Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Финслсровы пространства и их обобщения 18
1. Основные понятия финслеровой геометрии 18
2. Пространства финслерова типа 23
3. Связности в пространствах финслерова типа 27
Глава 2. Пространства финслерова типа с (а,Р)-метриками 33
4. Пространства финслерова типа, близкие кримановым 33
5. Связность Картана как стабилизирующая связность последователь ности связностей 36
6. Пространство с метрикой КропиноЙ, допускающее группу движений максимальной размерности 42
7. Примеры пространств с (а,Р)-метриками 49
8. Автоморфизмы механической системы как (ос,Р)-структуры 59
Глава 3. Почти эрмитовы и почти симплектические структуры и их автоморфизмы на касательном расслоении гладкого многообразия 69
9. Канонические почти комплексная структура и почти комплексная связность. Инфинитезимальные автоморфизмы 69
10. Почти эрмитовы и почти симплектические структуры на ТМ 77
11. Инфинитезимальные автоморфизмы почти эрмитовых структур (TM,G\J) 87
12. Инфинитезимальные автоморфизмы почти эрмитовых структур {TM,G2,J) 95
13. Инфинитезимальные автоморфизмы почти симплектической структуры 100
14. Инфинитезимальные автоморфизмы почти симплектической структуры Q 110
Литература
- Пространства финслерова типа
- Связности в пространствах финслерова типа
- Пространство с метрикой КропиноЙ, допускающее группу движений максимальной размерности
- Почти эрмитовы и почти симплектические структуры на ТМ
Введение к работе
Актуальность темы. Изучение геометрии финслеровых пространств Fn, их ближайших обобщений (обобщенных финслеровых пространств Тп, лагранжевых пространств Ln, обобщенных лагранжевых пространств Сп) и их касательных расслоений является актуальным направлением математических исследований в связи с многочисленными применениями этих исследований в теоретической физике, в частности, в теории поля и аналитической механике. В последние годы число физических приложений пространств финслерова типа резко возросло. Имеется большое число работ, посвященных финслеровым обобщениям теории гравитационно-электромагнитных нолей [1], [38], [23], [43], [44], [53], [54]. К числу первых исследований в этом направлении, по-видимому, следует отнести работу Рандсрса [56], в которой была предпринята попытка построения теории гравитационно-электромагнитного поля на основе фиислеровой метрики L — а + /?, где a = \Jaij{x)ylyi, ft = Ьі(х)уг, а ац- компоненты риманова метрического тензора, Ь(- компоненты дифференциальной формы. Пространствам Рандерса посвящены многочисленные исследования в различных направлениях [40], [50], [57].
Лагранжева геометрия является основой аналитической механики [4], [9]. В этой связи отметим, что в теории динамических систем нашла применение еще одна (а, /3)-метрика L = а2/{3- метрика Кроииной [20]. Обширный обзор по геометрии пространств финслерова типа с (ct, 0)-метриками имеется в работе Мацумото [51].
В физических приложениях рассмотрение различных преобразований играет фундаментальную роль, поскольку с каждым преобразованием связан тот или иной закон сохранения [9]. Это обуславливает актуальность исследований различных преобразований и, в частности, автоморфизмов метрических структур фипслерова типа и их продолжений на касательное расслоение, что является естественным, поскольку компоненты дифференциально-геометрических объектов фипслерова типа являются функциями точки касательного расслоения.
Теория движений (автоморфизмов) в пространствах финслерова типа с использованием аппарата производной Ли была разработана Б.Л. Лаптевым [21]. Первые исследования по теории движений финслеровых пространств принадлежат Кнебсльману [47]. Он, в частности, доказал, что размерность группы Ли движений фипслерова пространства Fn не превосходит п(п +1)/2 и не имеет подгрупп состоящих из движений, действующих по общим траекториям, а пространства Fn, допускающие группу движений максимальной размерности г = п{п + 1)/2 являются римановыми пространствами постоянной секционной кривизны. Если финслерово пространство Fn положительно определенной метрики допускает группу движений размерности г > п(п — 1)/2 + 1, то оно является римановым пространством постоянной кривизны и г = п(п + 1)/2 (Wang H.S. [61]). Для финслеровых пространств знакопеременной метрики это утверждение имеет место при г > п(п — 1)/2 + 2 (А.И. Егоров [11]). Финслеровы пространства с группами движений размерности п(п —1)/2+1 найдены Tashiro I. [60] и Ku Chao-hao [48], а с группами движений размерности п(п — 1)/2 + 2 А.И. Егоровым [11]. В.И. Паньженским [24] было показано, что размерность группы движений обобщенного финслерова пространства не превосходит п{п + 1)/2 и найдены все обобщенные финслеровы пространства, допускающие группы движений максимальной размерности. Четырехмерные пространства Рандерса, допускающие группы движений размерности п(п — 1)/2 + 1, были найдены З.Н. Четыркиной [33], Л.И. Егоровой [14] были найдены двух- и трехмерные пространства Кропиной, допускающие группы движений. Автоморфизмы различных обобщенных пространств исследовались в работах И.П.Егорова, А.П. Широкова, Б.Н. Шапукова и их учеников.
