Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Теория учёта приливных эффектов 9
1.1 Постановка задачи 9
1.2 Твёрдые земные приливы
1.2.1 Приливообразующий потенциал 12
1.2.2 Гармоническое разложение приливообразующего потенциала 16
1.2.3 Потенциал твёрдых земных приливов 21
1.2.4 О поправках в числа Лява 23
1.2.5 Учёт влияния твёрдых земных приливов 26
1.2.6 О постоянном приливе 33
1.3 Океанические приливы 34
1.3.1 Потенциал океанических приливов 34
1.3.2 Модели океанических приливов 39
1.3.3 Учёт влияния океанических приливов 45
1.3.4 О коэффициентах нагрузочной деформации 48
1.4 Полюсные приливы 51
1.4.1 Центробежный потенциал 51
1.4.2 Учёт твёрдого полюсного прилива 53
1.4.3 Учёт океанического полюсного прилива 54
1.5 Атмосферные приливы 57
1.5.1 Возмущающий потенциал атмосферных приливов 58
1.5.2 Учёт атмосферных приливов 60
1.6 Выводы к первой главе 62
ГЛАВА 2. Учёт приливных эффектов в движении ИСЗ методом численного интегрирования 65
2.1 Алгоритмы комплекса численного интегрирования 65
2.2 Учёт несферичности гравитационного поля Земли
3 2.3 Выражение возмущающей функции геопотенциала через геоцентрические прямоугольные координаты ИСЗ 69
2.4 Вычисление возмущающей функции геопотенциала алгоритмом Л.Е. Каннингама 71
2.5 Уточнение возмущающей функции геопотенциала вследствие долгопериодических вариаций коэффициентов C21, S21 74
2.6 Учёт приливных возмущений 76
2.7 Учёт возмущений от притяжения третьих тел 78
2.8 Учёт релятивистских эффектов 80
2.9 Преобразование систем координат 82
2.10 Выводы ко второй главе 85
ГЛАВА 3. Анализ результатов численного моделирования 88
3.1 Обоснование рассматриваемых моделей орбит 88
3.2 Анализ влияния твёрдых земных приливов 89
3.3 Анализ влияния океанических приливов 99
3.4 Анализ влияния полюсных приливов 110
3.5 Анализ влияния атмосферных приливов 122
3.6 Анализ совместного влияния приливов 123
3.7 Рекомендации по выбору алгоритмов учёта приливов 127
3.8 Выводы к третьей главе 128
Заключение 133
Список принятых сокращений и обозначений 135
Список литературы 137
- Приливообразующий потенциал
- Потенциал океанических приливов
- Выражение возмущающей функции геопотенциала через геоцентрические прямоугольные координаты ИСЗ
- Анализ влияния полюсных приливов
Введение к работе
Актуальность работы. При изучении особенностей движения ИСЗ существуют два направления. Первое направление (прямая задача) состоит в высокоточном определении эфемерид спутников с учётом всех возмущающих факторов. Это направление имеет небесно-механическое применение, когда при изучении особенностей движения ИСЗ строят высокоточные эфемериды для последующего сравнения с данными наблюдений. Кроме того, эти же эфемериды используют для различного рода манёвров спутника и переходов с одной орбиты на другую. В этом случае учёт всех возмущающих факторов, как гравитационной природы, так и негравитационных, выполняют с требуемой точностью.
Второе направление (обратная задача) предполагает по возмущениям в движении ИСЗ исследовать параметры гравитационного поля Земли (ГПЗ). Это направление отличается от первого тем, что в данном случае представляют интерес только возмущения от гравитационного поля Земли. Негравитационные возмущения, релятивистские эффекты и возмущения от третьих тел должны быть исключены с надлежащей точностью. Особую роль в этой задаче играют приливы, так как деформации фигуры Земли приводят и соответствующим изменениям в её гравитационном поле, что не даёт возможность получать реальные параметры гравитационного поля Земли.
