Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Свойства космической плазмы и методы описания 12
1.1 Солнечный ветер 12
1.2 Картина обтекания планет солнечным ветром 16
1.3 Математическое описание космической плазмы. Переход от кинетического описания плазмы к гидродинамическому подходу 25
1.4 МГД - разрывы. Их классификация 34
Глава 2. Общая характеристика МГД - нєустойчивостей 39
2.1 Устойчивость МГД - систем. Методы исследования . 39
2.2 Неустойчивость Рэлея - Тейлора 41
2.3 Неустойчивость Кельвина - Гельмгольца 48
2.4 Перестановочная или желобковая неустойчивость . 51
2.5 Изучение МГД - нєустойчивостей в космической плазме 54
Глава 3. Неустойчивость слоев с кусочно - постоянными параметрами 57
3.1 Постановка задачи 57
3.2 Перестановочная неустойчивость одной границы 62
3.3 Неустойчивость слоя, ограниченного двумя тангенциальными разрывами 65
3.4 Влияние скорости плазмы на неустойчивость слоя . 70
3.5 Выводы 74
Глава 4. Перестановочная неустойчивость слоя с плавным изменением магнитного поля и параметров плазмы 76
4.1 Постановка задачи 76
4.2 Результаты расчетов 80
4.3 Выводы 85
Глава 5. Перестановочные неустойчивости слоев, связанных с обтеканием солнечным ветром магнитных и немагнитных планет 87
5.1 Обтекание солнечным ветром магнитосферы Земли. Неустойчивость магнитопаузы 87
5.2 Токовый слой в солнечном ветре, обтекающий магнитосферу 95
5.3 Обтекание ионосферы Венеры. Перестановочная неустойчивость магнитного барьера и ионопаузы 101
5.4 Выводы 115
- Математическое описание космической плазмы. Переход от кинетического описания плазмы к гидродинамическому подходу
- Неустойчивость Кельвина - Гельмгольца
- Неустойчивость слоя, ограниченного двумя тангенциальными разрывами
- Токовый слой в солнечном ветре, обтекающий магнитосферу
Введение к работе
Диссертация посвящена исследованию перестановочной неустойчивости искривленных токовых слоев в космической плазме. В работе изучены модели тонких слоев, характеризуемых как кусочно - постоянными, так и плавными профилями магнитного поля и давления плазмы. На основе разработанной теории исследована устойчивость границ магнитосферы Земли и ионосферы Венеры, а также движущегося к магнитопаузе искривленного токового слоя, связанного с нестационарными вариациями межпланетного магнитного поля.
Актуальность темы. Тонкие токовые слои являются типичными образованиями в космической плазме, характеризуемой высокой электропроводностью. Они могут разделять магнитные поля и плазмы различного происхождения. В таких слоях при наличии кривизны магнитных силовых линий и градиента плазменного давления, направленного к центру кривизны, может возникнуть перестановочная неустойчивость. Развитие неустойчивостей приводит к локальному разрушению токовых слоев и, как следствие, к диффузии магнитных полей. Типичными представителями структур, на которых при определенных условиях может развиваться перестановочная неустойчивость, являются границы магнитосфер планет и магнитных облаков. В частности, перестановочная неустойчивость может возникать на границе магнитосферы Земли (магнитопаузе). В этом случае, развитие неустойчивости возможно, если внутри магнитопаузы существует локальный максимум давления плазмы, соответствующий минимуму магнитного давления. Такая ситуация имеет место при наличии антипараллельных компонент магнитных полей по обе стороны от магнитопаузы.
Возможным результатом перестановочной неустойчивости является пересоединение магнитных полей на границе магнитосферы Земли.
Как было отмечено в работах [1,2], пересоединение магнитных полей с наибольшей вероятностью происходит при антипараллельных магнитных полях на границе. Как показано в этих работах, при любых направлениях межпланетного магнитного поля (ММП) существуют области магнитопаузы Земли, где магнитные поля магнитосферы и переходной области антипараллельны.