В работе Б.Н. Шапукова [35] были изучены автоморфизмы произвольных расслоенных пространств, относительно которых инвариантна 7Г-структура, найдено строение тензоров кривизны и кручения для расслоенного многообразия, допускающего максимальную группу автоморфизмов; кроме того, рассматривались автоморфизмы, при которых сохраняется также и заданный объект линейной связности. Ученики А.П. Широкова и А.В. Амиповой Подольский В.Г. [31] и Дапынии А.Ю. [б], [5] изучали иифинитсзимальные преобразования в касательном расслоении различных многообразий. В этих исследованиях, в частности, решалась задача канонического разложения векторного поля того или иного инфинитезималыюго преобразования. В.И.Паньженский [27] рассматривал движения в касательном расслоении с метрикой типа Сасаки. Р.Х.Ибрагимовой [15], [16] изучались движения некоторых римановых метрик на касательном расслоении, относительно которых инвариантна ортогональная 7Г-структура и касательная структура.
Целью диссертационной работы является изучение некоторых (а,/3)-структур финслерова типа и их автоморфизмов, установление максимальной размерности алгебры Ли различных ипфинитезимальных автоморфизмов почти эрмитовых и почти симплектических структур, возникающих на касательном расслоении регулярного обобщенного лагранжева пространства или пространства, наделенного обобщенной почти симплектической структурой.
Методы исследования. Основным методом исследования работы является аппарат тензорного анализа, включая применение производной
Ли в пеголономном репере. Исследования носят локальный характер и ведутся в классе достаточно гладких функций.
Научная новизна результатов, полученных в диссертации и выносимых па защиту, заключается в следующем:
Введены пространства финелсрова типа, близкие к римановым и указаны необходимые и достаточные условия того, когда коэффициенты усеченной связности Картана совпадают со связностью Леви-Чивита исходного риманова пространства. Приведены примеры.
Указан способ построения связности Картана в пространствах финелсрова типа, используя естественную последовательность метрических связностей. Применяя этот метод, найдено явное выражение коэффициентов связности Картана для обобщенного финслерова пространства с локально конической метрикой.
Построен пример метрики Кропиной, допускающей группу движений максимальной размерности п(п — 1)/2 -f 2.
Исследованы пространства финслерова типа со следующими [а, 0)-метриками: лаграижево пространство с лагранжианом L = F(a) + ft обобщенное лагранжево пространство с метрическим тензором
9ij = «и + bsysdij; обобщенное финслерово пространство с метрическим тензором
9ij = aij Н г~7- apsyPys
Во всех случаях соответствующие уравнения Эйлера приведены к каноническому виду. Для двух последних метрик построена связность Картана.
Определяя механическую систему как (<*, /?)-структуру, где а-некоторый лагранжиан (кинетическая энергия), /?- полубазисиая дифференциальная форма (силовое иоле), найдено силовое поле, инвариантное относительно полной группы п-мериого псевдоевклидова пространства.
Установлена максимальная размерность алгебры Ли различных инфинитезимальиых автоморфизмов канонической почти комплексной структуры на касательном расслоении гладкого тг-мерного многообразия.
На касательном расслоении ТМ гладкого тг-мерного многообразия выделены те римановы метрики, которые являются эрмитовыми относительно канонической почти комплексной структуры. Соответствующие фундаментальные 2-формы этих метрик определяют почти симплектические структуры на ТМ.
