Бивариантные когомологии с симметриями Солодов Николай Викторович

Содержание к диссертации

Введение

1 Основные конструкции 10

1.1 Гомологии Хохшильда 16

1.2 Циклические гомологии 20

1.3 Скрещенные симплициальные группы 24

1.4 Диэдральный комплекс 28

1.5 Кватершюнный комплекс BQ(A) 34

2 Бивариантные когомологии 38

2.1 Периодичности 38

2.2 Свойства комплексов с периодичностями 42

2.3 Бивариантные когомологии 47

2.4 Основные определения 50

2.5 Произведение 51

3 Случай 1/2 Є к 52

3.1 Редукция комплексов 52

3.2 Матричная форма записи гомоморфизмов 62

3.3 Точные последовательности 65

4 Эрмитов бивариантныи характер Чженя 67

4.1 Биваринтная эрмитова А'-теория 67

4.2 Характер Чженя 68

5 Вычисления 73

5.1 Циклические гомологии Ad 73

5.2 Периодические гомологии А(/ 83

5.3 Бивариантные периодические когомологии Ad 85

5.4 Кольцо Z(Q[V15, V^T]) 88

5.5 Циклические гомологии кольца Z(Q[\/~D, \/-~Т)) 95

Приложение

• Циклические гомологии
• Свойства комплексов с периодичностями
• Матричная форма записи гомоморфизмов
• Бивариантные периодические когомологии Ad

Введение к работе

Настоящая диссертация посвящена развитию теории бивариантных когомологий с симмстриями пары унитальных алгеб]) над коммутативным кольцом. Наибольшее внимание уделено построению теории бивариантных диэдральных когомологий и конкретным вычислениям над кольцом целых чисел.

Актуальность. Гомологическая теория алгеб]), возникшая первоначально как набор вычислительных средств в алгебраической топологии, теории групп и алгебр Ли, выделилась к концу 50-х годов в самостоятельный и быстрорастущий раздел математики. Ее становление связано с именами С. Маклейна, С. Эйленберга, Г. Хохшильда, А. Картана и многих других.

С помощью методов гомологической алгебры были получены многие важные результаты в алгебраической топологии, теории групп (применению гомологии в теории групп посвящена монография К. С. Брауна [15]), функциональном анализе (см., например, книгу А. Я. Хелемекого [13], посвященную этому вопросу), алгебраической геометрии.

В начале 80-х годов в структуре гомологической теории алгебр произошли существенные изменения. Во многом это было связано с понятием циклических (ко)гомологий, которые стали центральным объектом в новом разделе, возникшем на стыке гомологической алгебры, А'-тсории и некоммутативной геометрии. Циклические (ко)гомологии были введены А. Конном в связи с обобщением теоремы об индексе эллиптического оператора [17] и, независимо, Б. Л. Цыганом для вычисления гомологии алгеб]) Ли [14]. Далее последовало бурное развитие "циклической" теории; было установлено, что циклические (ко)гомологии естественно возникают в связи с алгебраической А'-теорией Вальдхаузена, й^-эквивариантными гомологиями топологических пространств, псевдоизотопиями топологических пространств, инвариантами плоских кривых в теории особенностей и т.д.

Наиболее ясно значение циклических гомологии и связанных с ними конструкций проявляется в рамках общей "философии" некоммутативной геометрии, представленной А. Конном в работах [18], [17]. Ее основную идею можно сформулировать следующим образом.

Известно, что различные свойства пространств (топологических пространств, многообразий и т.д.) можно сформулировать эквивалентным образом на языке функций (непрерывных, гладких и т.д.) на этом пространстве. В этом смысле объект (пространство) задается коммутативной алгеброй функций на нем. В некоммутативной геометрии роль объ- екта играет алгебра (не обязательно коммутативная), уже не связанная напрямую с пространством и являющаяся аналогом алгебры функций. При этом циклические гомологии оказываются одним из важных элементов теории. Выражаясь неформально, можно сказать, что в некоммутативной геометрии циклические гомологии играют ту же роль, что II гомологии де Рама в коммутативной.

Бпвариантные циклические когомолопш были введены Дж. Джонсом и Кр. Кассе лем для исследования отображений, задающих изоморфизм в циклических гомологиях (НС-эквивалентности) и для классификаций операций в циклических гомологиях. Их построение было отчасти мотивированно паралеллпзмом с А'А-теорисй Каспарова.

Циклические биварнантные когомолопш обобщают обычные циклические (ко)гомологии на случай пары алгебр А и В и являются важным техническим средством, используемом для построения изоморфизмов в циклических гомологиях и для построения отображений из А'-теорин (см. [30]. [20], [41] [38]).

В работе Ж.-Л. Лодэ и Д. Квиллена [36] и, независимо, Б. Цыганом [1^J] был построен изоморфизм циклических гомологии и примитивной части гомологии алгебры Ли д 1(A)

РгігпЯ*{уІ(А)) = НС*_і(Л).

Таким образом, имея в виду известный изоморфизм Pri,mlh(GL(A)) = фЛ'„(А) ^g, циклические гомологии можно рассматривать как аддитивный аналог алгебраической А"-теории (в работах Б. Фейгина и Б. Цыгана они так и называются "аддитивная А'-теория"). Другой, сходный результат был получен Т. Гудвилли в работе [23]. Им был построен изоморфизм

К_п(А, I) Q & НС,_, (А, I) м Q. где I -- нильпотентный идеал алгебры А.