В связи с возможностью пересоединения магнитных полей, перестановочная неустойчивость подсолнечной магнитопаузы Земли была исследована в работе [3] в приближении тангенциального разрыва.
Актуальным представляется дальнейшее развитие теории перестановочной неустойчивости с учетом влияния таких факторов как толщина и структура слоя, движение плазмы.
Целью настоящей работы является исследование перестановочной неустойчивости тонких токовых слоев конечной кривизны. В задачу работы входит решение следующих взаимосвязанных задач;
разработка математических моделей и методов расчета перестановочной неустойчивости;
выявление основных факторов, влияющих на неустойчивость ;
применение полученных результатов для исследования неустой-чивостей слоев в космической плазме :
а) дневной магнитопаузы Земли в областях большого магнитного
шира;
б) переходного слоя в случае нестационарных вариаций межпла
нетного магнитного поля;
в) магнитного барьера и иопопаузы Венеры.
На защиту выносятся следующие положения:
Рост инкремента неустойчивости искривленного тонкого токового слоя вызывают следующие основные факторы : антипараллельная взаимо ориентация магнитных полей, увеличение толщины слоя, уменьшение длины волны, уменьшение локального радиуса кривизны, увеличение тангенциальной компоненты скорости, ортогональной магнитному полю.
Максимальный инкремент перестановочной неустойчивости для условий подсолнечной магнитопаузы Земли равен 4 Usw/R, где Usw - скорость солнечного ветра. R - радиус кривизны магнитопаузы. Неустойчивость существует в конечном интервале углов (180 ± 15") между магнитными полями переходного слоя и магнитосферы.
Зависимость инкремента перестановочной неустойчивости тонкого токового слоя, движущегося по направлению к магнитопаузе и связанного с нестационарными вариациями ММП, является монотонно возрастающей функцией времени. При приближении токового слоя к магнитопаузе имеет место эффект резкого возрастания инкремента. Максимальный инкремент получен равным 2USW(R.
Максимальный инкремент перестановочной неустойчивости магнитного барьера и ионопаузы Венеры составляет 0.5 Usw/R, где Usw - скорость солнечного ветра, R - радиус кривизны границы ионосферы. Возмущения полного давления локализованы в пределах магнитного барьера и не распространяются в область переходного слоя, смежную с ударной волной.
Научная новизна. В работе сделаны следующие шаги в развитии теории перестановочной неустойчивости:
построено общее аналитическое решение линейной задачи перестановочной неустойчивости однородного слоя конечной кривизны, ограниченного двумя тангенциальными разрывами; исследована зависимость инкремента неустойчивости от толщины слоя, волнового числа, радиуса кривизны, взаимной ориентации магнитных полей, а также тангенциальной скорости плазмы ;
разработан алгоритм и построено численное решение линейной задачи перестановочной неустойчивости слоя с плавным изменением магнитного поля и параметров плазмы и проведено сравнение с более простой в вычислительном плане моделью слоя, характеризуемого кусочно - постоянными параметрами ;
рассмотрена неустойчивость подсолнечной магнитопаузы Земли на основе диух моделей:
а) однородного слоя, ограниченного двумя тангенциальными раз
рывами ;
б) слоя с плавным изменением параметров.
Исследована зависимость перестановочной неустойчивости границы магнитосферы от толщины магпитопаузы, скорости потока и взаимной ориентации магнитных полей в переходной области и магнитосфере ;
исследована перестановочная неустойчивость токового слоя, движущегося от ударной волны к магнитопаузс Земли на основе модели слоя с плавным изменением параметров и результатов нестационарного МГД обтекания магнитосферы солнечным ветром ;
изучена перестановочная неустойчивость магнитного барьера и ионопаузы Венеры на основе модели слоя с плавным изменением параметров и результатов стационарного МГД обтекания ионосферы солнечным ветром.
