Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Почти контактные метрические структуры 11
1. Почти контактные метрические структуры 11
2. Структурные уравнения почти контактных метрических структур 16
3. Нормальные структуры 18
Глава 2, Х-и IcQS-структуры 23
1. Z-структура и ее структурные уравнения 23
2. Примеры L -структур 28
3. Локально конформно квази-сасакиева структура и ее структурные уравнения 30
4. Вычисление некоторых классических тензоров IcQS -многообразий в А -репере 35
5. Точечное постоянство Ф-голоморфной секционной кривизны 42
6. Геометрический смысл оператора С 45
Глава 3. Некоторые свойства локально конформно квази-сасакиевых многообразий 51
1. IcQS -многообразия класса CRX 51
2. IcQS -многообразия класса СЩ 54
3. Контактная форма IcQS -многообразия 57
4. IcQS -многообразия постоянной кривизны 59
5. Интегрируемость IcQS -структур 65
6. Локально симметрические IcQS -многообразия 66
Литература: 75
- Структурные уравнения почти контактных метрических структур
- Примеры L -структур
- Вычисление некоторых классических тензоров IcQS -многообразий в А -репере
- Контактная форма IcQS -многообразия
Введение к работе
С появлением статей Дж. Грея [1, 2], Бузби и Вана [3], посвященных контактным структурам на многообразиях, началось интенсивное исследование контактных и почти контактных структур на многообразиях. На 2« +1 - мерном многообразии М контактная структура задается 1-формой Г|, такой, что * v * то есть rgn = dimM в каждой точке многообразия М. Многообразие М, снабженное контактной структурой, называется контактным многообразием. Понятия почти контактных структур и почти контактных метрических многообразий введены Дж. Греем [2] в 1959 году.
Обзор многочисленных исследований по почти контактным метрическим и контактным структурам приведен в [4] - [7]. Внимательному анализу подвергались специальные классы почти контактных метрических и контактных многообразий. Необходимо отметить, что нормальные почти контактные метрические структуры играют фундаментальную роль в контактной геометрии и являются контактным аналогом эрмитовых структур в эрмитовой геометрии. Достаточно сказать, что частными случаями нормальных структур являются са-сакиевы, то есть нормальные контактные метрические структуры, а также ко-симплектические структуры, изучению которых посвящено огромное количество работ. Нормальными являются также квази-сасакиевы структуры, являющиеся связующим звеном между сасакиевыми и косимплектическими структурами [8]. Отметим также интересную взаимосвязь между контактной геометрией нормальных структур и эрмитовой геометрией. Согласно классической теореме Накаямы [9] почти контактная метрическая структура нормальна тогда и только тогда, когда ее линейное расширение [10] является эрмитовой структурой.
Данная работа посвящена изучению интересного подкласса нормальных структур, а именно, подкласса нормальных почти контактных метрических структур, метрика которых допускает локально конформное преобразование в квази-сасакиеву структуру, в дальнейшем называемых локально конформно ква-зи-сасакиевыми структурами.
Выделим цели диссертационного исследования.
Получить структурные уравнения локально конформно квази-сасакиевых многообразий, изучить строение спектра тензора Римана-Кристоффеля в терминах структурных тензоров на пространстве присоединенной G -структуры.
Получить тождества в терминах структурных тензоров, которым удовлетворяет тензор Римана-Кристоффеля локально конформно квази-сасакиевых многообразий и на их основе выделить и изучить наиболее интересные классы таких многообразий.
Получить необходимые и достаточные условия точечного постоянства Ф-голоморфной секционной кривизны локально конформно квази-сасакиевых многообразий.
Выделить и изучить основные свойства локально конформно квази-сасакиевых структур. Получить полную классификацию локально конформно квази-сасакиевых многообразий.
Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении почти контактных метрических структур на многообразиях, в соответствующих разделах дифференциальной геометрии и математической физики. Кроме этого, они могут найти применение в качестве материала для специальных курсов по близкой тематике, например в Московском педагогическом государственном университете, в Казанском государственном университете.
