Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Классические и современные математические подходы к постановке и решению задач физической геодезии 20
1.1 Краевые задачи теории потенциала 20
1.1.1 Прямые и обратные задачи теории потенциала 20
1.1.2 О корректности постановки краевых задач 24
1.2 Классические подходы к решению краевых задач физической геодезии 28
1.2.1 Метод функций Грина 28
1.2.2 Метод сферических функций 32
1.2.3 Метод интегральных уравнений 35
1.3 Современные математические подходы к постановке и решению задач физической геодезии 36
1.3.1 Концепция сферы Бъерхаммара 37
1.3.2 Коллокация (статистический и функциональный подходы) 38
1.3.3 Вариационный метод регуляризации 46
1.3.4 Метод оптимальных интегральных ядер 49
1.3.5 Мультипольное представление потенциала. Другие современные подходы к решению дискретных задач физической геодезии з
1.3.6 Метод сверток на основе линейных дискретных
преобразований. Быстрые алгоритмы 55
1.4 Аппаратные средства для вычисления БПФ и БГ7Х 61
1.5 Краевые задачи физической геодезии 1.5.1 Третья краевая задача 65
1.5.2 Вторая краевая задача 68
1.5.3 Краевая задача М.С.Молоденского 74
1.5.4 Краевая задача GPS 81
1.6 Анализ состояния проблемы и методов решения задач физической геодезии. Постановка задачи 82
Глава 2 Теория линейных преобразований Фурье и Хартли 88
2.1 Непрерывные преобразования 88
2.1.1 Одномерное и двумерное непрерывные преобразования Фурье 88
2.1.2 Одномерное и двумерное непрерывные преобразования Хартли 2.2 Дискретизация и квантование 96
2.3 Дискретные преобразования. Их матричная интерпретация 2.3.1 Одномерное и двумерное дискретное преобразование Фурье 98
2.3.2 Одномерное и двумерное дискретное преобразование Хартли 105
2.4 Структура быстрых алгоритмов гармонического анализа 109
2.4.1 Алгоритмы быстрого преобразования Фурье с децимацией во временной области 109
2.4.2 Алгоритмы быстрого преобразования Фурье с децимацией по частоте 119 2.4.3 Двумерное быстрое преобразование Фурье 125
2.4.4 Матричная интерпретация быстрого преобразования Фурье 128
2.4.5 Алгоритмы быстрого преобразования Хартли с децимацией во временной области 131
2.4.6 Алгоритмы быстрого преобразования Хартли с децимацией по частоте 138
2.4.7 Двумерное быстрое преобразование Хартли. Матричная форма 140
2.5 Основные выводы по главе 146
Глава 3 Ряды Молоденского в решении краевой задачи GPS. Ряды Молоденского в терминах свертки 150
3.1 Интегральные уравнения 150
3.1.1 Представление интегральных уравнений возмущающего потенциала и компонентов уклонения отвеса 150
3.1.2 Ряды Молоденского, основанные на аналитическом продолжении 159
3.1.3 Вычисление аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса с точностью первого приближения 164
3.2 Ряды Молоденского в терминах свертки 170
3.2.1 Интегральное решение Молоденского в терминах свертки 170
3.2.2 Решение методом аналитического продолжения в терминах свертки 173
3.2.3 Об эквивалентности решений в терминах свертки 177
3.2.4 Вычисление поправок gn в аномалию силы тяжести и поправок за рельеф с использованием преобразования Фурье 181
3.2.5 Вычисление аномалии высоты и компонентов уклонения отвеса с точностью первого приближения на основе преобразования Фурье 191
3.2.6 Вычисление аномалии высоты и компонентов уклонения отвеса с точностью второго и более высокого приближения на основе преобразования Фурье 197
3.3 Основные выводы по главе 3 204
Глава 4 Теория высокоточного определения аномалии высоты и компонентов уклонения отвеса в центральной зоне на основе преобразования Фурье и Хартли 208
4.1 Вывод ядра для высокоточного определения аномалии высоты 208
4.1.1 Коррекция функции Неймана при вычислении аномалии высоты 208
4.1.2 Преобразование Фурье исправленного ядра интеграла Неймана 214
4.2 Вывод высокоточного ядра в модифицированном интеграле Венинг-Мейнеса 222
4.2.1 Коррекция ядра интеграла составляющих уклонения отвеса 222
4.2.2 Преобразование Фурье функции Н(у/) 228
4.2.3 Вывод образа Фурье аппроксимирующей функции #( /)235
4.2.4 Вывод образа Хартли аппроксимирующей функции Й{ц/) 237
4.3 Основные результаты по четвертой главе 238
Глава 5 Разработка численных алгоритмов. Результаты экспериментов 241
5.1 Исследование циклической и линейной сверток 241
5.2 О вычислении свертки с использованием БПХ 258
5.3 Алгоритм БПФ, используемый в составленных программах 259
5.4 Исследование эффектов конечной длины выборки 260
5.5 Результаты по исследованию и подбору двумерного окна 269
5.6 Исследование сдвигов функции по осям координат во временной и частотной областях 270
5.7 Взаимосвязь преобразований Фурье и Хартли 277
5.8 Сравнение эффективности БДПФ и БДПХ 280
5.9 Алгоритмы вычисления трансформант гравитационного пол 2 5.9.1 Алгоритмы вычисления аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса (с плоским ядром) с точностью нулевого приближения 286
5.9.2 Алгоритмы вычисления первых и вторых поправочных членов в аномалию высоты и составляющие уклонения отвеса (с плоским ядром) 287
5.9.3 Алгоритм вычисления редукции Gx аномалии силы тяжести на горизонтальную плоскость 290
5.9.4 Алгоритмы вычисления аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса с использованием уточненного ядра 291
