Содержание к диссертации
Введение
1 Локальная теорема устойчивости в норме Соболева на группах Карно 18
1.1 Группы Карно 18
1.2 Пространство Соболева 19
1.3 Отображения с ограниченным искажением 20
1.4 Локальная качественная теорема устойчивости в И^-норме . 22
2 Отображения с ограниченным удельным колебанием 26
2.1 Пространство однородного типа 26
2.2 Допустимый класс S: определение и примеры 27
2.3 Класс BSOq(S) 28
2.4 Лемма Зигмунда — Кальдерона 30
2.5 Доказательство теоремы 2.1 и ее следствия 31
3 Свойства мёбиусовых преобразований групп Гейзенберга 36
3.1 Группа Гейзенберга 36
3.2 Группа мёбиусовых преобразований и ее алгебра Ли 38
3.3 Свойства производных мёбиусовых преобразований 43
3.4 Мёбиусовы преобразования, близкие к тождественному . 48
4 Устойчивость в теореме Лиувилля на группах Гейзенберга 59
4.1 Контактная структура и система Бельтрами на группе Гейзенберга 59
4.2 Оператор Q 61
4.2.1 Оператор Q, ядро оператора Q и проектор на ядро оператора Q 61
4.2.2 Предварительная теорема устойчивости в теореме Лиувилля 68
4.3 Следствия локальной теоремы устойчивости в норме Соболева 72
4.3.1 Сохранение .ЙТЯ-ориентации 72
4.3.2 Применение теорем вложения 74
4.3.3 Отображения с ограниченным искажением и класс BSO 76
4.4 Локальная теорема устойчивости. Точный порядок отклонения от мёбиусовых преобразований 77
4.5 Устойчивость в теореме Л иу ви л ля «в целом» 81
4.5.1 Области Джона и области с равномерным внутренним условием спирали 81
4.5.2 Области Джона и Бомана 85
4.5.3 Глобальная теорема устойчивости в теореме Лиувилля 87
4.6 Примеры 91
Список литературы 93
- Пространство Соболева
- Допустимый класс S: определение и примеры
- Свойства производных мёбиусовых преобразований
- Предварительная теорема устойчивости в теореме Лиувилля
Введение к работе
Классическая теорема Лиувилля говорит о том, что всякое конформное отображение евклидова пространства R", п 3, есть сужение некоторого мёбиусова преобразования всего пространства, т. е., сужение композиции конечного числа преобразований инверсии относительно сферы. Напомним, что отображение / называется конформным, если в каждой точке области определения матрица Якоби f (x) — общее ортогональное преобразование. Наглядно отображение области n-мерного евклидова пространства конформно, если оно переводит всякую бесконечно малую сферу в бесконечно малую сферу.
Конформные отображения образуют группу преобразований, которая в отличие от плоскости является конечномерной группой Ли. Введение квазиконформных отображений мотивировано, в частности, желанием разнообразить класс допустимых объектов. Грубо говоря, квазиконформный гомеоморфизм характеризуется тем, что образ всякого бесконечно малого шара является эллипсоидом, у которого отношение наибольшей полуоси к наименьшей не превосходит некоторой постоянной К 1. Если мы откажемся от условия гомеоморфности, то получим концепцию отображения с ограниченным искажением. В случае К — 1 отображение конформно.
Задача об устойчивости в теореме Лиувилля о конформных отображениях состоит в том, чтобы показать, что при if, близком к единице, отображение с /Г-ограничен-ным искажением приближается мёбиусовым, оценить порядок отклонения отображения от мёбиусова в зависимости от величины К — 1.
Близость отображения с ограниченным искажением к мёбиусовому можно рассматривать в различных топологиях: равномерной, интегральной, пространств Соболева W . Проблема устойчивости в теореме Лиувилля о конформных отображениях пространства была поставлена М. А. Лаврентьевым в 30-х годах прошлого столетия и им же были установлены первые теоремы устойчивости [18, 19]. Дальнейшее развитие теория устойчивости получила в основном благодаря работам П. П. Белинского [1, 2] и Ю. Г. Решетняка [20, 21, 22, 23, 24, 25]. Полное решение проблемы Лаврентьева получил Ю. Г. Решетняк [27]. Он установил теорему устойчивости в норме Соболева на областях Джона с порядком близости О (К — 1) и показал, что при К, близком к 1, частные производные отображения с / -ограниченным искажением локально суммируемы в степени .
Отдельный интерес представляет нахождение конкретных значений постоянных в оценках устойчивости в теореме Лиувилля о конформных отображениях в пространстве. Например, В. И. Семенов оценил порядок близости отображения с / -ограниченным искажением единичного шара пространства Ж", п 3, к мёвкусовому преобразованию в равномерной норме как (2 + 0( )){К - 1) [30, 31].
Исходная постановка М. А. Лаврентьева проблемы устойчивости относится не только к конформным отображениям, но также и к общим переопределенным системам. Вопросы устойчивости поведения физических систем и математических объектов относительно малых возмущений определяющих их параметров важны и интересны для приложений. Таким образом, проблема устойчивости в теореме Лиувилля является частным случаем большого числа задач об устойчивости классов отображений.
В качестве примера можно привести устойчивость изометрий в классе квазиизометрий, впервые рассмотренную Ф. Джоном [46]. Другой подход к исследованию устойчивости изометрий разработал Ю. Г. Решетняк [27]. Новый результат по устойчивости изометрий можно найти в работе Р. Д. Джеймса, С. Мюллера и Дж. Фриесеке [43], в которой они применяют устойчивость к теории упругости. Известна также устойчивость класса лоренцевых отображений [11].