В последние десятилетия активно развиваются новые методы космической геодезии в изучении гравитационного поля Земли, основанные на межспутниковых траекторных измерениях дальностей (Satellite-to-Satellite Tracking — SST) и спутниковой гравитационной градиентометрии (Satellite Gravity Gradiometry — SGG). Спутникам, предназначенным для решения задач такого рода (проекты CHAMP, GRACE, GOCE) свойственны низкие, близ круговые и близполярные орбиты, которые требуется определять с высокой точностью. Негравитационные возмущения особенно трудно моделируются для низкоорбитальных ИСЗ, поэтому ускорения негравитационного характера измеряются бортовыми акселерометрами и автоматически компенсируются системой «drag-free control system». Гравитационные возмущения (несферичность гравитационного поля Земли, притяжение третьих тел, приливы) а также релятивистские эффекты учитывают с использованием точных моделей, причём среди гравитационных возмущений наиболее сложной является теория учёта приливных эффектов.
В рамках разрабатываемых зарубежных научных проектов, где реализуются SGG- и SST-методы, учёту приливов уделяется весьма серьёзное внимание. На современном уровне точности требуется учитывать не только приливы в твёрдом теле Земли, но также в Мировом океане и полюсные приливы. В Соглашениях Международной службы вращения Земли (МСВЗ) даются рекомендации по учёту приливных эффектов на современном уровне точности, однако приводятся лишь конечные выражения в виде поправок в коэффициенты геопотенциала. Таким
образом, актуальность настоящей работы не вызывает сомнения, так как в отечественной научной литературе практически отсутствуют работы по высокоточному учёту приливных возмущений на движение ИСЗ с целью дальнейшего уточнения гравитационного поля Земли.
Целью работы является разработка методики по высокоточному учёту приливных эффектов в движении низкоорбитальных ИСЗ, предназначенных для изучения гравитационного поля Земли (проекты CHAMP, GRACE, GOCE), удовлетворяющей требованиям Международного астрономического союза (MAC), Соглашениям МСВЗ, Стандартам проектов GRACE и GOCE и реализующей в себе комплексный унифицированный подход к учёту приливных возмущений в виде поправок в коэффициенты геопотенциала.
Для достижения поставленной цели требуется решить следующие задачи:
-
рассмотреть и проанализировать современные теории приливных явлений в рамках теории потенциала;
-
выявить наиболее эффективные и оптимальные методы учёта возмущений от приливов применительно к задачам и методам космической геодезии (спутниковая градиентометрия, системы «спутник-спутник», спутниковая альтиметрия);
-
разработать методику учёта приливных возмущений в движении ИСЗ с требуемой на современном уровне точностью для решения задач космической геодезии;
-
разработать программно-алгоритмический комплекс численного интегрирования движения ИСЗ, в котором должны быть реализованы алгоритмы учёта всех гравитационных возмущений (несферичность гравитационного поля Земли, приливные эффекты, притяжение от Луны, Солнца и других планет, релятивистские эффекты);
-
оценить влияние возмущений от приливов на низкоорбитальные ИСЗ и выполнить детальный анализ полученных результатов, на основе которых выработать соответствующие рекомендации по учёту приливов в движении ИСЗ.
Научная новизна работы состоит в следующем:
впервые разработана методика высокоточного учёта эффектов от приливов для низкоорбитальных ИСЗ, предназначенных для изучения гравитационного поля Земли (проекты CHAMP, GRACE, GOCE), соответствующая требованиям MAC и Соглашениям МСВЗ, и реализующая в себе комплексный унифицированный подход к учёту приливных возмущений в виде поправок в коэффициенты геопотенциала.
На защиту выносятся:
-
методика учёта эффектов от приливов в движении ИСЗ;
-
экспериментальный программно-алгоритмический комплекс численного интегрирования уравнений движения ИСЗ, в котором реализована методика учёта эффектов от приливов, а также учёт остальных гравитационных возмущений (несферичность гравитационного
поля Земли, притяжение третьих тел, релятивистские эффекты); 3 вычислительный эксперимент по расчёту целого класса орбит, на основе которого получены количественные оценки приливных эффектов как в модуле радиус-вектора и радиальной скорости ИСЗ, так и в элементах орбит, и разработаны соответствующие рекомендации по учёту приливов при изучении тонкой структуры ГПЗ. Практическая значимость работы заключается в следующем:
-
разработанная методика может применяться в программных комплексах для решения научных и прикладных задач космической геодезии, а также для решения различных задач небесной механики (например, при высокоточном прогнозировании движений ИСЗ);
-
впервые были получены детальные количественные оценки приливных возмущений в модуле радиус-вектора и радиальной скорости ИСЗ и в позиционных элементах орбит для целого класса низких близкруговых орбит с различным наклонением.
