Содержание к диссертации
стр.
ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА 1. КАЧЕСТВЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ
ДВИЖЕНИЯ 14
1.1 Исследования устойчивости движения 18
Определение устойчивости 18
Исходные формулы 19
Стационарные точки 22
ГЛАВА 2. МЕТОДЫ СЕПАРАЦИИ В РЕЗОНАНСНОЙ ЗАДАЧЕ 28
Исследования с использованием аппарата теории бифуркаций 28
Характеристика зон либрации в зоне острого резонанса и их сепарация 30
Идеальная резонансная проблема 33
2.4 Общая резонансная проблема 34
ГЛАВА 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АМПЛИТУД И ПЕРИОДОВ КОЛЕБАНИЙ.. ..39 ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБЩЕЙ РЕЗОНАНСНОЙ
ПРОБЛЕМЫ 48
Постановка задачи 48
Выбор начальных условий 49
Методика выбора метода численного интегрирования 51
Интегрирование уравнений движения 55
Алгоритм решения системы дифференциальных уравнений с осреднением долгопериодических колебаний 55
Численное решение дифференциальных уравнений
резонансного движения 59
4.5 Оценка точности полученного решения, аппроксимация и
устойчивость схемы Эверхарта 63
4.5.1 Устойчивость численной схемы Эверхарта 63
4.5.2 Ошибка аппроксимации, выбор оптимального шага
интегрирования и количество разбиений в подшагах 66
4.6. Учет и использование резонансных эффектов в спутниковой
градиентометрии 70
4.6.1. Учет резонансных возмущений 70
4.7 Методика определения долготных коэффициентов гравитационного
поля Земли 77
Сепарация резонансных гармоник 77
Требования, предъявляемые к острорезонансным спутникам и их выбор 79
Выбор аппроксимирующей функции 80
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 86
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 88
ПРИЛОЖЕНИЯ 91
Введение к работе
% С запуском первого искусственного спутника Земли началось освоение
космического пространства и, вместе с тем, открылись новые возможности для решения задач теоретической и практической геодезии, а у науки «Геодезия» появилась новая предметная область — «Космическая Геодезия».
Методы, которые использует «Космическая Геодезия» формально можно разделить на два класса:
— геометрические
- динамические
Роль, как первых, так и вторых при решении задач геодезии трудно переоценить. На современном этапе развития Космической Геодезии, геометрические методы нашли свое применение в спутниковых* навигационных системах GPS и ГЛОЕАСС, радиоинтерферометриических наблюдениях квазаров, лазерной локации и т.д., а динамические, в реализации общего динамического метода по определению параметров гравитационного поля Земли, спутниковой градиентометрии, альтиметрии, системах спутник - спутник, и т.п.
Реализация динамических методов опирается на аналитический аппарат небесной механики. Согласно теории движения искусственных спутников Земли, как следствие классической небесномеханической теории, малые возмущающие факторы вызывают малые изменения в движении ИСЗ. Исключением из этого правила являются ИСЗ с резонансными орбитами. У таких спутников, при малых возмущающих факторах наблюдаются сильные, хорошо сепарируемые долгопериодические возмущения (порядка нескольких лет).
Построение методов динамической геодезии, которые используют спутники с резонансными орбитами условно можно разделить на два этапа.
Первый этап (прямая задача) начался развиваться в 70 - х годах прошлого столетия. Задача решалась для спутника - геостационара
(соизмеримость 1\1), а затем и для навигационных спутников GPS (соизмеримость 1\2). Цель задачи - учет действующих резонансных возмущений в движении ИСЗ. Эти исследования проводились небесными механиками (Japp, Garfinkel, Тимошкова, Уральская и др.), и к решению геодезических задач были мало пригодны.