Вычисление групп А'_?г алгебраической А'-теорип является одной из наиболее сложных задач, имеющих многочисленные! приложения в алгебраической топологии, теории чисел и других разделах. Поэтому вычисления циклических гомологии кольца целых элементов квадратпческих расширений рациональных чисел A_d = Z(Qf/d]), A_D = Z(Q[/D,v/=T]), где (/ Є Z, a D Є Z[?]. представляет особый интерес, как простейший случай колец с нетривиальными группами Л'-теорип.

Постановка задачи. В простейшем случае, когда основное кольцо /, содержит рациональные числа, циклические гомологии //-алгебры Л можно определить как гомологии части комплекса Хохшильдл. (см. п. 1.1.1) инвариантной относительно циклических перестановок множителей в тензорных степенях А^п. Так вводятся циклические гомологии в работах Конна [1G], [17]. При более общем подходе циклические гомологии определяются как гомологии бикомплекса СС{А) (см. ф-лу (1)) //-ая строка которого совпадает с резольвентой циклической группы Z/nZ с коэффициентами в Z/r/.Z-модулс А^0П. Таким образом, циклические гомологии алгебры принципиально связаны с действием циклической группы, причем на каждой тензорной степени А^п действует своя группа Z/nZ. Такая структура допускает обобщения в следующих направлениях.

Рассматривая симплициальные объекты с действием Z/nZ в //-ой размерности, мы приходим к понятию циклического объекта в произвольной категории (см. п. 1.3.1), с которым связывают его циклические гомологии. С другой стороны, вместо циклических, можно рассматривать некоторые другие семейства групп (см. п. 1.3). В частности, так определяются диэдральные объекты, то есть симплициальные объекты с действием диэдральных групп D_n в n-ой размерности, кватерннонные объекты, соответствующие семейству кватернионных групп Q„ и рефлексивные, соответствующие семейству {Z/2Z}, действующему во всех размерностях операторами порядка 2. Аналогично циклическим, для диэдральных. кватернионных и рефлексивных объектов строятся соотвветственио диэдральные, кватерннонные и рефлексивные гомологии.

Заметим, что если алгебра А снабжена инволюцией, на тензорных степенях А^п можно ввести действие групп D_y,, Q_v и Z/2Z введя оператор "отражения" ?Ул("о <8> а\ ^г>5 ««.) = (-1)*^м("⁺¹⁾а₀ (X) а„, 0 а_п_₁ 0 ---( а₂ с-:- а,.

Для вычисления диэдральных, кватернионных и рефлексивных гомологии алгебры А используются комплексы, аналогичные циклическому СС(А) (см. ф-лу (1)), обозначаемые СТ>(А), CQ(A) и СЩА). Как и в циклическом комплексе, на ?/-ом уровне у них стоят резольвенты соответствующих групп (D_n, Q_n или Z/2Z) с коэффициентами в A^m.

Следующим важным этапом развития теории стало введение Дж. Джонсом и Кр. Касселем [29] бивариантных циклических когомолопш пары алгебр (обозначение НС*(А, Б)). Основные их свойства были исследованы в работах [29], [30] и [31].

Как следует in названия, бнвариантныс циклические когомологпп ковариантныи функтор по первому аргументу и контравариантный по второму. Они обобщают обычные циклические (ко)гомологии в том смысле, что имеют место изоморфизмы

НС"(АА-) = HC^U(A) liC^r'{A.k) ^ НС1_П(Д), где НС^- — отрицательные циклические гомологии — гомологическая теория, двойственная циклическим гомологпям, но лучше приспособленная для отображений из А'-теории (см. [23]).

Исследование бивариантных циклических когомологпп было продолжено в работах Й. Купца и Д. Квиллена (см. [24]) в контексте так называемых про-гомо логий.

Другое направление развития теории было представлено в работах П. Гурролы [28]. Им были построены бивариантные кватернионные ко-гомологии и исследованы их основные свойства.

Настоящая работа продолжает линию намеченную в [29], [30], [31]. [28]. В ней предложена общая конструкция бивариантных когомологий (с симметриями) нары комплексов (с периодичностямн) (см. п. 2.3). При этом циклические бивариантные когомологпп Джонса и Касселя. кватернионные когомологий Гурролы, рефлексивные и дпэдральные когомологий пары алгебр получаются в качестве частных случаев. В работе; исследованы основные свойства различных типов когомологий с симметриями, их взаимосвязь и связь с алгебраической А'-теорией.

Другая задача, решению которой посвящена вторая часть настоящей диссертации -— явные вычисления различных типов (ко)гомологпй алгебры целых элементов квадратических расширений рациональных чисел, а именно A_d = Z(Q\/d]), Л» = Z(Qf/DV=T]), где (/ Є Z, a D Є Z[i]. В работе явно вычислены циклические и периодические гомологии, периодические бивариантные! когомологий алгебры Ad и циклические гомологии алгебры А[). Вычисление циклических гомологии дедекиндовых областей проводилось также в работе Ларсена и Линденштрауса [33], однако, в виду общности решаемой задачи, авторы не получают ответа в явном виде. Кроме того, результаты, полученные в [33], для расширений степени п, не дают формул для п-кручения модуля циклических гомологии. В нашем случае и = 2, и, как видно из теорем 5.5 и 5.14, строение 2-составляющей нетривиально.