Основные результаты докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре кафедры геометрии Московского педагогического государственного университета (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Кириченко В.Ф.), на международной конфе- ренции «Геометрия в Одессе - 2004. Дифференциальная геометрия и ее применения» (г. Одесса), на международной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (г. Казань).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [27]-[30].
В предлагаемой работе получен ряд результатов, среди которых отметим следующие:
Получены структурные уравнения локально конформно квази-сасакиевых структур; вычислены компоненты тензора Римана-Кристоффеля, тензора Риччи, скалярная кривизна на пространстве присоединенной С?-структуры в терминах структурных тензоров.
Найдены ключевые тождества, которым удовлетворяет тензор Римана-Кристоффеля локально конформно квази-сасакиевых многообразий, с их помощью выделено два класса локально конформно квази-сасакиевых многообразий, оказавшихся содержательными с геометрической точки зрения.
Получено описание локально конформно квази-сасакиевых многообразий каждого из изученных классов.
Получен критерий точечного постоянства Ф -голоморфной секционной кривизны локально конформно квази-сасакиевых многообразий.
Получено описание локально конформно квази-сасакиевых многообразий с интегрируемой структурой, локально-симметричных, получена полная классификация локально конформно квази-сасакиевых многообразий.
Результаты данной работы получены систематическим использованием метода внешних форм Картана при рассмотрении структурных уравнений, записанных в специализированном репере. Исследование геометрических свойств локально конформно квази-сасакиева многообразия проводится не на самом многообразии, а на пространстве некоторой G -структуры, естественным образом присоединенном к многообразию. Там, где необходимо, используется метод инвариантного исчисления Кошуля.
Приведем краткий обзор содержания диссертации.
Структурные уравнения почти контактных метрических структур
В параграфе 1 дается определение Z, -структуры и получена первая группа структурных уравнений і-структуры в терминах структурных тензоров на пространстве присоединенной G -структуры: 1)Ло = 2С алй; 2) d&a = ю л со + ala5 V л ю4 + (рб + С )о л rafr; 3) foe = -со Л СО, + а[а8еь](ое л со + (р6 - С )со л со,. В параграфе 2 рассматриваются примеры -структур. Показано, что АС -структура всякого транссасакиева многообразия с интегрируемой почти комплексной структурой, а также всякая квази-сасакиева структура являются L -структурами. Также доказывается Теорема. Класс нормальных АС -структур, локально конформных квази-сасакиевым структурам, совпадает с классом L -структур, контактная форма Ли которых является замкнутой и внешнее произведение контактной формы Ли и контактной формы обращается в нуль. В параграфе 3 дается определение локально конформно квази-сасакиевой структуры и получены структурные уравнения локально конформно квази-сасакиевой структуры в терминах структурных тензоров на пространстве присоединенной G -структуры: 1)Лв = 2 У лсой; 2) rfcoe = ш лаЧ((36 + Саь)тл ; 3) toa = -ш л о, +(Э -С;)ол ; 4) = С - суа + С е + С с; В параграфе 4 вычисляются компоненты тензора Римана-Кристоффеля, тензора Риччи, а также скалярная кривизна локально конформно квази-сасакиева многообразия в терминах структурных тензоров на пространстве присоединенной G -структуры. В параграфе 5 получен критерий точечного постоянства Ф -голоморфной секционной кривизны локально конформно квази-сасакиевых многообразий.