Научное и практическое значение работы. Разработанные модели возникновения перестановочной неустойчивости представляют интерес для физики плазмы и космической физики, в частности, для изучения процессов на дневной магнитопаузе. Они могут быть использованы при интерпретации экспериментадьных данных, свидетельствующих о нестационарных вариациях параметров в переходном слое, а также на магнитопаузах и ионопаузах планет.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на международных конференциях International Workshop on the Solar Wind - Magnetosphere System 3 (г. Грац, Австрия, 1998), Problems of Gcocosmos (г. Санкт- Петербург, Россия, 2000), VIII Joint Symposium "Atmospheric and ocean optics. Atmospheric physics" (і1. Иркутск, Россия, 2001), Математические модели и методы их исследования (г. Красноярск, Россия, 2001), 27th General assembly of the European Geophysical Society (г. Ницца, Франция, 2002), Problems of Geocosmos (г. Саіікт- Петербург, Россия, 2002), 34th COSPAR Scientific Assembly (г. Хьюстон, Техас, США, 2002), EGS-AGU-EUG Joint Assembly (г. Ницца, Франция, 2003).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах [4—10]-
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, 34 рисунков и списка литературы из 120 наименований. Общий объем 137 страниц.
Характеристика глав.
Первая глава содержит обзорные сведения, используемые в работе. В пункте 1.1 приводится краткая характеристика солнечного вет-
pa и типичные значения параметров. Условия в солнечном ветре являются определяющими для задачи взаимодействия ветра с планетами. Описание этого взаимодействия приводится в пункте 1.2 . Обтекание солнечным ветром магнитных и немагнитных планет здесь рассматривается на примерах Земли и Венеры. Пункт 1.3 посвящен характеристике математического описания космической плазмы. Здесь показана связь кинетического описания и гидродинамического подхода, вводится система уравнений идеальной магнитной гидродинамики. В пункте 1.4 приводятся условия, которые должны выполняться на поверхности разрыва, и классификация МГД - разрывов, построенная на основе этих соотношений.
Вторая глава посвящена обзору сведений по магнитогидродинами-ческим неустойчивостям. Здесь рассмотрены неустойчивости Рэлея -Тейлора, Кельвина - Гельмгольца и перестановочная неустойчивость. Кратко охарактеризованы методы исследования и полученные результаты в этих направлениях.
В третьей главе исследуется неустойчивость слоя конечной кривизны в модели кусочно - постоянных магнитного поля и параметров плазмы внутри слоя, во внешней и внутренней областях. Аналитическое решение задачи приводится в п. 3.1 . В пункте 3.2 рассматривается перестановочная неустойчивость одного тангенциального разрыва, в то время как в п. 3.3 приводится численное решение для однородного слоя, ограниченного двумя тангенциальными разрывами, и проводится сравнение результатов. В пункте 3.4 вводится ненулевая тангенциальная скорость плазменного потока и исследуется ее влияние на неустойчивость токового слоя.
Четвертая глава посвящена исследованию перестановочной неустойчивости слоя с плавным изменением магнитного поля и параметров плазмы. Здесь задача сводится к дифференциальному уравнению вто-
рого порядка на возмущения полного давления с граничными условиями по обе стороны слоя (пункт 4.1). В пункте 4.2 исследуется численное решение этого уравнения для заданного аналитического профиля магнитного поля поперек слоя.
В пятой главе на основе полученных результатов в главах 3, 4 рассматриваются перестановочные неустойчивости слоев, связанных с обтеканием солнечным ветром магнитных и немагнитных планет.
В пункте 5.1 исследуется неустойчивость подсолнечной магнитопау-зы Земли. Взаимодействие межпланетного магнитного поля при наличии южной компоненты с геомагнитным полем приводит к формированию слоя повышенного плазменного давления. Токи, текущие по границе между слоем повышенного давления и магнитосферой, препятствуют проникновению межпланетного магнитного поля внутрь магнитосферы. Однако, внешняя граница слоя является неустойчивой по отношению к перестановочной неустойчивости. Таким образом, сначала исследуется неустойчивость внешней границы магнитопаузы как одного тангенциального разрыва. Затем магнитопауза моделируется слоем, ограниченным двумя тангенциальными разрывами, и перестановочная неустойчивость исследуется в модели кусочно - постоянных магнитного поля и параметров плазмы. При заданном аналитическом модельном профиле магнитного поля поперек магнитопаузы, выбранном пропорциональным гиперболическому тангенсу, перестановочная неустойчивость анализируется для случая антипараллельных магнитных полей магнитосферы и переходного слоя. Здесь проводится сравнение и характеристика полученных результатов по мере усложнения моделей.