Методом исследования является математическое моделирование, основанное на численном интегрировании уравнений движения низкоорбитальных ИСЗ.
Личный вклад автора заключается в разработке комплексной методики по высокоточному учёту приливных эффектов в движении ИСЗ, которая реализована в виде написанного на языке программирования C++ программно-алгоритмического комплекса численного интегрирования уравнений движения ИСЗ.
Апробация работы. Результаты диссертационного исследования докладывались на шести (63-й, 64-й, 65-й, 66-й, 67-й, 68-й) ежегодных научно-технических конференциях студентов, аспирантов и молодых учёных МИИГАиК с 2008 по 2013 гг., на пятой Всероссийской конференции «Фундаментальное и прикладное координатно-временное и навигационное обеспечение» (КВНО-2013), на Общемосковском семинаре по небесной механике в Государственном астрономическом институте имени П.К. Штернберга МГУ (ГАИШ МГУ) в 2013 г.
Публикации. Основные результаты исследований автора по теме диссертационной работы опубликованы в четырёх печатных работах, изданных в журнале Известия ВУЗов. «Геодезия и аэрофотосъёмка», включённом в перечень ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка принятых сокращений и обозначений, списка литературы (всего 169 наименований, из которых 135 на иностранном языке) и Приложения. Работа изложена на 197 страницах машинописного текста и содержит 68 иллюстраций и 90 таблиц. Приложение занимает 44 страницы и включает 49 таблиц, содержащих результаты вычислений, и 18 графиков.
Приливообразующий потенциал
Фундаментальные аргументы Fy, определяются следующими разложениями [126, 11]: где t - время, отсчитываемое в юлианских столетиях по 36525 эфемеридных суток от фундаментальной эпохи J2000.0, январь 1, 12 ч TDB, то есть от юлианской даты JD 2451545.0; / - средняя аномалия Луны; / - средняя аномалия Солнца; Q - средняя долгота восходящего узла орбиты Луны; D = L-L -средняя элонгация Луны от Солнца; F = L - Q - средний аргумент широты Луны, а L и V - средняя долгота Луны и Солнца.
Впервые гармонический анализ приливного потенциала с выделением только главных членов ряда был выполнен Ферелом в 1874 г. [77]. Его разложение включало 8 долгопериодических, 10 суточных и 16 полусуточных составляющих. Впоследствии разложение приливного потенциала выполнили Томсон [152] и Дарвин [62]. Разложение Дарвина не было строго периодическим, так как в качестве плоскости отсчёта использовалась не эклиптика, а лунная орбита. Однако после этих работ гармоническое разложение приливообразующего потенциала стало общепринятым методом анализа, прогноза и представления приливных явлений [35].
Позднее Дудсон [66] выполнил строго периодическое разложение приливообразующего потенциала на поверхности Земли, используя аналитические теории Ньюкомба [123] и Брауна [45], и представил разложение приливообразующего потенциала на 396 гармоник. Аргументы гармоник являются функциями шести независимых переменных, квазилинейно зависящих от времени, которые выражаются через фундаментальные аргументы Делоне [66]: T = 180 + H = GMST + 7T-S - среднее лунное время, где Н - часовой угол Луны; s = F + Q. - средняя долгота Луны; h = s-D - средняя долгота Солнца; p = s-l - долгота лунного перигея; N = -Q - отрицательное значение долготы восходящего узла Луны; ps= s-D-Г - долгота солнечного перигея.
Дудсон выбрал переменные для разложения приливного потенциала таким образом, чтобы соответствующие угловые скорости были положительными величинами (для этого знак долготы восходящего узла лунной орбиты изменён на противоположный) и располагались в порядке убывания своих значений [24]: а соответствующие им фундаментальные периоды приведены в таблице 1.2. Аргументы Дудсона записываются в форме [24]: где dj - целые положительные числа. Таким образом, приливная волна с частотой со характеризуется кодовым числом вида d1d2d3,d4d5d6. Важно отметить, что первое число Дудсона d1 соответствует порядку m рассматриваемой сферической гармоники [24]:
После того, как Дудсон выполнил разложение приливообразующего потенциала с достаточной точностью изначально для изучения океанических приливов, других работ в этом направлении не проводилось в течение последующих пятидесяти лет, до опубликования работы [53] Картрайта и Тейлера [35]. Авторы вычислили приливообразующий потенциал, используя более современные аналитические лунные эфемериды. Затем была выполнена процедура фильтрации с применением специального преобразования Фурье, и получены амплитуды для различных гармоник. Результатом стал каталог, содержащий 505 приливных членов, амплитуды которых были в дальнейшем исправлены в работе [51]. А сам каталог был принят в качестве стандарта и получил название CTE, по первым буквам фамилий его создателей: Cartwright, Tayler и Edden.
