Введение к работе
Актуальность работы. Особенности вариации магнитных полей Земли и Солнца указывают на динамический характер их происхождения. С развитием теории гидромагнитного динамо ответ на фундаментальный вопрос современной астрофизики об источнике магнитного поля подобных космических объектов стало принято давать в рамках этой теории. Вопрос о возможности генерации магнитного поля имеет также и практическую важность в приложении к течениям расплавов в охлаждающих системах ядерных реакторов атомных электростанций. Идея Е.Паркера о генерации среднего магнитного поля турбулентным течением проводящей жидкости с полем скорости, не обладающим отражательной симметрией и имеющим ненулевую спиральность, физически обосновывает возможность появления магнитного а—эффекта и лежит в основе теории магнитной гидродинамики средних полей, демонстрируя плодотворность концепции разделения масштабов в приложении к теории магнитного динамо.
Современные компьютеры не позволяют проводить расчеты с разрешением, достаточным для значений параметров, характеризующих конвекцию во внешнем ядре Земли. Так, известные расчеты Дж.Глатцмайера выполнены для чисел Тейлора и Экмана порядка 103 и 10~4 — 10~б, что на порядки величин отличается от их оценок для ядра Земли, ~ 109 и ~ 10~8 — 10~15. Даже если конвекцию в присутствии магнитного поля рассматривают для исследования магнитного поля конкретного астрофизического объекта, ее необходимо изучать в целой области в пространстве параметров, так как реологические соотношения и величины параметров внутри объекта обычно известны только приближенно. Это невозможно сделать чисто численно из-за огромного объема требуемых вычислений. Следовательно, определенную ценность имеют аналитические и аналити-ко-вычислительные подходы, как например, в исследованиях С.И.Брагинского и Э.Соуорда, которые определили асимптотическими методами величину а—эффекта в исследованных ими МГД системах.
Возможность роста магнитного поля, поддерживаемого движением расплавленного металла, подтверждена экспериментально. Эксперименты характеризуются наличием в МГД системах разных пространственных
масштабов - вследствие поддержания в установке определенного искусственного течения, как в экспериментах в Саласпилсе и Карлсруэ, или из-за наличия в объеме расплава металла развитой турбулентности.
Геодинамо также характеризуется наличием структур, имеющих иерархию пространственных масштабов. Примером таких контрастных структур служит пограничный слой Экмана, возникающий в конвективных потоках вращающейся жидкости с прилипанием на границе. Топографическое взаимодействие ядра и мантии осуществляется посредством неровностей на границе их раздела, размеры которых не превышают 5 км, что мало по сравнению с радиусом жидкого ядра, 3486 км. Разделение масштабов имеет место и в объеме, где происходит конвекция. Например, в геострофических потоках в быстро вращающихся сферических или цилиндрических слоях течение жидкости образует колонны Тейлора, параллельные оси вращения; их ширина значительно меньше размеров контейнера, содержащего жидкость. Узкие валы возникают в тепловой конвекции жидкости в горизонтальном слое, быстро вращающемся относительно вертикальной оси, и в магнитоконвекции с сильным наложенным магнитным полем. Наличие иерархии пространственных масштабов, между которыми происходит взаимодействие (явления прямого и обратного каскада энергии и перемежаемости), присуще турбулентности, играющей важную роль в процессах генерации.
Таким образом, актуальна проблема аналитического и численного решения задач о генерации магнитного поля в различных МГД системах с разделением масштабов.
Цель работы состояла в аналитическом и численном исследовании устойчивости МГД систем с учетом наличия в них иерархии пространственных и временных масштабов, а также факторов, важных для гео- и астрофизических приложений таких, как вращение, посредством решения модельных задач линейной и слабо нелинейной МГД устойчивости по отношению к возмущениям, имеющим большие масштабы.