5.10 Численные результаты 293
5.10.1 Результаты экспериментов по вычислению аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса для р-на Охотского моря 293
5.10.2 Результаты экспериментов по вычислению аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса в районе Центральных Альп 298
5.11 Использование других преобразований в разработанных методах 301
5.12 Другие области применения 303
5.13 Основные выводы по главе 5 305
Заключение 311
Литература 315
- Классические подходы к решению краевых задач физической геодезии
- Одномерное и двумерное непрерывные преобразования Хартли 2.2 Дискретизация и квантование
- Представление интегральных уравнений возмущающего потенциала и компонентов уклонения отвеса
- Коррекция функции Неймана при вычислении аномалии высоты
Введение к работе
Актуальность работы и постановка задачи В настоящее время с развитием глобальных навигационных спутниковых систем GPS(CU1A) и ГЛОНАСС (Россия) геодезическая информация значительно увеличилась в объеме и изменилась в качестве измерений, что привело к пересмотру стратегии развития не только геодезии и гравиметрии как наук, но и топографо-геодезического и гравиметрического производства.
Развитие высокоэффективных спутниковых методов определения трехмерных координат позволяет получить высокоточную высотную сеть без трудоемкого нивелирования, но только при условии, если с сантиметровой точностью удастся определить аномалию высоты. Составляющие уклонения отвеса также надо знать с точностью не только нулевого, но и последующих приближений.
Актуальность диссертационной работы определяется необходимостью точного определения трансформант гравитационного поля.
Проблема точного определения трансформант гравитационного поля заключается в том, что классические методы решения задач физической геодезии основаны на составлении и решении того или иного интегрального уравнения. Это требует знания непрерывных безошибочных значений аномалии силы тяжести по всей поверхности Земли. Но непрерывная гравиметрическая изученность практически невозможна, а классический подход не способен дать полный ответ при неполной гравиметрической изученности.
На практике исходная информация дискретна, отягощена ошибками измерений и известна не на всей поверхности Земли.
Важнейшей чертой многих современных исследований является учет специфики реальных данных, которые не учитываются в классических методах.
4 В настоящее время разработано достаточно большое количество различных методов решения задач физической геодезии. Однако большие трудности возникают даже при вычислении первого поправочного члена, не говоря уже о последующих.
Поэтому целью данной диссертационной работы является разработка принципиально новых теоретических и практических методов решения задач физической геодезии на основе быстрых линейных преобразований.
Использование спутниковых методов, с применением глобальных навигационных систем GPS и ГЛОНАСС, а также создание глобальной сети станций, непрерывно принимающих сигналы со спутников GPS и ГЛОНАСС, сделало реальным распространение с сантиметровой точностью единой трехмерной системы координат на всей поверхности планеты. Это означает, что поверхность Земли Л' можно считать известной.
Поэтому, в настоящее время, можно перейти от решения третьей краевой задачи физической геодезии ко второй краевой задаче, с известной краевой поверхностью. Современные спутниковые измерения позволяют определять чистые аномалии силы тяжести не менее точно, чем смешанные. Интегральные оценки, выполненные В.В.Броваром, показали, что вычисления трансформант гравитационного поля по формулам, использующим чистые аномалии силы тяжести Sg, снижают ошибки аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса почти в два раза, относительно вычислений, выполненных по смешанным аномалиям Д^.
Таким образом, первым путем повышения точности вычисления указанных трансформант является определение их по формулам, позволяющим использовать чистые аномалии силы тяжести Sg, которые являются функцией широты В, долготы L и геодезической высоты //. Для вычисления аномалии высоты - это интеграл Неймана, а для вычисления составляющих уклонения отвеса - это модифицированный интеграл Венинг-Мейнеса. Дальнейшее повышение точности вычисления указанных трансформант связано с методом вычислений.
Интегралы Стокса, Неймана, интеграл Венинг-Мейнеса и модифицированный интеграл Венинг-Мейнеса, а также последующие члены классических рядов Молоденского являются интегралами двумерной свертки (двумерным уравнением Фредгольма 1 рода). Проведенный анализ современных методов вычисления указанных трансформант показал, что очень эффективно использовать для вычисления указанных интегралов в центральной и ближней зонах метод линейных дискретных преобразований, таких как Фурье, Хартли, Уолша, Уолша-Адамара, Хаара, Карунена-Лоэва, cas-cas и z- преобразования, вейвлет-преобразование. Проверка разработанных подходов и методов проводилась на дискретных преобразованиях Фурье и Хартли, так как эти преобразования имеют наибольшее количество быстрых алгоритмов, эффективно реализующих дискретные преобразования. К тому же, в настоящее время, разработаны спецпроцессоры для данных преобразований.
