Введение к работе
Актуальность темы. В работе изучаются вопросы контактной геометрии.
Интенсивное исследование контактных и почти контактных структур на многообразиях началось примерно с конца 50-х годов прошлого века, когда появились статьи Грея1, а также Бутби и Ванга2, посвященные контактным структурам. Первых исследователей контактных многообразий интересовали преимущественно топологические вопросы. Так, например, Бутби и Ванґ2 оеобое внимание уделяют компактному многообразию М с регулярной контактной формой т\. Они изучают однородные контактные многообразия и устанавливают, в каких случаях эти многообразия гомеоморфны пучку единичных касательных, векторов некоторого многообразия. Грей1 также изучает глобальные свойства контактных многообразий. Он приводит пример нечетномерного многообразия, не допускающего контактной структуры, а также изучает деформации контактных структур. Им же введено понятие почти контактного многообразия.
Чжень3 показал, что контактное многообразие допускает G-структуру со структурной группой {е} х U(n). Многообразия, допускающие такую G-структуру, Грей назвал почти контактными многообразиями1. Сасаки заметил, что такая G-структура порождает тройку тензорных полей (г], , Ф), обладающую свойствами rj() = 1 и Ф2 = -id 4- г] , где г] - дифференциальная 1-форма, называемая контактной формой структуры, "- характеристическое векторное поле, Ф - структурной эндоморфизм. Кроме того, исходя из произвольной ;римановой метрики на таком многообразии он построил риманову метрику д, дополняющую тройку (??,, Ф) до почти контактной метрической структуры4.
Многими авторами изучались различные преобразования контактных и почти контактных многообразий. Контактные, изометрические, конфор.мные и проективные преобразования нормальных контактных метрических многообразий и
'Gray J. W., Some global properties of contact structures// Ann. Math. — 1959. — 69. — X' 2. — P. 421-450.
2Boothby W., Wang H. C-, On contact manifolds// Ann. Math. — 1958. — 68. — № 3. — P. 721-734.
3Chern C.C., Pseudo-groupes continue infinis// Colloque de Geometrie Differentielle. — Strasbourg, 1953 — P. 119-136.
4Sasaki Shigeo, On differentiable manifolds with certain structures which are closely related with almost contact structures// Tohoku Math. J. — 1960. — 12. — № 3. — P. 459-476.
'''. r\ V < w Л
/^контактных многообразий рассматривали Либерман5, Хатакеяма6,'Окумура7, Мидзусава8, Танно9.
Многочисленные исследования по геометрии почти контактных метрических структур принадлежат В. Ф. Кириченко и его ученикам10,11. В частности, в одной из работ12 вводятся контактно-геодезические преобразования почти контактной метрической структуры. Получен ряд инвариантов таких преобразований. Доказано, что такие преобразования сохраняют свойство нормальности почти контактной метрической структуры. Доказано, что косимплектические и сасакие-вы многообразия, а также многообразия Кенмоцу не допускает нетривиальных контактно-геодезических преобразований.
Контактные структуры и контактные преобразования естественным образом появляются при изучении дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка как замкнутых подмножеств в расслоениях 1-струй функций над гладкими многообразиями. Контактные структуры и их преобразования с точки зрения геометрической теории дифференциальных уравнений изучали В. В. Лы-чагин13'14, А. Г. Кушнер15-16 и В. Н. Рубцов17.
5Libermann Paulette, Sur les automorphismes infinitesimaux des structures symplectiques et des structures de contact// Collog. geometrie different, globale. Bruxelles, 1958. — Paris - Louvain, 1959 —P. 37-59.
eHatakeyama Y., Some notes on the group of automorphisms of contact and symplectic structures// Tohoku
Math. J. - 1966. -18.-№ 3. — P. 338-347. . *
7Okumura Masafumi, Certain infinitesimal transtormation of normal contact metric manifold// Kodai Math. Semin.
Repts. - 1966. - 18. - № 2. - P. 116-119. ---.
8Mizusawa Hideo, On certain infinitesimal conformal transformations of contact metric spaces// Sci. Repts. Nigata Univ. — 1965. — Ser. A. — № 2. — P. 33-39.
9Tarmo Sh., Note on infinitesimal transformations over contact manifolds// Tohoku Math. J. —1962. — 14. — № 4. -P. 416-430.
10Кириченко В. Ф., Аксиома ф-голоморфных плоскостей в контактной метрической геометрии// Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1984. — Т. 48. — Я» 4, — С. 711-739.
"Кириченко В.Ф., Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях..— М.;. МПГУ, 2003. — 495 с.
"Кириченко В.Ф., Дондукова Н.Н., Контактно-геодезические преобразования почти контактных метрических структур// Мат. заметки. — 2006. — 80. — № 2. — С. 209-219.
"Лычагин В. В., Контактная геометрия и нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка// Успехи мат. наук, .т- 1979. ^- 34. — 1. — С. 137-165.
Лычагин В. В., Локальная классификация нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка// Успехи мат. наук. — 1975. — январь-февраль, Т. 30. — вып. 1(181)."— С. 101-171.
15Кушнер А. Г., Контактная линеаризация невырожденных уравнений// Изв. вузов. Матем. — 2008. — № 4 - С. 43-58.
"Kushner A., Lychagin V., Rubtsov V., Contact geometry and non-linear differential equations: - Cambridge: Cambridge University Press, 2007. — 518 p.
