Содержание к диссертации
Введение
1 Малые возмущения термодиффузионного движения жидкости со свободной границей 28 CLASS
п. 1.1 Движение жидкости со свободной границей 28
п. 1.2 Линеаризованная задача о малых возмущениях 33
п. 1.3 Амплитудные уравнения при наличии плоской симметрии 40
1.3.1 Амплитудные уравнения 40
1.3.2 Об определяющих параметрах 47
п. 1.4 Уравнения движения и малых возмущений в цилиндрической системе координат 49
1.4.1 Уравнения движения в цилиндрической системе координат 49
1.4.2 Амплитудные уравнения для стационарных осесимметричных термокапиллярных течений 52
п. 1.5 Метод ортогонализации для численного исследования термокапиллярной неустойчивости 57
2 Устойчивость равновесия плоского слоя 61
п. 2.1 Плоский слой с вертикальным градиентом температуры 62
2.1.1 Основные уравнения 62
2.1.2 Неустойчивость слоя при подогреве твердой стенки 64
2.1.3 Неустойчивость при подогреве свободной границы слоя 68
п. 2.2 Плоский слой с внутренними источниками тепла 69
2.2.1 Критические числа Марангони для нейтральных колебаний 69
2.2.2 Результаты численных расчетов спектральной задачи 72
п. 2.3 Колебательная термокапиллярная неустойчивость равновесия плоского слоя в присутствии поверхностно активного вещества 75
2.3.1 Постановка задачи 75
2.3.2 Монотонные возмущения 76
2.3.3 Нерастворимый ПАВ 77
2.3.4 Растворимый ПАВ 82
п. 2.4 Термокапиллярная неустойчивость плоского слон с учетом эффекта Соре 85
2.4.1 Постановка задачи и выражение для чисел Марангони в случае нейтральных возмущений 85
2.4.2 Результаты численных исследований 89
3. Возникновение термокапиллярной неустойчивости в цилиндрической области 93
п. 3.1 Устойчивость равновесного состояния цилиндрического слоя относительно монотонных возмущений 94
3.1.1 Постановка задачи и уравнения малых возмущений 94
3.1.2 Преобразование амплитудных уравнений 95
3.1.3 Осесимметрические возмущения 97
3.1.4 Азимутальные возмущения 98
3.1.5 Общий случай 100
п. 3.2 Цилиндрический слой с внутренними источниками тепла 102
3.2.1 Равновесное состояние 102
3.2.2 Случай осесимметрических возмущений 103
3.2.3 Азимутальные возмущения 105
3.2.4 Общий случай 106
3.2.5 Расчеты нейтральных кривых для условий теплоизоляции 108
3.2.6 Расчеты нейтральных кривых для условия идеальной проводимости ПО
и. 3.3 Цилиндрический слой с подогревом твердой поверхности 113
3.3.1 Формулы для нейтральных кривых 113
3.3.2 Расчеты нейтральных кривых 115
и. 3.4 Цилиндрический слой с комбинированным нагревом 116
3.4.1 Выражения для нейтральных кривых 116
3.4.2 Расчет нейтральных кривых 118
и. 3.5 Жидкий цилиндр с внутренними источниками тепла.. 119
3.5.1 Формулы для чисел Марангони 119
3.5.2 Расчет нейтральных кривых 122
4 Устойчивость равновесного состояния цилиндрического слоя 126
п. 4.1 Неустойчивость цилиндрического слоя с внутренними источниками тепла относительно произвольных возмущений 126
4.1.1 Равновесное состояние и граничные условия . 126
4.1.2 Длинноволновые возмущения 128
4.1.3 Результаты расчетов 129
п. 4.2 Неустойчивость цилиндрического слоя при наличии радиального градиента температуры 133
4.2.1 Равновесное состояние и граничные условия . 133
4.2.2 Результаты расчетов 136
5 Устойчивость стационарных течений при наличии цилиндрической симметрии 145
п. 5.1 Стационарные термокапиллярные течения в цилиндре и цилиндрическом слое 146
п. 5.2 Устойчивость движения слоя с недсформируемой свободной поверхностью 151
5.2.1 Устойчивость длинных волн 151
5.2.2 Анализ численных результатов 153
п. 5.3 Влияние поверхностных волн на устойчивость свободной границы цилиндрического слоя 155
5.3.1 Амплитудные уравнения и их асимптотический анализ для длинных волн 156
5.3.2 Случай идеальной жидкости 158
5.3.3 Анализ численных результатов 160
Заключение 165
Список используемых источников 168
Приложение 179
- Уравнения движения и малых возмущений в цилиндрической системе координат
- Неустойчивость при подогреве свободной границы слоя
- Колебательная термокапиллярная неустойчивость равновесия плоского слоя в присутствии поверхностно активного вещества
- Цилиндрический слой с внутренними источниками тепла
Введение к работе