Второй этап (обратная задача) по времени относится ко второй половине 70 — х, первой половине 80-х годов прошлого столетия. Задача решалась исключительно в геодезических целях. Цель данной задачи, как и в классической теории динамических методов, - по возмущениям в движении ИСЗ определять некоторые параметры гравитационного поля Земли, а именно, резонирующие гармонические коэффициенты. В изучении данной проблемы большой вклад внесли Яшкин [24], Allan [25], Klokocnik [31], и др.
Опишем вкратце суть резонансных возмущений. Само явление резонанса хорошо знакомо и часто встречается в повседневной жизни (классический пример - качели) и возникает в случае, если соотношение собственной частоты колебаний системы и частоты внешней периодической силы принадлежит множеству рациональных чисел. Применительно к движению ИСЗ это соотношение выглядит следующим образом:
д=П*+П*+П«, (1)
«в
здесь ns - среднее движение ИСЗ, пп— среднее движение линии узлов, па — среднее движение линии аспид и п@— средняя угловая скорость вращения Земли. При q е О, где Q - множество рациональных чисел, возникает резонансный эффект. Заметим, что значение q принадлежит более широкому множеству чисел. Это утверждение основано на теореме КАМ [2], суть которой заключается в следующем:
Пусть при Якобиане частот, не равном нулю:
да>1
*0 (2)
торы, для которых отношение частот фх1со2 является достаточно хорошим иррациональным числом, т.е.
сох т
k4U (*(*-> 0)-0), (3)
о)2 s
>
где т и s - взаимно простые числа, тогда под действием малого (е D 1) возмущения еН1 торы остаются устойчивыми.
Данное явление можно проиллюстрировать, перейдя к конформному отображению на тор.
Рис. 1 Инвариантный тор На рис ах — частота, соответствующая вращению Земли, а2 — частота, соответствующая суммарному среднему движению узлов, перицентра и ИСЗ. Качественно, поведение ИСЗ, характеризуется топологией кривой /, которая принципиально может быть описана двумя типами.
- qQ, тогда кривая у всюду плотно покроет обмотку тора. Возможность описания такого движения возникло благодаря теории КАМ (Колмогоров - Арнольд — Мозер) [2].
- q є Q, тогда кривая / будет замкнута, и интуитивно понятно, что классические теории небесной механики не описывают данное явление. Математическое описание таких систем основано на идеях С.Ньюкома, К.Л.Зигеля и А.Н.Колмогорова.
Сделаем замечание относительно замыкания кривой у. Кривая у размерности единица, расположена на поверхности двумерного тора, имеет в
этом пространстве Лебегову меру нуль. Следовательно, вероятность того, что она будет замкнута, также равняется нулю. Этот факт можно сформулировать иначе. Вероятность появления рациональных чисел, как следствие их счетности, в левой части равна нулю (множество иррациональных чисел несчетно). Доказательство этого утверждения, как правило, проводится на отрезке [0;1], а перейти на отрезок [0;1] можно, выбрав соответствующее отображение. Следовательно, говорить о точном замыкании кривой у мы не в праве. Тем не менее, если ввести метрику, как минимальное расстояние г на торе между концами у при ах =2я, то можно говорить об є - замыкании у. Т.е. будем говорить, что при г < є кривая у є - замкнута. Причем, при
г < єх (4)
система имеет резонанс первого порядка, или, говоря устоявшимися терминами - острый резонанс. Где єх - заданное значение. Если же расстояние г принадлежит кольцу
ех < г <е2, (5)
то говорят, что система имеет слабый резонанс (резонанс второго порядка). Математическая сущность явления слабого резонанса, в небесной механике, выражается следующим соотношением:
So = J]^cos{dnm(t-tQ)+
здесь <5э - возмущения в элементах орбиты, а величина
4ш = KnS + к2ПС1 + кЪПш - "W » (7)
изоморфна введенному расстоянию г на торе. Как видно из (6), что при dnm -> 0 возмущения в элементах орбиты будут бесконечно возрастать. И, следовательно, при dnm -»0, уравнение (6) уже не описывает резонансное
явление. Иначе говоря, формула (6) справедлива при некоторых ограничениях (5). Для описания острого резонанса (условие (4)) вводят соответствующую замену переменных, и, прежде всего, избавляются от dnm,
так, чтобы в возмущениях элементов орбиты не возникало неопределенностей. Алгоритм перехода от Кеплеровых элементов орбиты к резонансным элементам будет описан в четвертой главе.