Обзор основных конструкций. Следуя Лодэ и Квпллену [ЗС] опре-делелнм циклические гомологии алгебры А над произвольным коммута- тивным кольцом к, как гомологии тотального комплекса Тої СС*^( А) ассоциированного с бикомплексом

А³<1=1 _Аз<_лі_ А⁽"^;!^ А³^-

СС\,,(Л) :

А'^^± А^&2^-

Л-^у~< Л" где отображения Ь, ?/, f и JV определены следующими формулами. 6(а₀ «і а„) = Ь'(а₀ «i (g> а„) + (-1)^па_па₀ <8> a_t @ a„_j ?/(а₀ (8) «і <8> а_п) = ^Р(-1)^га₀ а_г-_і а_г-а_г+] а„, г = 0 /(а₀ Є<) «і 0 «„.) = (-l)^Tto_n а₀ О ал Cs> ««-і, Д^г = 1 +t + t² + ... +Г.

Если алгебра А унитальна (т.е. обладает единицей), то, как было установлено в [3G], комплекс Tot* СС(А) квазнизоморфои комплексу ToU ВС (А), где л о Т³ Я А А <—

А А *-- :4 @ А

ВС^(А) : л!²^

АА <--

А А + ь где А = А/к,

В{а₀ ai a_;l) = ^(-1)^г1 (ц а_{г + 1} 'Jdn ^ По «1 .-. а_;. г' = 0

Первоначально, в работах А. Конна, циклические¹ гомологии определялись как гомологии одномерного комплекса С${А) (см. 1.2.4). При этом рассматривались алгебры над полем нулевой характеристики, и в этом случае комплексы Tot*CC(A), Tot* ВС {А) и С* (А) оказываются кватшпо-морфнымн (см. [36], [31]). Приведенное нами определение циклических гомологии при помощи бикомплекса (1) является наиболее общим и в г.<-стоящее время общепринятым.

В 1986-88 годах, в работах Р. Л. Красаускаса. С. В. Лапина и К). 11. Соловьева [9] [10] [7] [8], для алгебры А с инволюцией ~~: А —> А были введены диэдральные гомологии HD*(A) (где є — —1,1) как гомологии комплекса Tot+CV(A). Ассоциированный с ним трикомилекс CV(A) имеет вид [Л\Ь) +у [А*,-Ь) {А\Ь) -\-yt 'А*,-Ь') -1+у' -1+у/ [А\-Ь') -1-у/ (А\-Ь)

1 + У (А\Ь) {А\У) < -\-yl (А\!/) i + yt (А\Ь) где А* обозначает градуированный модуль с г-ой компонентой A^G^\ У»{0() <$а\ . . . <Х>«._Т1) = (-1)*"⁽" ^{+ 1)}єа₀ 'Х^;77₇₍ ^!У)а_и^_х 0-0 .. . 0 77,. а операторы Ь, //, N п t определялись выше.

Гомологии получающиеся при є — 1 называются положительными, а при є = — 1 отрицательными диэдральными гомологиями.

В [10] авторами были исследованы основные свойства дпэдральных гомологии, в том числе длинные точные последовательности, связь с эрмитовой Л'-теорией и т.д.

Построение диэдральных гомологии существенно использует ииволю-тивную структуру алгебры. В простейшем случае, когда элемент 2 обратим в основном кольце, циклические гомологии распадаются в прямую сумму положительных и отрицательных диэдральных гомологии (теорема 3.1).

Следующим шагом разработки и обобщения конструкции циклических гомологии явились бивариантные циклические когомологии определяемые для пары алгебр А и В (обозначение НС*[А. В)). Они были введены

Дж. Джонсом и Кр. Каеселсм [29] как гомологии комплекса отображений вида / : Tot ВС,^{А) -> TotBCAB) удовлетворяющих дополнительным условиям, смысл которых состоит в сохранении периодичностей диаграмм бикомплекеа ЗС*^.

Бивариантным циклическим гомологиям посвящены работы Кр. Кас-селя [30], [31] (в них, в частности, построен бнварпантиый характер Чженя) Ф. Нусса [39], Й. Купца и Д. Квиллена [20] и другие. П. Гуррола [28], распространил построения [30], [31] (в том числе и конструкцию бпвари-антного характера Чжоня) на случай биваршштных кватернионных ко-гомологий (см. п. 2.4).

Методика исследования. При доказательстве многих утверждений диссертации (предложения 1.1, теорем 1.3 и 1.4, теорем 3.1 и 3.4 и т.д.) существенно используется так называемая "лемма о возмущении" (теорема А.2), смысл которой состоит в следующем (обсуждение вариантов формулировки леммы и ее доказательство приводится в приложении А).