/
Актуальность темы. Одной из важнейших задач технологии получения веществ с заданными свойствами является учет всех теп-лофизических явлений, происходящих в жидкой фазе. При этом, если расплав обладает свободной границей на которой имеется градиент температуры, то в случае тонкого слоя либо слабого силового поля влияние термокапиллярного эффекта на его устойчивость становится решающим. Следствием тепловой конвекции в технологии получения материала является перемешивание расплава, которое влияет на распределение компонентов в полученном конечном материале. Такая ситуация возникает, например, при лазерной обработке материалов с плавлением, которая применяется при легировании поверхностного слоя металла, в космической технологии при получении сверхчистых кристаллов и т.д. Важность моделирования такого рода процессов очевидна, так как проведение большой серии экспериментов обычно связано со значительными техническими трудностями и материальными затратами. Особенно это относится к экспериментам в космосе. Исследование же математической модели позволяет выделить основные теплофизические факторы, влияющие на устойчивость расплава, и тем самым дает возможность оптимизировать технологический процесс.
В условиях, когда неравномерно нагретая жидкость со свободной поверхностью находится в состоянии, близком к невесомости, существенное влияние на устойчивость ее равновесия и движения оказывает зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры и порождаемый ею термокапиллярный эффект. Несмотря на то, что о существовании этого эффекта известно уже давно, интенсивное изучение этого явления началось несколько десятилетий назад. В 1956 году MJ.Blok, анализируя результаты собственных экспериментальных исследований условий возникновения движений в тонких слоях жидкости со свободной поверхностью, а также проведенных ранее опытов H.Benard (1900) , пришел к заключению, что в этих случаях существенную роль играет зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры. В 1958 году выходит первая теоретическая
іабота в этом надра
>ОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА СПе«р6ург_
лении, выполненная J.R.A. Pearson, в которой исследован механизм неустойчивости подогреваемого снизу слоя жидкости со свободной поверхностью при отсутствии массовых сил. В этой работе был получен принципиальный результат: наличие только термокапиллярных сил может приводить к возникновению движения в жидкости. Дальнейшее теоретическое изучение влияния термокапиллярного эффекта на устойчивость равновесия было продолжено рядом авторов L.E. Scriven, C.V. Sterling (1964), J.C. Berg, Acrivos (1965), D.A. Nild (1966), A. Vidal, A. Acrivos (1966), H.J. Palmer, J.C. Berg (1972), М.Я. Антимиров, В.P. Лиепиня (1978), A.A. Непомнящий, И.В. Симановский (1985, 1986) и др. Исследование термокапиллярных движений и изучение условий устойчивости таких движений было проведено в работах Р.В. Бириха (1966), H.F. Bauer (1982), М.К. Smith, S.H. Davis (1982,1983), J.-J. Xu, S.H. Davis (1984,1984) и др.
Таким образом, исследование процессов связанных с термокапиллярным эффектом, происходящих в расплавленной зоне при выращивании кристаллов в условиях невесомости, лазерной обработке материалов с плавлением и т.д., является крупной научной проблемой имеющей важное значение для оптимизации технологических процессов.
Цель работы. Исследование влияния термокапиллярных и диффузионных эффектов на теплофизические явления происходящие в расплавленной зоне для ряда технологических процессов.
Методы исследования. Моделирование процессов основано на уравнениях механики сплошной среды и термодинамики. В качестве математической модели используются уравнения вязкой теплопроводной жидкости с граничными условиями, учитывающими термодинамику свободной поверхности. В рамках линейной теории с помощью метода нормальных возмущений исходные уравнения сводятся к задаче на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Полученная задача решается аналитически в предельных режимах и в случае монотонности возмущений, а также численно методом ортогонализации с применением метода Ньютона.