Отметим основные, уже имеющиеся результаты, полученные при решении задачи движения ИСЗ по острорезонансной орбите.
- получено, в аналитическом виде, решение идеальной резонансной проблемы;
- обоснован и выбран наиболее оптимальный метод построения резонансной теории;
- построена резонансная гравитационная теория ИСЗ для случая острого резонанса, пригодная ко всему диапазону используемых в космической геодезии ИСЗ;
- исследованы возможности использования созданной резонансной теории для. уточнения положения начала и ориентировки геодезических систем координат;
- создана и апробирована методика определения коэффициентов долготных гармоник гравитационного поля Земли по наблюдениям острорезонансных ИСЗ.
Таким образом, опираясь на результаты, полученные при решении острорезонансной проблемы (Яшкин [24], Japp [30], Garfmkel [28], Allan [25], и др.), сформулируем основные научные задачи, которые ставятся в данной диссертационной работе:
- выполнить качественное исследование движения ИСЗ вблизи острого резонанса и зависимость этого движения от значений резонансных индексов;
- исследование возможности сепарации резонирующих гармоник. Эта проблема возникла в связи с решением задачи, основанной на идеальной резонансной проблеме, и суть ее состоит в следующем: Гамильтониан задачи представляют в виде
F = 4(x)+^2(x)cos(y), (6)
где л: - медленная переменная, у - быстрая; а А2 (x)cos(y) есть результат следующей операции:
А2 (x)cos(y) = Ат {x)cos{nl + п(рт )+Д,+1 „ (x)cos(nl + (п +1 V„+1)») + - (7)
то есть В; амплитуду и период резонансных возмущений входят все гармоники: основного резонансного ряда, и как следствие, количество неизвестных больше числа зависимостей;
- определить амплитуды и периоды резонансных возмущений в области сепаратрис Описание движения ИСЗ в. области сепаратрис является особым случаем - так как,в этой области уже не действует, какрезонансная? теория, так и классическая: В самом деле, по введенной выше терминологии, область сепаратрис определяется числом єх, но это число не входит ни в область острого резонанса, ни в область слабого резонанса. Поэтому, такие исследования носят не только теоретический; но и практический интерес;
- построить численные решения движения ИСЗ в близи, острого резонанса; с выбором оптимального метода и шага интегрирования; Определения по этому движению основных характеристик движения -амплитуд и периодов, и, как следствие, определение по этим характеристикам - соответствующих коэффициентов разложения гравитационного поля Земли.
5 - разработать и описать методику по использованию
острорезонансной теории движения и на её основе создать методику по
определению соответствующих коэффициентов геопотенциала. Составить и
реализовать программу на базе разработанных алгоритмов.
Заметим, что при разработке методики по использованию острорезонансного> эффекта в работе не были учтены негравитационные факторы (сопротивление атмосферы, солнечная, радиация и т.д.). Этот пробел связан с удачными разработками западных инженеров и ученых, в результате которых при помощи специально разработанных акселерометров с необходимой точностью учитывают все негравитационные силы. Данная установка была успешно апробирована на проекте GRACE [27].
Отметим важность и актуальность данного исследования
применительно к настоящему моменту. Сегодня, самые высокоточные технологии в определении коэффициентов разложения гравитационного поля Земли — это методы спутниковой градиентометрии. Максимум точности, при определении коэффициентов разложений приходится на порядок, близкий к п,т « 90(рис. 2), и уже при п,т < 45 дает неудовлетворительные результаты.
l полный тензор градиентометрии
Н=160км
сек частота отчетов
оборотов -2
n,m
f10"ZE=10-12m/c2.