Пусть для комплексов (L,d^L) и (M,d^M) заданы морфизмы комплексов / : М -» L, V : L -» М и гомотопия /і комплекса (Af, с/ ), такие что /V = id/,, dh + hd = V/ - icl_M, hV = fh = /і/і = 0. (3)

Набор данных (L, M, /, V, h) удовлетво])яющий условиям (3) называется специальной деформационной ретракцией и обозначается символически (L,d^L)t=^=i(M,d^M;hy, говорят также, что комплекс (M,d^M) стягивается к комплексу (L,J^Z'), пли, если комплекс L — нулевой, говорят, что комплекс: (М, d^M) стягиваем.

Пусть 6 — возмущение дифференциала d, то есть такое отображение 5 : М* —+ М₊._], что d = S + d снова является дифференциалом (5 + d)² = 0, и пусть для любого х Є М существует натуральное число п такое что (Ы))^п — 0 (условие локальной нильпотентности). Тогда существуют операторы с/оо, /оо, Vqo, /too (процедура их построения описана в п. А.2). такие: что (Ь,сі_те)1=ф^(М,сі->ос) будет специальной деформационной ретракцией.

Основные результаты. Настоящая диссертация посвящена дальнейшему развитию "бивариантной" теории. Получены следующие¹ основные результаты.

Систематически записаны деформационные ретракции между парами комплексов СС и ВС ([31]), CQ и BQ ([28]) и построены деформационные ретракции между комплексами CV и BV (теорема 1.3).

Разработана теория комплексов с периоднчностями (пи. 2.1, 2.2); в частности, получены точные последовательности выражающие взаимосвязи комплексов с периоднчностями одного типа (теоремы 2.4, 2.5).

Определены бивариантные когомологии пар комплексов с с периоднчностями одного типа (п.2.3); в частности, определены бивариантные диэдральные и рефлексивные когомологии для алгебр с инволюциями, над произвольным коммутативным кольцом (п.2.4).

Установлено, что бивариантные когомологии, соответствующие би-комплексам C'D*^^. и 23D*,*,* будут изоморфны (теоремы 1.3 и 2.7), а при условии 1/2 Є к изоморфными будут бивариантные когомологии, соответствующие ВС*^ и BQ*^ (теоремы 3.4 и 2.7).

5. При 1/2 Є к установлен изоморфизм hd;(a,b) ^нс;(а,б)0НСі(а,б)^нбі(а,/з) ^нс(а,б) (теорема 3.G). G. Построены точные последовательности, связывающие различные '^л^¹ когомологии с симметриями (теорема 3.9).

Построен бивариантный диэдральный характер Чженя, отображающий группой бивариантной эрмитовой /v-теории _ЄК(А, В) (см. определение 4.2) в нулевую компоненту днэдральных биварнантных когомологии.

Явно вычислены циклические, циклические периодические гомологии и циклические бивариантные периодические когомологии кольца Z(Q\fd\) и циклические гомологии Z(Q\/D.y/^T\), где

Обзор содержания диссертации. Глава 1. имеющая вводный характер, посвящена построению основных примеров гомологических теорий с симметриями: циклических, диэдральных, кватернпонных и рефлексивных гомологии. Используемые для определений комплексы приводятся к наиболее простому виду. Основной результат главы (теорема 1.3; --- редукция диэдрального трикомплекса СТ>*^^(А) к меньшему: ІЗР,_]Л>+ (А)

В пунктах 1.1 и 1.2 обсуждаются различные подходы к определению гомологии Хохшильда и циклических гомологии: производные функторы, некоммутативные дифференциальные формы, простейшие геометрические интерпретации. В явном виде приводится деформационная ретракция комплекса СС(А) к БС{А). В пункте 1.3 циклические гомологии рассматриваются как частный случай гомологии с коэффициентами в скрещенной симплициальной группе. Здесь же вводятся диэдральные. кватернионньїс и рефлексивные гомологии алгебр.

В пунктах 1.4 и 1.5 введенные в п. 1.3 комплексы CV^ ^(А) и CQ*,*(A), определяющие (соответственно) диэдральные и кватернионные гомологии алгебры А, заменяются эквивалентными и более удобными для вычислений комплексами BV ₊ „ *(А) (см. п. 1.4) и >Q*,*(A) (см. и. 1.5) (это составляет утверждение теорем 1.3 и 1.4).

В главе 2 рассматривается общий случай комплексов с перподично-стями, изучаются их основные свойства и вводятся бнвариантные когомо-логии комплексов с периодичностями (бнвариантные когомологип с симметриями) .

Будем говорить, что комплекс (C*,d) обладает периодичностью степени 'ш, если задано эпиморфное отображение Р: С* —> С*₊₇„, изменяющее градуировку на in и коммутирующее с дифференциалом d (определение 2.1)/

Комплексами с периодичностями являются, в частности, "циклические" комплексы: СС*^(А) и ВС*^.(А); "кватернионные" комплексы: CQ*,₊ ( Q*,*(A); "диэдральные" комплексы: Ш}*₁₊,ДА), С'Р^^ДА); "рефлексивный" комплекс: С'/t*,* (А), (см. п. 2.1). Например, периодичностью комплекса ВС*_}+(А) является отображение 5 степени —2, состоящее¹ в "вычеркивании" первого столбца (см. диаграмму (2)).

Деформационная ретракция называется совместимой с периодичностями, если задающие ее операторы коммутируют с операторами перио-дичностей. В предложениях 2.1, 2.2 и 2.3 доказывается, что деформационные ретракции между циклическими, кватернионными и диэдральнымн комплексами, построенные в пп. 1.2, 1.4 и 1.5 совместимы с соответствующими периодичностями.