В задачу диссертационной работы входила разработка двух методов точного определения указанных трансформант: первый связан с вычислением аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса по формуле Неймана и модифицированного интеграла Венинг-Мейнеса в плоской аппроксимации с точностью нулевого приближения и вычисления поправочных членов, которые так же являются интегралами свертки. Здесь разрабатывались методы вычисления поправочных членов, которые вводятся непосредственно в значения чистой аномалии силы тяжести и методы вычисления поправочных членов, которые вводятся в нулевые приближения указанных трансформант.
Второй метод связан с выводом уточненных ядер в рассматриваемых интегралах. Все методы реализуются на основе вычисления интегралов свертки через быстрые алгоритмы преобразований Фурье и Хартли. Поскольку известно, что гораздо эффективнее быстрые преобразования Фурье и Хартли работают, если известны аналитические образы Фурье (Хартли) ядер в указанных интегралах, то ставится задача, на основе теории специальных функций, получить для второго метода соответствующие аналитические образы уточненных ядер.
Естественно, что далее встает задача сравнения обоих подходов по эффективности и простоте вычислительных алгоритмов.
При использовании аппарата спектрального анализа возникает ряд проблем, связанных с циклической и линейной свертками, сдвигом функции, конечностью длины обрабатываемого массива. Поэтому требуется разработать методики учета перечисленных эффектов и дать конкретные рекомендации при реализации разрабатываемых методов.
Использование преобразований Фурье и Хартли позволяет выполнить сравнение этих преобразований по быстроте и удобству их применения для решения задач физической геодезии.
Применение двух преобразований(Фурье и Хартли) создает базу для теоретического обоснования и практической разработки общих принципов и технологических схем, позволяющих строить новые методы и алгоритмы решения задач физической геодезии на основе других дискретных линейных преобразований, например, Уолша, Хаара и родственных им преобразований.
Во многих типах научных расчетов используются свертки, поэтому изучалась возможность использования разрабатываемых методов, алгоритмов и технологических схем для применения их как в смежных областях, таких как геофизика, сейсмология, картографирование планет, гидрология, так и в других областях, например, при распознавании образов, получении и обработки речевых сигналов и изображений, голографичес,ких системах и так далее.
Научная новизна работы заключается в следующих новых теоретических и практических достижениях.
Доказана эквивалентность интегрального решения В.В. Бровара и решения методом аналитического продолжения Марыча-Морица второй краевой задачи в терминах свертки.
Разработаны теория и методы решения задач физической геодезии на основе линейных дискретных преобразований с использованием быстрых алгоритмов, реализующих эти преобразования. Разработки выполнены в двух направлениях:
7 Разработаны методы вычисления поправочных членов, которые выражаются интегралами свертки. Это позволяет определять трансформанты гравитационного поля по строгим формулам теории М.С.Молоденского с точностью нулевого, первого и последующих приближений.
Разработано несколько уточненных ядер для интеграла Неймана и модифицированного интеграла Венинг-Мейнеса. Проведено сравнение скорректированных ядер по точности аппроксимации и удобству использования. Для наиболее эффективных ядер на основе теории непрерывных линейных преобразований Фурье, Хартли и теории специальных функций получены аналитические образы Фурье и Хартли ядер данных интегралов для оптимального использования указанных быстрых преобразований. Проведенные эксперименты показали, что вычисление интеграла Неймана и модифицированного интеграла Венинг-Мейнеса с разработанными образами Фурье(Хартли) уточненных ядер данных интегралов дают точность первого приближения.
При разработке методов возник ряд проблем, связанных с использованием дискретных линейных преобразований. Это переход от циклической свертки к линейной, усечение длины обрабатываемой информации, сдвиг системы координат, шаг дискретизации. Эти эффекты вызывают различные искажения в обрабатываемой информации. Поэтому они были изучены, разработаны методики их учета.
Разработаны и обоснованы общие технологические схемы, позволяющие строить новые методы и алгоритмы решения задач физической геодезии на основе других дискретных линейных преобразований, например, Уолша, Хаара и родственных им преобразований.
Обоснована возможность и целесообразность использования разработанных методов, технологических схем и алгоритмов, как в смежных областях, так и в других областях науки, касающихся цифровой обработки сигналов.
Практическая ценность работы заключается в выполненной разработке новых теоретических и практических методов решения задач физической
8 геодезии, позволяющих вычислять аномалию высоты и составляющие уклонения отвеса по чистым аномалиям силы тяжести с точностью не только нулевого, но первого и последующих приближений, что сложно или практически невозможно сделать другими методами.
Сравнение предлагаемого метода решения задач физической геодезии с традиционными показало, что методы, разработанные на основе алгоритмов быстрых линейных преобразований, за счет своего непревзойденного быстродействия, полностью меняют вычислительно-экономический подход к решению указанных задач. Для 1024-точечного ДПФ объем требуемых вычислений можно снизить в 208,4 раза. Экономия возрастает с увеличением N и для достаточно больших N достигает 99% объема вычислительных затрат стандартного метода. При выполнении ДПФ требуется N2 операций комплексного умножения и сложения. При выполнении БПФ требуется (N/2)\og2N тех же операций. Поэтому выигрыш на вычислениях растет по закону N2 -(N/2)\og2N.