Научная новизна. В работе получены и выносятся на защиту следующие результаты:
на основе теории малых возмущений получена задача устойчивости термокапиллярного движения неравномерно нагретой жидкости с учетом деформируемости свободной границы и эффекта термодиффузии;
исследовано воздействия различных способов подогрева на устойчивость равновесного состояния цилиндрического и плоского слоев жидкости относительно монотонных возмущений, показано, что к потере устойчивости приводят возмущения двух типов, соответствующих различным механизмам неустойчивости: капиллярному и термокапиллярному;
при исследовании устойчивости равновесия обнаружено, что учет деформируемости свободной поверхности приводит к появлению капиллярной колебательной неустойчивости, которая реализуется в ограниченном интервале волновых чисел, при этом, в случае недеформируемой свободной поверхности возможна только монотонная термокапиллярная неустойчивость;
обнаружена колебательная неустойчивость плоского слоя жидкости при подогреве твердой поверхности (задача Пирсона), которая доминирует в области коротковолновых возмущений, показано, что при достаточно больших числах Марангони взаимодействие термокапиллярного и капиллярного механизмов неустойчивости приводит к появлению нового типа осциллирующих возмущений;
изучено влияние поверхностно-активного вещества и эффекта термодиффузии на термокапиллярную неустойчивость равновесия плоского слоя, показано, что наличие термодиффузии оказывает дестабилизирующее влияние на устойчивость равновесия;
исследована устойчивость равновесного состояния цилиндрического слоя при нагреве внутренними источниками тепла и при подогреве внутренней твердой поверхности, получено, что
при учете деформируемости свободной границы появляются точки разрыва нейтральной кривой для осесимметрических возмущений и дано их обоснование;
обнаружена капиллярная колебательная неустойчивость равновесия цилиндрического слоя, которая является наиболее опасной для некоторых интервалов волновых чисел, показано, что для недеформируемой свободной поверхности возможны только монотонные возмущения;
изучено совместное влияние капиллярных и термокапиллярных механизмов на устойчивость стационарного движения в цилиндрическом слое, показано, что капиллярная неустойчивость доминирует в области длинноволновых возмущений, а термокапиллярная неустойчивость является наиболее опасной в области умеренных и коротковолновых возмущений.
Достоверность результатов исследований подтверждена полным совпадением численных расчетов с полученными аналитическими решениями для случая монотонных возмущений, а также с результатами полученными другими авторами.
Практическая значимость работы. Разработанные методы применимы в космических и химических технологиях и дают возможность моделировать процессы протекающие в жидкости при воздействии на свободную поверхность касательных напряжений (которые могут быть созданы градиентами температур или наличием адсорбированных веществ). Проведенные исследования позволяют прогнозировать влияние термокапиллярного эффекта на теплофизичес-кие явления происходящие в расплаве, для таких технологических процессов как получение монокристаллов методом зонной плавки, лазерной обработки материалов с плавлением для легирования поверхностного слоя металла и т.д..
Личный вклад автора. Постановка и решение задач данного исследования, разработка всех положений, определяющих новизну и практическую значимость работы. Результаты исследований, выносимые на защиту, получены лично соискателем.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на
4-м Всесоюзном семинаре по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости (Новосибирск, 1987);
VII Всесоюзном семинаре по теоретическим основам и конструированию численных алгоритмов решения задач математической физики (Кемерово, 1988);
Советско-японском симпозиуме по вычислительной аэродинамике (Хабаровск, 1988);
Международной IMACG конференции по математическому моделированию и прикладной математике (Москва-Вильнюс,1989);
Всесоюзном семинаре по гидродинамической устойчивости и турбулентности (Новосибирск, 1990);
Международном симпозиуме по гидромеханике и тепло- массо-переносу в микрогравитации (Пермь, 1991);
Международной конференции по проблеме свободной границы в механике сплошной среды (Новосибирск, 1991);
10 Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 1995);
II Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996);
Международных конференциях "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1997, 1999);
Всероссийской конференции по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001);
Восьмом Всероссийском съезде по теории и приложении задач со свободными границами (Бийск, 2002).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 49 научных работ. Основные результаты опубликованы в работах [1-16].