"Roulstone I., Banos В., Gibbon J. D, Roubtsov V. N.. A geometric interpretation of coherent structures in Navier-
В ряде работ18,19 изучаются линейные связности на почти контактных и почти контактных метрических многообразиях, удовлетворяющие некоторым специальным условиям. Например Сасаки20 строит связности, согласованные с почти контактной и почти контактной метрической структурами. Согласованность означает ковариантное постоянство структурных объектов. Связность, согласованную с почти контактной структурой (г/, , Ф), он называет (rj,, Ф)-связностью. Естественно выделяется класс связностей, согласованных с контактной формой т/. Такие связности необходимо имеют кручение. Многообразие, наделенное контактной формой г/ и согласованной с ней линейной связностью V (V77 = 0), называется контактно-аффинным многообразием, а пара (V, rj) - контактно-аффинной структурой.
Один из основных результатов, касающихся автоморфизмов контактных и почти контактных метрических многообразий принадлежит Танно21. Он нашел наибольшую размерность группы Ли автоморфизмов таких структур, а также укаг зал все контактные и почти контактные метрические многообразия, допускающие группу автоморфизмов максимальной размерности.
Является актуальным решение аналогичной задачи по автоморфизмам контактно-аффинных структур, а именно, установить максимальную размерность группы Ли автоморфизмов контактно-аффинной структуры и исследовать контактно-аффинные многообразия с группами автоморфизмов максимальной размерности. При этом особый интерес представляют проектируемые контактно-аффинные преобразования на расслоении 1-джетов функций, поскольку такие преобразования играют ключевую роль в решении задачи классификации дифференциальных уравнений в частных производных.
Многочисленные публикации по различным преобразованиям контактных и почти контактных структур подтверждают, что данная работа, посвященная ав-
Stokes flows// Proceedings of The Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences..— 2009. — 465.
- 2107. - P. 2015-2021.
Поляков H. Д., Связности на почти контактном многообразии// В сб. "Дифферент;, геометрия многообразий фигур". - 1976. - Вып. 7. - С. 73-78.
19Yano Kentaro, On contact conformal connections// Kodai Math. Semin. Repts. — 1976. — 28. — № T. — P. 90-103.
20Sasaki S., Hatakeyama Y., On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure II// Tohoku Math. J. — 1961. — 13. — № 2. — P. 281-294.
2lTanno Shukichi, The automorphism groups of almost contact riemannian manifolds// Tohoku Math. J. — 1969.
- 21. - № 1. - P. 21-38.
томорфизмам контактных и почти контактных метрических структур -и автоморфизмам контактно-аффинных структур является актуальной.
Целью работы является изучение автоморфизмов контактных и почти кон
тактных метрических структур, контактно-аффинных структур и контактно-аф
финных структур на расслоении 1-джетов функций. ' :
Методы исследования. Основными методами исследования, применяемыми
в работе, являются: аппарат тензорного анализа, теория групп Ли и производной
Ли. Большая часть вычислений проводится в специальных локальных координа
тах, часть результатов записана в бескоординатной форме. Исследования ведутся
в классе достаточно; гладких функций. ''-.,
Научная новизна. Результаты диссертационной работы являются новыми и заключаются в следующем:
-
Исследованы максимально подвижные контактные и почти контактные метрические структуры, указанные в теореме Танно. В локальных координатах записаны структурные объекты структур первого и третьего класса, а также второго класса размерности три. Найдены операторы алгебры Ли инфини-тезимальных автоморфизмов указанных структур.
-
Установлена максимальная размерность групп Ли контактно-аффинных и точных контактно-аффинных преобразований. Указан вид тензора кручения связности и тензора кривизны симметрической части связности контактно-аффинной структуры, группа преобразований которой имеет наибольшую размерность. Приведен пример контактно-аффинной структуры, допускающей группу контактно-аффинных и точных контактно-аффинных преобразований максимальной размерности.
-
Найдена максимальная размерность групп Ли проектируемых контактно-аффинных преобразований и проектируемых точных контактно-аффинных преобразований естественной контактно-аффинной структуры на расслоении!-; джетов функций. Приведены примеры контактно-аффинных структур, имеющих группу контактно-аффинных и точных контактно-аффинных преобразований максимальной размерности.
Теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении контактных и почти контактных структур и их групп автоморфизмов, а также в геометрической теории дифференциальных уравнений.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались:
на геометрическом семинаре физико-математического факультета Пензенского государственного педагогического университета (2007-2011 гг.);
на Шестой молодежной научной школе-конференции (Казань, декабрь 2007 г.)
на XIX международной летней школе-семинаре "Волга-2007" по проблемам теоретической и математической физики (Казань, июнь 2007г.);
на международной научной конференции "Лаптевские чтения - 2009", посвященной 100-летию, со дня рождения Г. Ф. Лаптева (Москва-Тверь, 25-28 августа 2009 г.);
на международной конференции "Геометрия в Кисловодске - 2010" (Кисловодск, 13-20 сентября 2010 г.); -
на второй Российской школе-конференции с международным участием для молодых ученых (Тверь, 8-12 декабря 2010 г.).
на международной молодежной школе-конференции "Геометрия, Управление. Экономика." (Астрахань, 15-26 августа 2011г.).
На семинаре кафедры математического анализа МГУ "Исследования дифференциально-геометрических структур" (май, 2011 г.)
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения^ трех глав основного текста, включающего в себя 15 параграфов, и списка литературы, содержащего 100 работ. Диссертация изложена на 135 листах машинописного текста.