Вычисление трансформант гравитационного поля на основе быстрых преобразований имеет ряд бесспорных преимуществ относительно других методов, поскольку позволяет получать окончательный результат одновременно во всех узлах заданной решетки в реальном масштабе времени и вычислять любой порядок приближения.
Представленные в диссертации результаты экспериментальных работ подтверждают высокую эффективность применения теоретических и практических разработок. При использовании метода быстрых линейных дискретных преобразований точность вычисления указанных трансформант зависит только от точности исходной аномалии силы тяжести и ошибки дискретизации, но эти ошибки присущи всем методам вычислений.
Разработанные технологические схемы и методы вычислений можно использовать при решении задач физической геодезии на основе не только дискретных преобразований Фурье и Хартли, но и других линейных
9 дискретных преобразований. Наиболее эффективно использовать методы, имеющие быстрые алгоритмы своих преобразований.
Интегралы свертки встречаются во многих видах современных расчетов. Поэтому все разработки можно использовать при решении как задач геофизики, сейсморазведки и в других смежных областях, так и в областях обработки речевых сигналов, распознавании образов и т.д.
Апробация работы Основные результаты работы обсуждались на V международной конференции "Молодые ученые - промышленности, науке, технологиям и профессиональному образованию: проблемы и новые решения" (г. Москва, 2005 г.), на 59 Международной юбилейной конференции МИИГАиК (г. Москва 2004) , 58-й и 60-й научно-технических конференциях МИИГАиК (2003, 2005гг.), а также на научных семинарах МГУ им. Ломоносова на факультете ВМК.
Результаты работы опубликованы в 15 научных публикациях.
На защиту выносятся следующие положения
1. Результаты теоретического обоснования решения второй краевой задачи
физической геодезии на основе линейных преобразований с использованием
быстрых алгоритмов, реализующих эти преобразования. Непревзойденное
быстродействие этих алгоритмов, полностью меняет вычислительно-
экономический подход к решению указанных задач.
2. Разработанные методы и алгоритмы вычисления трансформант
гравитационного поля, реализующие теорему о свертке в частотной области с
использованием алгоритмов быстрых преобразований Фурье и Хартли по
формулам плоской аппроксимации в рамках строгой теории М.С.Молоденского
(с точностью нулевого, первого и последующих приближений). Здесь
представлены два направления: для первого созданы методы вычисления
поправочных членов, которые вводятся непосредственно в значения чистой
аномалии силы тяжести, для второго созданы методы вычисления поправочных
членов в рассматриваемые трансформанты гравитационного поля.
3. Полученные уточненные ядра в интеграле Неймана и модифицированном
интеграле Венинг-Мейнеса, которые необходимы для повышения точности их
плоской аппроксимации.
4. Выведенные аналитические образы Фурье и Хартли ядер для
вышеуказанных интегралов, что значительно упрощает алгоритмы вычисления
трансформант гравитационного поля.
. 5. Созданные метод и алгоритмы, использующие уточненные ядра, которые дают в результате точность первого приближения.
6. Разработанные общие принципы и технологические схемы, которые
с одной стороны позволяют строить новые методы и алгоритмы решения задач физической геодезии на основе других дискретных линейных преобразований, например, Уолша, Хаара и родственных им преобразований, которые в данной работе подтверждены на примере использования преобразований Фурье и Хартли.
с другой стороны могут использоваться как в смежных областях (сейсмографии, гравиразведке, магниторазведке, геофизике и т.д.), так и в других областях науки, касающихся цифровой обработки сигналов, например, голографии, распознавании речи и образов и т.д.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав основного текста, заключения, списка литературы и 19 приложений. Общий объем работы - 400стр., из них 314 страниц машинописного текста без списка литературы и приложений. Диссертация содержит 40 рисунков, в том числе 7 диаграмм, 8 таблиц. Список литературы составил 218 наименований, из них 104 на иностранных языках.
Классические подходы к решению краевых задач физической геодезии
Краевые задачи физической геодезии тесно связаны с краевыми задачами математической физики. Многие задачи математической физики приводят к дифференциальным уравнениям в частных производных. Наиболее часто встречаются дифференциальные уравнения второго порядка.
Задачи математической физики делятся на динамические (содержащие в дифференциальных уравнениях время) и статические (стационарные).
Динамические задачи делятся на две группы: одни содержат вторую производную по времени и входят в группу уравнений гиперболического типа, другие содержат только первую производную по времени и входят в группу уравнений параболического типа.
Дифференциальные уравнения с обыкновенными и5 тем более с частными производными имеют бесчисленное множество решений. Для уравнений же в частных производных решение, вообще говоря, зависит от некоторых произвольных функций. Поэтому, для однозначной характеристики процесса необходимо присоединить некоторые дополнительные условия. В качестве дополнительных условий выступают, прежде всего, краевые условия: начальные (данные Коши) и граничные. Встречаются и другие формы дополнительных условий, когда, например, задаются значения функции в двух точках. Для уравнения в частных производных возможны также различные формы дополнительных условий. Эти условия, как и сами дифференциальные уравнения задачи, вводятся из физических соображений. С другой стороны, эти дополнительные условия должны обеспечить выделение из всего множества решений единственное. Таким образом, дополнительные условия призваны сохранить существование и обеспечить единственность решения.