В пункте 2.2 доказаны простейшие свойства комплексов с перподпчію- стямн, выраженные на языке точных последовательностей (теоремы 2.-1. 2.5); как частные случаи получаются точная последовательность Конна вцпклических гомологиях, точная последовательность в диэдральных топологиях и некоторые другие точные последовательности.

Пункт 2.3 посвящен введению бивариантных когомологии для пары комплексов L = (L*,d^Ij) и М — (M*,d^M) с набором перподичностей V = {Рі,...,Р_п}. По определению, это гомологии комплекса составленного из отображений комплекса L в комплекс М (отображения рассматриваются как морфизмы градуированных модулей) перестановочных с операторами перподичностей V:

Нош₇,(Р*,М*) - {/ : L, - М„ | fPi = PJ}.

Здесь же (предложение 2.6 и теорема 2.7) доказывается, что так определенные бивариантные когомологии не меняются при замене комплексов на другие, стягиваемые к исходным, если соответствующие деформационные ретракции совместимы с периодичностямп.

В пункте 2.4 общие конструкции п. 2.3 применяются к циклическим, днэдральным, кватернионным и рефлексивным комплексам, и, тем самым, мы получаем определения бивариантных циклических (обозначение НС*(А,Р)), диэдральных (обозначение HD*(A,P), где є — 1,-1), кватершюнных (обозначение HQ*(A, В)) и рефлексивных (обозначение HR*(A, В)) когомологии пары алгебр А, В. В пункте 2.5 в бивариантных когомологиях с симметриями вводится произведение.

Циклические гомологии

Определение 1.2 Циклическими гомологилми алгебры А (обозначение НС (А)) называются гомологии бикомплекса СС (А): Замечание. Здесь и далее под гомологиями би (три) комплексов понимаются гомологии ассоциированных с ними тотальных комплексов. Например, Более того, встречающиеся в дальнейшем би(три)комплексы рассматриваются как специальная форма записи соответсвующих тотальных комплексов и, в большинстве случаев, они будут обозначаться одинаковыми символами. Заметим, что четные столбцы бикомплекса СС (А) совпадают (с точностью до знака дифференциалов) с бар-резольвентой Ваг (А)(см. п.1.1.2) Как отмечалось выше Ваг (А) стягиваема со стягивающей гомотопией s. Опишем способ (см. также [31]) позволяющий избавиться от ацикличных компонент бикомплекса СС и перейти к меньшему бикомплексу, эквивалентному исходному. Пусть CC l (соответствненно СС +) бикомплскс состоящий из четных (соответствненно нечетных) столбцов бикомплекса СС (А) с нулевыми горизонтальными дифференциалами (нумерация строк и столбцов начинается с единицы). Воспользуемся предложением А.4 для комплекса Получаем следующую специальную деформационную ретракцию Заметим, что ВС , (А) содержит стягиваемый подкомплекс Т С (А), порожденный наборами (ао, аі,..., ап) содержащими единицу на г-ом месте, і ф 1 (вырожденные наборы). Действительно, прямые вычисления показывают, что операторы Ь и В переводят вырожденные наборы в вырожденные и, значит, VC t (A) является подкомплексом ВС (А). Обо -А значив BC(A)/ DC(A) через ВС (А), воспользуемся предложением А.5 применительно к комплексу и фильтрации по столбцам При этом роль d] и d2 будут играть дифференциалы индуцированные-ограничениями b на ВС и VC соответственно, а а и 5 — отображения, индуцированные ограничениями на ВС и VC дифференциала В.

Стягивающая гомотопия h для комплекса (VC,d2) совпадает на каждом столбце с гомотошіей /І, используемой для нормализации комплекса Хохшильда (см. п. 1.1.1). В результате получаем специальную деформационную ретракцию где /, V и li получаются по формулам предложения А.5, a В индуциро-ванно ограничением В на ВС. Заметим, что Полученный бикомплекс (гомотопный исходному СС (А)) выглядит следующим образом: Предложение 1.1 Циклический бикомплекс СС (А) стягиваем, к комплексу ВС (А). Таким образом циклические гомологии алгебры А определяются эквивалентно как гом.ологии биком.плекеа ВС (А). Заметим, что столбцы циклического бикомплекса СС (А) повторяются с периодом 2, что позволяет определить оператор периодичности состоящий в вычеркивании двух первых столбцов (более подробно см. п. 2.1.2). Рассмотрим следующую проективную систему Гомологии 2"/2.-градуированного комплекса — «— дифференциал в котором индуцирован дифференциалом комплекса СС, называются периодическими (циклическими) гомологиями алгебры А, и обозначаются 1тРчст„(А) и НРПСЧОтн (- ) Рассмотрим некоторые другие подходы к определения циклических гомологии. 1.2.2 Как мы видели в (п.1.1.2) комплекс С Н (А) получается из ауг ментированной бар-резольвенты Ваг (А) заменой дифференциала У на 6, отличающихся на одно слагаемое Ьп. В данной ситуации применима лемма о возмущении (теорема А.2): специальная деформационная ретракция имеет вид где 5 — стягивающая гомотопия, определенная в п. 1.1.2, а возмущением дифференциала У будет Ьп ("граничные условия" выполнены автоматически: s2 = 0). В результате получаем, что по модулю /", то есть в данном случае по модулю in+1 (более точно, см. формулировку леммы о возмущении в приложении А) комплекс СН (А) стягиваем, со стягивающей гомотопной 1.2.3 Для некоммутативных дифференциальных форм (см. п. 1.1.3) оператор D обобщает оператор s в том же смысле, что и b обобщает У. Действие s можно описать следующим алгоритмом: используя А-линейность тензорного произведения и правило Лейбница (см. п. 1.1.3) переносим все коэффициенты при дифференциалах на первое место и, затем, заносим под дифференциал, оставляя на первом месте единицу.

