Введение к работе
1. Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена, изучению некоторых специальных келеровых пространств Кп и их голоморфно-проективных отображений.
Геометрия келеровых пространств интенсивно изучаете в течение последних семидесяти лет. В 1925 г. П.А. Широков начал изучать специальные римановы пространства, которые назвал А-простракствами. Из других соображений эти пространства Исследовались Э.Келером и в литературе, как правило, называются келеровымн.
Различным вопросам геометрии келеровых пространств посвящено,
в различных ее аспектах огромное количество работ, которые отражены
частично в монографиях и обзорах [1] - [7]. Многие исследования пос
вящены исследованию с различных точек зрения специальных рнмано-
вых и келеровых пространств, обладающих условиями на тензоры Ри-
мана, Риччи, Бохнера и других. Такими являются, в частности, в нашей
терминологии, гармонические пространства. Так, например, в работах
[8], [9] изучаются свойства гармонических, отличных от риччи-симмет-
рических, келеровых пространств. Но как мы показываем, такое множе
ство пространств пусто. :.--'
Геодезические отображения келеровых пространств Начали изучать Н.Кобурн, К.Яно, Т.Нагано, В.Вестлейк, М.Кога. В итоге этих исследо-ваі їй установлено, что келеровы пространства не; допускают нетривиальных геодезических отображении на келеровы пространства, при сохранении структуры. В работах Й.Микевда установлены новые закої .-мерности геодезических отображений Кп (см. tlOj).
Понятие голоморфно-проективных отображений и преобразований келеровых пространств К„і введено в работах Т.Оцукн, Я.Ташлро, С.Исихара, см. [1Н7]. Общие закономерности теории голоморфно-проективных отображений получены в рабгтас указанных авторов и в статьях В.В.Домашсва и Й.Мйімша ЦЦ. Й.Мнкеша [12], f I3J.
И.Г.Шандры [14]. см. [5], [7].
Голоморфно-проективные отображения и преобразования специальных келеровых пространств исследовались многими авторами, см. например, [2]-[19]. В частности, были выделены пространства, не допускающие голоморфно-проективные отображения и преобразования.
Подобные вопросы исследовались также для голоморфно-проек
тивных отображений гиперболически и параболически келеровых про
странств, К- и Я- пространств [4], [6]. Заметим, что голоморфно-проек
тивные отображения являются частным случаем почти геодезических от
ображений Н.С.Синюкова [5], [б] и .F-планарных отображений
Й.Микеша и Н.С.Синюкова [20]. Другие обощения см. например, [4],
[21]. : : ;
Краткий обзор показывает, что келеровы пространства изучались во многих направлениях. Вместе с тем, вопросы голоморфно-проективных отображений многих интересных специальных келеровых пространств либо вовсе-не рассматривались, либо в таких исследованиях многие вопросы оставались открытыми. Поэтому тема данной диссертации, в которой исследуются специальные келеровы пространства и их голоморфно-проективные отображения, является вполне актуальной.
2. Целью данной диссертационной работы является:
а) .изучение Л-гармонкческих пространств;
б) изучение Т-квазисішмег^чческих пространств;
* в) исследование голоморфно-проективных отображений бохнер-гармоннческих и Г-квазисимметрических келеровых пространств;
г) исследование голоморфно-проективных отображений обобщенно-
рекуррентных пространств;
д) изучение голоморфно-проективных отображений и преобразо
ваний пространств Келерг-Эйнштейна.
3. Научная новизна:
а) нсследоваьы Л-гзрмощгческие пространства, найден пример бох-
нер-гармонических келеровых пространств;
б) получены псвые закономерности в Г-квазИсимметрг тескнх про
странствах;
в) изучены основные закономерности голоморфно-проективных от
ображений бохнер-гармонических келеровых пространств, для них най
дено общее решение основных уравнений теории голоморфно-проек
тивных отображений;
г) доказаны основные свойства голоморфно-проективных отобра
жений Г-квазисимметрпческих пространств;
д) выделены келеровы пространства, не допускающие нетривиаль
ные голоморфно-проективные отображения; -
е) установлено, что четырехмерные пространства Келера-Эйнштей
на непостоянной голоморфной кривизны не допускают нетривиальные
голоморфно-проективные отображения на пространства Эйнштейна.
-
Теоретическая и практическая ценность. Исследование носит теоретический характер. Основные результаты диссертации могут быть применены для дальнейшего развития теории диффеоморфизмов пространств с аффиннорными структурами, а также могуг использоваться в различных приложениях: в вопросах, моделирования физических пол'-ч, оптимизации движений механических систем, динамических процессов в гравитационных и электромагнитных полях, в сплошной среде.
-
Метод исследований. Исследования ведутся локально, п классе достаточно гладких функций с использованием тензорных методой.
'-4-
6. Апробация работы. Диссертация и отдельные ее части доклады
вались на:
а) заседаниях семинар? кафедры геометрии и топологии Одесского
госушгаерситета (1993, 1994 гг.);
б) республиканской конференции,- посвященной 200-детию со дня
рождения Н.И.Лобачевского (Одесса, 1992);
в) всесоюзной школе Оптимальное управление. Геометрия и анализ
(Кемерово, 1990);'
г) на научном семинаре МГУ им. М.В.Ломоносова - руководитель
профессор Л.Е.Евтушнк (1994, 1995 гг.);
д) международных конференциях по дифференциальной геометрии
в г.Казань (Татарстан) и г.Опава (Чешская Республика, 1992).
7. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в
статьях [24] - [28].
8..Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав (7 параграфов) и списка литературы. В диссертации принята сквозная нумерация параграфов. Для формул и теорем применяется двойная индексация, где первая цифра означает номер параграфа, а вторая - номер формулы (теоремы) в этом параграфе. Текст работы изложен па 105 страницах. Список литературы ь:;лючает 103 наименования.