Методология. Для достижения поставленной цели в диссертации предложено применять для решения основополагающих уравнений, описывающих процессы генерации магнитного поля, гибридные аналитико-вычислительные методы. Ввиду наличия и в природных астрофизических
динамо, и в экспериментальных установках иерархии пространственных и временных масштабов, при математическом рассмотрении возникающих прикладных задач магнитной гидродинамики естественно использовать аналитические методы осреднения уравнений в частных производных. Применение асимптотических методов теории осреднения в многомасштабных системах позволяет математически строго, без привлечения каких-либо эмпирических соотношений для замыкания, вывести амплитудные уравнения (в некоторых случаях они имеют смысл уравнений средних полей), описывающие поведение системы на длинных масштабах, в которых влияние короткомасгптабной динамики описывается новыми слагаемыми (по аналогии с гидродинамикой обычно называемыми вихревыми поправками) с усредненными коэффициентами.
Вычисление этих коэффициентов сводится к численному решению систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных по быстрым переменным - так называемых вспомогательных задач. Данные во вспомогательных задачах имеют единственный характерный пространственный масштаб - тот же самый, что и исследуемое на устойчивость состояние. Таким образом, асимптотические методы для задач со многими масштабами предоставляют возможность разделить длинно- и коротко-масштабную динамику (при условии, что последняя в некотором смысле однородна). Соответственно, в вычислениях отпадает необходимость использовать разрешение, позволяющее с достаточной точностью представить всю иерархию больших и малых масштабов. Это является очень важным преимуществом рассматриваемого комбинированного аналитико-вычислительного подхода, поскольку дает возможность проводить расчеты процессов генерации магнитного поля без привлечения чрезмерных вычислительных ресурсов.
Цель работы определила постановку задач:
- построение асимптотических разложений в степенной ряд по отношению пространственных масштабов магнитных мод и инкрементов их роста в задаче о генерации в кинематическом режиме магнитного поля, имеющего большие пространственные масштабы, пространственно-периодическими центрально-симметричными течениями проводящей жидкости, стационарными или периодическими по времени;
расчет с использованием полученных выражений для оператора магнитной вихревой диффузии величин коэффициента магнитной вихревой (турбулентной) диффузии для ансамблей стационарных и периодических по времени потоков, моделирующих турбулентные течения проводящей жидкости в пространстве, а также для конвективных план-форм в горизонтальном слое;
- вывод уравнений, определяющих главные члены асимптотических
разложений в степенной ряд по отношению пространственных масштабов
мод линейной устойчивости и инкрементов их роста, а также слабо нели
нейных возмущений, имеющих большие пространственные масштабы, в
задаче об устойчивости процесса генерации магнитного поля в трехмер
ном пространстве;
расчет с использованием полученных выражений для оператора комбинированной вихревой (турбулентной) диффузии коэффициента вихревой диффузии для ансамблей стационарных МГД конфигураций, моделирующих турбулентные МГД состояния проводящей жидкости в пространстве;
- вывод уравнений средних полей и амплитудных уравнений для воз
мущений, имеющих большие пространственные масштабы, в задаче о сла
бо нелинейной устойчивости МГД режимов вынужденной и свободной Бус-
синесковой конвекции проводящей жидкости в слое, вращающемся вокруг
вертикальной оси, для отдельно рассматриваемого режима и для ветвей
режимов вблизи точек бифуркаций с потерей симметрии;
расчет конвективных гидромагнитных режимов во вращающемся относительно вертикальной оси слое жидкости, устойчивых к короткомас-штабным возмущениям и симметричных относительно вертикальной оси, к которым применима построенная в диссертации теория слабо нелинейных длинномасштабных возмущений.
Новые научные результаты и положения, выносимые на защиту, - аналитическое и численное решение следующих задач МГД устойчивости к длинномасштабным возмущениям: Задачи линейной устойчивости:
г. О кинематическом динамо для стационарного периодического в пространстве течения; гг. О кинематическом динамо для периодического в пространстве и вре-
мени течения;
Hi. О кинематическом динамо для конвективных план-формы в слое; iv. Об устойчивости стационарных периодических МГД режимов в пространстве.
Задачи слабо нелинейной устойчивости: v. МГД режимов в пространстве;
vi. режимов вынужденной гидромагнитной конвекции в горизонтальном слое вращающейся жидкости;
vii. режимов свободной гидромагнитной конвекции в горизонтальном слое вращающейся жидкости.