Однако такая операция не является единственной возможной. Можно переносить коэффициенты на любое лругое место, не обязательно на первое. Рассматривая сумму всех возможных вариантов получим циклический дифференциал В. 1.2.4 Заметим, что в строках комплекса СС(А) стоят резольвенты циклических групп; n-ой строке соответствует резольвента Zn = Z/nZ с коэффициентами в Z[Zn]-Mon,yne А11, действие образующей на котором задается оператором tn (очевидно т;+1 = id). Предположим, что основное кольцо к содержит рациональные числа. Тогда 7і-ая строка комплекса СС стягивается к тривиальному комплексу с модулем Ап+1/(1 — t) в нулевой размерности. Стягивающая гомотопия имеет вид (см. [34])

Свойства комплексов с периодичностями

Пусть в комплексе (C ,d) задана периодичность Р степени і. Из эпиморфности Р следует точность диаграммы из которой вытекает наличие1 длинной точной последовательности и го-мологиях комплексов обобщающей точную последовательность Копна в циклических гомоло-гиях. Более общо: Теорема 2.4 Пусть в комплексе (C+,t/) заданы коммутирующие периодичности Р\, Р-2,. .., Рп степеней гі, г2,. .. , гп соответственно. Рассмотрим n-мерную кубическую диаграмму по каждом/у из п направлений в которой будет идти последовательности вида, (13). Каждая плоскость кубической диаграммы являет,ся квадратной диаграммой с точными строками и столбцами следующего вида. Диаграмма, коммутативна, и все входящие в нес строки и столбцы точны. Доказательство. Точность и коммутативность диаграммы (14) следует из эпиморфности и перестановочности между собой периодичностей. Что касается диаграммы (15), точность строк и столбцов является стандартным следствием точности соответствующих строк и столбцов диаграммы (14). Перестановочность операторов t и Р следует из перестановочности ik и Pk- Требуют проверки лишь коммутационные соотношения со связывающими гомоморфизмами. Докажем, что если х - элемент С [гі], причем dx = 0, то Р2 д х и д Р х являются представителями одного и того же гомологического класса в Н С[гі + і2]- Условно д можно представлять как с [ ldP l. У читывая это, рассмотрим циклы z ZC [ii] и P2z Є ЪС \%\-\-%2\.

Пусть P 1 z - прообраз z при сюръективном отображении РІ5 тогда Р2Р\ z - прообраз элемента P2z. Еще раз используя перестановочность рассматриваемых отображений можно записать P2dP[ 1 z — d,P2P[ lz. И, наконец, если i dP z -прообраз dPf z при отображении i\, то из перестановочности операторов следует, что P2L [ldP[ lz будет прообразом элемента P2dP 1 z, то есть P2dlZ = P2i-\lP vz = i [P2dP-[z = i ldP2p-[z - i-ldP lP2z = d1P2z. Остальные соотношения доказываются аналогично. 2.2.2 Частными случаями доказанного утверждения являются следующие точные последовательности. 1. Точная последовательность Коына в циклических гомологиях (рассматривается одна периодичность S). (периодичность П). 2. Точная последовательность в рефлексивных гомологиях 3. Точная последовательность в кватернионных гомологиях (периодичность T), где Q комплекс, вводившийся в (п. 1.5.1) при доказательстве стягиваемости CQ i+ к BQ , . 4. Точная последовательность в диэдральных гомологиях то диаграммы (1G) и (17) распадаются в прямую сумму диаграмм, в которых положительные и отрицательные компоненты расположены в шахматном порядке. Теорема 2.5 Пусть в комплексе (C ,d) заданы периодичности Pi и Р2 степеней г і и г2 соответственно. Тогда Р{ о Р2 также будет периодичностью (степени i\ + і2); диаграмма, будет точна, и будет точна также соответствующая ей "длинная точная последовательность" которую, учитывал отождествление экземпляров НпС и Нп Кег Ру можно записать в виде косы.

Доказательство. В "короткой точной последовательности" (18), точность верхней строки следует из 5-леммы. Точность и коммутативность остальных элементов диаграммы очевидна. Доказательство точности диаграммы (19) проводится так же как и для теоремы 2.4.П Точные последовательности вида (19) получаются, в частности в ди-эдральных гомологиях для наборов периодичностей {S, S), {Q, О,} и {О, S}. Рассмотрим теперь следующую общую ситуацию. Пусть на комплексе ( ,cfL) задан набор периодичностей а на комплексе (.A4 , iM) набор периодичностей степеней (mi,...,ra„). Морфизмы градуированных модулей в .М образуют дифференциально-градуированный модуль Нот( ,Лч ), элемент / которого имеет градуировку п если Нот( ,.М ) записывается обычным образом: Выделим в Нот( ,Лч ) подмодуль Ношрь_Рм( ,Лч ), состоящий из pL-/pM-перестановочных отображений. Поскольку P-J и Р{м коммутируют с дифференциалами dL и сім, получаем, что Нош-рь_-рм ( ,Лч ) будет подкомплексом в (Нош( ,Л4 ), ///ош.)