Исследованы инфинитезимальные автоморфизмы этих структур. Для каждой из рассматриваемых в работе почти эрмитовых и почти симплектических структур установлена максимальная размерность алгебры Ли различных инфинитезимальиых автоморфизмов этих структур.
8. Найдены инвариантные характеристики почти келеровости или келеровости рассматриваемых почти эрмитовых структур и симплектичности соответствующих почти симплектических структур.
Теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер.
Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении пространств финслерова типа, геометрии касательного расслоения, а также в теории поля и аналитической механике.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на геометрическом семинаре физико-математического факультета Пензенского гос. пед. университета (2002-2005гг.), на Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2002"(Москва, МГУ, апрель 2002г.), па Международной конференции по геометрии и анализу (Пенза, октябрь 2002г), на молодежной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2003"(Казань, декабрь 2003г.) и "Лобачевские чтения -2005"(Казань, декабрь 2005г.), на Международном геометрическом семинаре им. Г.Ф.Лаптева "Лаптевские чтения -2003"(Пенза, январь 2004г.), на Международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики", посвященной 200-летию Казанского университета и 70-летшо НИИ математики и механики им. Н.Г.Чеботарева (Казань, сентябрь 2004г.)
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах [62]-[70].
Краткое содержание диссертации.
Введение содержит обзор литературы по теме диссертации, обоснование актуальности темы и краткое содержание работы.
Пространства финслерова типа
1. Если метрическую структуру на М ввести не с помощью фундаментальной функции F(x,y) как в случае финслеровой геометрии, а с помощью метрического тензора д, считая его невырожденным и симметричным, а его компоненты gij(x,y)- функциями однородными пулевой степени по координатам вектора у, то мы приходим к понятию обобщенного финслерова пространства J771. В этом случае длина дуги базисной кривой с : х x(t) t\ t Ї2 определяется интегралом s(c) = і 2 у]д1Лх,х)х хЫЬ (2.1) и не зависит от способа параметризации кривой в силу однородности компонент метрического тензора. Если на ТМ существует функция F такая, что F.i-j = gij, то обобщенное финслерово пространство является финслеровым. В общем случае не существует такой порождающей функции и говорят о пепотенциалыгости метрического тензора (или пространства). Однако, часто к метрическому тензору целесообразно присоединить функцию F = дцУ уі, которая в случае ее невырожденности определяет так называемое ассоциированное финслерово пространство Fn. Если на ТМ задан невырожденный лагранжиан L(x,y), то многообразие М называют лагранжевым пространством Ln. Если этот лагранжиан однородный второй степени по у, то мы имеем финслерово пространство. В общем случае не предполагается какой-либо однородности L{x,y) по у. Функции дц — \L.i-j являются компонентами тензора д, который, как и в финслеровом случае, называется метрическим. Если метрическую структуру на М задать с помощью симметрического невырожденного тензорного поля д = gij(x,y)dx g dx\ то мы приходим к понятию обобщенного лагранжева пространства Сп. Если L = д УгУ -невырожденный лагранжиан, то он определяет ассоциированное лагранжево пространство. Обобщенные финслеровы, лагранжевы и обобщенные лагранжевы структуры мы называем структурами финслерова типа (пространствами финслерова типа). Имеют место очевидные включения Fn С Тп С Ст\ Fn С Ln С Сп. Таким образом, наиболее общий класс пространств финслерова типа образуют обобщенные лагранжевы пространства. Все остальные пространства финслерова типа получаются из Сп накладыванием некоторых естественных дополнительных условий.
2. В физике при построении различных теорий часто используют лагранжианы, не обладающие такими замечательными свойствами как финслеров лагранжиан. Например, в аналитической механике встречаются нефипслеровы лагранжианы, а в определнии регулярной механической системы на лагранжиан не накладывается других условий, кроме невырожденности. В работе [29] выделен класс лагранжианов, которые по некоторым своим свойствам близки к финслсровым.
Пусть L- невырожденный лагранжиан, дц — \h.i.j компоненты метрического тензора лагранжева пространства Ln = (M:L). Построим лагранжиан Ь1 = дцуЫ}- 2.2) Для финслерова лагранжиана F : F = F, в общем случае L ф L. Построим тензор д1 9h = \L\.P (2.3) а затем лагранжиан L2 = 9yyj (2.4) и т.д. Таким образом, возникает естественная последовательность лагранжианов L = L, L\ L2,... (2.5) Если существует такое целое к, что Lk — Lk l, последовательность (2.5) стабилизируется на к-ом шаге, а лагранжиан Lk l является стабилизирующим. Если к = 1, т.е. Ll = L, то лагранжиан L называется стабильным. В этом смысле финслеров лагранжиан является стабильным.