Под аналитическим решением мы понимаем вывод замкнутой системы дифференциальных уравнений в частных производных по медленным переменным для главных членов разложения полей возмущений в степенные ряды по малому параметру - отношению характерных пространственных масштабов (задачи і — vii), и определение всех членов рядов в задачах линейной устойчивости при наличии существенного а—эффекта (задача iv) и его отсутствии (задачи і — iv). Численный анализ состоял в разработке методов вычисления решений вспомогательных задач и расчета вихревых коэффициентов, в численном определении статистики встречаемости эффекта отрицательной вихревой вязкости для модельных течений и МГД состояний, а также в исследовании зависимости минимальной вихревой диффузии от различных параметров.
Научная новизна. В настоящей работе впервые:
в задачах линейной и слабо нелинейной устойчивости различных МГД систем выведены уравнения средних полей для возмущений, имеющих большие пространственные масштабы, и построено решение задач о линейной устойчивости во всех порядках;
численно показано, что в значительной доли модельных МГД систем развивается длинномасштабная неустойчивость в результате действия механизма отрицательной комбинированной вихревой диффузии; наличие мелких масштабов благоприятно для генерации магнитного поля, а появлению отрицательной магнитной вихревой диффузии способствует стационарность потока проводящей жидкости;
найдено, что при рассмотрении возмущений МГД режимов, сим-
метричных относительно вертикальной оси, а—эффект несущественен в главном порядке;
- выведены замкнутые системы уравнений средних полей и амплитудных уравнений в задаче о слабо нелинейной устойчивости к возмущениям, имеющим большие пространственные масштабы, вынужденных и свободных конвективных гидромагнитных режимов проводящей жидкости в слое, вращающемся относительно вертикальной оси;
показано, что, в отсутствие существенного а—эффекта в главном порядке, уравнения средних полей возмущений обобщают обычные уравнения магнитогидродинамики: кроме обычных, в них присутствуют операторы, отвечающие как ранее известным физическим эффектам (вихревой диффузии и адвекции, вблизи точки потери симметрии возмущаемого поля - а—эффекту), так и не рассматривавшимся ранее (описываемым нелокальными операторами); при рассмотрении вилочной бифуркации с потерей симметрии уравнения средних полей дополняются уравнением для амплитуды короткомасгптабной моды, имеющей кубическую нелинейность; кубическая нелинейность присутствует также в системе амплитудных уравнений, описывающих эволюцию длинномасштабных возмущений стационарных режимов, симметричных относительно вертикальной оси или центра, свободной тепловой гидромагнитной конвекции.
Практическая значимость работы. Полученные в ходе проведенных исследований результаты существенно развивают теорию магнито-гидродинамической устойчивости, и, в частности, теорию генерации магнитного поля, что может быть охарактеризовано как новое крупное научное достижение. Идентификация в настоящей работе новых типов физических эффектов, действующих на усредненные поля возмущений, расширяет представления о процессах развития длинномасштабной гидродинамической и МГД неустойчивости и позволяет лучше понять их механику. Результаты работы будут использованы при построении моделей земного и солнечного магнетизма, а также для анализа длинномасштабной неустойчивости процессов в различных экспериментальных и технологических установках, где используются конвективные течения в плоском слое жидкости с возможным наличием магнитных полей и вращения. Методы, развитые в диссертации, и полученные результаты имеют боль-
шую степень общности и применимы для решения широкого спектра задач определения "эффективных" величин параметров, описывающих свойства композитных материалов, что особенно практически важно в применении к моделированию поведения многокомпонентных материалов, являющихся продуктом нанотехнологий.
Выведенные в работе точные аналитические выражения для операторов, описывающих а—эффект и комбинированную вихревую диффузию, должны воспроизводиться при приложении к рассмотренным задачам алгоритмов, предлагаемых в рамках метода крупных вихрей, и, тем самым, их можно использовать для тестирования этих новых алгоритмов.
Предложенные методы экономного вычисления коэффициентов вихревой (турбулентной) диффузии и адвекции в МГД системах также прило-жимы для вычисления коэффициентов других слагаемых, возникающих в уравнениях средних полей для усредненного линейного или слабо нелинейного возмущения. Они позволяют в несколько раз снизить объем вычислений, необходимых для определения этих коэффициентов.