Приведем общую формулировку понятий краевых условий и краевой задачи. Пусть GcK" - область, где происходит процесс (R" - и-мерное вещественное евклидово пространство) и S - ее граница, которую считаем кусочно-гладкой поверхностью. То есть, G есть область задания уравнения, й пусть дано некоторое дифференциальное уравнение в частных производных
На всей границе S или на некоторой ее части задаются значения одного или нескольких дифференциальных выражений от искомой функции
Уравнение (1.2) называют краевыми условиями, а задача об интегрировании дифференциального уравнения (1.1) при краевых условиях (1.2) называется краевой задачей.
Отметим, что при решении краевых задач необходимо, во-первых, убедиться в том, что дополнительные условия достаточны для выделения однозначного решения. Это достигается доказательством теоремы единственности. Во-вторых, надо убедиться, что среди дополнительных условий нет несовместных. Это достигается доказательством теоремы существования. Доказательство существования решения тесно связано с методом нахождения решения, то есть зачастую существование решения доказывается самим его построением.
Для уравнений разных типов дополнительные условия ставятся по-разному. В случае динамических задач задаются начальные условия и условия на границе изучаемого объекта - так называемые граничные (краевые) условия. Как правило, на границе задаются либо значения самой неизвестной функции, либо значения ее производной по нормали к границе, либо линейная комбинация значений самой функции и ее нормальной производной.
Стационарные задачи не требуют начальных условий, а требуют только краевые условия. Различают следующие три основных типа краевых задач для дифференциальных уравнений: Смешанная задача для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются и начальные, и граничные условия, G R". Заметим, что различие в типах рассматриваемых уравнений тесно связано с различием физических процессов, описываемых этими уравнениями.
Среди стационарных задач математической физики наиболее важными для приложений являются краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка
Это обычная задача интегрального исчисления. Но даже в случае тел с постоянной плотностью интетрал (1.7) в элементарных функциях въфажается только для некоторых областей г простейшего вида (например, для шара или эллипсоидов вращения). Причем для эллипсоидов окончательные формулы очень громоздки и неудобны для практических приложений. Усилиями классиков (Гаусс и другие) интегралы по объему, выражающие потенциалы однородных трехосных эллипсоидов были сведены к поверхностным интегралам. При вычислении внутреннего потенциала интегралы по объему можно свести к одномерным интегралам (результаты Лагранжа, Гаусса, Дирихле и другие). Внешние потенциалы эллипсоидов вычисляются на основании внутренних, путем надлежащим образом составленных пропорций, следующих из теорем Лапласа, Айвори и Маклореыа о притяжении эллипсоида.
Общим решением внешней прямой задачи теории потенциала для классических видов потенциала может считаться разложение потенциала в ряд шаровых функций, коэффициенты которого легко вычисляются по известным форме и плотности притягивающих масс. Причем точка, в которой вычисляется потенциал, предполагается находящейся за сферой, ограничивающей массы. Обратные задачи теории потенциала очевидным образом связаны с прямыми задачами. В обратных задачах потенциал считается заданным в некоторой области пространства, требуется найти форму и плотность тела, его образующего. Это общая обратная задача теории потенциала. Если известны потенциал и форма тела, а определяется плотность, то это геофизическая или гравиметрическая обратная задача. Если известен потенциал и плотность (например, она принимается постоянной или игнорируется постановкой задачи), а определению подлежит форма тела, то задача является обратной геодезической.
Указанные традиционные обратные задачи теории потенциала имеют аналитическую сущность, так как исследование любой из них требует рассмотрения объемного потенциала (1.7). В случае геофизической задачи, когда потенциал V и поверхность S тела г известны, это выражение относительно искомой плотности 5 масс тела является линейным интегральным уравнением / рода. В случае геодезической задачи, то есть при заданных потенциале V и плотности 8{ например, 5 = const ), выражение (1.7) относительно уравнения поверхности г = f( p, Л) превращается в нелинейное интегральное уравнение также / рода.
Одномерное и двумерное непрерывные преобразования Хартли 2.2 Дискретизация и квантование
Для практических целей, например, при создании карт изоаномал, часто необходимо использовать двумерное БПФ [20,34]. Многомерные преобразования Фурье естественно возникают в тех задачах, которые по существу многомерны. Но они возникают и искусственным путем в некоторых алгоритмах для вычисления одномерного преобразования Фурье. Простейшей конструкцией двумерного преобразования Фурье является выполнение двух независимых одномерных преобразований Фурье, применяемых последовательно вдоль каждой из осей двумерной таблицы. Например, можно перенести на двумерный случай одномерный алгоритм Кули-Тьюки, применяя его сначала к каждому столбцу, а затем к каждой строке. Заметим, что все быстрые алгоритмы вычисления одномерных дискретных преобразований в готовом виде можно перенести на двумерный случай. Собственно двумерные алгоритмы возникли позже. Двумерное разбиение типа Кули - Таки было предложено Райвордом (Rivard G.E.) [188] и обобщено в работе Харриса (HarrisD.B.), Маккелана (McCLeLLan J.H.), Чэна (Chan D.S.K.) и IIlycnepa(Schuessler Н. W.) [155]. Алгоритм Райворда [188] использует метод с векторным основанием. В этом методе двумерное ДПФ разбивается на последовательно упрощающиеся двумерные ДПФ о тех пор, пока задача не сведется к вычислению тривиальных двумерных ДПФ. В этом случае количество операций комплексного умножения равно 3/4N2hg2N, что на 25% меньше по сравнению с разложением по строкам-столбцам.