В связи с нестационарными вариациями межпланетного магнитного поля в солнечном ветре могут появляться токовые СЛОИ. В И- 5.2 рассматривается тонкий токовый слой, разделяющий анти параллель-
кые магнитные поля, и движущийся от ударной волны к магнитопаузе. Для анализа неустойчивости используются профили магнитного поля и параметров плазмы, полученные из МГД модели нестационарного обтекания магнитосферы солнечным ветром в работе [11]. Слой характеризуется локальным повышением плазменного давления и плотности. По мере приближения слоя к магнитопаузе сильно возрастает напряженность магнитного поля в переходной области. И, как следствие этого, сильно возрастает инкремент неустойчивости. Для численного решения задачи используются расчеты, приведенные в главе 4 с плавным изменением магнитного поля и параметров плазмы поперек слоя.
В пункте 5.3 рассматривается взаимодействие солнечного ветра с Венерой. Отсутствие у Венеры собственного магнитного поля позволяет солнечному ветру напрямую контактировать с ионосферой планеты. Иопопауза, разделяющая плазму переходного слоя от ионосферной плазмы, представляет собой слой больших градиентов плотности и плазменного давления, направленных к центру кривизны. Таким образом, на магнитном барьере и ионопаузе Венеры может развиться перестановочная неустойчивость. Численное решение проводится на основе модели, описанной в главе 4 с плавным изменением магнитного ноля и параметров плазмы поперек слоя. Вначале перестановочная неустойчивость магнитного барьера и иогюпаузы Венеры исследуется для аналитического модельного профиля магнитного поля, затем - на фоне профилей магнитного поля и параметров плазмы, полученных из численного МГД решения задачи обтекания ионосферы Венеры солнечным ветром в работе [12].
В Заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.
Математическое описание космической плазмы. Переход от кинетического описания плазмы к гидродинамическому подходу
Структуру переходного слоя в значительной степени определяет параметр Маха - Альфвена Ма- С подсолнечной стороны в областях, смежных с дневной магпитопаузой, космические аппараты часто регистрируют слой, в котором магнитное поле и параметры плазмы ведут себя иным образом, чем в остальной части переходного слоя [34] : по мере приближения к магнитопаузе напряженность магнитного поля возрастает и одновременно падает плотность плазмы. Набегающий на магнитосферу поток несет с собой слабое магнитное поле, которое затем усиливается и становится сильным в относительно тонком слое - магнитном барьере. На магнитном барьере увеличивается магнитное поле и уменьшаются плотность, температура и плазменное давление. Это связано с тем, что по мере приближения потока плазмы к магнитопаузе, вмороженные силовые линии магнитного поля растягиваются [35]. В связи с этим, отношение Bsw/psw = / — сю. Магнитное поле не может возрасти до бесконечности, так как магнитное давление ограничено динамическим давлением солнечного ветра pmi!Ulw. Поэтому, в магнитном барьере магнитное поле увеличивается, а плотность плазмы значительно падает. Для этой области характерно преобладание магнитного давления над тепловым. Толщина магнитного барьера, определяемая по равенству магнитного и теплового давлений, обратно пропорциональна квадрату числа Маха - Альфвена для невозмущенного солнечного ветра [36].
Экспериментальные доказательства существования магнитного барьера были впервые приведены в работах [37,38]. В теоретических исследованиях существование магнитного барьера предсказывалось давно [39-41].
Структура и условия, при которых возникает магнитный барьер, были изучены во многих работах (например, [36, 42]). В частности, было рассмотрено влияние параметра Маха - Альфвена на структуру переходного слоя и магнитный барьер [43], а также влияние анизотропии [44] и магнитного шира [45,46].
