тем самым усилены результаты Н В Величко 1975 года ы и Н.Нобла 1971 года 10
Доказана эквивалентность утверждений (1) пространство X является метризуемым компактом; (2) пространство ехр(Х) является на-
следственно 5-нормальным пространством; (3) пространство ехр(Х) является наследственно С*-нормальным пространством, (4) пространство ехр(Х) является наследственно jD-нормальным пространством
Внутренние характеристики компактов Корсона и Эберлейна распространены на существенно более широкий класс М-пространств, введенных Моритой ^.
Доказано, что для пространства СР(Х) непрерывных действительнозначных функций в топологии поточечной сходимости свойство F0-8-нормальности эквивалентно свойству нормальности, а свойство наследственной J-нормальности эквивалентно свойству совершенной нормальности.
10) Доказано, что паракомпактное Е-пространсгво X имеет G&-
диагональ в том и только в том случае, когда пространство X2 \ А
допускает локально конечное (в Х2\ А) прямоугольное открытое покры
тие. В частности, паракомпактное р-пространство X метризуемо в том
и только в том случае, когда пространство X2 \ А допускает локально
конечное (в X2 \ А) прямоугольное открытое покрытие.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение в различных разделах общей топологии- в теории сходимости, в теории кардинальнозначных инвариантов, в топологических вопросах теории категорий, в теории пространств отображений и, в частности, в теории топологических пространств функций
Апробация результатов. Результаты диссертации неоднократно докладывались на научно-исследовательском семинаре по общей топологии имени П С Александрова под руководством профессоров В В Федорчука, А В Архангельского, Б А Пасынкова, В И.Пономарева, В В Филиппова, на научной конференции "Ломоносовские чтения", на Общемосковском топологическом семинаре, на Международной топологической конференции, посвященной 100-летию П.С.Александрова (Москва, 1996), на
^Monta К Products of normal spaces with metric spaces // Math. Ann — 1964 — V 154 -P.365-382
Всероссийских и международных топологических конференциях "Александровские чтения" (1998 — 2006), на Всесоюзных и международных конференциях и симпозиумах по топологии и её приложениям (Минск, 1977, Тирасполь, 1979, 1985, 1991; Ленинград, 1982, Примор-ско(Болгария), 1984; Баку, 1987, Берн (Швейцария), 1991, Киев, 1992, Прага (Чехия), 1981, 1988, 1996, 2001, Кралево-Матарушка Баня (Югославия), 1998, Львов, 2002; Эгион (Греция), 2006), на Международной конференции по геометрической топологии, дискретной геометрии и теории множеств, посвященной столетию Л.В.Келдыш (Москва, 2004)
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 30 работах автора, список которых приведен в конце автореферата [1-30].
Структура диссертации. Диссертация объемом 211 страниц состоит из введения, семи глав, разбитых на 27 параграфов, и списка литературы из 185 наименований, включая 30 работ автора
Теснота и нормальность Е-произведений
Собственное Е-произведение компактов может не быть нормальным пространством. Приведем соответствующий пример. Пусть мощность несчетного множества А равна т. Через Ei обозначим Е-произведение дискретных двоеточий Da, а Є А. Тогда Ei — всюду плотное счетно компактное подпространство обобщенного канторова дисконтинуума DT, причем /?Ei = DT по теореме Гликсберга [87]. Счетно компактный паракомпакт является компактом, а так как Еі не компактно [32], то Ei и не паракомпактно. Пусть Е = Ei х DT. Легко видеть, что Е является Е-произведением компактов DT и Da, а Є А, и если Е = Ei х /?Ei нормально, то по известной теореме Тамано [52], Ei паракомпактно, что не так. Заметим также, что построенный пример замечателен тем, что является ненормальным пространством топологической группы, в частности, является однородным пространством. Другим (неоднородным) примером может служить произведение [и\ + 1) х Ei, поскольку это Е-произведение содержит в качестве замкнутого подмножества ненормальное произведение {щ +1) х ш\. Но если мы возьмем Е-произведение компактов счетной тесноты, в частности, Е-произведение компактов, удовлетворяющих первой аксиоме счетности, то такое произведение будет нормальным пространством по теореме 14.