Унификацию различных двумерных алгоритмов БПФ Кули - Таки описали Мерсере (Mersereau R.) и Спик (Speake Т. С.) [172]. С целью создания более эффективной упаковки алгоритмов Виноград (Winograd S.) [217] предложил гнездовой метод соединения своих малых одномерных алгоритмов. Созданные им двумерные алгоритмы оказались пригодными не только для эффективного построения одномерных алгоритмов, но и для двумерных преобразований Фурье. Дальнейшее развитие гнездовой метод Винограда получил в работах Колбы (Kolba D.P.) и Паркса (Parks T.W.) [164] , а также Сильвермена (Silverman Н. F.)[196]. Джонсон (Johnson Н. W.) и Баррас (Burras C.S.) [162] рассмотрели алгоритмы промежуточные между БПФ-алгоритмом Гуда-Томаса и БПФ-алгоритмом Винограда. БПФ-алгоритмы Джонсона-Барраса представляют собой целое семейство гнездовых алгоритмов, включающие в себя методы Гуда-Томаса и Винограда в качестве двух экстремальных случаев. Идея БПФ-алгоритма Джонсона-Барраса состоит в модернизации использования кронекеровского произведения для переупорядочивания последовательности вычислений.
Алгоритм одномерного БПФ достигает своей вычислительной эффективности благодаря процессу "прореживания". Двумерный алгоритм БПФ идентичен этому подходу. Так, например, если число членов двумерного ДПФ является степенью двух, то его можно представить как комбинацию двух двумерных ДПФ половинной длины, каждая из которых заменяется комбинацией двух двумерных ДПФ в одну четверть длины и так до тех пор, пока не останется двумерное ДПФ размером 2x2.
Рассмотрим вычисление двух ДПФ размером 2x2 с использованием БПФ. Для этого будем использовать метод децимации по времени. Пусть функция q{x,y) задана на регулярной сетке размером MxN, тогда ее Фурье-преобразование будет иметь вид [75]
Обратимся к выражению (2.83), но для простоты предположим, что интервалы дискретизации Ах = Ау - \. Заметим, что для рассматриваемого случая М = N. Тогда процесс суммирования ДПФ выражения (2.83) можно разбить на 4 суммирования : первое по отсчетам д для к и / четных; второе для к - четных, а /- нечетных; третье - для к -нечетных, а / - четных; четвертое - для к и / нечетных. Это дает
Схема вычислений по формулам (2.89) -ь (2.92) называется "бабочкой" по основанию 2x2. Отдельно "бабочка" по основанию 2x2 показана на рис.4 [11]. Каждая "бабочка" требует выполнения трех комплексных умножений и восьми комплексных сложений. Если N представляется в виде степени 2, то процедуру "прореживания" можно повторить log2N раз, причем каждый этап прореживания содержит N14 "бабочек".
Алгоритм БПФ можно видоизменить в соответствии с приемами, используемыми в матричном исчислении. Такой подход для объяснения БПФ был предложен Мак-Кованом (McCowan D.W.)[170]. Дальнейшее развитие этот подход получил в работе Тейлхеймера (Theilheimer F.)[211].
Матричные модификации БПФ могут реализовываться как на ЭВМ общего назначения, так и на спецпроцессорах. Представим векторно-матричную форму прямого одномерного ДПФ в виде
Представление интегральных уравнений возмущающего потенциала и компонентов уклонения отвеса
Классическая теория физической геодезии, в которой рассматривается строгое решение непрерывной граничной задачи геодезии, получила законченное оформление в исследованиях М.С.Молоденского. Эти исследования открыли возможность достижения при определении фигуры Земли точности, лимитируемой лишь наличием и точностью используемых физических данных.
В данной главе рассмотрены классические интегральные формулы, позволяющие вычислять трансформанты гравитационного поля по чистым аномалиям силы тяжести. Также рассмотрено решение, основанное на аналитическом продолжении посредством ряда Тейлора. Поскольку все представленные интегралы являются интегралами свертки, то эти уравнения выражены также в терминах свертки, что в свою очередь позволяет их выразить через линейные преобразования Фурье (Хартли).