Магнитопауза является границей магнитосферы. Она отделяет геомагнитное поле от возмущенного солнечного ветра, обтекающего магнитосферу. Точка наибольшего приближения солнечного ветра к Земле находится на линии Солнце- Земля, причем расстояние от центра Земли до этой точки составляет около 10 RE (RE - земной радиус). Оценка положения мапгато паузы на дневной стороне получается из условия баланса давлений солнечного ветра и геомагнитного поля [47,48] где Nsw - концентрация частиц солнечного ветра, т - масса протона, Usw - скорость солнечного ветра, Bsw - напряженность геомагнитного поля. В простейшем случае, рассматривая геомагнитное поле как поле диполя, можем записать BSb} = 0, 311/RQ Гс, где RQ - геоцентрическое расстояние в земных радиусах [47]. Тогда, подставляя численные значения для спокойного солнечного ветра 300 Usw 400 км/с и 4 Nsw 6 см"3, получаем, что магнитопауза должна располагаться на геоцентрическом расстоянии 8.8 — 10.4. Однако, наблюдаемые значения несколько превосходят полученные. В среднем, обращенная к Солнцу граница магнитосферы находится на расстоянии (10 —12) Rg [20], среднее экспериментальное значение составляет 10.8 земного радиуса [47]. Полученное различие данных объясняется тем, что геомагнитное поле не является дипольным.
На близких расстояниях, г 5ДЕ, геомагнитное поле практически пе искажено солнечным ветром и определяется выутриземными источниками, оно аналогично полю диполя с моментом порядка 8.2 1025 Гс-см3 [49], расположенного вблизи центра Земли и направленного к югу. Однако, на больших расстояниях структура геомагнитного поля сильно отличается от дипольного вследствие его взаимодействия с солнечным ветром. Учитывая вклад токов на магнитопау-зе, магнитное поле в подсолнечной области может быть записано как В = Вз + (2/ - l)Bd [50], где Bd = 0,311/./} Ге - дипольное магнитное поле (RQ - геоцентрическое расстояние в земных радиусах), параметр / является функцией формы магнитопаузы, изменяясь в пределах от 1 (для плоской магнитопаузы) до 1,5 (для сферичной границы магнитосферы). По данным наблюдений форма дневной магнитопаузы близка к эллипсоидальной, что соответствует величине параметра / 1.22 [50]. Тоща, подставляя в условие баланса (1.1) численные значения для спокойного солнечного ветра 300 Е7.чш 400 км/с и 4 Nsw 6 см 3, получаем, что магнитопауза должна располагаться на геоцентрическом расстоянии 10.6 — 12.5 земного радиуса.
Положение магнитопаузы зависит от плотности потока количества движения плазмы солнечного ветра и напряженности геомагнитного поля. В отдельных случаях она может приближаться до расстояний ( 7 — 8 ) RE- Толщина магнитопаузы состанляет около 1000 км [51]. Для магнитопаузы, также как и для переходного слоя, характерный масштаб много больше радиуса Дебая (для солнечного ветра вблизи магнитосферы Земли г о 103см), следовательно, в этих областях выполняется условие квазинейтральности.
Неустойчивость Кельвина - Гельмгольца
Записывая МГД - уравнения для каждой из областей, линеаризуя их по малым возмущениям и используя граничные условия (непрерывности полного давления и непроницаемости границы для плазмы), может быть получено дисперсионное уравнение. При отсутствии магнитного поля оно выглядит следующим образом [16,85]: ш = kg. (2.1)
Как видно из уравнения (2.1), неустойчивость не возникает при р2 Р\ (в этом случае и 2 принимает неотрицательные значения при любых значениях к, следовательно, 7 = 1т(ш) — 0). При рч рь ш2 0, и неустойчивость имеет место для всех значений волнового числа к.
Это можно пояснить качественно на основе энергетического принципа. Предположим, что на границе возникло смещение синусоидальной формы. При р\ р2 это приводит к увеличению гравитационной потенциальной энергии, т. к. в конечном счете совершается работа по преодолению силы тяжести. Однако, когда / pi, т. е. когда более плотная плазма лежит на более легкой, в результате возмущения происходит уменьшение гравитационной потенциальной энергии и, как следствие этого, возникает неустойчивость Рэлея - Тейлора. Как видно, рассуждения на основе энергетического принципа согласуются с выводами, полученными при анализе дисперсионного уравнения (2.1).