Позже свой вклад в решение задачи по уточнению приливного потенциала внесли авторы работ [46, 149, 150, 164, 165].
Более детальное и точное разложение приливного потенциала достигается использованием более точных эфемерид. В настоящее время самые подробные разложения приливного потенциала включают возмущения от главных планет и члены до шестой степени для Луны, а также члены, учитывающие несферичность формы основных небесных тел. Каталоги RATGP95 [131] и HW95 [83] до недавнего времени представляли собой самое последнее и точное разложение. Разложение RATGP95 основано на аналитических рядах для сферических координат Луны из теории ELP2000-85 [55] и для орбитальных элементов больших планет Солнечной системы из теории VSOP87 [44]. Разложение HW95 основано на наиболее точных численных эфемеридах Луны и планет DE200/LE200 [142], разработанных в Лаборатории реактивного движения (Jet Propulsion Laboratory (JPL) NASA). В результате авторы получили наиболее точное аналитическое разложение приливообразующего потенциала на момент их исследования. [16]
Самое последнее из опубликованных и наиболее полное разложение приливообразующего потенциала было выполнено в Государственном астрономическом институте им. П.К. Штернберга МГУ (ГАИШ МГУ) С.М. Кудрявцевым [16], каталог получил название KSM03. Для вычисления координат Луны и Солнца были использованы высокоточные численные эфемериды DE406/LE406 JPL NASA [144], а для представления потенциала применялось разложение Пуассона с представлением амплитуд и частот спектральных компонент в виде полиномов от времени, что принципиально отличается от стандартного Фурье разложения. Каталог KSM03 содержит 26753 члена, а его точность во временной обрасти составляет 0,025/0,39 нГал (с.к.о./макс. ошибка) при вычислении гравитационных приливов на среднеширотной станции в течение 1600-2200 гг. [16].
В таблице 1.3, исправленной и дополненной, приведены сравнительные характеристики каталогов разложений приливообразующего потенциала. Основные данные для таблицы позаимствованы из работ [83, 162, 163], характеристики модели KSM03 лично предоставил СМ. Кудрявцев.
Потенциал океанических приливов
В комплексе Orbit Modeling Toolkit, интерфейс которого представлен на рис. 2.1, реализованы два метода численного интегрирования, с целью обеспечить контроль получаемых результатов.
Первый метод — это неявный итеративный одношаговый метод численного интегрирования движения ИСЗ, разработанный на кафедре Астрономии и космической геодезии МИИГАиК профессором Ю.В. Плаховым [27], который изначально разрабатывался в качестве альтернативного методу Эверхарта [75], чтобы уйти от двухступенчатой схемы в методе Эверхарта, а второй — непосредственно сам метод Эверхарта. Метод Эверхарта хорошо себя зарекомендовал при решении небесно-механических задач. В работе [28] на основе сравнения с другими методами численного интегрирования показано преимущество данного метода при численном интегрировании уравнений движения ИСЗ. Порядок обоих методов может быть выбран в диапазоне от седьмого до сорок первого, что соответствует трёхточечному и двадцатиточечному разбиению шага соответственно. Однако если использовать метод Плахова высокого порядка, то возникает задача обращения матрицы коэффициентов разбиения шага, при этом возникает вопрос относительно возможной потере точности. Разбиение шага может быть выполнено с использованием коэффициентов Радо либо Лобатто, а сам шаг интегрирования может задаваться фиксированным либо выбираться автоматически, исходя из заданной точности.
Интерфейсное окно программно-алгоритмического комплекса численного интегрирования уравнений движения ИСЗ Модель движения ИСЗ реализована в прямоугольных координатах, так как эта модель всегда невырождена независимо от параметра системы координат, то есть при любых значениях декартовых координат, и выбора системы отсчёта.