Структура и объем работы. Материалы диссертации изложены на 218 страницах и иллюстрированы 76 рисунками. Работа состоит из введения, пяти разделов, списка литературы и заключения.
Уравнения движения и малых возмущений в цилиндрической системе координат
В этом пункте ограничимся рассмотрением термокапиллярного движения однокомпонентной жидкости. 1.4.1 Уравнения движения в цилиндрической системе координат Пусть u,v,w — проекции вектора скорости на оси г, ,?, z некоторой цилиндрической системы координат. Тогда уравнения движения вяз проекции вектора внешних сил на оси r, p,z. Пусть свободная граница Г описывается уравнением /(г, у?, 2,0 = = ; — h((p,z,t) = 0. Так как в цилиндрической системе координат то кинематическое условие (1.5) примет вид образуют с вектором п локальный базис на Г (он ортогональный, если h9 = 0 и hz = 0). Спроектируем векторное равенство (1.6) на этот базис, получим три соотношения Поскольку V//cr ci = V0 ё\%2(1(7/(10, то записывая тензор скоростей деформаций в цилиндрической системе координат, из предыдущих трех равенств получим кривизна поверхности Г равна Для полной постановки задачи необходимо добавить начальные условия при t = О и граничные условия на твердой стенке Е (если она имеется): 1.4.2 Амплитудные уравнения для стационарных осесимметричных термокапиллярных т течений Приведем линеаризованную около осесимметричного термокапиллярного течения задачу о малых возмущениях. Пусть U, V,W, Р,Т—возмущения основного течения (1.72). Обычным методом для них из (1.64) получается линейная задача Граничные условия (1.68) после линеаризации и сноса на поверхность цилиндра г = гі примут вид Здесь R((p, z, t) — возмущение исходной поверхности h = r\ = const. Все последние выражения получаются путем подстановки в граничные условия (1.68) вместо h — г\ возмущения r\ + R и линеаризации. Кроме того, учитывались формулы w{r\ +.R) = w(ri) + tvrR, в(г\ + R,z) — в(г\, z) + BrR в линейном приближении. Возьмем в качестве характерной длины радиус внешнего цилиндра гь скорости «; , давления рги 2, температуры # , времени r\/w . Система уравнений (1.73) и граничных условий (1.74) в безразмерных переменных запишется так: Безразмерные параметры Re , М , We , Pr , 5 зависят от характерной скорости течения ги и температуры 9 \ их выбор диктуется конкретными целями исследования устойчивости. Наличие в третьем условии (1.77) слагаемого не позволяет искать решение, периодическое по переменной і] для произвольной функции 9(1,т}). Однако, применяя процедуру "замораживания" продольной координаты в этом условии (прием, заимствованный из практики решения задач устойчивости течений в пограничном слое /7/), можно обойти эту трудность. Другой способ, который позволяет исключить из рассмотрения функцию #(1,7/), заключается в том, что на длину волны возмущения накладывается ограничение, вытекающее из неравенства
При этих предположениях ищем решение задачи (1.75)-(1.77) в виде нормальных волн где а = 27г/Л — осевое волновое число, Л — безразмерная длина волны возмущения, m = 0,1,2,... — азимутальное волновое число, С = Сг + гС{ — комплексный декремент. По-прежнему, критерием устойчивости движения (1.72) служит знак мнимой части декремента: значениям параметров задачи, для которых С,- 0, соответствуют области устойчивости. Если же существуют такие значения па раметров, что С, 0, то имеет место неустойчивость. Случаю С,- = О соответствует граница устойчивости (нейтральные возмущения). При подстановке (1.80) в (1.75)-(1.77) получается система амплитудных обыкновенных ечений Приведем линеаризованную около осесимметричного термокапиллярного течения задачу о малых возмущениях. Пусть U, V,W, Р,Т—возмущения основного течения (1.72). Обычным методом для них из (1.64) получается линейная задача Граничные условия (1.68) после линеаризации и сноса на поверхность цилиндра г = гі примут вид Здесь R((p, z, t) — возмущение исходной поверхности h = r\ = const. Все последние выражения получаются путем подстановки в граничные условия (1.68) вместо h — г\ возмущения r\ + R и линеаризации. Кроме того, учитывались формулы w{r\ +.R) = w(ri) + tvrR, в(г\ + R,z) — в(г\, z) + BrR в линейном приближении. Возьмем в качестве