Предположим, что L стабильный лагранжиан, т.е. L1 = L. Тогда д1 должен совпадать д. Найдем g}j, дифференцируя дважды L1, определенный формулой (2.2). В результате имеем 9ij = 9ij + L.p.i.jyp + -Ь.р.к.иурук. (2.6) В силу нашего предположения gjj — дц, поэтому xfL.p.H + fykL.p.k.4 = 0. (2.7) Имеет место Утверждение 2.1. [29] Для того, чтобы лагранжиан L был стабильным необходимо, чтобы L удовлетворял системе дифференциальных уравнений (2.7) Рассмотрим лагранжианы, однородные к-ои степени по координатам касательного вектора: L(x,\y) — XkL(x,y). Тогда имеем следующие соотношения
Связности в пространствах финслерова типа
1. Пусть Сп (М,д)— регулярное обобщенное лагранжево пространство (или регулярное лагранжево пространство Ьп или обобщенное финслерово пространство J-71) и пусть \/- исходная ипфинитезимальная связность, а V — линейная финслерова связность, согласованная с метрическим тензором д. Связность V порождает инфинитезимальную связность (/[, которая в свою очередь определяет Vi и т.д. Тогда мы имеем последовательность инфинитсзимальных связностей Щ=ЦЦ» Р5,... (5.1) и последовательность финслеровых связностей Vo = V,Vi,V2)... (5.2)
Если существует натуральное к, такое что Ц. = t _i, а следовательно, и Vfc = Vi-i, то обе последовательности стабилизируются на k-ом шаге, а Vjt есть связность Каратна.
В качестве исходной связности \% возьмем инфинитезимальную связность, определяемую уравнениями Эйлера-Лаграпжа лагранжиана L = \дііугуЗ , предполагая его невырожденность. Последовательность (5.2) в этом случае назовем естественной. В финслеровом случае связность V = Vo уже является связностью Картана, поэтому Pf = Щ, и последовательности (5.1) и (5.2) стабилизируются на первом шаге. Если пространство нефинслерово, то строя последовательности связностей, есть надежда получить на некотором шаге стабилизацию и найти явное выражение коэффициентов картановской связности через метрический тензор. Приведем пример.
2. Рассмотрим обобщенное финслерово пространство Тп — (М,д) с метрикой д(Х, Y) = h{X, Y) + a{x)h(X, и) Д(У, и), (5.3) где h- риманова метрика, а(х) — 1- скалярная функция на М, и = yi\jh{y,y). Данная метрика является метрикой близкой к римановой, второго порядка близости. Компоненты метрического тензора (5.3) имеют вид 9ij = Ъз + а(х)УіУі/УзУ3, (5.4) где УІ = уірУ1 . Ассоциированная финслерова метрика Р(х,У) = 1(а + 1НзУУ (5.5) является римановой с метрическим тензором /»j = (a + l)7ij, (5.6) который конформен тензору 7ij- Коэффициенты связности Леви-Чивита метрического тензора Д/ имеют вид 4 = Г& + Г-Г7ТW i + Wi - W%"} (5-7) где Tfj коэффициенты связности Леви-Чивита римановой метрики 7ij-Эти коэффициенты определяют исходную инфипитезимальную связность 17с коэффициентами Gf = ТУ + -L {diayk + yidjaS} - дра7к?УіІ (5.8) Вычислим коэффициенты F-j канонической финслеровой связности. Коптравариаптпые компоненты метрического тензора (5.4) имеют вид Свернем (5.16) с у3 я = У Гкр + or Л a{yVyPg«fl + ЛЧай - fys dpapi}. (5.17) z a + І-)УЗУ Из (5.14) и (5.17) следует, что TVg = І У = TVft = i#y . Таким образом, Ffaj — Т ц есть связность Картана, и обе последовательности Ро = Т Рь Р?,...; Vo — V, Vi, V2,... стабилизируются на втором шаге. Тензорная часть связности вычисляется по формуле (3.3) и для метрического тензора (5.4) имеет вид Гк _ а укъ3- УіУ3Ук ч /ч 1Яч Итак имеет место
Теорема 5.1. Для локально конической метрики (5.4) обе естественные последовательности связностей стабилизируются на втором шаге, а коэффициенты связности Картана определяются формулами (5.16) и (5.18).