В этом параграфе будем использовать следующее определение тесноты топологического пространства. Напомним, что теснота топологического пространства X не превосходит кардинального числа т, если из того, что М С X и х Є М следует, что найдется М С М, такое, что \М \ m и х Є М [9]. Разумеется, если в этом определении тп = и, то говорят, что теснота пространства X счетна. Заметим, что ограничение на тесноту сомножителей в условии теоремы 14 существенно, что легко продемонстрировать, немного видоизменив пример, приведенный выше. Пусть \А\ = n m, Dn — обобщенный канторов дисконтинуум веса n, a Da, а Є А, — дискретные двоеточия. Как и в уже рассмотренном примере нетрудно убедиться, что Ет-произведение компактов Dn и Da, а Є А, ненормально. Теорема 14 является частным случаем теоремы 15 Теорема 15. Пусть любое конечное произведение пространств Ха, а Є А, нормально, и пусть все Ха являются т-ограниченными пространствами тесноты т. Тогда Ит-произведение пространств Ха, а Є А, нормально и является т-ограниченным. Напомним, что пространство называется m-ограниченным (сильно т-компактным, в другой терминологии), если замыкание любого его подмножества мощности m компактно. Следующая лемма 5 содержится в работе [24]. Для полноты изложения воспроизведем доказательство этой леммы. Лемма 5. Пусть дано, что теснота любого конечного произведения пространств Ха, а Є А, не превосходит т. Тогда теснота Ет-произведения пространств Ха, а Є А, также не превосходит т.
Доказательство. Пусть Ет является Ет-произведением пространств Ха, а Є А. Пусть М — произвольное подмножество Ет и х Є М. Множество индексов RQ С A, \RO\ тД Э Q(X), выбирается произвольно. Предположим, что множество Rn С А, ЛП т, уже определено. Теснота произведения XRH = П( « : а п} не превосходит m ([27], замечание 3). Множество Тп С М, \Тп\ т, выбираем таким образом, чтобы PRn{x) Є pRn(Tn) (здесь PRU — естественная проекция Em на XRU). Такой выбор возможен, поскольку теснота произведения XRH не превосходит т. Пусть теперь Rn+i = Rn U l){Q(x) : x Є Tn}. Очевидно, \Rn+i\ m. Пусть М = U{Tn : п ш]. Тогда \М \ m и М С М. Покажем, что х Є М . Пусть R = U{Rn :п и }. Произвольная окрестность точки х содержит окрестность вида где К и L являются конечным подмножествами R и А \ R соответственно, множество U открыто в Хк и содержит точку рк{х), а множества Оа являются окрестностями точек sa в Ха при а Є L. Выберем п так, чтобы К С Rn. Так как р х) Є Рд„(Тп), то рк(х) Є Рк{Тп), и найдется точка у 6 Тп, такая что рк(у) Є U. Очевидно, уа = sa при а Є L С А\ R. Следовательно, г/ Є V и произвольно выбранная окрестность точки х пересекается с М . Итак х Є М . Лемма 5 доказана.
Лемма 6. Пусть теснота пространства X не превосходит кардинального числа тп, а пространство Y лвляется т-ограниченным. Тогда проекция р : X х Y —» X является замкнутым отображением. Доказательство. Действительно, пусть множество U открыто в X X Y, и S = {х Є X : р 1{х) С U}. Убедимся в том, что множество S открыто. Если это не так, то, поскольку теснота пространства X не превосходит тп, найдется точка XQ Є S и множество М С X \ S, такие что XQ Є М и мощность множества М не превосходит т. Для каждой точки х Є М возьмем точку у(х) Є Y так, чтобы точка (х,у(х)) не лежала в U. Зафиксируем некоторую базу окрестностей точки XQ: и = {V : Є S}. Для каждого индекса Є Н определим множество і? = {у(#) : ж Є V}. Очевидно, мощность множества R% не превосходит m для любого Є Н, и множества .Д , Є S, образуют центрированную систему.
Большие степени
В этом параграфе будет получено обобщение одной теоремы Нобла. В 1971 году Нобл [124] доказал, что если степень Хт пространства X является нормальным пространством для некоторого несчетного кардинального числа m w(X), то пространство X является компактом. Здесь через w(X) обозначен вес пространства X. Иными словами, Нобл охарактеризовал свойство компактности с помощью свойства нормальности больших степеней этого пространства, поскольку из теоремы Нобла следует, что пространство компактно в том и только в том случае, когда любая степень этого пространства нормальна.
Теорема 31. Если Хт является слабо нормальным пространством для некоторого несчетного m w(X), то пространство X является компактом.
Напомним, что через V мы обозначили класс всех нормальных пространств, в которых любое счетно компактное подмножество замкнуто. Обозначим через Q класс всех пространств счетного псевдохарактера, то есть таких пространств, в которых любая точка является (7,5-точкой. Тогда теорема 31 является следствием следующей более общей теоремы 32.