В параграфе 6 вводится в рассмотрение линейный оператор С(Х) - Vx, + рФ: (х), X є Х(М). В А -репере вычислены компоненты матрицы оператора С и компоненты тензора VC. Здесь же доказана Теорема. Тензор Римана-Кристоффеля локально конформно квази-сасакиева многообразия обладает дополнительным свойством симметрии, выраженным тождеством 11{ЪФ2Х)ф2У-К(ЪФХ)ФУ=Уф2х(С)ф2У-УФХ(С)ФУ, Х,УеХ(М). Глава 3. Некоторые свойства локально конформно квази-сасакиевых многообразий. В параграфе 1 на основе тождества я( Ф2Х)ф2У Я( ,ФХ)ФУ = Уф1х(С)Ф2У- ФХ(С)ФУ, Х,УеХ(М) выделяются локально конформно квази-сасакиевы многообразия класса С/?!-Доказаны следующие теоремы: Теорема. Локально конформно квази-сасакиево многообразие М является многообразием класса CRX тогда и только тогда, когда выполнено тождество Уф2х(С)Ф2Х-ЧФХ(С)ФХ = 0, ХъХ{М). Основная теорема. Связное локально конформно квази-сасакиево многообразие класса CRX либо локально конформно косимплектическому многообразию, либо с точностью до В -преобразования метрики, локально эквивалентно произведению сасакиева и келерова многообразий. В параграфе 2 на основе тождества (Д(Ф2;Г,Ф2Г)Ф27,Ф2#)=(д(Ф2х,Ф2у)Фг,Ф#), где x,y,z,H є х(м) выделяются локально конформно квази-сасакиевы многообразия класса CR . Доказывается следующая Теорема. Локально конформно квази-сасакиево многообразие класса CR является либо гомотетичным многообразию Кенмоцу, либо квази-сасакиевым многообразием. В параграфе 3 рассматриваются свойства контактной формы локально конформно квази-сасакиева многообразия. Находятся компоненты тензора Vrj на пространстве присоединенной G -структуры. Доказывается Теорема. Пусть М - локально конформно квази-сасакиево многообразие, г) - его контактная форма. Тогда 1) М - транссасакиево многообразие тогда и только тогда, когда dr\ = 0; 2) М - квази-сасакиево многообразие тогда и только тогда, когда 5г = 0. Также доказано Следствие. Компактное локально конформно квази-сасакиево многообразие косимплектично тогда и только тогда, когда оно имеет гармоническую контактную форму. В параграфе 4 рассматривается вопрос постоянства кривизны локально конформно квази-сасакиевых многообразий. Доказывается, что локально кон формно квази-сасакиево многообразие постоянной кривизны является многообразием класса CR{. Далее доказывается Теорема. Локально конформно квази-сасакиева структура постоянной кривизны является либо почти контактной структурой, гомотетичной структуре Кенмоцу постоянной кривизны к = -1, полученной из стандартного косимплек-тического многообразия С"х1 каноническим локальным конциркулярным преобразованием, либо почти контактной структурой, гомотетичной структуре Сасаки постоянной кривизны к = 1, локально эквивалентной канонической са-сакиевой структуре, индуцированной на нечетномерной сфере радиуса 1, вложенной в комплексное евклидово пространство С"+1 = Ій2п+2 в качестве вполне омбилического подмногообразия, либо является плоской косимплектической структурой, локально эквивалентной многообразию Cxi, снабженному канонической плоской косимплектической структурой. В параграфе 5 рассматривается вопрос интегрируемости локально конформно квази-сасакиевых структур. Доказана Теорема. Интегрируемая локально конформно квази-сасакиева структура