Эти методы реализованы в виде ряда программ расчета магнитной и комбинированной вихревой (турбулентной) диффузии. Программы написаны на ядре нормативного диалекта языка ФОРТРАН-95 и обладают большим быстродействием благодаря использованию разработанных математических алгоритмов и тщательной оптимизации на уровне программирования.
Выполнение работы. Работа над диссертацией проводилась в Лаборатории геодинамики Международного института теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН. Основные расчеты были выполнены автором во время научных визитов автора в Обсерваторию Лазурного берега (Ницца, Франция), Университет Эксетера (Великобритания) и Университет Порто (Португалия).
Апробация результатов. Основные результаты исследований по теме диссертационной работы изложены в 34 публикациях на русском и английском языках, в т.ч. в 15 статьях в реферируемых международных и российских журналах. Результаты работы неоднократно докладывались на научных семинарах Международного Института теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН, Института механики
МГУ, Института математических наук им. Исаака Ньютона (Кембридж, Великобритания), Школы инженерных наук, вычислений и математики Университета Эксетера (Великобритания), Обсерватории Лазурного берега (Франция) и Отделения прикладной математики Факультета естественных наук Университета Порто (Португалия), а также представлялись на отечественных и международных конференциях: Международной конференции "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (Москва, 1998-2006 гг.); Международном семинаре "Динамо в лаборатории, на компьютерах и в небесах" (Нордита, Копенгаген, Дания, 2001 г.); Симпозиуме Лондонского Математического общества "Астрофизическая гидродинамика" (Университет Дарэма, Великобритания, 2002 г.); Научной конференции "Ломоносовские чтения" (Секция механики, МГУ, Москва, 2003, 2005, 2006 гг.); VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001 г.); XII Школе-семинаре "Современные проблемы аэрогидродинамики" (Сочи, 2004 г.); Конференции "Современные проблемы механики", посвященной 40-летию Института механики МГУ (1999 г.).
Личный вклад автора. Постановка задач, решенных в диссертации, за исключением задачи, рассмотренной в главе 1, принадлежит автору диссертации. В решении задач, представленных в главах 1 и 2 [1, 2], (также как в статьях с соавторами [7, 14, 17, 18] на связанные с диссертационной работой темы) математический анализ (построение решений в виде асимптотических разложений), разработка алгоритмов численного решения (вычисления решений вспомогательных задач и коэффициентов тензора вихревой магнитной вязкости), и часть программирования выполнены автором диссертации. Результаты, изложенные в главах 3 7 и приложении, получены автором диссертации единолично.
Структура работы. Диссертация общим объемом 339 машинописных страниц состоит из оглавления, введения, 7 глав, заключения, списка литературы (294 работы) и приложения. В диссертации 3 таблицы и 28 рисунков.
Благодарности. Автор диссертации выражает благодарности академику РАН В.И.Кейлису-Бороку и члену-корреспонденту РАН А.А.Соловьеву за их постоянную поддержку в работе; члену-корреспонденту АН
Франции профессору У.Фришу и члену Королевского Общества Великобритании профессору Э.Соуорду за многолетнее научное общение и помощь; члену Королевского Общества Великобритании М.Проктору, профессорам Э.Гильберту, К.Джонсу и К.Жангу за многочисленные обсуждения; доктору С.Гама за плодотворное сотрудничество; своим аспирантам в Университете Порто М.Баптиста и Р.Чертовских за неиссякающий энтузиазм; коллективу Международного Института теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН за творческую атмосферу и постоянную поддержку; наконец, в последнюю очередь по порядку, но не по значимости, своей жене к.ф.-м.н. О.М.Подвигиной за постоянное содействие. Автор также благодарен Министерству научных исследований и технологий Франции и Королевскому Обществу Великобритании за финансирование его неоднократных визитов в научные центры этих стран. Основная часть вычислений сделана автором диссертации в Обсерватории Лазурного берега с использованием вычислительных средств, предоставленных в рамках Программы "Simulations Interactives et Visualisation en Astronomie et Mecanique (SIVAM)" (Интерактивное моделирование и визуализация в астрономии и механике) и следующей фазы этой Программы "Mesocentre SIGAMM". Работа частично финансировалась РФФИ (грант 04-05-64699).