А. П. Копылов разработал абстрактный принцип построения теории устойчивости классов отображений, обобщающий многие известные результаты. Он построил концепцию -устойчивости классов отображений в С-норме и показал, в частности, устойчивость голоморфных отображений нескольких комплексных переменных [17].
Квазиконформный анализ на группах Карно стал предметом интенсивного исследования после того, как были установлены связь квазиконформ ных отображений и функциональных классов на однородных группах [3], а также жесткость типа Мостова гиперболических пространственных форм [51]. Это послужило стимулом к развитию квазиконформного анализа на группах Карно: связных односвязных нильпотентных группах Ли с градуированной алгеброй Ли. Обобщающая теория основана на круге идей и методов геометрической теории меры, неголономных пространств Соболева, квазилинейных уравнений субэллиптического типа и адекватной нелинейной теории потенциала. Исследование Мостова были продолжены П. Пансю [52], который предложил концепцию дифференцируемости на группах Карно.
В настоящее время теория квазиконформных отображений на группах Карно является активно развиваемой областью математики. Отметим работы 3. Балога, И. Холопайнена и Дж. Тайсона [34], А. Кораньи и X. М. Раймана [48, 49], Л. Капоньи [37], Л. Капоньи и П. Танга [38], Н. С. Даирбекова [13, 14] и С. К. Водопьянова [5, 7, 8, 9]. С. К. Водопьянов установил целый ряд свойств отображений с ограниченным искажением на группах Карно, аналогичных евклидовому случаю: гёльдеровость, замкнутость класса относительно равномерной сходимости и др. [5, 7, 9]. Также С. К. Водопьянов и Н. А. Кудрявцева доказали устойчивость конформных отображений в классе квазиконформных отображений в равномерной норме [4].
В данной работе доказывается устойчивость конформных отображений в норме пространства Соболева W на группах Карно. Установлен точный порядок близости в теореме устойчивости в норме Соболева на областях Джона групп Гейзенберга Ип, п 1: всякое отображение с ограниченным искажением с коэффициентом искажения К, близким к 1, приближается конформным отображением с порядком близости у/К — 1 в равномерной норме и с порядком близости К — 1 в норме Соболева.
Заметим, что уже в этом результате видно отличие от точного порядка близости в евклидовом случае: в евклидовом случае порядки близости в норме Соболева и в равномерной норме одинаковые [27].
Группы Гейзенберга Н" являются одним из самых простых, модельных случаев групп Карно. Более того, это единственная неабелева группа Карно, где удалось доказать аналог теоремы Лиувилля и известна группа мёбиусовых преобразований Мп. Теорию квазиконформных отображений на группах Гейзенберга развили А. Коранья и X. М. Райманн [49, 48]. Они показали, что квазиконформное отображение удовлетворяет системе Бельтрами, и установили теорему Лиувилля для С -гладких квазиконформных отображений на группах Гейзенберга. Для квазиконформных отображений теорема Лиувилля была установлена Л. Капоньей [37], для общих отображений с ограниченным искажением теорему Лиувилля можно найти в работах С. К. Водопьянова [5] и Н. С. Даирбекова [13].
Доказательство основных результатов данной работы основывается на методе Ю. Г. Решетняка, разработанном в евклидовом случае, который можно разбить на три этапа [27]:
I) локальная качественная устойчивость в теореме Лиувилля в норме Соболева W ;
II) локальная теорема устойчивости в норме Соболева W с точным порядком отклонения от мёбиусовых преобразований и оценка степени локальной суммируемости частных производных по мере уменьшения коэффициента искажения;
III) устойчивость в теореме Лиувилля в «целом» в норме Wp.
Локальная качественная теорема устойчивости в первом этапе доказывается с помощью замкнутости класса отображений с ограниченным искажением.
Самым трудоемким является второй этап. Выделим основные шаги доказательства в евклидовом случае:
Построение дифференциального оператора первого порядка Q2, ядро которого совпадает с алгеброй Ли мёбиусовых преобразований. Грубо говоря, этот оператор является линеаризацией дифференциального оператора, определяющего конформные преобразования. Для оператора Q2 доказывается коэрцитивная оценка.
Теория отображений с ограниченным удельным колебанием в смысле Lq относительно допустимого класса S (BSOq(S)). Аналогично классу В МО для класса BSOq(S) верна теорема об улучшении показателя интегрируемости .
Применение теории отображений с ограниченным удельным колебанием. Проверяется, что производные мёбиусовых отображений удовлетворяют всем требованиям, накладываемым на допустимый класс в теории BSO, и, что дифференциалы отображений с ограниченным искажением близки к дифференциалам мёбиусовых отображений в норме Ln.
На последнем этапе доказывается устойчивость в областях, удовлетворяющих условию Джона. В доказательстве используются свойства почти тождественных мёбиусовых преобразований и специальное покрытие области Джона. Приведем основные этапы настоящей работы, акцентируя внимание на преодолении трудностей, возникающих при обобщении метода Ю. Г. Ре-шетняка на группы.