характерной длины радиус внешнего цилиндра гь скорости «; , давления рги 2, температуры # , времени r\/w . Система уравнений (1.73) и граничных условий (1.74) в безразмерных переменных запишется так: Безразмерные параметры Re , М , We , Pr , 5 зависят от характерной скорости течения ги и температуры 9 \ их выбор диктуется конкретными целями исследования устойчивости. Наличие в третьем условии (1.77) слагаемого не позволяет искать решение, периодическое по переменной і] для произвольной функции 9(1,т}). Однако, применяя процедуру "замораживания" продольной координаты в этом условии (прием, заимствованный из практики решения задач устойчивости течений в пограничном слое /7/), можно обойти эту трудность. Другой способ, который позволяет исключить из рассмотрения функцию #(1,7/), заключается в том, что на длину волны возмущения накладывается ограничение, вытекающее из неравенства При этих предположениях ищем решение задачи (1.75)-(1.77) в виде нормальных волн где а = 27г/Л — осевое волновое число, Л — безразмерная длина волны возмущения, m = 0,1,2,... — азимутальное волновое число, С = Сг + гС{ — комплексный декремент. По-прежнему, критерием устойчивости движения (1.72) служит знак мнимой части декремента: значениям параметров задачи, для которых С,- 0, соответствуют области устойчивости. Если же существуют такие значения па раметров, что С, 0, то имеет место неустойчивость. Случаю С,- = О соответствует граница устойчивости (нейтральные возмущения). При подстановке (1.80) в (1.75)-(1.77) получается система амплитудных обыкновенных дифференциальных уравнений
Неустойчивость при подогреве свободной границы слоя
Критические числа Марангони для нейтральных колебаний Рассмотрим плоский слой жидкости с внутренними постоянными источниками тепла интенсивности q = const. Тогда равновесное состояние слоя описывается формулами Возьмем в качестве характерной длины, времени, температуры, скорости и давления величины , /v, 7о/х, V Ріу2/?2і г е 7о = — Qz\z=e = Q/X- Краевая задача (1.52)-(1.63) для малых возму щений равновесного состояния (2.5) после некоторых преобразований имеет следующий вид: cv,ft — волновые числа по направлениям х.у соответственно. Предположим, что возмущения нарастают либо затухают монотонно (Сг = 0). Построим нейтральные кривые для этих возмущений (С,- = 0). При допущенных предположениях задача (2.6)-(2.8) существенно упрощается, и решение можно выписать в явном определяется из третьего уравнения системы (2.6). Удовлетворяя граничным условиям (2.7), (2.8), получим выражение для критических чисел Марангони На рис. 2.11 приведена зависимость M, вычисленная по формуле (2.9) при Рг = 1. Кривая 1 (Ві = 0, We = оо) не имеет минимума при всех к О, М(0) = 80. Минимум кривой 2 (Ві = 2, We = со) М = 194.3 достигается в точке к = 2.18. Если поверхность деформируема, то все кривые М(а) имеют разрыв. Так, при We = 10 разрыв происходит в точке к = 0.16. При 0 к к критические числа Марангони отрицательны и М(к) — —оо при к —» Аг — 0. Кривая 3 (Ві — 0, We — 107) имеет минимум 81.2 при к — 0.59. Для кривой 4 (Bi = 2, We = 107) минимальное число М = 194.3, когда к = 2.18. Кривая 5 соответствует нейтральной кривой, построенной Пирсоном /74/ при Ві — 0. Кривая 1 для всех к 0 расположена выше кривой 5. Следовательно, относительно монотонно нарастающих возмущений равновесное состояние, возникающее под действием постоянных внутренних источников тепла, является более устойчивым, чем равновесное состояние при наличии вертикального градиента температуры. Заметим, что при We = со все кривые, включая и кривую 5, имеют одинаковую асимптотику при к — со : М(к) — 8к(к + Bi). 2.2.2 Результаты численных расчетов спектральной задачи На рис. 2.12 приведены результаты расчетов наиболее опасных мод. построенные при Рг = 0.016, Bi = 2, М = 200. Кривая 1 соответствует случаю недеформируемой свободной поверхности (We = со). Неустойчивость здесь возникает из-за неоднородности распределения температуры вдоль свободной границы. Проведенные расчеты показали, что в этом случае возмущения всегда будут монотонные и для Рг = 0.016, Bi = 2 (расплав германия) потеря устойчивости происходит при числах Марангони, больших 194.3.
