Введение к работе
Обоснование актуальности темы диссертации.
Благодаря трудам М. С. Молоденского, В. В. Бровара, Л. П. Пеллинена, Т. Krarup, Н. Moritz и других отечественных и зарубежных учёных линейные методы определения физической поверхности Земли и её внешнего гравитационного поля базируются в настоящее время на строгой теории, позволяющей решать основную проблему геодезии принципиально с любой точностью и обладающей, таким образом, практически неограниченными потенциальными возможностями. Однако вопросы устойчивой численной реализации этой теории представляют интерес и в настоящее время, поскольку неизбежные на практике дискретность измерений и наличие разного рода погрешностей вносят существенную специфику. К тому же за последние десятилетия возникла многообещающая возможность существенно расширить состав исходных данных за счёт альтиметрии и различных методов спутниковой гравиметрии, в частности градиентометрии. Одним из наиболее эффективных методов, позволяющих совместно использовать такую разнородную информацию для решения как основной задачи геодезии, так и других более частных задач физической геодезии, является метод среднеквадратической коллокации. Характеристической чертой этого метода является тот факт, что любой объект геодезических измерений трактуется как определённый функционал на одном и том же потенциале силы тяжести Земли. Это и позволяет рассматривать любые разнородные по составу геодезические измерения с единых позиций: измерены с определённой точностью значения некоторых функционалов на геопотенциале, требуется оценить значения некоторых других функционалов и их точность или восстановить потенциал. По-видимому, такая уникальная ситуация — все измерения суть функционалы на единой функции — имеет место только в случае геодезических измерений, и было бы неоправданно этим не пользоваться. К тому же, упомянутая единая функция обладает целым рядом полезных свойств, поддающихся теоретическому изучению в рамках специальной теории потенциала. Коллокация использует всё это полностью и даёт практический метод оценки одних функционалов на геопотенциале по результатам измерения других (локальная задача кол-локации) или метод восстановления самого потенциала по результатам измерения определённых функционалов на нём (глобальная задача коллокации). Но, конечно, присущи методу коллокации и недостатки. Поэтому совершенствование этого метода и исследование возможностей его развития является актуальной задачей современных численных методов физической геодезии.
Цель и основные задачи исследования
Основной целью диссертационной работы является исследование и разработка таких модификаций метода коллокации, которые частично или полностью преодолевают следующие основные недостатки этого метода:
необходимость решать количество уравнений, равное количеству исходных измерений;
необходимость опираться на гипотезу о стационарности и даже изотропности гравитационного поля Земли (ГПЗ).
Для достижения этой цели решались следующие задачи:
-
Анализ и экспериментальные исследования новейших зарубежных разработок последовательной и быстрой коллокации.
-
Разработка и исследование собственного двухэтапного гармонического анализа ГПЗ.
-
Исследование возможностей фурье-анализа и вейвлет-анализа для выявления признаков нестационарности ГПЗ.
-
Разработка и исследование методов коллокации в условиях нестационарного ГПЗ.
-
Разработка и исследование возможностей определения функций влияния исходных функционалов.
-
Адаптация программного пакета Gravsoft и использование возможностей программ geocol и sphgric для уточнения гравитационного поля по результатам спутниковой градиентометрии.
Научная новизна и практическая значимость работы.
-
Совмещение различных идей, связанных, с одной стороны, с аппроксимацией функционалов на геопотенциале, а с другой стороны — с быстрым преобразованием Фурье, позволило С. С. Tscherning (Дания) и F. Sanso (Италия) создать совсем новый алгоритм быстрой коллокации. Проделанные нами численные эксперименты с быстрой коллокацией показали существенное увеличение быстродействия при решении ресурсоёмких задач космической гравиметрии, что позволяет рекомендовать алгоритм быстрой коллокации для практического использования и в нашей стране.