I) Доказательство локальной качественной теоремы устойчивости в норме Соболева в евклидовом случае основано на замкнутости класса отображений с ограниченным искажением, полунепрерывности снизу интеграла энергии и слабой сходимости якобианов. Все эти факты установлены на общих группах Карно [7]. Поэтому мы можем доказать локальную качественную теорему устойчивости в норме Соболева не только на группах Гейзенберга, но и на общих группах Карно. Приведем определение отображения с ограниченным искажением и формулировку результата.
Напомним, что непрерывное отображение /: Q - G, Q С G, называется открытым, если образ открытого множества открыт, и дискретным, если прообраз /-1(г/) любой точки у /( ) состоит из изолированных точек.
Определение 1.2 ([7]). Пусть /: U — G — отображение, определенное на открытом множестве U группы Карно G. Мы называем / отображением с ограниченным искажением, если / непрерывно открыто и дискретно, / € WlXoc(U, G), v — размерность Хаусдорфа группы Карно G, существует постоянная К 1 такая, что неравенство \Dhf(x)\v KJ(x, /) выполняется почти всюду в U. Наименьшая постоянная К в этом неравенстве называется (внешним) коэффициентом искажения отображения / и обозначается символом Ko(f), / гомеоморфно как только Ko{f) — 1.
Гомеоморфное отображение с ограниченным искажением называется квазиконформным, 1-квазиконформное — конформным. Примерами конформных отображений являются левые сдвиги 7га: х \- а - х, а Є G, и растяжения St.
Теорема 1.2. Для каждого фиксированного числа q Є (0,1) существуют неубывающие функции Hi(-,q): (0,со) - Ж, /J-i{t,q) —» 0 при t — О, і = 0,1, такие, что для любого отображения с ограниченным искаоюением /: В(а,г) — G, В(а,г) С G, существует конформное отображение в, для которого р(9 1 о f(x), х) r/io [Ko(f) — 1, q] для всех х Є В(а, qr); ( [ \Dh{9 1 о f){x) - 1\Чх) r [KoU) - hq\ II) Локальная теорема устойчивости в норме Соболева Wp с точным порядком отклонения от мёбиусовых преобразований и оценка степени локальной суммируемости частных производных по мере уменьшения коэффициента квазиконформности на группах Гейзенберга.
На группах Гейзенберга ЕР найдена группа конформных преобразований Мп, которую по аналогии с евклидовым случаем мы будем называть группой мёбиусовых преобразований, и установлен аналог теоремы Лиувилля. Очевидным следствием теоремы Лиувилля является выполнение требования п. (d) определения 1.2. На группах Гейзенберга известно также, что отображение с ограниченным искажением непрерывно, а если непостоянно, то открыто и дискретно [5, 9, 13]. Поэтому определение 1.2 отображения с ограниченным искажением можно переформулировать в следующем виде:
Определение 3.1. Пусть U — открытое множество группы Гейзенберга ЕР, /: U —)• ЕР — непостоянное отображение класса WlXoJJJ,Wl). Мы называем / отображением с ограниченным искажением, если существует постоянная К 1 такая, что неравенство \Dhf(x)\" KJ(x,f) выполняется почти всюду в U.
Наименьшая постоянная К в этом неравенстве называется внешним коэффициентом искажения отображения / и обозначается через Ko(f). Число Ко (/)• + называется (линейным) коэффициентом искажения отображения / и обозначается через K(f).
Основной результат работы сформулирован в следующем утверждении.
Теорема 4.5. Существуют константы Дь о 0 такие, что всякое отображение с ограниченным искажением f:U-+ ЕР, п 1, К = K(f) 1+(ь принадлежит, Wploc(U, ЕР) для всехр Є [ , ). При этом для любого шара В — В (а, г) С U существует отображение р Є Мп такое, что р(х) ф со для всех х Є - В и р(х, ір 1 о /(ж)) С\т\/К — 1 для всех х Є -В, У а для любого числа р Є [і/, , ), 5 0, выполнены неравенства Ш?-1 о /) - /р,в C2r"lr(K - 1), II А./ - DhV\\pi_B С3(К - \)\\DhV\\piB, где константа С\ зависит только от п; константы С2, Сз зависят только от п, р и 8.
Известно (см., например, [45]), что всякое квазиконформное отображение / на группе Гейзенберга Шп принадлежит классу W oc, если р v+e, где є 0 — некоторая постоянная. Теорема 4.5 оценивает є при К, достаточно близком к единице. В последней части работы приведен пример, показывающий асимптотическую точность данной оценки. А именно, / . W ioc( » n), когда р jo(K-l) • Заметим, что показатель локальной суммируемости частных производных отображения с ограниченным искажением асимптотически совпадает с известным результатом К. Асталы в Ж2 [33].
Ход доказательства, как и в евклидовом случае, можно разбить на 3 шага.
1) Построение дифференциального оператора Q, «линеаризующего» оператор, определяющий конформные преобразования. На группе Гейзенберга горизонтальный дифференциал конформного отображения является общим ортогональным преобразованием и имеет дополнительную струк-ТУРУ: с точностью до множителя он является симплектическим преобразованием. Поэтому оператор Q состоит из двух частей. Одна отвечает за ортогональность, вторая — за симплектичность:
QU - { \(Dhu+JDhuJ) J J {-І О) (4Л)
Здесь отображение и действует из Шп в E2n, a (2n х 2п)-матрица DhU равна {XiU ij-i n- (Заметим, что в евклидовом случае оператор Q состоит только лишь из первой части.)