Построенная численно нейтральная кривая для We = со приведена на рис. 2.13 (кривая 1) и полностью совпадает с соответствующей нейтральной кривой, построенной по формуле (2.9). Учет деформации свободной поверхности приводит к дестабилизации равновесия. Это иллюстрирует кривая 2 на рис. 2.12, построенная при We = 104. Для этого значения числа Вебера потеря устойчивости происходит при М, больших 186.1, и соответствующая нейтральная кривая приведена на рис. 2.13 (кривая 2). Для этой моды Сг всегда равно нулю, независимо от We. Кроме того, учет деформации свободной поверхности приводит к появлению нового механизма неустойчивости. Как показано на рис. 2.12, при конечном We появляются две новые, монотонные в области малых к, моды (кривые 3, 4). С убыванием числа Марангони эти моды смещаются вверх и при отрицательных М кривая 3 пересекает ось С, = 0. Нейтральная кривая для этих возмущений, построенная при We = 104, показана на рис. 2.13 (кривая 3). Таким образом, капиллярная неустойчивость равновесия относительно монотонных возмущений появляется только при охлаждении жидкости. Рассмотрим возникновение колебательной неустойчивости. Как показано на рис. 2.12, с ростом к монотонные капиллярные моды сливаются, образуя комплексно-сопряженную пару. Мнимая часть декремента приведена на рис. 2.12 (кривая 5), а модуль вещественной части монотонно растет. На рис. 2.13 при We = 104 построена нейтральная кривая для колебательных возмущений (кривая 4). Кроме нагрева кидкости, аналогичный механизм возникновения колебательной неустойчивости имеет место и при охлаждении. В этом случае, как показано на рис. 2.13, нейтральная кривая колебательных возмущений (кривая 5) ответвляется от нейтральной кривой капиллярных монотонных возмущений. Для Рг = 0.016, Ы = 2, We = 104 это происходит при к = 0.71. Область устойчивости на рис. 2.13 ограничена снизу кривой 3 при к 0.71 и кривой 5 при 0.71 к 1.0G3. Сверху граница проходит по кривой 4 при к 1.38 и кривой 2 при к 1.38. Отметим, что кривая 5 и верхняя ветвь кривой 4 имеют одну и ту же асимптотику к = 1.063. Таким образом, наблюдается аналогия в поведении нейтральных кривых для монотонных и колебательных возмущений. Кроме того, анализ расчетов показывает, что капиллярная неустойчивость имеет место только для достаточно длинных волн (при к 1.496), а коротковолновые возмущения свободной границы стабилизируются силами поверхностного натяжения. Результаты исследования других факторов, влияющих на устойчивость равновесия, приведены на рис. 2.14 и 2.15. Проведенные при
Колебательная термокапиллярная неустойчивость равновесия плоского слоя в присутствии поверхностно активного вещества
Рассмотрим плоский слой жидкости при наличии на свободной границе поверхностно-активного вещества (ПАВ) с поверхностной концентрацией so = const. Пусть в жидкости задан перепад температур в\ между твердой и свободной границами. Изменение коэффициента поверхностного натяжения линейно зависит от температуры и концентрации ПАВ: о = сто — зг(0 — во) — as(s — so). Тогда в жидкости существует равновесное состояние: а равновесный градиент температуры имеет вид Здесь 5=1 при подогреве снизу и 5 = — 1 при нагреве свободной поверхности. Выберем в качестве масштаба длины, времени, давления, температуры и поверхностной концентрации и объемной концентрации, соответственно, I, l2/vy pv2/i2, 56\v/x, so, со. Перейдем к исследованию устойчивости равновесия.С учетом преобразования Сквайра система (1.52)-(1.63) примет вид введены обозначения: где 5с — число Шмидта. Знак числа Марангони зависит от способа подогрева. Граница устойчивости равновесия определяется условием d = 0. 