-
К этому же направлению исследований принадлежит и наша разработка в виде двухэтапного гармонического анализа. Вычисления вдоль параллелей методом быстрого преобразования Фурье позволяют обеспечить некоррелированность коэффициентов Фурье, соответствующих различным частотам. Поэтому на втором этапе вместо решения одной, но очень большой системы тр уравнений, доказана возможность решать 2А^+1 систем, но каждая из них содержит лишь р уравнений. Здесь т и р — число меридианов и параллелей, соответственно, определяющих сетку с исходными данными, a N — наивысшая степень искомых гармонических коэффициентов. Разработаны методы контроля вычислений, составлены необходимые программы для ПК.
-
Ковариационный анализ гравитационного поля, обычно выполняемый в процессе решения задач физической геодезии методом коллокации, рекомендуется, для выявления анизотропности, выполнять с помощью двумерного преобразования Фурье и дополнять построением ковариационных карт и за-
висимостей радиуса корреляции от азимута по образцу рис. 7—12 (см. цвет, вклейку на стр. 11—12).
-
Предложенные операции вейвлет-анализа позволяют эффективно выявлять локальные нестационарности и обоснованно делить обширную область с нестационарным гравитационным полем на такие подобласти, в которых поле можно считать стационарным, см. рис. 9, 10 и 11 (см. цвет, вклейку на стр. 13).
-
Доказано, что отличие выборочного спектра от непрерывного имеет определённый порядок малости относительно шага сетки, и поэтому при вычислении выборочного спектра можно пользоваться известным в теории аппроксимации правилом Рунге.
-
В тех случаях, когда исходными данными в задаче коллокации служат измеренные значения одноимённых функционалов, разработана процедура непосредственного вычисления функций влияния исходных функционалов, без решения систем уравнений. Показано, что функции влияния не зависят от вида функции, на которой заданы функционалы, а зависят только от используемого гильбертова пространства. Если поле стационарно, то достаточно найти только одну функцию влияния, а все остальные функции получаются путём смещения аргумента. Область с нестационарным полем трактуется как объединение подобластей с полем стационарным (сегментация), и для каждой такой подобласти материнскую функцию влияния надо определять отдельно.
-
Использование специального вида ковариационной функции нестационарного ГПЗ обеспечивает выполнение непрерывной сегментации ГПЗ и таким образом практически снимает ограничительное требование метода кол-локации о стационарности поля.
-
Алгоритм непосредственного вычисления функций влияния исходных функционалов, снимающий проблему решения большого количества уравнений.
Основные результаты, выносимые на защиту:
-
Алгоритм двухэтапного гармонического анализа ГПЗ при большом количестве исходных данных.
-
Методы ковариационного анализа локального ГПЗ, позволяющие выявлять, графически интерпретировать и учитывать в вычислениях анизотропность ГПЗ.
-
Методы вейвлет-анализа локального ГПЗ, позволяющие выявлять и графически интерпретировать участки нестационарности поля.
-
Метод создания непрерывной сегментации ГПЗ, позволяющий при использовании коллокации отбросить гипотезу о стационарности ГПЗ.
-
Алгоритм непосредственного вычисления функций влияния исходных функционалов, снимающий проблему решения большого количества уравне-
ний.
Вклад автора в исследование.
Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Отдельные результаты получены совместно с к. ф.-м. н. Сугаиповой Л. С. Структура диссертации и объем работы.
Диссертация состоит из введения, трёх глав основного текста и заключения общим объёмом 143 стр. машинописного текста, имеется 41 иллюстрация и 11 таблиц. Список литературы насчитывает 75 наименований, в том числе 48 на английском и других языках.
Публикации и апробации работы.
Результаты исследований представлялись на научно-технических конференциях студентов, аспирантов и молодых учёных МИИГАиК 4 апреля 2010 г., 6 апреля 2011 г., 3 апреля 2012 г. и опубликованы в трёх статьях в журналах, включённых в перечень ВАК.
