Введение к работе
Актуальность. Как правило, использование математического моделирования в практической сейсморазведке ограничено. При этом в широко распространенных обрабатывающих и интерпретационных комплексах программ оно ограничивается акустическими моделями. Это связано с тем, что до настоящего времени основной целью стандартной обработки является получение временных разрезов, которые в некотором приближении могут соответствовать реакции акустической модели среды на нормальное падение плоской продольной волны. На данном представлении основаны многие интерпретационные подходы, например, псевдоакустический каротаж. Однако, при реализации этого подхода происходит значительная потеря информации о среде, содержащаяся в исходных сейсмограммах. Желание не терять данную информацию, а использовать ее при интерпретации, приводит к необходимости использования способов обработки сейсмических данных, в которых параметры среды определяются по полному волновому полю. В этом случае акустическое приближение становится не адекватным и должно быть заменено моделью упругой среды с возможным учетом анизотропии и поглощения в зависимости о ситуации. Естественно, возникает целесообразность использования не только вертикальной, но и горизонтальных компонент вектора смещений, в частности вовлечения в обработку волн PS (хотя возможность определения упругих характеристик среды по лишь одной из компонент остается интересной и в этом случае).
Теория методов интерпретации, основывающихся на уравнениях теории упругости, развивается давно, но широкого применения в повседневной практике сейсморазведки пока не находит по причине резкого увеличения вычислительной сложности имеющихся алгоритмов. Дело в том, что практически единственно возможным методом численного решения обратной задачи оказывается оптимизационный метод. Оптимизационный метод при решении обратной задачи — это прежде всего многократное решение прямой задачи, то есть на скорость решения обратной задачи существенное влияние оказывает то обстоятельство, каким методом решается прямая задача, сколько для вычислений требуется времени. Численные методы, дающие решение для прямой задачи в необходимой для сейсморазведки пространственно-временной области, требуют значительного времени для вычислений, или условия их применимости могут быть не выполнены, что существенно ограничивают возможность применения на практике данных методов для решения обратной задачи. Таким образом, без эффективных способов решения прямой и обратной задачи для упругих licjq$ge#Aqpgfl, ^^современном объ-
1! іГзкйі J
л
еме реальных сейсмических данных не представляется возможным переход к качественно новым методам их интерпретации.
Решение прямой задачи для целей моделирования и для создания алгоритмов решения обратной задачи — это разные проблемы и они могут быть решены различными способами. В первом случае результат должен быть представлен в виде сейсмограмм, то есть в пространстве (х, t), тогда, как во втором случае, представление решения диктуется только соображениями экономии времени вычислений.
В условиях горизонтальной слоистости и однородности среды в слоях решение системы дифференциальных уравнений (СДУ) теории упругости может быть представлено в форме интегральных разложений по временной и пространственным переменным. То есть возможен переход к решению СДУ теории упругости в частотной области и построение в той же области алгоритмов решения обратной динамической задачи сейсмики.
В пользу такого подхода говорят следующие обстоятельства. Во-первых, существует метод решения прямой задачи для СДУ теории упругости в частотной области для частного вида горизонтально-слоистых однородных сред (Аккуратов Г.В. и Дмитриев В.И. (1979, 1984), Фатьянов А.Г. и Ми-хайленко Б.Г. (1988), Фатьянов А.Г. (1989)). Численный алгоритм на основе данного метода дает решение за малое время. Во-вторых, для построения функционала невязки могут быть использованы функции, значения которых известны только для ограниченного набора параметров интегральных преобразований, что приведет к существенному сокращению времени вычисления функционала невязки и числа решений прямой задачи.
При решении обратной задачи в частотной области встают две основные проблемы.
Первая проблема — переход к образам интегральных преобразований от реальных сейсмограмм.
Суть этой проблемы заключается в следующем. На практике области и время наблюдений являются ограниченными. При теоретическом же исследовании области и время наблюдений при интегральных преобразованиях решения СДУ теории упругости, зависящего от пространственно-временных переменных, считаются бесконечными. Следовательно, при вычислениях на практике образ интегральных преобразований, полученный от реальных сейсмограмм, будет отличаться от теоретического. Для решения данной проблемы требуется, во-первых, алгоритм, осуществляющий переход от сейсмограмм к их образам, включающий в себя процедуры поправок, учитывающие ограниченность области и времени наблюдений, а во-вторых, проведе-
ниє исследования, какая часть информации о среде может быть надежно восстановлена, если дополнительная информация о решении прямой задачи в частотной области известна с некоторой ошибкой. На второй вопрос может быть получен частичный ответ при теоретическом и численном исследовании разрешающих свойств обратной динамической задачи сейсмики в частотной области.