Примеры L -структур
Пусть S - нормальная локально конформно квази-сасакиева (короче, IcQS-) структура. Тогда из (2.2.1 )г вытекает, что а = А/п для подходящей функции ХєСл(М). Следовательно, в этом случае 2р = X, аа = аа = О, а значит я а = -2рш. (2.3.1) Поскольку, в силу (2.2.1)ь с/а = 0, с учетом (2Л .7)j получим: d$ л "п + рс/г, = 0; рлю + рС лша=0; и в силу линейной независимости базисных форм получаем, что 1) ф=иш; 2)рХ?=0; (2.3.2) для подходящей функции (Л на пространстве присоединенной G -структуры. Определение 1. Назовем IcQS -структуру регулярной, если контактная форма Ли не обращается в нуль ни в одной точке. В случае регулярной IcQS -структуры из (2.3.2)г вытекает, что Саь = 0, тогда первая группа структурных уравнений (2.1.7) примет вид: do = 0; б о а=с ло 6+Р(алс а; daa = -о л со6 + р в л йа; то есть IcQS -структура является собственной транссасакиевой [10]. В случае, когда IcQS -структура не является регулярной, первая группа структурных уравнений (2.1.7) будет выглядеть следующим образом: 1)д?ю = 2С юйлю4; 2) dca" = фаь лед + (Р6 + С;)шлш ; (2.3.3) 3)й?о а = -о) лсо, + (р5 -С )сало)ь. Применим оператор комплексного сопряжения со - и к обеим частям равенства (2.3.3)( и учитывая, что по построению А -репера йв=шд; йв=ш"; со = со, получим: dm = da = 2С юЛ лсаь = 2Cfab л со" = СІ = -С . Аналогично, применяя оператор комплексного сопряжения к обеим частям (2.3.3)2 и вычитая полученное равенство из (2.3.3)з с учетом полученного выше равенства получим, что 3)C =-Q. Продифференцируем внешним образом (2.3.3)i с учетом (2.3.2)2: dCba л о/ л со4 + С й?соа л со4 - CflV л rfo = 0; dCba л со" л а ь + Сьа&ас л тс л со6 + С ((58 + Ссй)ю л сос л со, + С а л со л ос -С (р -С6 влилсос = 0; dCba лю лю4 +СХлоал(й6 -С лш" лш{ = 0. Запишем это соотношение в виде где h.Cba dCba+Cbc sfa-CcaG bc. Раскладывая 1-форму ДС по базису {со,со%соа,}, положим ДС = C Gicd + С (йс + С ссос + С 0со. Подставив это разложение в (2.3.5), получим: C%afd л(йалть + ф]ас лсоа лto, + q ac]toc л со л toft + С 0со лсоа лсой = 0. В силу линейной независимости базисных форм, имеем: C f=0; С 0=0; C„ = Сс, = 0, и разложение для 1-формы ДС примет вид ДС = СЬс(ас + C G? . Итак, где = =0. В силу (2.3.4) получим: а значит, Cf ще + С га = -С с - С , то есть СІ = -Cf. Итак, результаты дифференциального продолжения уравнения (2.3.3)i: где = =0; СІ =-С?. Продифференцируем внешним образом (2.3.3) с учетом (2.3.2)2 и (2.3.6): dG ab Аоь-ааь ЛЙ?ОЙ +d$A гал оа +dCl л га лю +р іюлгал + С4вА»л ю -Зга л й?га" - С л d(ub = 0; Jra л - ш" л л га + qacrac л га л га + 2C(bCcd]md л юс л га = 0.