Приведем еще одно определение. Отображение с ограниченным искажением /: U — Hn, U С Нп, почти всюду в U имеет формальный горизонтальный дифференциал Dhf, который определяет сохраняющий контактную структуру гомоморфизм алгебр Ли Df. Причем J(x, f) фО для почти всех х Є U [7]. Поэтому для почти всех х Є U существует число Нхі /) Ф 0 такое, что Df(x)X2n+i = А(я, f)X2n+v Более того [49], X(xJ)n = detDhf(x) и A(s,/)n+1 = J(xJ).
Определение 4.2. Отображение с ограниченным искажением /:?/—» Hn, U С Н", сохраняет (соответственно, меняет) (ХД)-ориентацию, если \(х, /) О (соотв. Х(х, /) 0) для почти всех х Є U.
В следующей лемме устанавливается основное неравенство для оператора Q.
Лемма 4.1. Пусть f:Uc ЕР —У Ип — отображение с К-ограниченным искажением, сохраняющее (КR)-ориентацию. Тогда для почти всех точек х Є U выполнено Э/(з) С (К - 1) (\Dhf(x) -/ + 1)+ P(Dhf{x) - /), где /3(v) = 0(г 3/2) при v - 0 и fi(v) Сг для всех v.
Нетрудно показать, что близость отображения / к тождественному в норме Соболева означает, что / сохраняет (К/ -ориентацию (предложение 4.3).
Дальнейший шаг состоит в использовании коэрцитивных оценок для однородных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами и с конечномерным ядром. Таковые на группе Гейзенберга доказаны Н. Н. Романовским [28]: если dimkerQ со, то для каждого шара В С Шп существует проектор Р: Wp(B,M?n) — kerQ такой, что \\Dhu- Dh(Pu)\\Lp{B) CQ«LJ,(B) для всех и Є W}{B, R2n). Чтобы применить этот результат, надо найти ядро оператора Q.
Лемма 4.2. Ядро оператора Q на отображениях и Є И 1ос(Ш1п,М2п), п 2, р 1, конечномерно. В явном виде: и Є keiQ тогда и только тогда, когда u(z, t) = a + (\I + K)z + (t + i\z\2)(az + 6) + 2i(z, b)z, где А, а Є Ш, a, b Є Cn, К + К = 0. На группе Ш1 ядро оператора Q бесконечномерно. Следовательно, в рамках данного подхода нет возможности применить коэрцитивные оценки при 71=1.
Принципиальное наблюдение состоит в том, что отображение из ядра оператора Q всегда можно расширить до элемента алгебры Ли мёбиусовых преобразований на группе Гейзенберга (см. леммы 3.2 и 4.2). Это наблюдение дает возможность для всякого отображения / с /f-ограниченным искажением найти мёбиусово отображение в такое, что Рд = id, где д = в 1 of — тоже отображение с if-ограниченным искажением. Из леммы 4.1 и коэрцитивных оценок получаем lIto-/U,( ) C(tf- для всех р v. Следовательно, для получения локальной количественной теоремы устойчивости нам надо получить оценку \\/3(Dhg(x) — /)І,Р(Б) = o(l) Dhg(x) — I\\i () при К —У 1. Для этого мы применяем теорию отображений с ограниченным удельным колебанием.
2) Класс отображений с ограниченным удельным колебанием. В евклидовом случае Ю. Г. Решетняк и Л. Г. Гуров ввели класс отображений с ограниченным удельным колебанием относительно кубов [12]. На группе Гейзенберга кубов нет, а множества, которые являются аналогами двоичных кубов, имеют фрактальную структуру [39]. По этой причине мы ввели класс BSO относительно шаров в метрике Гейзенберга. Так как для доказательства основных свойств этого класса не используется групповая структура, то естественно рассматривать класс BSO на метрических пространствах однородного типа: (X, d, ц) с мерой /І, удовлетворяющей условию удвоения. Мы накладываем еще одно геометрическое условие на метрическое пространство: для любых шаров В\ и В% таких, что х{В\) Є Дг, г{В\) г(В2), существует шар В такой, что БсВхПБ2, г(В) 7 -, яг(Ві)єВ. (2.1) ус Здесь константа я 1 не зависит от выбора шаров В\ и і?2 Заметим, что группы Карно являются метрическими пространствами однородного типа, удовлетворяющими условию (2.1).
Пусть U С X измеримое множество и fi(U) 0. Обозначим M{f,U) = J-)Ju\f{x)\d x) и Mp(f,U) = (M(\fP,U))1 р 1, для любой измеримой функции f:U—t M.d.
Определение 2.1. Рассмотрим определенный на шарах класс 5 такой, что S(B) есть некоторая совокупность непрерывных функций (р: В — №? для любого шара В С X. Класс S называется допустимым, если выполнены следующие условия:
I. Если (р Є S(B), то сужение р на В принадлежит S(B) для любого шара В С В; П. Существуют константы 0 а\ 1 «2 такие, что для каждого шара В и произвольной функции ір Є S(B) верно а\М(ір, В) \ р(х)\ сх2М((р, В) для всех х Є В;
III. Существует константа аз 1 такая, что для любого шара В и произвольных ір, ф Є •S (JB) выполнено (ж) — -0( )1 схзМ( р — ф, В) для всех х Є В.