Рассмотрим теперь не границу раздела двух плазм, а несжимаемую среду, помещенную в поле тяжести, равновесная плотность которой изменяется в вертикальном направлении z : р p(z). При решении системы МГД - уравнений получается дифференциальное уравнение второго порядка. В том случае, когда в задаче на собственные значения бывает трудно построить даже приближенные решения, используется вариационная запись основного уравнения. Решение задачи приведено в работе [84], в которой получено следующее выра 44 жение для квадрата инкремента неустойчивости :
Выражение (2.2) позволяет оценить величину 72, используя произвольные пробные функции uz, удовлетворяющие заданным граничным условиям. Чем точнее пробная функция приближается к собственной функции, тем точнее будет оценка для собственного значения у.
Как следует из (2.2), неустойчивость существует тогда и только тогда, когда на некотором уровне в жидкости произведение д dp/dz положительно. Для того, чтобы продемонстрировать это, выберем для uz такую пробную функцию, которая равна нулю везде за исключением уровней, іде д dp/dz больше нуля. Для любой такой функции у2 О, хотя не обязательно имеет максимальное значение. Инкремент не зависит от р, но непосредственно связан с обратной величиной характерного масштаба градиента Л = р/(dp/dz). Наиболее короткие длины волн к2 — оо являются наиболее неустойчивыми, стремясь в пределе к конечной точке сгущения для 72- Если д dp/dz везде отрицательно, то все пробные функции приводят к отрицательным значениям у2, указывая на то, что имеются только устойчивые колебания. Чандрасе-кар [86] показал, как можно построить вариационный принцип в том случае, когда в рассмотрение включены простые модели для вязкости и поверхностного натяжения. Вязкость влияет на инкремент, но не приводит к стабилизации. Поверхностное натяжение стабилизирует наиболее коротковолновые поперечные волны.
Для реализации неустойчивости Рэлея - Тейлора в несжимаемой жидкости при отсутствии магнитного поля необходимо, чтобы градиент плотности был направлен противоположно силе тяжести. Неустойчивость границы "плазма - магнитное поле"
Рассмотрим границу z = О, разделяющую две идеально проводящие плазмы. Сила тяжести действует нормально к границе в направлении отрицательных значений z: g —gez (рис. 2.1, b) ). Пусть плотность слоя при z О равна рь а при z 0 - рч. Плазма однородной плотности р\ поддерживается относительно действия силы тяжести магнитным полем В і&х. Предположим, что давление плазмы ниже плоскости в1 z = 0 пренебрежимо мало, т. е. р2 С —, а сама граница находится в 87Г В1 равновесии вследствие баланса давлений \ р\ = —. Дисперсионное уравнение в этом случае может быть записано следующим образом [16,87] ш = _дк+&№. (2.3) 4-крі
Отсюда следует, что возмущения, ортогональные к направлению поля, неустойчивы при любых значениях волнового числа. Наиболее сильное влияние магнитное поле оказывает на возмущения, распространяющиеся вдоль направления поля (кЦВг). Такие возмущения неустойчивы, если длина волны возмущения достаточно велика, точнее, если волновое число к лежит в интервале 0 к ксг, где ксг — 4тгрі/(В2)2. Эти возмущения устойчивы при достаточно малых длинах воли (к ка.), т. к. в этом случае преобладает магнитное натяжение. Наиболее бысгд ро растет мода с /с — fc y А
Эта неустойчивость является магнитным аналогом неустойчивости Рэлея - Тейлора и называется гидромагнитной неустойчивостью Рэлея - Тейлора или неустойчивостью Крускала - Шварцшильда.