Вторая проблема — создание метода решения прямой задачи для СДУ теории упругости в частотной области для горизонтально-слоистой однородной среды, способного дать решение за короткое время, создание устойчивого вычислительного алгоритма для получения решения данной задачи.
К решению второй проблемы надо также отнести необходимость проведения теоретических и численных исследований поведения функционала невязки и математических свойств обратной динамической задачи сейсмики в частотной области.
Для функционала невязки, во-первых, необходимо проведение исследований
на наличие локальных минимумов и максимумов,
на выявление характера овражности,
на выяснение возможности достижения точки глобального минимума,
на установление характера зависимости функционала невязки от его параметров.
Во-вторых, необходимо определить возможность вычисления градиента функционала невязки. Ответы на эти вопросы позволят сформулировать стратегию минимизации функционала невязки и выбрать метод его минимизации.
Теоретические исследования математических свойств обратной задачи и численный эксперимент должны дать ответ на следующие вопросы:
Возможно ли сведение одной обратной задачи по определению всех упругих параметров среды к серии обратных задач по определению только части этих параметров? (Такая возможность упрощает алгоритм решения обратной задачи и повышает точность вычислений).
Какая часть спектральных данных пригодна для численного решения обратной задачи?
Какова разрешающая способность обратной динамической задачи сей-
смики в частотной области? (То есть необходимо установить степень
влияния отдельных упругих параметров на поведение решения прямой
задачи).
Таким образом, объектом исследований является оптимизационный подход для решения обратной задачи сейсмики в частотной области для горизонтально-слоистых однородных сред.
Целью настоящей работы будет построение решения прямой динамической задачи сейсмики в частотной области и изучение принципиальной возможности численного решения обратной задачи при ее постановке в той же области.
Основные усилия по первой части исследования будут направлены на решение следующих задач:
создание метода решения прямой задачи для СДУ теории упругости в частотной области для горизонтально-слоистой однородной среды любого вида анизотропии, способного дать решение за короткое время,
создания устойчивого вычислительного алгоритма для решения данной задачи.
Вторая часть исследования будет направлена на изучение поведения функционала невязки и выявление основных математических свойств обратной задачи в частотной области.
Решения выше перечисленных задач должны быть ориентированы на использование адекватной модели типичного, используемого в реальном эксперименте (в частности, взрывного) источника сейсмических волн.
Другими словами, цель работы заключается в создании математического инструмента для решения оптимизационным методом в частотной области обратной динамических задач сейсмики для горизонтально-слоистых однородных сред на основе уравнений теории упругости для нужд практической сейсморазведки.
Фактический материгіл и методы исследования. В основе исследования лежит СДУ теории упругости в терминах смещений. В силу горизонтальной слоистости и однородности среды коэффициенты СДУ зависят только от переменной хз (глубины).
Требования практики ограничивают вид источника, возбуждающего в среде упругие колебания:
F{t)45{Xl,x2,xz-xl). (1)
Источник вида (1) есть центр давления, который является моделью взрыва.
Для перехода в частотную область к СДУ теории упругости применено преобразование Фурье по пространственным переменным х\ и Х2 и преобразование Лапласа по временной переменной t. В случае изотропной среды СДУ теории упругости может быть записана в цилиндрической системе координат, тогда для перехода в частотную область по пространственной переменной г применено преобразование Фурье-Бесселя, а по временной переменной t — преобразование Лапласа.
Для нахождения решения СДУ теории упругости в частотной области использовалась редукция СДУ второго порядка к дифференциальному матричному уравнению Риккати (ДМУР) для матрицы, имеющей смысл адми-таиса, и возможность получения решения последнего в явной аналитической форме в каждом слое среды.
С целью апробации предложенного метода в работе приводятся теоретические сейсмограммы, полученные на основе решения прямой задачи в частотной области и применения обратных интегральных преобразований.
В основе метода построения градиента функционала невязки, в основе изучения поведения функционала невязки в зависимости от его параметров, в основе изучения математических свойств решения обратной динамической задачи сейсмики в частотной области лежит разработанный автором метод решения прямой задачи (знание аналитической структуры решения) и численный эксперимент.