Функции, удовлетворяющие накладываемым на допустимый класс ограничениям, в некотором смысле похожи на постоянные. Очевидным примером допустимого класса служит класс постоянных функций. В евклидовом пространстве Жп, п 3, нетривиальным примером является класс S(Q(a,r)) = {хЄ Q(a,r) н+ ф {х) бГ2: бМП) оо . V (Q(a,f))}» гДе Мп — группа мёбиусовых преобразований в Шп, Q(a,r) — куб с центром в точке а и ребром г (см. [27]).
Определение 2.2. Отображение /: U — Rd называется отображением с ограниченным удельным колебанием в Lq относительно S (/ Є BSOq(S)), q 0, если существует константа т 0 такая, что для любого шара В С U мы можем выбрать функцию (рв Є S(B) такую, что / \f(x) - рв(х)\Чц(х) aq [ \ч в{х)\Чр{х).
Наименьшая константа а для всех шаров В С U называется удельным колебанием f в смысле Lq относительно S и обозначается символом osc(/,g,5).
Для заданного шара В = В(а, г) определим шар В = В(а, 1). Основное свойство функций с ограниченным удельным колебанием формулируется в следующем утверждении.
Теорема 2.1. Пусть U — открытое множество в X, S — допустимый класс и f: U -+ Kd. Предположим f Є BSOq(S), a = osc(/, q, S). Положим EB{t) = {x Є В \f(x) - рв (х)\ і\ рв (х)\} дляі 0 и В С U.
Тогда существует число CTQ 0 такое, что если а O Q, то для всех t O /O Q выполнено Константа CQ зависит только от q и а.\ — аз Полученный результат об улучшении показателя суммируемости отображения с ограниченным удельным колебанием слабее результата в евклидовом случае в следующем смысле: если отображение / близко к р на шаре В, то улучшение показателя интегрируемости можно гарантировать только на меньшем шаре.
Из теоремы 2.1 нетрудно установить улучшение показателя интегрируемости отображений с ограниченным удельным колебанием.
Следствие. Пусть f:U — Rd принадлежит классу BSOq(S) и а = osc(f,q,S). Если а сг0 то f Є LP]\oc(U) для всех р Є [q, )- Более того, если q р , то С 9+Р / 3 4 \ ]в Ш - №(x)№W 2 г { °Г + В(р, 2а0/а -p)J х стр-Шч{срв,,Ву [ /(х) - рв (х)\Чф). JB
3) Применение теории отображений с ограниченным удельным колебанием. Неожиданно трудоемким оказалось исследование свойств производных мёбиусовых преобразований. Используя явное представление, мы показываем, что класс SM = {SM(B)}Bcmn, где SM(B) = {Dhp ір є Мп, со /?(В)}, является допустимым (см. определение 2.1) в теории отображений с ограниченным удельным колебанием (леммы 3.5 и 3.6).
Пусть g — отображение с ІІГ-ограниченньїм искажением на шаре В. В силу теоремы 1.2 на любом шаре В С В мы найдем мёбиусово отображение (р такое, что р 1 о g близко к тождественному в норме Соболева L\ с порядком близости є, є —У 0 при К — • 1.
В евклидовом случае Ю. Г. Решетняк получил следующий результат: если у?-1 о g близко к тождественному в норме Соболева Lp, с порядком близости є, где ср — мёбиусово, ар — отображение класса Соболева W , то при выполнении некоторых ограничений g близко к ір в норме Соболева Ll с порядком близости О (є).
На группе Гейзенберга такую оценку получить не удается. Применяя теоремы вложения, можно утверждать только, что близость ip log к тождественному в норме Соболева L\ с порядком близости є влечет близость д к р в норме Соболева L\,2 с порядком близости О (є) (лемма 4.4). Последнее означает, что Dh9 Є BSOv/2(SM) и osc(#, v/2, SM) = 0(є). Следовательно, можно установить желаемую оценку для р = v/2: \\(3{Dhg—I)\\LV/2(B) = o{l)\\Dhg - I\\Lu/2{B) при K- l.
Ill) Теорема устойчивости на областях Джона.
Определение 4.3. Область (открытое связное множество) U С Ип называется областью Дэюона с внутренним радиусом а и внешним радиусом /3, или областью класса J[a,/3], 0 а /3 со, если существует выделенная точка ро € U такая, что любая другая точка р Є U может быть соединена в U с точкой ро спрямляемой кривой j(s), 0 s I /3, где s — длина дуги, для которой 7(0) = р, y(l) = Ро и ос dist[7(s),dt/] —s для всех s Є [0,1].
Главным результатом работы является
Теорема 4.7. Пусть U — область класса J(a,j3) в Шп, п 1. Тогда существуют числа Di,D2,Ds 0 такие, что для всякого отображения с ограниченным искажением f:U—t Н" существует мёбиусово отображение (р, для которого верны следующие утверждения:
1) если K(f) 1 + i(g)2, то Q2 р{ р 1 о f(x), х) Сг—y/K(f) — 1 для всех х Є U\ L 2) еслиК(ї) 1 +ДгЙГ3 up Є [1, ( ), mo І АЛ "1 о /)( ) - / C2{3\K{f) - іу.
Константа Сі зависит только от п. Константа Сч зависит от %, п up.