2.3.2 Монотонные возмущения При отсутствие ПАВ в зависимости от параметров жидкости, способа подогрева и волнового числа возникновение термокапиллярной конвекции может быть обусловлено как монотонными, так и колебательными возмущениями, см. п.2.1. Рассмотрим влияние ПАВ на монотонные нейтральные возмущения {Сг = 0, С,- = 0). В этом случае задача (2.10)-(2.12) существенно упрощается, и решение (2.10) после исключения функции Ф имеет вид Удовлетворяя граничным условиям (2.11), (2.12), получим выражение для нейтральных чисел Марангони недеформируемой свободной поверхности (We — со) аналог формулы (2.13) был получен в /75/. Рассмотрим случай нерастворимого ПАВ. Тогда поток вещества с поверхности в объемную фазу в условии (1.60) равен нулю. Соответственно, концентрация раствора в жидкости также равна нулю. Уравнения для возмущений (2.10)-(2.12) при этом упрощаются. Поскольку Л = 0 и D\ = D2 = 0, происходит понижение порядка исходной системы. Эта задача в прсдпологкении недеформируемости свободной поверхности и монотонности возмущений исследовалась в /54/. Выражение для нейтральных чисел Марангони (2.13) в случае не При отсутствии ПАВ (Мс = 0) выражение (2.14) совпадает с аналогичным выражением, полученным в /80/. Рассмотрим длинноволновую асимптотику (к — 0) задачи для возмущений в случае деформируемой свободной границы (We ф со). Разлагая искомые функции в ряд по четным степеням к и считая, что разложение RwG начинается с &2, в нулевом приближении имеем граничным условиям (2.11)-(2.12), получаем квадратное уравнение для нахождения комплексного декремента, решение которого имеет вид Таким образом, для рассматриваемой асимптотики декремент С будет чисто мнимым, а соответствующие возмущения — монотонными.
При этом Сі соответствует термокапиллярной, а С2 — поверхностно-концентрационной моде. Нетрудно показать, что при М 2Pr(l + Bi)(Mc + DQ) и D0 ф О декремент С\ всегда положителен, следовательно, присутствие ПАВ приводит к дестабилизации равновесия относительно длинноволновых возмущений. Численное решение задачи для произвольных возмущений осуществлялось методом ортогонализации. Рассмотрим сначала подогрев снизу (S = 1). Пусть свободная граница недеформируема (We = со), тогда потеря устойчивости возможна вследствие конкуренции двух механизмов: неустойчивости, обусловленной неоднородным распределением температуры вдоль свободной границы (термокапиллярная конвекция), и неустойчивости, связанной с наличием градиента ПАВ на поверхности (поверхностно-концентрационная конвекция). При Мс = О имеет место только монотонная термокапиллярная неустойчивость. Наличие ПАВ приводит к появлению нового типа возмущений и возникновению колебательной неустойчивости. механизм образования осциллирующих возмущений. Здесь кривая 1 соответствует термокапиллярному возмущению, а кривая 2 — возмущению, обусловленному присутствием ПАВ. С ростом числа монотонно затухающие возмущения сливаются, образуя комплексно-сопряженную пару (кривая 3). Полученные осциллирующие возмущения, начиная с некоторого к, нарастают, вызывая кризис равновесия. Далее происходит еще одно распадение на термокапиллярную (кривая 4) и поверхностно-концентрационную моды (кривая 5) с дальнейшим образованием новой колебательной моды (кривая 6), которая и определяет границу неустойчивости в коротковолновой области. С ростом числа Марангони кривая 5 смещается вниз и, начиная с М = 74088, происходит пересечение поверхностно-концентрационной моды с осью d = 0. Соответствующая монотонная нейтральная кривая (Рг = 0.016, Bi = 0, Мс = 5, Do = Ю-3) приведена на рис. 2.17 (кривая 1) и полностью совпадает с нейтральной кривой, построенной по формуле (2.14). Кривая 2 обозначает границу колебательной неустойчивости. При этом относительно монотонно нарастающих возмущений равновесие неустойчиво для чисел Марангони, лежащих ниже кривой 1, а относительно осциллирующих — выше кривой 2. Кривая 2 практически совпадает с нейтральной кривой для монотонных возмущений, полученной в /74/. Таким образом, быстрое нарастание критических чисел Маранго
Цилиндрический слой с внутренними источниками тепла