Основные результаты заключаются в следующем - Рассмотрено интегральное решение В.В.Бровара, в котором он представил возмущающий потенциал Т в виде потенциала простого слоя, а для определения плотности Я использовал краевое условие (3.4). Приближения для возмущающего потенциала и плотности получены методом разложения по степеням высот. - Здесь же рассмотрен метод определения элементов гравитационного поля, не требующий решения интегральных уравнений и основанный на аналитическом продолжении аномалии силы тяжести, посредством ряда Тейлора, к уровню исследуемой точки (или к некоторой внутренней сфере). Этот метод одновременно разработали М.И.Марыч и Х.Мориц. В подразделе 3.1.2 подробно рассмотрен оператор п -кратного вертикального дифференцирования 1я, так как он играет основную роль в указанном методе. Все формулы представлены для вычислений по чистым аномалиям силы тяжести.
Автором диссертационной работы формулы определения возмущающего потенциала в обоих методах представлены в терминах свертки и доказана почленная эквивалентность этих методов в терминах свертки.
Формулы вычисления трансформант гравитационного поля с точностью нулевого приближения дают удовлетворительный результат только для равнинных мест. Для вычислений с точностью первого приближения разработаны две группы формул. Первая основана на введении поправок непосредственно в значения чистых аномалий силы тяжести. Вторая группа вычисляет поправочные члены , и в нулевые приближения указанных трансформант 0 и rj0.
Наибольшую поправку в формулы нулевого приближения при вычислении аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса дает поправочный член Gx, учитывающий рельеф и определяемый в случае чистых аномалий по формуле (3.66), в которой используется вспомогательная функция Хй. В диссертационной работе сделан вывод формулы (3.84) этой вспомогательной функции. Разработаны алгоритмы вычисления указанных трансформант гравитационного поля с учетом данной поправки.
Представлены формулы вычисления аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса с точностью первого приближения методом аналитического продолжения путем введения поправки g,, определенной по формуле (3,89), в значения чистых аномалий силы тяжести. Часто на практике вместо gx вычисляют поправку с по формуле (3.217).
Интегралы (3.66), (3.89), (3,217) являются интегралами свертки. Поэтому здесь представлены формулы, позволяющие выполнить их вычисления на основе дискретных линейных преобразований Фурье и Хартли.
Представлены формулы вычисления аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса с точностью первого приближения, когда поправочные члены дхЛ\, Л\ прибавляются в нулевые приближения указанных трансформант.
Для вычисления указанных трансформант методом аналитического продолжения с точностью более высокой, чем точность первого приближения разработаны формулы свертки для вычисления поправочных членов gn (вплоть до л-го порядка).
Представлено градиентное решение вычисления аномалии высоты (3.204) и компонентов уклонения отвеса (3.205).
В 3.2.5 и 3.2.6 в терминах свертки представлены формулы, но которым можно вычислить поправочные члены в формулы нулевого приближения указанных трансформант до третьего приближения.
Все указанные формулы после представления их в терминах свертки представлены также через преобразования Фурье. Заметим, что для преобразования Хартли эти формулы имеют аналогичный вид, только вместо преобразования Фурье требуется выполнять преобразование Хартли.
Для упрощения вычислений интегралов свертки представлен аналитический вывод ядер в плоской аппроксимации. Формулы определения аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса, представленные через линейные преобразования Фурье, использовались при разработке соответствующих алгоритмов вычисления. Заметим, что хотя в формулы представлены через преобразование Фурье, но все они годятся и для преобразования Хартли.
Коррекция функции Неймана при вычислении аномалии высоты
В данной диссертационной работе проводились исследования и подбор двумерного окна. Исследовались окно Кайзера-Бесселя (5.38) и косинусное окно (5.40). Для исследования действия косинусного окна значения параметра Ъ выбирались из интервала от 0.17 до 0.86 . При 6 0.30 значения отсчетов на границах снижаются очень резко. При 0.5 сильно уменьшается число отсчетов, на которое накладывается единичное значение. На рис.35 проиллюстрированы виды исследуемых окон при разных параметрах Ъ. Проведенные исследования показали, что для двумерного массива размером 64x64 и менее при использовании косинусного окна оптимально брать Ъ = 0.35. Это позволяет увеличить размер получаемой полезной информации. На рис.30 полезная информация заключена в заштрихованной внутренней области размером 17x17 (пересечение столбцов и строк с номерами 8 и 24), Использование временного косинусного окна позволяет увеличить объем полезной информации до массива размером 22x22 (пересечение столбцов и строк с номерами 6 и 26 включительно). Этот результат показан на рис.34. Окно Кайзера-Бесселя исследовалось при различных значениях р. Управляющий параметр /7 отвечает за спад вырезающей функции на краях (во временной области). С ростом /7 доля энергии, сосредоточенная в главном лепестке спектра увеличивается (и тем шире этот главный лепесток), а уровень боковых лепестков уменьшается. На практике используют значения 0 от 4 до 9. При р = 4 главный лепесток имеет ширину 1.75 (за единицу принято расстояние между соседними каналами частотного анализа). При 0 = 9 главный лепесток расширяется примерно до 3.2. Таким образом, меняя числовой параметр 0, можно найти компромисс между уровнем боковых лепестков S и шириной основного лепестка д. Наличие параметра 0 делает окно Кайзера-Бесселя практически универсальным. Заметим, что при 0 = 0 функция Кайзера соответствует прямоугольной весовой функции, а при 0 = 5.44 функция похожа на функцию Хэмминга, хотя и не идентична ей. Окно Кайзера-Бесселя исследовалось при различных значениях 0. На рис.36 представлен вид окна Кайзера-Бесселя (вверху) и его амплитудный спектр (внизу) для 0 = 4 (сплошные линии) и 0 9 (пунктирные линии). Для случая массива размером 32х32( исходная информация ), можно рекомендовать использование окна с 0 = 6.28. Использование окна Кайзера-Бесселя подобно косинусному окну позволяет увеличить размер получаемой полезной информации. Так окно Кайзера-Бесселя с управляющим параметром 0 = 62% увеличивает объем полезной информации до массива размером 22x22 (это показано на рис. 31 двукратным заштрихованным массивом, пересечение с 6 но 26 строк и столбцов). Поэтому для практического использования можно рекомендовать как косинусное окно с Ь = 0.35, так и окно Кайзера-Бесселя с 0 = 6.28.