Теорема 32. Если пространство Хт слабо нормально над классом V П Q при некотором несчетном m w(X), то X является компактом.
Доказательство. Если Хт содержит счетное дискретное пространство ш в качестве замкнутого подмножества, то тогда Хт содержит иґ1 в качестве замкнутого подмножества, поскольку Хт = (Хт)Ші. Покажем, что степень шШі не является слабо нормальным пространством над V C\Q. Отсюда будет следовать счетная компактность Хт.
Пусть Fk, к = 1,2, — множество всех точек {ха : а и)\} Є шШі таких что для каждого п ф к, равенство ха = п имеет место не более чем для одного а. Хорошо известно [133], что множества Fk,k = 1,2, замкнуты и не пересекаются. Если і слабо нормально над V П Q, то можно выбрать непрерывное отображение Q ЄТ Л Q, такое что /(.Рі) П /(-Р\) = 0. Все точки пространства Q по условию являются ( -множествами, поэтому из факторизационной теоремы Гли-сона (см. [81]) следует, что функция / зависит от счетного числа координат, то есть найдутся (3 ш\ и д : ш - Q, такие что / = д орр, где рр : uUl - а/ является проекцией. Зафиксируем взаимно-однозначное соответствие А : /? — ш\ {1,2}, и определим х Є F\ и г/ Є і 2 так, чтобы ха = уа = Х(а) при а /3 и яа = 1,уа = 2 при а ft. Тогда Р/з(х) =рр(у) и, следовательно, f(x) = /(у). Полученное противоречие с условием f(Fi) П /(JPI) = 0 показывает, что Хт счетно компактно и, следовательно, нормально, поскольку счетно компактное слабо нормальное пространство нормально по лемме 21 на стр. 95. Тем самым теорема 32 сводится к исходной теореме Нобла.
В частности, из теоремы 32 получаем, что пространство компактно в том и только в том случае, когда любая степень этого пространства слабо нормальна.
В 1990 году в работе А.В.Архангельского и А.П.Комбарова [59] было доказано, что компакт X, такой, что пространство X2 \ А нормально, удовлетворяет первой аксиоме счетности. Заметим, что если Q — некоторое топологическое свойство, и пространство X2 \ А удовлетворяет свойству Q, то иногда говорят, что пространство X удовлетворяет свойству Q вне диагонали. Основным результатом данного параграфа является следующая теорема 33 из статьи [170], представляющая собой усиление вышеупомянутого результата из работы [59].
Через и)(т) обозначается начальное порядковое число мощности т, через А — диагональ {(х, х) : х Є X} квадрата X2.
Лемма 25. Предположим, что пространство X регулярно. Пусть для некоторой точки р, такой, что ф(р, X) = т No выполняется следующее условие: если множество Р замкнуто в X и р Є Р\ {р}, то существует такое подмножество М С Р \ {р}; что \М\ т и р Є М. Тогда X2 \ А не является слабо нормальным пространством над классом пространств счетного псевдохарактера.
Доказательство. Пусть F\ = {{х,р) Є X2 : х ф р} и F% = {(р, х) Є X2 : р ф х]. Тогда Fi и і — замкнутые непересекающиеся подмножества Х2\А. Выберем множество М С Х\{р} так, чтобы \М\ = \ ткр Є М. Для каждого m Є М, пользуясь регулярностью X, зафиксируем замкнутое (jj-множество Q(m) С X, такое, что р Є Q(m) и m $. Q(m). Если / — непрерывное отображение X2 \ А в некоторое пространство L счетного псевдохарактера, то при всех m Є М множества Рт = {х Є Q{m) : f((m,x)) = f((m,p))} являются замкнутыми -множествами в X, и поэтому множество Р = Г\{Рт т М} также замкнуто в X и является Сд-множеством. Очевидно, р Є Р, и, поскольку А т, точка р — не изолированная точка Р.
Замкнутые отображения на g-пространства
Как известно, счетно паракомпактные пространства были независимо определены в 1951 году Даукером [79] и Катетовым [103]. Внимание топологов фокусировалось на счетно паракомпактных пространствах в течение двадцати лет после 1951 года в связи с поиском нормального пространства, не являющегося счетно паракомпактным. В 1971 году М.Э.Рудин [131] построила пример такого пространства. В данном параграфе вводится свойство, более слабое, чем счетная паракомпактность, и доказывается, что все нормальные пространства обладают этим свойством.