В качестве исходных данных выступают начальные координаты и скорости ИСЗ в инерциальной системе координат и момент времени, к которому они отнесены, по шкале Всемирного координированного времени UTC. Процесс расчёта орбит начинается с установок параметров интегрирования (метод интегратора, способ разбиения шага, интервал интегрирования и т.д.) и выбора моделей, с помощью которых будет производиться учёт гравитационных возмущений. Результаты работы программного комплекса по выбору пользователя записываются в три файла. В первом содержится эпоха, выраженная в виде модифицированной юлианской даты, координаты и скорости ИСЗ в инерциальной системе координат. Второй файл включает эпоху и элементы орбиты, а третий — эпоху и ускорения. Принципиальная схема программного комплекса показана на рис. 2.2.
Для учёта несферичности гравитационного поля Земли была выбрана полная модель геопотенциала EGM96 [105], представленная разложением до степени и порядка 360x360. Данная модель наилучшим образом соответствует поставленным задачам по изучению влияния приливов на движение ИСЗ, удовлетворяя следующим требованиям.
Используемая модель океанических приливов FES2004 разложена до сотой степени и порядка, а модель океанического полюсного прилива разложена до степени и порядка 360x360. Методика учёта приливных эффектов предполагает ввод поправок в коэффициенты геопотенциала с учётом их степеней и порядков.
Таким образом, для полного и точного учёта эффекта от океанических приливов и от тонкого эффекта океанического полюсного прилива целесообразно использовать модель геопотенциала не ниже степени и порядка разложения 360x360.
Возможность использовать другие модели геопотенциала, которые можно найти на электронном ресурсе [85] в свободном доступе, также не исключается. Однако следует отметить, что использование моделей более высокой степени и порядка, например, таких как EGM2008 [125], сопряжено с трудностями при вычислении присоединённых функций Лежандра.
Изначально в работе ставилась задача разработать методику учёта тонких приливных эффектов с требуемой на современном уровне точностью. Это накладывает соответствующие требования к учёту остальных гравитационных возмущений, среди которых, главным образом, несферичность гравитационного поля Земли.
Таким образом, модель EGM96 наилучшим образом соответствует заданным требованиям: разрешение модели EGM96 достаточно, чтобы произвести полный и точный учёт приливных эффектов; количество членов разложения модели EGM96 не создаёт препятствий для вычисления присоединённых функций Лежандра, позволяя применять отработанные методы для вычисления ускорений от геопотенциала; вышеуказанное обстоятельство также позволяет использовать полную модель геопотенциала, не усекая её, что позволяет выполнять полный и точный учёт несферичности гравитационного поля Земли; модель EGM96 является моделью геопотенциала, свободного от приливов, что позволяет избежать дополнительных вычислений, связанных с исключением постоянного прилива.
Выражение возмущающей функции геопотенциала через геоцентрические прямоугольные координаты ИСЗ
Все орбиты были выбраны близкруговыми с эксцентриситетом е = 0,001. Наклонение орбит задавалось с шагом 10 от 0 до 120. Реальные спутники практически не запускались на орбиту с наклонением более 120. Высоты модельных орбит были выбраны в диапазоне от 250 км до 1300 км, а именно: 250, 300, 400, 500, 800 и 1300 км. Спутники на низких орбитах, до 500 км, используют в градиентометрических приложениях и проектах по исследованию гравитационного поля Земли (CHAMP - 474 км, GRACE - 485-500 км, GOCE -295 км, GFZ-1 - 385 км). На высоты около 800 км запускают геодинамические и геодезические ИСЗ (Storiette, Stella, БЛИЦ). Этот же класс орбит, а также орбиты высотой около 1300 км, соответствуют альтиметрическим спутникам. Это спутники GEOS-3, SEASAT, GEOSAT, ERS-1, ERS-2, GFO-1, ENVISAT, которые имеют высоты орбит около 800 км, и спутники TOPEX/Poseidon, Jason-1, Jason-2, которые были запущены на орбиты с высотой около 1300 км. Таким образом, модельные орбиты, которые были получены в ходе численного интегрирования, соответствуют реальным проектам, и полученные результаты вполне можно отождествить с конкретным спутником.
Для оценки влияния приливов на спутники с более высокими орбитами были выполнены расчёты для орбиты LAGEOS-1 (Я-5850км, е-0,0045, і-109,84), так как наблюдения этого спутника по-прежнему используются для определения ПВЗ.