Пусть внутри покоящегося цилиндрического слоя жидкости имеются внутренние источники тепла интенсивности q = const. Тогда из (1.64) получаем, что равновесное распределение температуры должно удовлетворять уравнению При этом вда8 и Q выбираются такие, чтобы условие на свободной границе (1.68) имело вид: 0{ri) = 0. Полученное распределение температуры зависит от того, какое условие ставить на внутреннем цилиндре. Если на твердой поверхности задано условие теплоизоляции (0г(го) = Для условия идеальной проводимости (#(го) = 0) получим другое представление для температуры: Возьмем в = 7іп/х где 7і = Чг\1 -Х- Тогда для первого условия и для второго условия. Проведем исследование устойчивости равновесного состояния цилиндрического слоя при нагреве внутренними источниками тепла. В п.3.1. эта задача сведена к нахождению критических чисел Ма-рангони, при которых решение амплитудного уравнения для температуры удовлетворяет граничным условиям. Причем, если равновесная температура задана формулой (3.30), то на твердой поверхности берется первое условие (3.11), если формулой (3.31), — то второе. для условия идеальной проводимости. Функция (р{т) определена формулой (3.19). Условие (3.15) с учетом (3.21) примет вид Тогда (3.32) и (3.16) перепишутся так: Первое условие (3.11) дает равенство а из второго условия (3.11) получим Подставляя (3.34) в (3.35) и (3.36) (или (3.37)), получаем характеристический определитель для нахождения критических чисел Маранго-ни. Приравнивая его к нулю, получим для условия теплоизоляции В случае условий идеальной проводимости имеем Интегралы в (3.38) и (3.40) допускают выражения в явном виде, которые не приводятся из-за громоздкости. Рассмотрим азимутальные возмущения (а = 0). Решение (3.9) имеет вид где в случае первого граничного условия для температуры и в случае второго условия. Функция (р(т) определена в (3.22) для m 2 и в (3.23) для m = 1. Выражения для критических чисел
Марангони при тп 2, соответственно, имеют вид для второго. Интегралы в (3.42), (3.43) также допускают явные выражения. Функция Л(а) определена формулой (3.24). Как показано выше, при т = 1 формулы (3.42), (3.43) имеют место только для случая недеформируемой свободной поверхности (We = со). Функция Л(а) тогда определяется формулой (3.24 ), а р(т) в выражениях для G(d) — формулой (3.23). Рассмотрим произвольные волновые числа (т ф О, а ф 0). Из (3.9) получаем выражение для возмущения температуры для второго условия. Функция ір(т) определяется в (3.25). Подставляя Т() в (3.11), (3.15) и (3.16) и полагая определитель равным нулю, получим для условия теплоизоляции Поскольку во все полученные выражения для критических чисел Марангони числа Вебера и Прандтля входят только в виде произведения, можно уменьшить количество определяющих параметров задачи, введя модифицированное число Вебера Weo — WePr = T\OQ/pv\. На рис. 3.1 приведены графики М от а, построенные по формуле (3.38) для d = 0.1, Bi — 0. Кривая 1 (Weo = оо) начинается с М = 0 при а = 0 и далее монотонно растет. При учете деформаций свободной поверхности {Weo ф оо) существует такое значение волнового числа а , например, а = 1.014 для Weo = Ю4 (кривая 2), при котором знаменатель в (3.38) обращается в нуль и кривая М(а) терпит разрыв. При этом область устойчивости распадается на две части: при а а она лежит выше кривой 2, а при а от» — ограничена сверху кривой 2 и слева прямой а = а . Левая часть нейтральной кривой имеет максимум М = 63.3 при а = 0.78, а правая достигает минимального значения М„ = 79.9 при а = 1.26. Если Вг ф 0, то нейтральная кривая для We0 = оо при а — 0 стремится к бесконечности. Для Bi = 2 на рис. 3.2 приведены зависимости М от а для Weo = со (кривая 1), Weo = 104 (кривая 2) и Weo = Ю2 (кривая 3). Кривые 2 и 3 терпят разрыв при а = 1.014 и а = 1.35, а соответственные минимальные значения критических чисел Марангони для кривых 1-3 равняются 216.1 при а = 2.43; 215.6 при а = 2.41 и 176