Отметим основное отличие теоремы 4.7 от результата Ю. Г. Решетняка, полученного в евклидовом пространстве [27, теорема 4.1, гл. 4]: Пусть U — область класса J(a,/3) в Жп, где п 3. Тогда для любого р п найдется число 6Q = $о(р), зависящее только от п up и такое, что, если /:/"— Rn — отображение с ограниченным искажением, K{f) 1 + 5о%, то существует мёбиусово преобразование р такое, что $и ( /?-1 о /)(#) — 1\Ых : C{K(f) - l)P(f)2р/32п. Применяя схему доказательства теоремы 4.7, можно показать, что в евклидовом случае в качестве 5о{р) можно взять На областях Джона группы Н1 верна следующая
Теорема 4.8. Пусть U — область класса J(a,j3) в Ш1. Тогда существуют є = е{Р/а) 0 и функция А: [0,є) — [0,со), А() — 0 при t —У 0, такие, что для всякого отображения с ограниченным искажением /: U —ї И1, К = K(f) 1-\-є, существует (р €Е Мі, удовлетворяющее следующим соотношениям:
р( Р г о f(x), х) Сі—л/Х(К - 1) для всех х Є U и [ \Dh{ip-1 о /)(х) - I\Pdx С2/34(Х(К - 1)У Ju для всех р Є [і, х(к-і) (f) )• Константа C\ не зависит от а, (3 и /. Константа Сч зависит от % и р.
Оценка вида p(y?_1 ° f(x), х) 1 {К — 1) Для всех х Є U, где /і(К — 1)-)-0 при К — 1, на областях Джона групп Гейзенберга И", п 1, получена Н. С. Даирбековым [14].
Доказательство теорем 4.7 и 4.8 развивает метод Ю. Г. Решетняка, разработанный в евклидовом случае [27]. Главную роль в этом доказательстве играют близкие к тождественному мёбиусовы преобразования и свойства областей Джона. Установлены следующие результаты:
Лемма 3.10. Пусть ер Є Мп — мёбиусово преобразование, р{(р{р),р) ег для всех р Є В(а,г), є 1/169 и 1 s . Тогда существует функция L(s) такая, что р( р(р),р) L(s)er для всехр Є B(a,sr).
Лемма 3.10 является полным аналогом евклидового случая [27, лемма 2.10, глава 4]. На группах Гейзенберга Н. С. Даирбеков [14] доказал более слабое утверждение. А именно, р( р(р),р) у{є, s)r для всехр Є В(а, sr), где //(є, s) - 0 при є —У 0.
Лемма 3.11. Пусть (р Є Мп, є 1/169, р((р(р),р) єг для всех р Є В (а, г). Тогда \DhV{p) - I\ (Ne)2 для всех р Є В (а, г). Константа N не зависит от ір и В (а, г).
Лемма 3.11 показывает отличие структуры группы Гейзенберга от евклидова пространства: в евклидовом случае, если мёбиусово отображение близко к тождественному с порядком близости є, то дифференциал мёбиусова отображения будет близок к тождественному с порядком близости 0(є) (см. [27, лемма 4.1, глава 4]).
В доказательстве теоремы 4.7 применяется также специальное покрытие области Джона и следующее предложение, иллюстрирующее «регулярность» границы области Джона в некотором интегральном смысле.
Предложение 4.5. Пусть ограниченное открытое множество U С Нп удовлетворяет равномерному условию внутренней спирали, О, Є Л(с) (см. определение 4.3). Тогда существует число 7 0, зависящее только от сип, что I dx со. и dist(x, dU)-r Если U Є J(cx,{3), то L !ц dist(z, dUp \cJ P где 7 C(§) . Константа С зависит только от v. Предложение 4.5 обобщает теорему 1 работы [32].
В диссертационной работе построены также примеры, показывающие неулучшаемость полученных результатов. Первый пример показывает, что близость отображения с ограниченным искажением к конформному в норме Соболева и в равномерной норме в теореме 4.7 не может быть улучшена. Во втором примере построено отображение с ограниченным искажением, при котором достигается оценка суммируемости производных.
Диссертация состоит из 4 глав и введения. Опишем кратко результаты диссертации по главам.
В первой главе установлена локальная качественная теорема устойчивости в норме Соболева на общих группах Карно. Здесь приведены также / необходимые определения и вспомогательные факты из теории отображений с ограниченным искажением на группах Карно.
Во второй главе на общих метрических пространствах с мерой, удовлетворяющей условию удвоения, вводится класс отображений с ограниченным удельным колебанием. Доказывается результат об улучшении показателя суммируемости отображений данного класса.
В третье главе рассматривается группа мёбиусовых преобразований на группе Гейзенберга. В явном виде вычислена алгебра Ли группы мёбиусовых преобразований; показано, что производные мёбиусовых преобразований образуют допустимый класс в смысле теории отображений с ограниченным удельным колебанием, введенный во второй главе; исследуются близкие к тождественному мёбиусовы отображения.
Четвертая глава посвящена доказательству основных результатов работы. Она разбита на шесть параграфов.
В первом параграфе приведены дополнительные ограничения, накладываемые на отображения с ограниченным искажением на группе Гейзенберга: условие контактности и система Бельтрами.
Во втором параграфе вводится дифференциальный оператор первого порядка Q, вычисляется его ядро, строится проектор на ядро оператора Q и устанавливается предварительная теорема устойчивости.
Третий параграф посвящен следствиям устойчивости в норме Соболева. В частности, показана связь производных отображений с ограниченным искажением и классом отображений с ограниченным удельным колебанием.
В четвертом и пятом параграфах доказана локальная и глобальная количественные теоремы устойчивости соответственно.
Последний, шестой параграф, содержит два примера, показывающие точность полученных результатов.
Основные результаты работы сформулированы в работах [10, 16].
Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю, д.ф.-м.н. С. К. Водопьянову, за постоянное внимание и помощь в работе.
Пространство Соболева
Пусть G — группа Карно с однопараметрической группой растяжений 5 и однородной нормой р, Q — область в G. Пространство Соболева W (Q), 1 g со (Lg(fi), 1 g со), состоит из локально суммируемых в Q функций / : Q — К, имеющих обобщенную производную XIJ/ вдоль векторного поля -Ян, і = 1,... ,ni, и конечную норму (полунорму) где Vr/ = {Xnf,... ,X\nif) — субградиент функции /. Напомним, что локально суммируемая функция gi : Q —ї Ш называется обобщенной производной функции / вдоль векторного поля ХЦ, І = 1,... ,теі, если имеет место равенство J ді ф dx = — / fXuty dx для любой тестовой функ а si ции ф Є Co(Q). Если / Є Wg(U) для каждого открытого множества U, U С П, то говорят, что / принадлежит классу W loc(fi). Пусть GHG- две группы Карно. Все соответствующие объекты на группе G (однородная метрика, растяжение и т. д.) мы будем помечать сверху знаком « ». Определение 1.1. Отображение / : Q — G принадлежит классу Соболева Wloc(2, G), если выполнены следующие условия. (A) Для всякого z Є. G функция [f]z :ібП4 р(/(#) z) принадлежит классу Wl JP). (B) Семейство функций {Vc[f]2}zefc имеет мажоранту, принадлежащую Lqtioc(Q), т. е. существует функция g Є Lqj\oc(Q), не зависящая от z, такая, что V/;[/] (ar) д(х) для почти всех х Є fi. Известно (см., например, [7]), что для отображения класса Соболева Xjf(x) Є V\(f(x)), j = 1,...,m, поэтому матрица Dhf(x), состоящая из элементов (Xufj(х)), г = 1,..., щ, j = 1,..., щ, определяет линейное отображение горизонтального пространства V\{x) в V\{f(x)) для почти всех х Є Q, называемое формальным горизонтальным дифференциалом. Обозначим символом \Dhf(x)\ норму этого дифференциала: В качестве функции g Є Ьд іос(П) из определения 1.1 можно взять C\Dhf\ [7]. Гладкие отображения, дифференциалы которых сохраняют горизонтальную структуру называются контактными. По этой причине отображения класса W loc(fi, G) естественно называть (слабо) контактными. В [6] доказано, что Dhf : V\ - V\ порождает сохраняющий градуировку гомоморфизм алгебр Ли Df : V —ї V, называемый формальным дифференциалом.
В случае G = G определитель матрицы Df(x) называется (формальным) якобианом отображения / и обозначается символом J(x,f). Напомним, что непрерывное отображение /: Q — G, Q С G, называется открытым, если образ открытого множества открыт, и дискретным, если прообраз f l(y) любой точки у 6 /( ) состоит из изолированных точек. Определение 1.2 ([7]). Пусть /: U — G — отображение, определенное на открытом множестве U в G. Мы называем / отображением с ограниченным искажением, если (а) / непрерывно открыто и дискретно, WfeWlM(U,G), (c) существует постоянная К 1 такая, что неравенство ( /(я)]" KJ(x, f) выполняется почти всюду в U. Наименьшая постоянная К в этом неравенстве называется (внешним) коэффициентом искажения отображения / и обозначается символом Ko(f), (d) / гомеоморфно как только Ko(f) = 1. Гомеоморфное отображение с ограниченным искажением называется квазиконформным, 1-квазиконформное — конформным. Примерами конформных отображений являются левые сдвиги 7га: х (- а х, а Є G, и растяжения 5t. В евклидовом случае и на группе Гейзенберга требование п. (d) является излишним, так как любое отображение, удовлетворяющее пп. (а)-(с) на связной области, есть сужение действия мёбиусова преобразования. В частности, оно является гомеоморфизмом. В евклидовом случае и на группе Гейзенберга требование открытости и дискретности также избыточно (см. [26,13, 5, 9]). На двухступенчатой группе Карно G требование открытости и дискретности избыточно, если на группе G существует сингулярное в точке 0 решение w H loc(G\0) уравнения divjjV I Vru;] = О [9]. Такие решения существуют на двухступенчатых группах Карно Н-типа [45]. Известно (см., например, [7]), что аналитическое определение отображения с ограниченным искажением эквивалентно следующему метрическому определению: Определение 1.3. Отображение /: U — G открытого множества U С G называется квазирегулярным, если (a) / непрерывно открыто и дискретно и сохраняет ориентацию в точках локальной гомеоморфности; (b) величина локально ограничена в U\ (c) для всех точек х Є U \ І?/, где Bf — множество точек ветвления, верно соотношение Н(х, /) К, в котором К не зависит от точки х. Следующая теорема показывает, что класс отображений с ограниченным искажением является замкнутым относительно равномерной сходимости. Теорема 1.1 ([7, теорема 1, леммы 9 и 10]). Пусть последовательность отображений с ограниченным искажением /? : Г2 — G, Г2 С G, сходится локально равномерно к непостоянному отображению (р: Г2 — G при к — со и последовательность КоІФк)/ & Є N, ограничена сверху. Тогда предел ц является отображением с ограниченным искажением и Более того, для любой неотрицательной ограниченной измеримой функции % & — Ж (полунепрерывность снизу интеграла энергии) и