Неустойчивость слоя, ограниченного двумя тангенциальными разрывами
Начнем с проблемы неустойчивости одного разрыва, аналогичной задаче, исследованной із работе [3]. Это касается перестановочной неустойчивости лишь одной границы Fi, разделяющей магнитное поле области 1 от поля внутри слоя. В предположении нулевой скорости плазмы и постоянной плотности, безразмерное дифференциальное уравнение на давление (3.21) может быть записано следующим образом:
Решения этого уравнения - экспоненциальные функции, убывающие по мере увеличения расстояния от разрыва: все возмущения локализованы вблизи неустойчивой границы. Граничные условия (3.4) и (3.5) принимают вид: В итоге, получаем следующее алгебраическое уравнение для инкремента неустойчивости:
Это уравнение определяет инкремент неустойчивости одной границы как функцию направления магнитного поля в области 1 (угол #), вол-ново го числа к и локального радиуса кривизны границы R. Это дисперсионное уравнение может быть преобразовано к виду, удобному для анализа:
В правой части уравнения находятся два конкурирующих слагаемых: первое связано с эффектом перестановочной неустойчивости, второе - играет стабилизирующую роль в том случае, когда волновой вектор направлен не строго перпендикулярно магнитному полю. Инкремент неустойчивости максимален, когда волновой вектор ортогонален векторам магнитных полей ВІ И ВО- ЭТО возможно при взаимной коллинеарности магнитных векторов Во и Вт. В частном случае дисперсионное уравнение может быть приведено к виду
Сравнивая уравнения (3.27) и (3.28), можно заметить, что существует нерегулярная асимптотическая зависимость инкремента неустойчивости от малого параметра е. Эта зависимость различна для кол-линеарных ( у/є) и неколлипеарных ( є) магнитных полей.
Частота, определяемая уравнениями (3.27) и (3.28), является чисто мнимой величиной, и, таким образом, неустойчивость вызывает появление неосциллирующих мод, растущих экспоненциально. Реальная часть частоты появляется при учете ненулевой тангенциальной компоненты скорости плазмы.
В общем случае, дисперсионные уравнение (3.26) решается численно. При этом, инкремент неустойчивости рассматривается как функция четырех параметров ка, R/a,B,po/pi (а - полутолщина слоя, к -волновое число, R - радиус кривизны, В - угол отклонения вектора Bi от направления, аптипараллельного вектору Вг).
Зависимость инкремента неустойчивости от угла в в модели одного тангенциального разрыва: R/a = 160, ка = 0.15, U\ = U2 = 0. Кривые соответствуют различным значениям плотностей: ро/рг = 1 (кривая 1) и po/pi = 0.1 (кривая 2).
На рис. 3.2 показана зависимость инкремента неустойчивости от угла 9 для случая пулевой скорости плазмы [U\ — U2 = 0) и для различных соотношений плотностей: po/pi = 1 (кривая Ї) и ро/р\ =0.1 (кривая 2). Нормированные радиус кривизны и волновое число выбраны равными: Я/а = 160, ка 0.15. Магнитное поле в слое В$ определяет 65 ся как векторное среднее магнитных полей в областях 1 и 2: В0 = (Вх + В2)/2. (3.29) Соотношение величин магнитных полей В\ и . равно единице: п = Вг/В2 = 1.
Сравнивая кривые 1 и 2, можно сказать, что перестановочная неустойчивость немного сильнее для меньшего значения плотности внутри слоя pQ, и в этом случае неустойчивость существует в большем угловом интервале по углу отклонения магнитных полей в. Неустойчивость слоя, ограниченного двумя тангенциальными разрывами
В то время как в предыдущем разделе была рассмотрена перестановочная неустойчивость слоя в приближении одного тангенциального разрыва, в этом разделе рассмотрим перестановочную неустойчивость тонкого слоя, ограниченного двумя тангенциальными разрывами. При этом, будем учитывать конечную толщину слоя и ненулевую скорость плазменного потока. И рассмотрим влияние этих факторов на получаемый результат.
Токовый слой в солнечном ветре, обтекающий магнитосферу
На рис. 4.2 изображен безразмерный инкремент перестановочной неустойчивости для модели непрерывного изменения магнитного поля как функция параметра kR для двух различных отношений толщины слоя к радиусу кривизны: a/R — 0.1, 0.01 . Из этого рисунка можно видеть, что инкремент неустойчивости тем больше, чем короче длина волны возмущения и слой уже - что согласуется с результатами, полученными для слоя, ограниченного двумя тангенциальными разрывами при рассмотрении областей с кусочно - постоянными параметрами.