1. Имея группы размерности п(п — 1)/2 + 2, являющиеся группами движений финслеровых пространств Fn [13], выясним, есть ли среди этих пространств пространства с метрикой Кропиной. Рассмотрим обобщенное лагранжево пространство с метрическим тензором вида 9^У)-ЧЕГ- (6-1) аф) bkVh Лагранжиан ассоциированного пространства L ~ ЯцУ%У^ очевидно, будет определять метрическую функцию пространства Кропиной Утверждение 6.1. Если векторное поле X является движением пространства с метрическим тензором (6.1), то оно является движением и пространства с метрикой Кропиной. Действительно, если СхШз ~ О' т0 свернув с угуі и учитывая, что СхУг = О, получим, что CxL = 0. Поэтому, будем сначала искать обобщенные лагранжевы пространства с метрическим тензором (6.1), допускающие группы движений размерности п(га-1)/2 + 2. Векторное поле X — ^kdk является движением пространства С11 если СХф = 0. (6.3) Расписывая уравнения (6,3), получим уравнения движений пространства (6.1) bkykC^aij - ЩзУкСфк _ (ЪкУьу 42 или yl Ікдкац + ajkdk + аікд^к - 7^ + bkd^k)ai:i = 0. (6.4) Обозначим <р(х,у) ~ ^{,кдфі + Ькдк), тогда (6.4) можно записать в виде Схац = mj. (6.5)
Продифференцируем (6.5) по у1 учитывая, что ац и к не зависят от координат касательного вектора, получим f-i = 0. (6.6) Из (6.6) следует, что <р не зависит от координат касательного вектора. Уравнения (6.5) при <р = 0 являются уравнениями движений риманова пространства с метрикой а, при tp = const ф 0 уравнениями подобных преобразований, а при (р ф const уравнениями конформных преобразований этого пространства
Пространство с метрикой КропиноЙ, допускающее группу движений максимальной размерности
1. В аналитической механике механической системой на гладком многообразии М называют пару (а, /3), где а- некоторый лагранжиан на ТМ, /3- полубазисиая 1-форма на ТМ. Говорят, что М- конфигурационное многообразие, п- число степеней свободы, ТМ- фазовое пространство, а- кинетическая энергия, -силовое поле [4].
Векторное поле X — kdk на М назовем автоморфизмом механической системы, если оно оставляет инвариантными кинетическую энергию и силовое поле, т.е. производная Ли от а и /3 должна быть равна нулю Lxa = 0, (8.1) Lxj3 = 0. (8.2)
2. Рассмотрим частный случай механический системы. Пусть М = Еп-(псевдо)евклидово пространство и а = е1У12 + ... + епуп21 ві = ±1, /5 = bi{x, y)dx\ (8.3)
Оценим максимальный порядок группы автоморфизмов системы (8.3). Как известно, максимальный порядок движений в римановом пространстве равен п(п + 1)/2 и в этом случае мы имеем риманово пространство постоянной кривизны. В случае (псевдо)евклидова пространства имеем следующие базисные операторы группы движений [36] Xi = di.t Xki ekxldk eixkdh (8.4) где І к и по к, I нет суммирования. Теорема 8.1. Максимальный порядок группы автоморфизмов механической системы (8.3) равен п{п + 1)/2. Компоненты силового поля максимально подвижной механической системы имеют вид h yVi(w) (но і нет суммирования) где у; = е2г...пУ1 +-Єі2..л...пУг +-" + ei2,..n-iZ/n2,e12,j,n - еіе2...е;_іег-+і...еп. Доказательство. Для механической системы (8.3) уравнения (8.1) выполнены тождественно. Остается проинтегрировать (8.2). Для простоты вычислений ограничимся случаем п = 4. Тогда из (8.4) имеем следующие операторы: Х{ и
1. Пусть М- гладкое n-мерное многообразие, V- некоторая нелинейная связность, с коэффициентами N (x:y). Коммутаторы векторных полей адаптированного локального базиса (5д) векторных полей на ТМ имеют вид: [ ,] — R gSc, где Ядр- компоненты объекта пеголономности: пп+к г лтк г лтк г п+к г А; туп+к г к Щ} uJiVi 2iVj in+j — J- ij n+ij — L jii тук _ T k тук r k r n+k n /Q -І \ где Lfj = N j. Здесь подобъекты Rfj преобразуются по тензорному закону, a Rf +j и Щ+ij преобразуются как объекты связности. Распределение горизонтальных площадок связности V определяет на ТМ каноническую почти комплексную структуру J (J2 — —id): JXh = Xv,JXv = -Xh, (9.2) где Xh,Xv- горизонтальные и вертикальные лифты векторных полей в связности РГ Матрица аффинора J почти комплексной структуры в адаптированном репере имеет вид J = О Е -Е О Кроме того, на касательном расслоении имеется касательная структура / (Р = 0), оператор которой действует следующим образом: IXh = Xv, IXV = 0, (9.3) Матрица оператора касательной структуры / в адаптированных координатах имеет вид 0 Е Рассмотрим на ТМ линейную связность V, удовлетворяющую следующим условиям: 1) V согласована с почти комплексной структурой J; 2) V согласована с касательной структурой /.
