Введение к работе
Актуальность темы. В диссертации рассматриваются задачи, относящиеся к комплексному анализу, теории функций, теории распределений и теории дифференциальных уравнений. Изучаются весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций на неограниченных выпуклых множествах в Еп. Среди них — подклассы класса Шварца быстро убывающих функций на неограниченных замкнутых выпуклых множествах в К" и пространства бесконечно дифференцируемых функций в открытых выпуклых конусах в R" с определённой мажорантой роста на бесконечности и вблизи границы конуса. Для этих пространств изучается проблема описания сильного сопряженного пространства в терминах преобразования Фурье-Лапласа функционалов. В работе также изучаются:
1). проблема полиномиальной аппроксимации в пространствах бесконечно дифференцируемых функций в открытых выпуклых конусах в Шп с определённой мажорантой роста на бесконечности и вблизи границы конуса;
2). разрешимость линейных дифференциальных уравнений с частными производными конечного порядка с постоянными коэффициентами в введённых пространствах быстро убывающих функций.
Большая часть работы посвящена описанию сопряжённых пространств для введённых пространств бесконечно дифференцируемых функций в терминах преобразования Фурье-Лапласа функционалов.
Как известно, описание сопряженных пространств в терминах преобразований Лапласа или Фурье-Лапласа является одной из важных задач теории функций и функционального анализа. Этой проблеме посвящены работы многих российских и зарубежных математиков - Г. Полна, Н. Винера, Р. Пэли, Л. Шварца, B.C. Владимирова, Л. Эренпрайса, Л. Хёрмандера, А. Мартино, В.В. Напалкова, В.В. Жаринова, Б.А. Тейлора, Р.С. Юлмухаметова, Г.И. Эскина, A.M. Седлецкого, М.А. Соловьёва, А.В. Абанина, В.А. Ткаченко, X. Коматсу (Н. Komatsu), Роевера (J.W. de Roever), Б.А. Державца, СВ. Попенова, Ф. Хаслингера, Р. Майзе, М.М. Маннанова, В.И. Луценко, ИХ. Мусина и др. Такое описание позволяет интерпретировать сопряженное пространство к изучаемому пространству как некоторый класс аналитических функций с определенными мажорантами роста. Тем самым, многие проблемы теорий операторов свертки, дифференциальных уравнений, аппроксимации функций, теории обобщённых функций и др. могут быть сведены к задачам из теории аналитических функций. Такой подход систематически использовался в работах Л. Шварца, Б. Мальгранжа, Л. Эренпрайса, Л.Хёрмандера,
А.Ф. Леонтьева, B.C. Владимирова, С. Лоясевича, Ю.Ф. Коробейника, А. Мартино, В.В. Напалкова, И.Ф. Красичкова-Терновского, В.П. Па-ламодова, Б.А.Тейлора, A.M. Седлецкого, Ю.Н. Дрожжинова, Б.И. Завьялова, Роевера, Р.С. Юлмухаметова, А.С. Кривошеева, О.В. Епифанова, В.В. Моржакова, А.В. Абанина, С.Г. Мерзлякова, Б.Н. Хабибуллина, С.Н. Мелихова и др.
Цели работы.
1. Изучить весовые пространства быстро убывающих бесконечно диф
ференцируемых функций на замкнутых выпуклых неограниченных мно
жествах в Жп и описать сопряжённые к ним пространства в терминах
преобразования Фурье-Лапласа функционалов.
-
Описать сопряжённое пространство в терминах преобразования Фурье-Лапласа функционалов к пространству бесконечно дифференцируемых функций в Жп, заданных на открытом выпуклом конусе в1"и удовлетворяющих определённым оценкам роста на бесконечности и вблизи границы конуса.
-
Изучить вопросы сюръективности линейных дифференциальных операторов с частными производными конечного порядка с постоянными коэффициентами в введённых пространствах быстро убывающих функций.
Научная новизна. Все результаты работы являются новыми.
Методы исследований. В работе используются методы теории аналитических функций и функционального анализа. Среди них метод L2-оценок Л.Хёрмандера в 3-задаче, теория двойственности.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретических характер. Полученные в диссертации результаты могут быть полезны в комплексном анализе, теории обобщённых функций, теории дифференциальных уравнений с частными производными. Они могут быть использованы специалистами, работающими в Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, Южном федеральном Университете, Математическом институте им. В.А. Стек-лова, Московском, Башкирском, Новосибирском госуниверситетах, а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на VI региональной школе-конференции по математике и физике с участием
студентов, аспирантов и молодых ученых в г. Уфе (2006), Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова в Абрау-Дюрсо (2006, 2008), V молодёжной школе-конференции "Лобачевские чтения-2006" в г. Казань (2006), Международной конференции "Нелинейные уравнения и Комплексный анализ" в Якты-Куле (2006, 2007, 2008), Уфимской международной конференции, посвященной памяти
А.Ф.Леонтьева (2007), Международной конференции, посвященной 300-летию со дня рождения Л. Эйлера в г. Санкт-Петербурге (2007), Международной конференции "(Fifth) Sixth Advanced Course in Operator Theory and Complex Analysis" в г. Севилья, Испания (2008, 2009).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, список которых приведён в конце автореферата.
Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, дополнения и списка литературы. Объём диссертации составляет 118 страниц. Библиография - 35 наименований.