Следующее определение почти дословно повторяет хорошо известную характеристику счетно паракомпактных пространств (см., например, [52], теорема 5.2.1).
Ясно, что всякое счетно паракомпактное пространство о;-счетно паракомпактно. Нормальные пространства также аьсчетно параком-пактны, что следует из теоремы 35. Напомним, что пространство называется псевдонормальным [129], если любые два непересекающихся замкнутых множества, одно из которых счетно, содержатся в непересекающихся окрестностях. Всякое нормальное пространство, очевидно, псевдонормально.
Доказательство. Пусть F\D F2D ... — последовательность замкну тых счетных подмножеств псевдонормального пространства X, такая, что n{Fi : і uf\ — 0. Поскольку всякое псевдонормальное про странство регулярно, то F\ — счетное регулярное пространство, и, значит, является линделёфовым пространством. Всякое линделёфово пространство счетно паракомпактно, поэтому найдутся открытые в F\ множества 14, такие, что Fn С Vn, и C\{Vn : п ш] = 0. Для каждого п ш определим функционально открытое в F\ покрытие In = {F\ \ Fn,Vn} подпространства F\. Поскольку пространство F\ сильно нульмерно (см. [52], 6.2.8), в jn можно вписать конечное по крытие Лп , состоящее из открыто-замкнутых в JFI множеств. Обозна чив звезду множества Fn относительно покрытия Лп через Нп , полу чим, что Fn С Нп С Vn, и Нп — открыто-замкнутое подмножество F\. Пусть Рп = Fi\ Нп. Тогда Нп и Рп — замкнутые непересекаю щиеся счетные подмножества регулярного пространства X. Поэтому для каждого п найдется открытое в X множество Un , такое, что Fn С Нп С Un, и 1/пП Рп = 0. Положим Ф = D{Un : п и}. Так как П{#п : п ш} = 0, то U{P„ :п ш} = Fi, поэтому, если ФП-Fi ф 0, то ФГ\Ртф 0 для некоторого ш и, но тогда и UmnPm Ф 0. Полученное противоречие показывает, что Ф П Fi = 0, и поскольку пространство X псевдонормально, а замкнутое множество F\ счетно, найдётся от крытое в X множество G, такое, что Fi С G, иФПС = 0. Полагая Wn = Un(lG, получим D{Wn :n uj} = П{Щ :n u}C)G = ФГ) = 0. Теорема 35 доказана.
Примером w-счетно паракомпактного пространства, не являющегося псевдонормальным, может служить любое счетно паракомпакт-ное нерегулярное пространство ([52], 5.1.40). Регулярный такой пример автору неизвестен.
Согласно знаменитой теореме Катетова ([102], [52], 2.7.15(а)), если произведение X х Y наследственно нормально, и пространство Y со дер жит счетное незамкнутое множество, то тогда каждое замкнутое подмножество пространства X является Gj-множеством. Разумеется, заменить наследственную нормальность наследственной псевдонормальностью невозможно, потому что произведение ш\ х (а + 1 ) наследственно псевдонормально, но замкнутое множество ЫМ всех счетных предельных ординалов не является Gj-множеством в пространстве и)\. Тем не менее мы видим, что любое счетное замкнутое подмножество пространства ш\ является Gj-множеством, и более того, справедлив аналог теоремы Катетова, доказанный в работе [166]: если произведение X х Y наследственно псевдонормально, то либо любое счетное замкнутое подмножество X является ( -множеством , либо все счетные подмножества пространства Y замкнуты. Из теоремы 35 следует, что следующая теорема 36 является обобщением этой теоремы.
Мансфилд показал(см. [52], 5.5.17), что пространство X счетно па-ракомпактно в том и только в том случае, если для каждой счетной локально конечной системы {Fi : і w} замкнутых подмножеств пространства X найдется локально конечная система {Gi : і us} открытых подмножеств пространства X, такая, что Fi С Gi для каждого натурального і ш.
Следуя [2], будем называть систему g = {Gi : і и} множеств пространства X раздутием системы / = {Fi : і ш} замкнутых подмножеств пространства X, если система / комбинаторно вписана в систему д, то есть Fi С G{ для каждого натурального і и (см. [2]).
Если все множества Gi,i ш, открыты, то раздутие д будем называть открытым. В этом определении предполагается, что множества G{ и Gj рассматриваются как различные при і ф j .