Построенная таким образом связность является вполне приводимой связностью Б.Н. Шапукова [34], с формами связности и = О у где ш = Що!х\
2. Векторное поле X = А$А на ТМ является инфинитсзимальным автоморфизмом почти комплексной структуры J, если производная Ли от J вдоль X равна нулю CxJ = 0. (9.11) В адаптированном базисе (6д) уравнения (9.11) имеют вид f(JPARcp - JPRCA) + &AfJ% - 5сЄЗсА = 0. (9.12) Пусть Xе = ,г(х)ё( -f {укдк? + Щ к)дп+і полный лифт векторного поля X = {х)ді базисного многообразия М. Поле Xе назовем естественным автоморфизмом структуры J на ТМ, если CxcJ = 0.
Теорема 9.1. Для того, чтобы полный лифт Xе векторного поля X был ипфинитезимальным автоморфизмом почти комплексной структуры J на ТМ необходимо и достаточно, чтобы векторное поле X оставляло инвариантной нелинейную связность \7.
Почти эрмитовы и почти симплектические структуры на ТМ
Теорема 10.5 Почти эрмитова структура (TM,G2,J) является келеровой тогда и только тогда, когда компоненты формы со не зависят от переменных уг, форма ю является замкнутой и ковариантно постоянной в связности L\-, а горизонтальное распределение связности V интегрируемо.
Доказательство. Как уже было сказано, структура должна быть почти келеровой и необходимо, чтобы была интегрируема почти комплексная структура. Условия интегрируемости почти комплексной структуры выражены равенствами (10.23) и (10.24). Равенство (10.23) означает интегрируемость горизонтального распределения нелинейной связности. Из (10.23) и (10.41) следует, Wij.k = Q. (10.49) Следовательно, соц — coij(x). Тогда условия (10.40) принимают вид dityk + djCOki + dktoij = 0. (10.50) Равенства (10.50) есть условие замкнутости формы со: dio = 0.
В силу (10.49) равенства (10.47) выполнены тождественно. И еще остается условие коваринатиого постоянства формы со, которое выражено равенством (10.45). Теорема доказана.
Инфинитезимальные автоморфизмы почти эрмитовых структур (TM,Gl,J)
1. Пусть нелинейная связность [/ индуцируется связностью Картана, т.е. коэффициенты нелинейной связности определяются следующим образом iVf = Tlfyi. Векторное поле X = АЬ А на ТМ является инфинитезимальпым автоморфизмом почти эрмитовой структуры (G,J), если выполнены условия CxG = 0, (11.1) CxJ-=0. (11.2) В адаптированном базисе уравнения (11.1) имеют следующий вид f{b cGAB - GPBQ A - GAPnpCD) + 5A?GPB + 5BfGAP = 0 (11.3)
Рассмотрим естественные автоморфизмы почти эрмитовой структуры (TM G1 ), где G1 определяется формулой (10.6).