Матричная форма записи гомоморфизмов

Исследуем явный вид гомомофизмов введенных нами выше комплексов. Из условия перестановочности гомоморфизмов с периодичностью S еле-дует, что все составляющие / отображающие А А в В В при фиксированных і и j равны. Действительно, поскольку S вычеркивает первый столбец бикомплскса ВС, все такие составляющие равны одной фиксированной составляющей / для которой A (g) А находится в первом столбце бикомплскса ВС [А). Отсюда видно также, что Fjj — 0 при і + п j, где п — степень /. Следовательно, каждый 5-перестановочньпі гомоморфизм / может быть представлен в виде бесконечной треугольной матрицы (Fij)fl0 j=o с не нулевыми элементами в шахматном порядке. Например, гомоморфизму степени —2 соответствует матрица Дифференциал записывается в матричной форме следующим образом Вматричной форме отображение S состоит во включении множества матриц таких что Fij — 0, при і - j п в матрицы для которых F = О, при і — j п + 1. Гомологии прямого предела индуктивной системы называются бивариантными периодическими (циклическими) когомоло-гиями (см. [29]), обозначение HP (A,J3). (см. п.2.4) комплекс раскладывается в прямую сумму своих положительных и отрицательных частей. Каждый положительный -перестановочный гомоморфизм / может быть представлен в виде пары матриц вида (30): F++, F и каждый отрицательный гомоморфизм в виде F+ , F +. Например, матрицы F++ iiF—соответствуют положительному гомоморфизму степени —2. Дифференциалы и композиции гомоморфизмов записываются также как и в циклическом случае. Заметим, что периодичность S отображает ВС+ на ВС" и наоборот.

Значит отрицательная часть -перестановочного гомоморфизма / /— : ВС — ВС однозначно восстанавливается по его положительной части /++ :БС+ -» ВС+. В отличие от п. 3.2.2 ненулевые гомоморфизмы, перестановочные с пери-одичностями, могут отображать элементы 2/г + 1-го столбца в 2к + 2-ой (эти столбцы находятся в одном периоде оператора Т). Значит каждый Т-перестановочный представляется матрицами (31) с "дополнительной диагональю" ( itn+2,i)i o гДе п степень гомоморфизма. Теорема 3.9 Пусть элемент 2 обратим в к, тогда следующие последовательности являются точными Доказательство. Как уже отмечалось в п. 3.2.1 отображение 5 состоит во включении треугольных матриц, таких что F{j — 0, при і — j n — 1, в треугольные матрицы, такие что i - = 0 при i—j п. Компоненты Fij для которых г — j = п и определяют гомоморфизм комплекса Хохшильда. Отображение W состоит в естественном включении пар матриц в пары матриц с "дополнительной диагональю". В образе W элементы "дополнительной диагонали" равны нулю. Таким образом, элементы этой диагонали и определяют гомоморфизм комплекса Хохшильда. Из матричного представления гомоморфизмов следует, что S и W являются морфизмами комплексов, и что последовательности (32), (33) и (34) точны. D Замечание. Если в последовательности (33) заменить Нош па Нош и наоборот, то получаемая последовательность также точна. Обозначим Следствие 3.10 Коротким точным последовательностям теоремы 3.9 соответствуют следующие длинные точные последовательности. Пусть А, В — алгебры с инволюциями над коммутативным кольцом /г; М — А — В бимодуль (то есть левый А-модуль и правый В-модуль, причем правое и левое действия согласованны). Через Мор обозначим М со следующей модульной структурой: Ь т a = amb. Пусть h : MVM —

В гомоморфизм Б-бимодулей такой, что h(y, х) = eh(x,y), где е-единица кольца к с условием её = 1. Предположим, ччто Н:М-лМ , изоморфизм А — JS-бимодулеп (здесь М — (Ногп#(М, В))ор). Определение 4.1 Пусть М — правый проективный В-.модуль конечного типа. Пара (М, h) удоолетоаряющая сфрмулироваппым выше условиям называется є-эрмитовым А—В -модулем. Изометрией таких модулей называется изоморфизм А — В-бимодулсй f : (М, h) — М , h , такой что Для любых двух е-эрмитовых А — Л-модулсй (Mi, Iii), (М2, h z) определена их отрогональная сумма также являющаяся е-эрмитовым А—JS-модулем. Здесь hi _L /і2(7Піф7/г2) = /ii(rai)-f/i2(ra2). Обозначим через 7-CRcp(A, В) категорию, объектами которой являются рассматриваемые с точностью до изометрии е-эрмитовы А — В-модули (P,h) для которых существуют -эрмитов к — Б-модуль (Q,hr), такой что (P,h) J- (Q, h ) и где ln обозначает единичную квадратную матрицу размера n х ТІ, изо-метричны как /г - Б-модули для некоторого п. Морфизмами категории TtRep(A, В) являются гомоморфизмы А — Б-модулей, согласованные с соответствующими билинейными формами в смысле (35); ортогональная сумма снабжаем ее структурой категории с произведением. Замечание. Если 2 обратимо в кольце к, то для любого е-эрмитова А — В-модуль (Р, h) существует дополнительный ему модуль (Q, h ).