Введем обозначение Дга = dab -га л га + 2СС ю лгае, тогда Продифференцируем внешним образом (2.3.3)з с учетом (2.3.2)г и (2.3.6): -й?га л га , + га л (ira + dfi л га л гав - dCba л га л ть + З ю люд- С й?га л аь -рсо л daa + С ю л /га6 = 0; -й?ю л гай - сс л raj л юА - С гас л га л соь - 2Cl Cfac л rarf л га6 = 0. Введем обозначение Дга = Jra + ю л га + 2СьаС яс л rarf, тогда Разложим 2-форму Дга по базису {га Amcd; aabA гас;ю л гас;га л о; га" л ш ; со0 ЛЙ6;ЙЯ лю;юа лю6;гал л га}. Имеем: Дга = СХ л «tf + 4 J А га + Л-га? лш{ + 4 J л га + «с л га + (2.3.9) + гас л ш„ + Л0шс л га + А &е л rarf + с л га. С учетом (2.3.9) уравнение (2.3.7) примет вид: tad ,. с ЛСЛ, +4 ]С0С Л СО Л СО + 4]0 л d л ю + 4мою ле л + Л Й.ЛО ЛЮ + +4. А СО Л Ю + Q ЛШЛЙ = 0. В силу линейной независимости базисных форм получим: С учетом полученного результата (2.3.9) примет вид: Дсо = Л со? л со + ЛХ л DJ + с л ad + A tf л со - Cftoe л со. (2.3.10) Подставим (2.3.10) в уравнение (2.3.8): -4І? л со л со, - А /аГ л со" л со, - fW л со, л соь - Л 0сос л со л со, --С[аЬс]Фс л о л аь - С ссос л со л со, = 0. В силу линейной независимости базисных форм получим: ь ас 4 = Ф 4»с = 0; 4» = 0; Ат0 = -С( С учетом полученного результата (2.3.10) примет вид Атаь = Аьс С Л &d " СЙ С л ю - С?с л (2.3.11) В силу того, что А1 - dmab — со" л со + 2Саь CJe/ л шс, получим: =Ш Ш + (4 -2С УАЮ,-С СЛЙ-С СЛ(О, (2.3.12) где4Й=0. -ГЧЙ- Л СО = СО Л eof + ft с ас Применим оператор комплексного сопряжения к полученному уравнению: =Ш +( -2С;СЯСОСАСО,-С АШ- +(4? - 2C qK л со + С с л со + С л со. С другой стороны, deiab = -dGiba, с учетом этого получим: В силу линейной независимости базисных форм получим: Af = А . Итак, полная группа структурных уравнений IcQS -структуры имеет вид: 1. Тензор Римана-Кристоффеля. Важную роль в изучении геометрии многообразий играет тензор римано-вой кривизны, то есть тензор Римана-Кристоффеля. Вычислим компоненты этого тензора на пространстве присоединенной G -структуры. Получим ряд результатов, требующихся нам для дальнейших вычислений. 1) Из (2.1.8) с учетом того, что аа = аа - О, получим: 2) Продифференцируем внешним образом (2.4.1 : dl = -Лол0 = 5f флсо, -dCba лть + (35 -Cba)сіщ. С учетом уравнений (2.3.13) и (2.3.2) имеем: d = " Ч0 =ц6 лшг(С -СьсФса + С с + С с)лшг +С%1 л со, - С со 7 л со, - Во л со,. с Q Ь ас о " а Ь 3) Продифференцируем внешним образом (2.4,1)4: d(oa0 = -5 3 л со - dCab л вА - (р6 + Саь) de b. С учетом уравнений (2.3.13) и (2.3,2) имеем: d(aa0 = -d(a0a = -цо л со - (С; - С + q c + С с )лю
Вычисление некоторых классических тензоров IcQS -многообразий в А -репере
Продифференцируем внешним образом (2.3.3)i с учетом (2.3.2)2: dCba л о/ л со4 + С й?соа л со4 - CflV л rfo = 0; dCba л со" л а ь + Сьа&ас л тс л со6 + С ((58 + Ссй)ю л сос л со, + С а л со л ос -С (р -С6 влилсос = 0; dCba лю лю4 +СХлоал(й6 -С лш" лш{ = 0. Запишем это соотношение в виде где h.Cba dCba+Cbc sfa-CcaG bc. Раскладывая 1-форму ДС по базису {со,со%соа,}, положим ДС = C Gicd + С (йс + С ссос + С 0со. Подставив это разложение в (2.3.5), получим: C%afd л(йалть + ф]ас лсоа лto, + q ac]toc л со л toft + С 0со лсоа лсой = 0. В силу линейной независимости базисных форм, имеем: C f=0; С 0=0; C„ = Сс, = 0, и разложение для 1-формы ДС примет вид ДС = СЬс(ас + C G? . Итак, где = =0. В силу (2.3.4) получим: а значит, Cf ще + С га = -С с - С , то есть СІ = -Cf. Итак, результаты дифференциального продолжения уравнения (2.3.3)i: где = =0; СІ =-С?. Продифференцируем внешним образом (2.3.3) с учетом (2.3.2)2 и (2.3.6): dG ab Аоь-ааь ЛЙ?