Начальная эпоха интегрирования, UTC 22.03.2012 0h12m00s (MJD = 56008,0083333), совпадает с новолунием и близка к весеннему равноденствию, которое состоялось 21 марта в 5 14т по Гринвичу. Поэтому эффект от приливов должен быть максимально возможным, так как Луна и Солнце притягивают Землю приблизительно с одной стороны.
Учёт возмущений, вызванных твёрдыми земными приливами, а именно их частотно-независимой частью, был выполнени двумя способами: 1 с использованием эфемерид возмущающих тел JPL DE405/LE405, 2 с использованием каталога разложения приливообразующего потенциала KSM03. В Приложении в таблицах П.1-П.12 приведены величины наибольшего эффекта от приливов в модуле радиус-вектора и радиальной скорости ИСЗ за один оборот ИСЗ и на суточном интервале. Под таблицами даны графики (рис. П.1-П.12) изменения величины приливного эффекта в зависимости от наклонения орбиты, из которых очевидно, что эффект от твёрдых приливов слабо зависит от наклонения орбиты спутника. Величины эффекта в зависимости от наклонения орбиты для одного витка и на суточном интервале достаточно хорошо коррелируют между собой (рис. П.1-П. 12). Это подтверждается положительными значениями коэффициентов корреляции приблизительно равными 0,6. Отсюда можно заключить, что уже на одном витке можно оценить величину эффекта в зависимости от наклонения и понять при каких углах наклонений эта величина будет минимальной либо максимальной.
Эффект от твёрдых земных приливов имеет достаточно регулярный характер. Это видно из рис. 3.1-3.3, где по оси абсцисс отложено время t в минутах, а по оси ординат эффект от приливов Аг и Ъг в метрах. На рис. 3.1а-3.3а эффект Аг выражен как модуль разности двух геоцентрических радиус-векторов: Ar = rftA-r, (3.1) где г - геоцентрический радиус-вектор ИСЗ без учёта приливного эффекта, а xtide - с учётом приливного эффекта. На рис. 3.1б-3.3б эффект Ът выражен в смысле разности двух модулей этих же векторов: fr=kfe-M- (3-2) Из рис. 3.1а-3.3а видно, что твёрдые земные приливы, деформирующие Землю, что находит отражение во второй зональной гармонике С20, характеризующей сжатие Земли, и коэффициенте С40, характеризующем крестообразность Земли, дают вековые возмущения в радиус-векторе ИСЗ г=аіу1е) 1 + eCOSL» Очевидно, что вековые возмущения в радиус-векторе г обусловлены только за счёт быстро меняющейся аномалии и. Это объясняется тем, что при движении в потенциальных полях вековые возмущения содержатся лишь в угловых элементах орбиты [14], поэтому ни большая полуось а, ни эксцентриситет е вековых возмущений не имеют. С увеличением учитываемого промежутка времени, величины возмущений в радиус векторе растут пропорционально текущему времени. Рис. 3.1б-3.3б отражают только периодические изменения, которые слабо видны на левых графиках а). То есть в разности (3.2) исключён вековой тренд увеличения величин возмущений с течением времени, так как эффект Ъг выражен как разность модулей геоцентрических радиус-векторов ИСЗ с учётом приливов и без их учёта. Период графиков приблизительно равен периоду обращения ИСЗ и составляет 91 минут для рис. 3.1б и 95 минуту для рис. 3.2б. Для LAGEOS-1 период равен 3h47m.
Величины эффекта от твёрдых земных приливов в зависимости от высоты орбиты в зависимости от высоты орбиты за один оборот ИСЗ и на суточном интервале соответственно представлены в таблицах 3.1-3.2.
Анализ влияния полюсных приливов
С использованием разработанного программного обеспечения был проведён комплексный вычислительный эксперимент по численному интегрированию уравнений движения ИСЗ с оценкой влияния приливных возмущений. Подробно рассматривался эффект от каждого вида приливов, выраженный в модуле радиус-вектора и радиальной скорости и в позиционных элементах орбиты. Все расчёты и анализ полученных результатов были выполнены на современном миллиметровом уровне точности в соответствии с точностью наблюдений. На основе полученных результатов можно сделать следующие выводы.