Бивариантные периодические когомологии Ad

Будем придерживаться обозначений, введенных в предыдущем пункте. Пусть А = Adl, В = Ad2 алгебры целых квадратических чисел, введенные в п.5.1.1, причем сії и d-2 целые числа, свободные от квадратов. Подсчитаем периодические бивариантные (циклические) когомоло-mmUP(Adl,Ad2) (см. п. 3.2.1). Периодические когомологии получаются как гомологии прямой предела комплексов -перестановочных гомоморфизмов. Модули , а значит и гомоморфизмы Н.от(ВС (А), ВС (В)) раскладываются в прямую сумму, совместимую с переходом к прямому пределу. Таким образом, при подсчете периодических бивариантных когомологии нам достаточно рассматривать отображения сохраняющиеся при переходе к прямому пределу. Как мы видели в п. 5.1.2, дифференциал в нечетных размерностях комплекса ВС равен нулю. Следовательно, бивариантные когомологии будут составлены из трех следующих компонент. 1. Отображения дифференциал от которых равен нулю, то есть не может быть ничьей границей. 2. Отображения не являющиеся границами (циклами они будут автоматически), то есть отображения /2 надо сфакторизовать по множеству отображений вида (В 3. Отображения f!6 + ///, где не являющиеся границами и такие что (В + Ь)//5 + Г {В + Ь) — 0. Первая компонента не дает вклада в когомологин, поскольку составляющие отображений Z-линейны и должны равняться нулю на образе дифференциала, но коядро дифференциала не содержит Z-компоыент (рассуждаем как и в доказательстве предложения 5.2) и, значит, соответствующие отображения тождественно нулевые. Вклад в когомологин второй и третей компонент суть коядра отображений свободных Z-модулей. Для второй компоненты это отображение из множества пар {f2,f2} в множество {/2}-

Для третей из множества {/} в множество пар Поскольку ВС7П(А) канонически раскладывается в прямую сумму свободных конечно-порожденных Z-модулей, вышеописанные свободные модули также распадаются в прямую сумму конечно-порожденных свободных модулей. Заметим, что для подсчета di-компонент кручения коядра, где di — простое число, делящее сі, можно с самого начала полагать d = d{. Это следует из того, что локализация по идеалу (dt) — точный функтор (см. [1]) и, значит, все равно, сначала локализовать, а потом считать коядро отображения, или сначала подсчитать коядро, а потом локлизовать (последний вариант очевидно даст -компоненту кручения). Для простоты записи предположим временно, что d простое число. Воспользовавшись предложением 5.3, приведем матрицы дифференциалов к диагональному виду. Поскольку отображения сохраняются при переходе к прямому пределу, и поскольку каждое отображение раскладывается в прямую сумму своих копонент, то выбирая достаточно большой номер т, для каждой компоненты можно считать, что отображения /г- действуют в подпространствах ВСт, свободных от "краевых эффектов" (см. предложение 5.6), то есть соответствующие базисы будут . -совместимыми. Таким образом, при dt = 4п + 1 или d2 — 4?г + 1 вклад второй компоненты в кручение m-ых когомологий будет где (cp. (47)). Действительно, каждая компонента отображения /lJ, переводящая базисный вектор /" в e j (см. предложение 5.G) добавляет в когомо-логии прямой множитель Z/(g hg")Z. Кроме того, компоненты заданные на ядре дифференциала добавляют счетное число экземпляров Z. Если же d± ф An + 1 и d2 ф An + 1, то в когомологии добавляется еще прямое произведение счетного числа экземпляров ZJ2Z.

Вклад третей компоненты в когомологии будет нулевым, поскольку после приведения к диагональному виду дифференциалов, их ограничения на базисные вектора будут состоять в умножении на целые числа. Таким образом, условие цикла приобретает вид и легко видеть, что существует j\\, такое что а/3 = /з и ( 1)п/3/з — /з? и значит /з + /з будет кограницей. Итак, нами доказано следующее утверждение Теорема 5.8 Бивариантные периодические когомологии НРПСЧСТН(А1І1 , Аа пары алгебр Аііі и A(i2, где d\ и d2 — целые числа, свободные от квадратов равны нулю. Кручение ЯРЧСТ„(А ,,Aj2) при di = An + 1 или d i = An + 1 равно

Похожие диссертации на Бивариантные когомологии с симметриями

Геометрия пространств джетов и ее приложения к теории симметрий и законов сохранения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных Виноградов Александр Михайлович

Гомологии с внутренними симметриямиКолосов, Вадим Александрович

Гомологии с внутренними симметриями C*-алгебрЯссин Галлаб Гуда

Дифференциальные инварианты расслоения римановых многообразий со связностями и их симметрииКузаконь, Виктор Михаилович

Объемы неевклидовых многогранников, обладающих нетривиальной симметриейАбросимов Николай Владимирович