ОЙ +d$A гал оа +dCl л га лю +р іюлгал + С4вА»л ю -Зга л й?га" - С л d(ub = 0; Jra л - ш" л л га + qacrac л га л га + 2C(bCcd]md л юс л га = 0. Введем обозначение Дга = dab -га л га + 2СС ю лгае, тогда Продифференцируем внешним образом (2.3.3)з с учетом (2.3.2)г и (2.3.6): -й?га л га , + га л (ira + dfi л га л гав - dCba л га л ть + З ю люд- С й?га л аь -рсо л daa + С ю л /га6 = 0; -й?ю л гай - сс л raj л юА - С гас л га л соь - 2Cl Cfac л rarf л га6 = 0. Введем обозначение Дга = Jra + ю л га + 2СьаС яс л rarf, тогда Разложим 2-форму Дга по базису {га Amcd; aabA гас;ю л гас;га л о; га" л ш ; со0 ЛЙ6;ЙЯ лю;юа лю6;гал л га}. Имеем: Дга = СХ л «tf + 4 J А га + Л-га? лш{ + 4 J л га + «с л га + (2.3.9) + гас л ш„ + Л0шс л га + А &е л rarf + с л га. С учетом (2.3.9) уравнение (2.3.7) примет вид: tad ,. с ЛСЛ, +4 ]С0С Л СО Л СО + 4]0 л d л ю + 4мою ле л + Л Й.ЛО ЛЮ + +4. А СО Л Ю + Q ЛШЛЙ = 0. В силу линейной независимости базисных форм получим: С учетом полученного результата (2.3.9) примет вид: Дсо = Л со? л со + ЛХ л DJ + с л ad + A tf л со - Cftoe л со. (2.3.10) Подставим (2.3.10) в уравнение (2.3.8): -4І? л со л со, - А /аГ л со" л со, - fW л со, л соь - Л 0сос л со л со, --С[аЬс]Фс л о л аь - С ссос л со л со, = 0. В силу линейной независимости базисных форм получим: ь ас 4 = Ф 4»с = 0; 4» = 0; Ат0 = -С( С учетом полученного результата (2.3.10) примет вид В силу того, что А1 - dmab — со" л со + 2Саь CJe/ л шс, получим: где4Й=0. -ГЧЙ- Л СО = СО Л eof + ft с ас Применим оператор комплексного сопряжения к полученному уравнению: =Ш +( -2С;СЯСОСАСО,-С АШ- +(4? - 2C qK л со + С с л со + С л со. С другой стороны, deiab = -dGiba, с учетом этого получим: В силу линейной независимости базисных форм получим: Af = А . Итак, полная группа структурных уравнений IcQS -структуры имеет вид: 1.
Тензор Римана-Кристоффеля. Важную роль в изучении геометрии многообразий играет тензор римано-вой кривизны, то есть тензор Римана-Кристоффеля. Вычислим компоненты этого тензора на пространстве присоединенной G -структуры. Получим ряд результатов, требующихся нам для дальнейших вычислений. 1) Из (2.1.8) с учетом того, что аа = аа - О, получим: 2) Продифференцируем внешним образом (2.4.1 : dl = -Лол0 = 5f флсо, -dCba лть + (35 -Cba)сіщ. С учетом уравнений (2.3.13) и (2.3.2) имеем: d = " Ч0 =ц6 лшг(С -СьсФса + С с + С с)лшг +С%1 л со, - С со 7 л со, - Во л со,. с Q Ь ас о " а Ь 3) Продифференцируем внешним образом (2.4,1)4: d(oa0 = -5 3 л со - dCab л вА - (р6 + Саь) de b. С учетом уравнений (2.3.13) и (2.3,2) имеем: d(aa0 = -d(a0a = -цо л со - (С; - С + q c + С с )лю -С л о - С йс л со - PtOj л со\ Объединив полученные результаты, получим: 1) -(и5 +р25 +С-Ссь)шлой + СХлшй-С слшг-рсо лСО,; 2) =-(М5; + РХ+с:Ссі)о)Л(оі-СХлС)ь+С ела)і+Ро) лс()і1; (2.4.2) 3) dl = -(p&l + p2S + С ССЬ) to л to - ( л ш - С?