Защищаемые научные результаты:
1. Создан метод решения нестационарной СДУ теории упругости для горизонтально-слоистых однородных сред любого вида анизотропии. Решение представлено в форме интегральных разложений по временной и пространственным переменным. В частотной области разработан метод явного аналитического решения данной СДУ в произвольной точке среды и устойчивый алгоритм его численного нахождения, не имеющего ограничений на толщиігу слоев: модель среды может содержать как очень толстые, так и очень тонкие слои. В основе метода лежит редукция СДУ второго порядка к ДМУР для матрицы, имеющей смысл адмитаиса, для которой также получено решение в явной аналитической форме в каждом слое среды.
-
Сформулирована стратегия минимизации функционала невязки для нахождения его глобального минимума, которая сводится к набору рекомендаций по построению функционала на различных этапах минимизации. В основе стратегии лежит знание аналитической структуры решения прямой задачи и численное исследование поведения функционала в зависимости от своих параметров.
-
Разработан метод построения явных аналитических формул для градиента функционала невязки на основе предложенного метода решения СДУ теории упругости в частотной области.
-
При помощи теоретического и численного исследования на основе разработанного метода решения СДУ теории упругости в частотной области выявлены основные математические свойства обратной динамической задачи сейсмики для горизонтально-слоистых однородных сред трех видов: изотропной, орторомбической и трансверсально-изотропной с осью симметрии бесконечного порядка, лежащей в горизонтальной плоскости.
Таким образом, создан математический инструмент для развития численного решения обратной динамической задачи сейсмики для реальных данных, основанный на явном аналитическом решении СДУ теории упругости для горизонтально-слоистых однородных сред любого вида анизотропии.
Новизна результатов. Личный вклад. Предложен оригинальный метод решения прямой динамической задачи сейсмики в частотной области, на его основе в той же области проведено теоретическое и численное исследование обратной динамической задачи сейсмики для горизонтально-слоистых изотропных и анизотропных однородных сред.
1. Прямая задача:
построено явное аналитическое решение СДУ теории упругости в частотной области для горизонтально-слоистых однородных сред любого вида анизотропии в любой точке среды, не имеющее ограничений на толщину слоев (модель среды может содержать как очень толстые, так и очень тонкие слои), в основе которого лежит редукция СДУ второго порядка к ДМУР, для которого также построено решение в явной аналитической форме в каждом слое среды;
предложен устойчивый алгоритм численного нахождения решения СДУ теории упругости, в основе которого лежит знание корней характеристического уравнения данной системы и их свойств;
предложен численный алгоритм нахождения корней характеристического уравнения, в основе которого лежит использование известной априорной информации о корнях характеристического уравнения и метод выделения квадратного множителя Хичкока.
2. Функционал невязки:
на основе знания аналитической структуры решения прямой задачи и численного эксперимента установлен характер поведения функционала невязки в зависимости от своих параметров;
с учетом характера установленных зависимостей предложена общая стратегия минимизации функционала невязки, позволяющая найти его глобальный минимум.
3. Градиент функционала невязки:
получены явные аналитические выражения для компонент гради
ента функционала невязки, в основе вывода которых лежит
введение ступенчатой функции специального вида,
получение постановок прямых задач для приращений решения прямой задачи для СДУ теории упругости при вариации различных упругих постоянных и плотности,
объединение в единую постановку прямой задачи для решения СДУ теории упругости и его приращений,
применение к полученной СДУ схемы исследований, предложенной для решения прямой задачи для СДУ теории упругости.
4. Обратная задача: На основе знания аналитической структуры реше
ния прямой задачи и численного исследования зависимости обратной
задачи и функционала невязки от своих параметров
установлена возможность сведения решения обратной динамиче
ской задачи сейсмики в частотной области по определению неиз
вестных упругих постоянных среды к серии последовательно реша
емых обратных задач по определению только части неизвестных
постоянных;
установлена разрешающая способность обратной динамической задачи сейсмики в частотной области для горизонтально-слоистых однородных анизотропных сред, показано, что увеличить разрешающую способность можно только за счет уменьшения расстояния между сейсмоприемниками на профиле;
показана возможность построения алгоритма решения обратной динамической задачи сейсмики по восстановлению упругих постоянных среды, начиная с наиболее значимых и заканчивая наименее значимыми по влиянию на поведение функционала невязки;
показано, что доступная для практического использования частотная область разбита на две части: значения пространственных и временных частот, попадающие в первую, запрещены для использования при построении функционала невязки, попадающие во вторую, разрешены.