Определение. Топологическое пространство X обладает свойством sE (соответственно Е ), если каждая счетная дискретная система {Fi : г ш} замкнутых счетных подмножеств (соответственно одноточечных подмножеств) пространства X имеет локально конечное открытое раздутие.
Совершенная -нормальность
В статье [59] было доказано, что нормальный вне диагонали диадическии компакт метризуем. Как известно, каждый диадическии компакт является х-пространством (см. [52], 3.12.12(1 )). Этот факт позволяет дать простое доказательство более общего утверждения, а именно, что диадическии компакт X, обладающий свойством wE вне диагонали, удовлетворяет первой аксиоме счетности и, следовательно, метризуем.
Напомним, что точка х Є X называется х-точкой, если точка х является пределом нетривиальной сходящейся последовательности точек хп Є Х\ {х} [54]. Пространство X называется х-пространством, если каждая неизолированная точка х Є X является х-точкой. Теорема 48. Компакт, являющийся х-пространством и обладающий свойством wE вне диагонали, удовлетворяет первой аксиоме счетности. Следствие. Диадическии компакт, обладающий свойством wE вне диагонали, метризуем. Теорема 48 является очевидным следствием следующей леммы 32. Лемма 32. Пусть пространство X обладает свойством wE вне диагонали, и пусть точка х Є X является пределом последовательности точек {хп Є Х\{х} : п и}. Тогда точка х является Gs-точкой пространства X.
Доказательство. Множество {(хп,х ) : п а;} замкнуто и дискретно в пространстве X2 \ А. Следовательно существует бесконечное под множество ЕСии локально конечное в пространстве Х2\А семейство открытых множеств {Un х Vn : п Є Е}, такое что хп Є Un и х Є Vn. Легко видеть, что х = Г\{Уп : п Є Е}. Лемма 32 доказана.
Заметим, что как показывает пример компакта X = (Зш\ш, невозможно опустить условие для пространства X быть х-пространством в теореме 48.
Определение. Пространство X называется квази-х-пространством, если каждая окрестность любой неизолированной точки этого пространства содержит счетное незамкнутое множество.
Каждое х-пространство является квази-х-пространством. Класс квази-х-пространств достаточно широк. Заметим,что, например, все -пространства, локально счетно компактные пространства, локально сепарабельные пространства, пространства счетной тесноты являются квази-х-пространствами.
Теорема 49. Если регулярное пространство X является квази-х-пространством, обладающим свойством Fa-sE вне диагонали, то в пространстве X всюду плотно множество точек счетного псевдохарактера.
Теорема 49 является непосредственным следствием леммы 33, доказательство которой совершенно аналогично доказательству леммы 28 на стр. 121.
Лемма 33. Пусть {у} U М является счетным регулярным подпространством пространства X, и точка у не является изолированной. Пусть Z = ((X х М ) U ((X \ {у} ) х {у} ) ) ) \ А обладает свойством sE.
Тогда точка у является Gs-точкой в пространстве X. Непосредственным следствием теоремы 49 является теорема 50. Теорема 50. Компакт, обладающий свойством Fa-sE вне диагонали, удовлетворяет первой аксиоме счетности в каждой точке некоторого всюду плотного множества.
Пусть Ф = {ш\ +1)2 \ Д. Поскольку компакт ш\ +1 не удовлетворяет первой аксиоме счетности в точке щ, из вышеприведенной теоремы работы [59] следует, что Ф не является нормальным пространством. В дальнейшем понадобится не является счетно паракомпактным пространством.
Доказательство. Известно, что в ш\ найдётся убывающая последовательность стационарных множеств с пустым пересечением: u i = SQD SI D - D Sn D (см. теорему 3.2 работы [26]). Нетрудно заметить, что множество Fo = {(а + 1,а) : а Є So} дискретно в Ф, поэтому все множества Fn = {(а + 1, а) : а Є Sn} замкнуты в Ф, причём f]{Fn : п ш) = 0. Пусть Fn С Wn и множества Wn открыты в Ф. Для каждого а Є Sn зафиксируем ординал fn{oi) & так, чтобы
Нетрудно показать, что Ф является i -псевдонормальным пространством. Таким образом, пример компакта X = и)\ + 1 показывает, что из -псевдонормальности пространства X2 \ Д не следует первая аксиома счетности во всех точках X. Ситуация меняется, если свойство і -псевдонормальность усилить до -Расчетной паракомпактности и воспользоваться дополнительным теоретико-множественным предположением (PFA) [60], являющимся мощной версией известной аксиомы Мартина (см., например, [35]).