(ое л со - рсо л со ; 4) Ж»0" = (ц5 + р25 + С )юлю + СХ лсой + С сос лсо6 +Ршлсо6. Рассмотрим второе уравнение Картана связности V [12] dot; = Ф[ л со + -Щи л со;, (2.4.3) где {#)#} - компоненты тензора Римана-Кристоффеля. Хорошо известно [20], что компоненты тензора Римана-Кристоффеля обладают свойствами: О Rijki = Rjikn 2) "ijki — Rijlk 3) Rijld = RUij - 4) R)id + Rkij +Щк тождествоРиччи. На основании этих свойств достаточно вычислить следующие компонен ТЫ- Rbcd RbQc Rbcd Rb0c Rbcd К Ьс Rbcd Kob RQob RW0 00« ї &0аЬ R0ab 1) В частности, из (2.4.3) с учетом (2.3.2), (2.3.13), (2.4.1) имеем: d(o"b - со л G)[ + R (ak л со а 1 л coj + ш л олсь + со? л cof + - Дйа00со л со + + в л « + ш« с л ш + R C л со, = -(pS + Cad )(рб; + Сї)а лс в + + л« ; + /г;0с йлше + 0.шлсос + -Д сйс л со + Я юс AOrf+- c ЛСЙ,. Итак,
Контактная форма IcQS -многообразия
Пусть М - (2« + 1)-мерное IcQS -многообразие, г\ - его контактная форма. Вычислим с учетом (2.4.1) компоненты тензора VY. Поскольку Г) - тензор типа (1,0), его компоненты как функции на пространстве расслоения реперов в силу Основной теоремы тензорного анализа [4] удовлетворяют соотношениям где ri; j - компоненты ковариантного дифференциала вектора л в римановой связности. Распишем эти соотношения на пространстве присоединенной G -структуры: 1) т0k = О, 2) то имеем: (PS -С )юЛ = Лд 0 » откуда в силу линейной независимости базисных форм г\а 0 = 0; г\а ь = 0; Ца = PS - Сьа. 3) Cf)mb, то имеем: (р8 + Cf) ub = г]ак&к, откуда в силу линейной независимости базисных форм ца0 = 0; ц, ь = р6 + С"; т - = 0. Объединим полученные результаты: Отсюда я (5т0 = ?Ч, = /Ч; + $ Ч = 8;(р5 - Св») + 6J(рб + С ) = 2«р, в частно-сти, функция Р является антиувлечением некоторой функции с многообразия M, которую мы, для простоты обозначений, обозначим той же буквой. Таким образом, В частности, с учетом (2.3.1), С другой стороны, согласно (2.3.3)ь и согласно [10], М - транссасакиево многообразие. Доказана Теорема 1. Пусть М - IcQS -многообразие, т] — его контактная форма. Тогда М - транссасакиево многообразие тогда и только тогда, когда dr[ = 0; М - квази-сасакиево многообразие тогда и только тогда, когда STJ = 0. Следствие. Компактное IcQS -многообразие косимплектично тогда и только тогда, когда оно имеет гармоническую контактную форму. Доказательство: Пусть IcQS -многообразие является компактным и косимплектичным, тогда dr\ = 0 и dl = 0, или, с учетом (3.3.2), dr\ = 0 и 5rj-0. Согласно Теореме Ходжа-де-Рама [24], контактная форма является гармонической. Обратно, пусть IcQS -многообразие является компактным и имеет гармо ническую контактную форму, то есть dr\ — 0 и ri = 0. С учетом (3.3.2), это рав носильно г/т = 0 и c?Q = 0. А следовательно [10], компактное IcQS многообразие косимплектично. Пусть М - IcQS -многообразие постоянной кривизны к. Тогда компоненты тензора R Римана-Кристоффеля на пространстве расслоения реперов удовлетворяют соотношениям Распишем их на пространстве присоединенной G -структуры: Из (3.4.1)г непосредстве является антиувлечением некоторой функции с многообразия M, которую мы, для простоты обозначений, обозначим той же