При анализе точности вычислительного процесса одним из важнейших критериев является сходимость численного метода. Она характеризует близость получаемого численного решения задачи к истин 83 20 30 40 50
Инкремент перестановочной неустойчивости для модели непрерывно по изменения магнитного поля как функция параметра kR; a/R =0.1, 0.01.
ному решению. При замене задачи с непрерывными параметрами на задачу, в которой значения функций вычисляются в фиксированных точках, под сходимостью метода понимается стремление значений решения дискретной модели задачи к соответствующим значениям решения исходной задачи при стремлении к нулю параметра дискретизации [118]. В расчетах используется метод прогонки с числом шагов п = 100. Как видно из рисунка 4.3, с увеличением числа шагов разбиения наблюдается сходимость по шагу вычислительного процесса.
На рис. 4.4 приведены линейные возмущения полного давления как функции нормального расстояния, полученные для фиксированной толщины слоя (a/R = 0.01) и двух различных безразмерных волновых чисел : kR — 10, 30. Как видно из рисунка, возмущения локализованы вблизи слоя. Сходимость используемого метода расчета инкремента в модели непрерывного изменения магнитного поля и параметров плазмы. Зависимость инкремента перестановочной неустойчивости от безразмерного параметра kR; a/R = 0.01. Кривые соответствуют различным числам шага метода прогонки : п = 25, 50,100.
Линейные возмущения полного давления как функция нормального расстояния, полученные для фиксированной толщины слоя и двух различных безразмерных волновых чисел : kR = 10, 30. 4.3 Выводы.
Инкремент перестановочной неустойчивости изучен для тонкого искривленного слоя, внутри которого магнитное поле и параметры плазмы изменяются непрерывным образом.
При аналитических расчетах получено обыкновенное дифференциальное уравнение (4.17) второго порядка на возмущения полного давления с граничными условиями (4.18) по обе стороны слоя. Коэффициенты этого уравнения - функции частоты и волнового числа. Используя профиль магнитного поля поперек токового слоя, пропорциональный гиперболическому тангенсу, это уравнение интегрировалось численно, и частота определялась в соответствии с граничными условиями.
При численных расчетах нашей задачи использовался метод прогонки. Показано, что для выбранного числа разбиений наблюдается сходимость по шагу вычислительного процесса.
Увеличение инкремента перестановочной неустойчивости слоя вызывают следующие факторы: увеличение толщины слоя ; уменьшение длины волны ; уменьшение локального радиуса кривизны слоя. Эти результаты согласуются с полученными в главе 3 при исследовании неустойчивости слоя с кусочно - постоянными параметрами.
Проведено сравнение результатов, полученных для модели однородного слоя, ограниченного двумя тангенциальными разрывами, и модели с непрерывным изменением магнитного поля поперек слоя. Показано, что во втором случае инкремент перестановочной неустойчивости принимает меньшие значения, и разница инкрементов увеличивается с уменьшением длины волны возмущения. Инкремент перестановочной неустойчивости в модели с непрерывно - изменяюгцимися параметрами зависит от выбранных профилей магнитного поля и параметров плазмы поперек слоя. Однако, он ие превышает величины, полученной в модели с кусочно - постоянными параметрами. Глава 5. Перестановочные неустойчивости слоев, связанных с обтеканием солнечным ветром магнитных и немагнитных планет
5.1 Обтекание солнечным ветром магнитосферы Земли. Неустойчивость магнитопаузы
Рассмотрим обтекание магнитосферы Земли потоком плазмы, движущейся от Солнца. Взаимодействие сверхзвукового солнечного ветра с собственным дипольным магнитным полем Земли приводит к образованию магнитосферы, граница которой - магнитопауза - разделяет области межпланетного и геомагнитного полей и различных плазменных сред (рис. 5.1).