В этом случае вектор инфинитезималыюго преобразования есть полный лифт некоторого поля X = С(х)ді базы Xc = e(x)5i + ykVledn+i, (11.4) где напоминаем, V - связность Картана обобщенного лагранжева пространства Сп Теорема 11.1. Для того, чтобы полный лифт Xе векторного поля X был ипфииитезималънъш автолюрфизмом почти эрмитовой структуры (G , J) на ТМ необходимо и достаточно, чтобы векторное поле X было инфинитезимальпым движением регулярного обобщенного лаграно/сева пространства Сп. Доказательство. Расписав равенства (11.3) для различных серий индексов, получим f&c9ij + &ii 9kj + Skgik = 0, (11.5) fScgij + gkj(dn+iC+k - Rnc+nk+i) + 9гк(дп+іЄ+к - Rnctk+j) = 0, (И-6) дп+іЄ = 0, (И.7) Sitn+k - fRcf = о- (і1-8) Рассмотрим равенства (11.4). Учитывая, чему равны J&, 9n+fc, п+к, получим Є(дк - ЄФР)9ІІ + (УРдРЄ + Т$?)дн9ц+ +№(д, - Г Я) + -( - 1) = 0. Раскроем скобки %9Ц - ЄПРо9ігр + УрдРЄ9іН + rg y. + fflk9 + jaydrf = 0. В силу симметричности Г по нижним индексам, имеем Ікдкдіз + УРдРІк9із-к + 5 + gkjdk = 0, т.е. Cx9ij = 0. (11.9) В уравнениях (11.6) найдем сначала знамения выражения, стоящего в скобках. Учитывая, что R Xin+j — 0, R%t+j = 1 -, имеем = dj? + $Т$ + yker lj - ЄТ% + 2/5 = dje- (їмо) тогда уравнения (11.6) принимают вид fScgtj + №fc6j + 9кМк = 0.
Так как р5сдц = Ікдк9іі + Урдр,к9ц-к (см. выше вычисления для (11.5)), то последние равенства совпадают с (11.9) Уравнения (11.7) для полного лифта выполнены тождественно. Рассмотрим подробно (11.8). 5іЄ+к _ Рдп+ _ +РД»+ = о, ( - ФР)?+к - №Г$ - г? ) + г+рг?0 р = о, (дг - ПоЧКг/Ч + г 0кре) - еф - rgajr; + (др - т%е,)т$+ +(yeW + г;кв)гй„ = о. Раскроем скобки уЩРЄ + ЄдГ0кр + rzfae - rjf aPefc - rsr .se - e r# + fr 0T;.s+ Приведем подобные слагаемые, учитывая симметричность коэффициентов связности урдірЄ + ад + / + г#ад - rjjv = о. Последнее равенство есть ни что иное, как хГ = 0. (11.11) Покажем, что из уравнения (11.9) следует Cx tf = 0, и Cx lo = 0- Для доказательства воспользуемся известной формулой [21], характеризующей изменение порядка производной Ли и ковариантной производной ЦКзц) - Vi(«,) = -gPiCrS - дірСТ% - д СГЦ (11.12) Так как Vkgij 0 и Сдц = 0, то др]СТу{ + дірСГк] + 9ij.pCYZ = 0. (11.13) Циклируя индексы i,j, к, кроме равенства (11.12) получим еще два 9ркСГ% + gjpCT?k + 9jk.pCT% = 0, (11.14) gpiCYjk + 9крТ$ 4- gki.pCTl = 0. (11.15) Складывая (11.14) и (11.15) и вычитая (11.13), учитывая симметрию коэффициентов связности, получим Щ-рк - ij — 9ij-p -i- ко Qjk-pLL iQ — gk{.pLV j0, откуда Г / = \дк(тІРСГ& - gjs.pCT\S - Я СТЦ (11.16) Свернув (11.16) с г/-7 , получим т 0-0, (11.17) где матрица Hjf1 имеет вид (3.7) и в силу регулярности пространства Сп является невырожденной. Следовательно, СТ 1п$ — 0 и, как следует из (11.16), ГГ = 0.
Таким образом, (11.11) являются следствиями (11.9).
Уравнения (11.2), как было показано в 9, эквивалентны для продолженных преобразований условиям CxNf — 0, что в рассматриваемом случае есть ни что иное, как уравнения (11.11). Следовательно, уравнение CxJ = 0 является следствием (11.9).
Таким образом, чтобы полный лифт векторного поля базы являлся иифииитезимальным автоморфизмом почти эрмитовой структуры (G1, J) необходимо и достаточно, чтобы были выполнены уравнения (11.9). Теорема доказана.