Учёт возмущений от твёрдых земных приливов был выполнен с использованием эфемерид возмущающих тел JPL DE405/LE405 и каталога разложения приливообразующего потенциала KSM03. Оба подхода дают результат, сходящийся до миллиметров: для всех рассчитанных вариантов орбит расхождение на одном витке не достигает и миллиметра, максимальное расхождение на суточном интервале не превышает 6 мм. Результаты, полученные с использованием каталога разложения приливообразующего потенциала KSM03 и эфемерид JPL DE405/LE405, отлично согласуются между собой, это подтверждается среднеквадратическим отклонением в 1 мм на суточном интервале. Полученные результаты вполне ожидаемы, так как разложение приливообразующего потенциала KSM03 было выполнены на основе эфемерид JPL DE406/LE406.
Полученные результаты подтверждают, что каталог разложения приливообразующего потенциала KSM03 пригоден к практическому применению для решения задач космической геодезии. Затраченное машинное время на интегрирование при использовании первого или второго подхода практически эквивалентно, поэтому говорить о преимуществе того или иного подхода с точки зрения скорости вычисления не приходится.
Современные численные эфемериды Луны и планет серии DE занимают сотни мегабайт [16] памяти компьютера, хотя это не является существенным для современных компьютеров. И несмотря на то, что представление приливообразующего потенциала в виде каталогов разложений существенно уменьшает объем необходимых числовых данных [16], полностью отказаться от использования эфемерид возмущающих тел не получится, так как они используются при вычислении возмущений от третьих тел, если конечно не реализован алгоритм учёта с использованием аналитических разложений пертурбационных функций [16], а также для учёта релятивистских эффектов.
В случае использования эфемерид JPL придётся проделать подготовительную работу, требующую соответствующей квалификации программиста. Библиотека функций работает только с бинарным файлом, и его необходимо создать заранее путём конвертации текстовых файлов. Это выполняется с помощью специальной подпрограммы, которую потребуется скомпилировать из прилагаемого исходного программного кода. Работа с бинарным файлом значительно ускоряет работу программы. В свою очередь каталог разложения приливообразующего потенциала KSM03 представлен в текстовом формате, как и любые другие модели, например модели геопотенциала либо океанических приливов, поэтому при работе с ними никаких трудностей не возникает.
Для учёта возмущений от океанических приливов использовались три глобальные модели океанических приливов: FES2004, CSR3.0 и EOT11a, представленные различным количеством членов разложения. Поэтому с точки зрения затрат машинного времени при расчёте возмущающих ускорений, наибольшее количество времени требуется при использовании модели EOT11a, а наименьшее — при использовании модели CSR3.0.
Модель FES2004 наиболее удобна при программной реализации, так как коэффициенты разложения модели представлены в полностью нормированном виде и содержат в себе коэффициенты нагрузочной деформации и другие константы (плотность морской воды и пр.), что позволяет избежать дополнительных вычислений. Коэффициенты модели CSR3.0 представлены в ненормированном виде. При использовании модели CSR3.0 вначале следует интерполированием получить нагрузочные числа Лява, хотя, как правило, все константы, используемые в моделях, приводятся в заголовке файла, содержащего коэффициенты разложения модели. Коэффициенты модели EOT11a полностью пронормированы, но при использовании модели EOT11a для каждой компоненты требуется вычислить фазовый сдвиг, зависящий от типа и амплитуды приливной волны, и вычислить коэффициенты нагрузочной деформации.
Несмотря на то, что эффект от океанических приливов носит достаточно нерегулярный характер, так как отклик океана на внешний возмущающий потенциал достаточно сложен, результаты, полученные результаты с использованием всех рассматриваемых моделей, достаточно хорошо согласуются между собой. Наилучшим образом согласуются результаты, полученные с использованием моделей FES2004 и EOT11a. Принимая во внимание всю сложность создания глобальных океанических моделей, различный состав измерительной информации, различный тип рассматриваемых моделей, их разрешение, количество гармоник, входящих в разложение, полученные результаты можно рассматривать как вполне ожидаемые и допустимые. Сравнение результатов подтверждает, что для высокоточного учёта океанических приливов при изучении гравитационного поля Земли следует руководствоваться последними рекомендациями МСВЗ, а также Стандартами проектов GRACE и GOCE, и использовать модели FES2004 и EOT11a.