При выполнении преобразования Фурье над массивом х(п) (или преобразования Хартли, если функция х(п) вещественная) важно знать интервал задания функции. Обычно неявно предполагается, что массив задан на интервале (0,iV-l). На практике, например при решении задач физической Рассмотрим это на примерах: І.Для функции х(п), заданной на интервале (0,N-\) (см. рис.37) теорему сдвига применять не нужно, так как образ Фурье Х(к)(шт образ Хартли Н(к)) получаем на том же интервале. 2. Если мы имеем функцию х{п) (рис.38а), заданную на интервале (т,1), где т 0, то прежде чем выполнить преобразование Фурье (или Хартли) Необходимо сдвинуть вправо начала координат. Тогда получим вспомогательную функцию х(п), заданную на интервале (0,1-т), которая имеет образ Фурье Х(к). Согласно теореме о сдвиге образ Фурье функции, заданной на интервале (т,1) будем определять по
В данной диссертационной работе все вычисления проводились с двумерными массивами данных. Значения чистых аномалий силы тяжести dg располагаются в узлах регулярной сетки, причем начало системы координат находится в центре массива. Ось х направлена с запада на восток, а ось у - с севера на юг (см. рис.39). Поэтому, исходя из выше сказанного, необходимо сдвинуть систему координат по двум осям: по оси ОХ на х0 единиц вверх по оси OY, На рисунке это соответствует системе координат х о у . Таким образом, мы получим вспомогательную функцию/(г + х0, + 0). Согласно теореме о сдвиге, чтобы получить образ Фурье F(u,v) вспомогательной функции необходимо образ Фурье G(u, v) исходной функции умножить на две экспоненты ехр(у2ж)1х0) и ехр(_/2лі и у0), которые учитывают сдвиги по двум осям, то есть
Заметим, что для того чтобы получить обратное преобразование Фурье несмещенной функции необходимо сначала умножить F(u,v) на экспоненты ехр(-/2жих0) и exp(j2w„y0), а потом сделать ОПФ. При вычислении образов Фурье (Хартли) ядер R(u,v), Lg{u,v) ,Ь?(и,у), L (u,v) аналитически располагаем начало координат в спектральной области в левом верхнем углу. Ось и направлена вправо, а ось v - вниз (см. рис. 40 для N = $).
Все рассуждения справедливы и для преобразования Хартли, которое в этом двумерном случае определяется по формуле H(u,v) - СОЭ2Я-(Х0ЙЧ + y0vJH(u, У) - йп2л(хаи„ + y0vn)H(-u-v) . ( 5.48 ) В разработанных алгоритмах преобразования Фурье (Хартли) сдвиг функции можно не учитывать, так как он компенсируется при обратном преобразовании Фурье (Хартли). 5.7 Взаимосвязь преобразований Фурье и Хартли Хартли-преобразование получают из интеграла Фурье путем замены экспоненциальной функции ехр(-шг) = cos&t-ism at на функцию cascol = cosmt + sin гм. Взаимосвязь преобразований Фурье и Хартли базируется на свойстве симметрии. Также установлено взаимно однозначное соотношение между ДПФ и ДГТХ. Преобразование Фурье превращает вещественную функцию времени /(/) в комплексную функпию частоты X(f), имеющую действительную X(f) часть и мнимую Y(f). В случае действительных сигналов преобразование Фурье избыточно (вырождено). Вырождение ГТФ имеет место и для БПФ (происходит превращение N значений в 2N (по Л" значений для действительной и мнимой части), в которых только N взаимно независимых. Таким образом, ДПФ имеет только ./V" степеней свободы, несмотря на то, что имеется 2N вещественных коэффициентов. ПХ, ДПХ и БПХ предложены как методы, которые избегают этого вырождения вследствие симметрии. ПХ преобразует вещественную функцию времени S(t) в вещественную функцию частоты S(f), а алгоритм БПХ преобразует N значений дискретного сигнала в N взаимно независимых действительных значений и использует меньшее число операций, чем БПФ. Преобразование Фурье можно представить как разность четной составляющей преобразования Хартли и нечетной составляющей, умноженной на і; напротив, преобразование Хартли определяется как разность вещественной и мнимой составляющих преобразования Фурье