Теоретическая значимость результатов. Теоретическое исследование прямой и обратной динамических задач сейсмики в частотной области, заключающееся в построении метода решения прямой задачи, установлении математических свойств обратной задачи и функционала невязки достаточно для того, чтобы перейти к решению задач, связанных с решением обратной динамической задачи сейсмики для реальных данных, то есть перейти к решению задач практического направления.
Практическая значимость результатов. Созданный метод решения прямой задачи и выявленные математические свойства решения обратной динамической задачи сейсмики в частотной области необходимы специалистам в многоволновой сейсморазведке прежде всего для создания численных алгоритмов решения обратной задачи. Результаты работы также могут быть полезны для математического моделирования волновых процессов в горизонтально-слоистых изотропных и анизотропных однородных средах. Решения прямой задачи, полученные при помощи предложенного метода, могут быть использованы для тестирования правильности работы приближенных методов решения прямой динамической задачи сейсмики.
Здесь необходимо сделать следующие пояснения. Как уже отмечалось выше, для создания алгоритмов решения обратной динамической задачи сейсмики необходимо решать задачи первой проблемы. Входными данными для обратной задачи являются сейсмограммы. Для того чтобы на практике могли быть использованы предложенные в данной работе методы, необходим алгоритм перехода от сейсмограмм к их образам интегральных преобразо-
ваний. В работе показано, что частотная область для построения функционала невязки делится на две части: доступную и недоступную. Недоступная область содержит особые точки, которые связаны со спектром дифференциального оператора СДУ теории упругости, доступная область является регулярной частью образа. Данное обстоятельство должно облегчить задачу перехода от сейсмограмм к их образам, поскольку будет необходимо добиться только хорошего совпадения теоретического и практического спектров регулярной части образа. Для решения данной задачи может быть применим метод близких операторов (С.В.Гольдин и др. (1993)).
Использование полученных результатов для математического моделирования требует проведения обратных интегральных преобразований для перехода из частотной в пространственно-временную область. В данном случае уже не удастся воспользоваться свойством деления частотной области на доступную и недоступную. Для получения теоретических сейсмограмм будет необходимо аккуратно проводить интегрирование в окрестностях, содержащих особые точки. Естественно, что только после создания необходимого алгоритма перехода из частотной области в пространственно-временную, теоретические сейсмограммы могут быть использованы для тестирования приближенных методов решения прямой динамической задачи сейсмики.
Результаты работы докладывались на следующих научных конференциях:
II Международная конференция по математическому моделированию, Якутск, 28 июня - 2 июля, 1997.
Всероссийская научная конференции "Алгоритмический анализ некорректных задач", Екатеринбург, 2-6 февраля, 1998.
III Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике, Новосибирск, 22-25 июня, 1998.
Международная конференция "Обратные задачи математической физики", Новосибирск, 21-25 сентября, 1998.
VI конференция "Обратные и некорректно поставленные задачи", Москва, 20-21 июня, 2000.
Международная конференция "Некорректные и обратные задачи физики", Новосибирск, 5-9 августа, 2002.
Международная конференция по Математическим Методам в Геофизике (ММГ-2003), Новосибирск, 8-12 октября, 2003.
International Conference "Inverse Problems: Modeling and Simulation", Fethiye, Turkey, June 07-12, 2004.
Международная конференция по вычислительной математике (МКВМ-2004), Новосибирск, 21-25 июня, 2004.
Результаты работы вошли в отчеты по следующим грантам:
Гранты РФФИ: 05-01-00171, 05-01-00559, 02-01-00818, 02-01-00809, 99-01-00563, 96-01-01937, 93-01-01739.
Грантам научных школ: НШ-1172.2003.1, 00-15-96183, 96-15-96284.
Грантам Министерства образования РФ: УР.04.01.026, N-00-1.0-73.
Результаты работы докладывались на научных семинарах:
Семинар лаборатории волновых процессов Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН (руководитель семинара член-корр. РАН В.Г.Романов).
Семинар лаборатории обратных задач математической физики Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН (руководитель семинара д.ф.-м.н. Ю.Е.Аниконов).
Семинар лаборатории численных методов решения обратных задач Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН (руководитель семинара д.ф.-м.н. А.Л.Бухгейм).
Семинар отдела механики деформируемого твердого тела Института гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН (руководитель семинара член-корр. РАН Б.Д.Аннин)
Семинар отдела математических задач геофизики Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (руководитель семинара акад. РАН А.С.Алексеев).
Структура и объем диссертаїщи. Диссертационная работа состоит из Введения, трех глав, Заключения, библиографического списка, включающего 391 наименование. Работа изложена на 198 страницах, содержит 37 рисунков и 12 таблиц.