Рис. 2 Зависимость СКО определения коэффициентов разложения от степени
гармонических коэффициентов.
С другой стороны, классические методы динамической геодезии, позволяют определять гармонические коэффициенты до порядка «,т«30. При п,т є[30;45] оба метода дают результаты с погрешностью неудовлетворяющей современным требованиям. Этот пробел предполагается заполнить методами определения гармонических коэффициентов по наблюдениям острорезонансных ИСЗ. Кроме того, эти методы могут с успехом использоваться при уточнений коэффициентов п,те [30,45].
Другим важным обстоятельством использования резонансной теории — учет резонансных эффектов ИСЗ используемых при уточнении' моделей гравитационного поля (спутниковая альтиметрия и спутниковая градиентометрия). В частности, в 2002 году, в рамках уточнения гравитационного поля Земли были реализованы 2 проекта спутниковой градиентометрии CHAMP и GRACE. Эти спутники, вследствие атмосферного торможения, проходили зону острого резонанса с соизмеримостью 3\46, 5\77, 2\31, 5Y78, 3\47 [29].
Научная новизна работы заключается в следующих теоретических и практических достижениях:
разработаны численные схемы для исследования на устойчивость по Ляпунову системы дифференциальных уравнений, описывающих резонансное движение;
на основе теории бифуркаций рассмотрена возможность сепарации возмущений резонансного ряда;
разработана методика сепарации основного и удвоенного, утроенного и т.д. резонансного ряда;
— получено аналитическое решение дифференциальных уравнений'
острого резонанса в области сепаратрис;
на основе численного метода интегрирования Эверхарта, получено численное решение дифференциальных уравнений резонансной орбиты;
получен общий вид интерполяционного полинома, построенного на основе линейно независимых функций. В качестве базисных элементов, взята система эллиптических функций Якоби, наиболее полно описывающих резонансную проблему.
Практическая значимость работы заключается, прежде всего, в уточнении значений долготных коэффициентов разложения гравитационного поля Земли. Предполагаемая точность определения секториальных гармоник по резонансным возмущениям, как показала практика таких определений [26] находится на уровне точности определения коэффициентов четных
зональных гармоник общим динамическим методом с использованием вековых возмущений.
Исследована численная схема Эверхарта, что позволяет, формально, применять эту схему интегрирования уравнений движения при решении периодических задач.
Реализация основных результатов В рамках теории- движения вблизи острого резонанса разработан и реализован алгоритм решения дифференциальных уравнений движения. По этой реализации получены основные характеристики резонансного движения - амплитуды и периоды, как основной резонансной последовательности, так и удвоенной. Получена зависимость движения ИСЗ в области сепаратрис. Разработана и отлажена методика определения долготных коэффициентов по наблюдения ИСЗ имеющих резонансные орбиты.
Все численные расчеты и сложные символьные вычисления-производились в программной среде компьютерной математики MatLab.
Апробация работы Основные результаты работы обсуждались на 62 — й научно - технической конференции МИИГАиК (2007г), а также на заседаниях кафедры «Астрономии и Космической Геодезии» МИИГАиК.
Результаты работы опубликованы в 3 научных публикациях.
На защиту выносятся следующие положения
Результаты качественных исследований дифференциальных уравнений движения вблизи острого резонанса.
Разработанные алгоритмы и методы сепарации долготных коэффициентов внутри основной резонансной последовательности.
Разработанные алгоритмы и методы сепарации долготных коэффициентов основной и удвоенной, утроенной и т.д. резонансной последовательности.
Выведенная функциональная зависимость острорезонансного движения вблизи сепаратрис.
5. Разработанная методика определения долготных
коэффициентов на основе численного решения методом
Эверхарта.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из
введения, четырех глав основного текста, заключения, списка литературы.
Общий объем работы - 100 страниц, из них 87 страницы без списка
литературы и 10 страниц приложения. Диссертация содержит 20 рисунков и
2 таблицы. Список литературы составил 31 наименование, из них 7 на
английском языке.