буквой. Таким образом, В частности, с учетом (2.3.1), С другой стороны, согласно (2.3.3)ь и согласно [10], М - транссасакиево многообразие. Доказана Теорема 1. Пусть М - IcQS -многообразие, т] — его контактная форма. Тогда М - транссасакиево многообразие тогда и только тогда, когда dr[ = 0; М - квази-сасакиево многообразие тогда и только тогда, когда STJ = 0. Следствие. Компактное IcQS -многообразие косимплектично тогда и только тогда, когда оно имеет гармоническую контактную форму. Доказательство: Пусть IcQS -многообразие является компактным и косимплектичным, тогда dr\ = 0 и dl = 0, или, с учетом (3.3.2), dr\ = 0 и 5rj-0. Согласно Теореме Ходжа-де-Рама [24], контактная форма является гармонической. Обратно, пусть IcQS -многообразие является компактным и имеет гармо ническую контактную форму, то есть dr\ — 0 и ri = 0. С учетом (3.3.2), это рав носильно г/т = 0 и c?Q = 0. А следовательно [10], компактное IcQS многообразие косимплектично. Пусть М - IcQS -многообразие постоянной кривизны к. Тогда компоненты тензора R Римана-Кристоффеля на пространстве расслоения реперов удовлетворяют соотношениям
Распишем их на пространстве присоединенной G -структуры: Из (3.4.1)г непосредственно следует Предложение 1. IcQS -многообразие постоянной кривизны является мно гообразием класса СД,. Свернем (3.4.1)з по индексам Ъ и d с учетом (3.4.IV Свернем полученное соотношение по индексам а и Ъ: с Pa) M где 8 =5 +5. Итак, Рассмотрим возможные случаи: 1) Р О. Тогда, согласно (2.3.2)г, С =0, и, следовательно, согласно (2.1.6), Ваь = Вьа = Щ = р6. Ввиду (1.3.4) это равносильно тому, что Фо, = -ФІ = - / = № (3.4.6) Отметим, что все остальные компоненты тензора УФ, кроме комплексно сопряженных перечисленным, равны нулю. Это позволяет переписать (3.4.6) в равносильной форме или, в безиндексном варианте, Произведя гомотетичное преобразование ЛС -структуры приходим к ЛС -структуре, характеризуемой тождеством то есть к структуре Кенмоцу (постоянной кривизны). Хорошо известно [25], что в этом случае к - -1, причем сама структура Кенмоцу локально получается из стандартной нно следует Предложение 1. IcQS -многообразие постоянной кривизны является мно гообразием класса СД,. Свернем (3.4.1)з по индексам Ъ и d с учетом (3.4.IV Свернем полученное соотношение по индексам а и Ъ: с Pa) M где 8 =5 +5. Итак, Рассмотрим возможные случаи: 1) Р О. Тогда, согласно (2.3.2)г, С =0, и, следовательно, согласно (2.1.6), Ваь = Вьа = Щ = р6. Ввиду (1.3.4) это равносильно тому, что Фо, = -ФІ = - / = № (3.4.6) Отметим, что все остальные компоненты тензора УФ, кроме комплексно сопряженных перечисленным, равны нулю. Это позволяет переписать (3.4.6) в равносильной форме или, в безиндексном варианте, Произведя гомотетичное преобразование ЛС -структуры приходим к ЛС -структуре, характеризуемой тождеством то есть к структуре Кенмоцу (постоянной кривизны). Хорошо известно [25], что в этом случае к - -1, причем сама структура Кенмоцу локально получается из стандартной плоской косимплектической структуры на многообразии CxR каноническимконциркулярнымпреобразованием.