Допустимый класс S: определение и примеры
Рассмотрим определенный на шарах класс S такой, что S(B) есть некоторая совокупность непрерывных функций р: В —» Rd для любого шара В С X. Класс S называется допустимым, если выполнены следующие условия: I. Если р Є S(B), то сужение р на В принадлежит S(B) для любого шара В С В; П. Существуют константы 0 а\ 1 а 2 такие, что для каждого шара В и произвольной функции у? Є S(B) верно III. Существует константа а з 1 такая, что для любого шара Л и произвольных (р,ф Є (Б) выполнено Рассмотрим tp Є S (B), ВсВир І. Тогда условие II влечет а\М(ср, В) Функции, удовлетворяющие накладываемым на допустимый класс ограничениям, в некотором смысле похожи на постоянные. Очевидным примером допустимого класса служит класс постоянных функций. В евклидовом пространстве М.п, п 3, нетривиальным примером является класс S(Q(a,r)) = {хе Q(a,r) и- ф (х) Є Rn : ф Є Мп, со $ Ф( 3(а,%))}, где Мп — группа мёбиусовых преобразований в Rn, Q(a, г) — куб с центром в точке а и ребром г (см. [27]). Пусть S — допустимый класс и С/ — открытое множество в X. Определение 2.2. Отображение /: U — Rd называется отображением с ограниченным удельным колебанием в Lq относительно S (/ Є BSOq(S)), q О, если существует константа а 0 такая, что для любого шара В С U мы можем выбрать функцию рв Є S(B), удовлетворяющую Наименьшая константа а для всех шаров В С U называется удельным колебанием f в смысле Lq относительно S и обозначается символом osc(/,g,5). В евклидовом случае класс отображений с ограниченным удельным колебанием ввели Л. Г. Гуров и Ю. Г. Решетник [12] (см. также монографию [27]). В частном случае, когда S — класс постоянных функций и q = 1, в евклидовых пространствах этот класс был введен Гуровым [11] для доказательства устойчивости лоренцевых отображений. Для заданного шара В = В (а, г) определим В = В(а, ). Основное свойство отображений с ограниченным удельным колебанием формулируется в следующем утверждении. Теорема 2.1. Пусть U — открытое множество в X, S — допустимый класс и /: U — M.d. Предположим f Є BSOq(S), a = osc(f,q,S). Положим для t О и В С U. Тогда существует число Go 0 такое, что если а GQ, то для всех t G/GQ выполнено Константа GQ зависит только от q и а\ — аз Теорема 2.1 обобщает соответствующий результат Ю. Г. Решетняка и Л. Г. Гурова [12] в евклидовых пространствах (см. также [54] и [27]). Из теоремы 2.1 нетрудно установить улучшение показателя интегрируемости отображений с ограниченным удельным колебанием.
Следствие. Пусть f:U—tM.d принадлежит классу BSOq(S) и G — osc(f,q,S). Если G Go, то / Є LPt\oc(U) для всех р Є [,1). Более того, если q р , то Замечание. 1) Поскольку то для всякого р Є (q, а ), б 0, выполнено [ /W-№(x)№(x) C(p)a M9( ,Bp / /(а0-№( )№( ). Константа С(р) зависит только от q, 6 и «і, «2, «з Ю. Г. Решетняк применил евклидовый вариант теоремы 2.1 к исследованию устойчивости в теореме Лиувилля в Еп [27]. В нашей работе мы применяем теорему 2.1 к отображениям с ограниченным искажением на группе Гейзенберга. Мы показываем, что дифференциалы мёбиусовых отображений группы Гейзенберга образуют допустимый класс (глава 3, параграф 3), а дифференциалы отображений с ограниченным искажением являются отображениями с ограниченным удельным колебанием (глава 4, параграф 3). Доказательство теоремы 2.1, как и доказательство классической теоремы Джона — Ниренберга [47], основывается на адекватном разложении Зигмунда — Кальдерона. Лемма 2.2. Пусть (Hi) для каждого і существует шар ВІ С В{Г\Во такой, что Х(ВІ) Є ВІ, Доказательство. Рассмотрим шар В С В 0, х(В) Є Во и r(B) = го-Тогда Обозначим Е = {х Є BQ \ и(х) L}. Тогда для /І-ПОЧТИ всех х Є Е существует шар Вж радиуса г(Вх) го такой, что где Де — шар из (2.1), т. е. Вх С ±ВХ П В0, r(Bz) г(Вх) н х Є Вх. Действительно, пусть А — множество тех точек X Є. Е, что выполнено для шаров В, х Є В С Во и г(-В) — 0. По теореме Лебега и . L /л-почти всюду в Л и, следовательно, д (Л) = 0. Рассмотрим семейство {ВХ}ХЕ\А- По лемме 2.1 о покрытии существует не более чем счетное семейство {В{ = B(xi,ri)} такое, что ХІ Є Е \ А, Bi = Вх.} семейство {\ВІ} дизъюнктно и Е\ A c\JВІ. Семейство {ВІ} очевидно удовлетворяет условиям (г) — (iv) леммы. Доказательство теоремы 2.1. Доказательство выполняется в несколько шагов. (і) ПО определению Ев(і) имеем
Свойства производных мёбиусовых преобразований
Рассмотрим два вектора а, Ь Є С как (1, п)-матрицы. Тогда а-Ь — (п,п)-матрица с элементами ) P(XYL Отсюда Zj = pjjfcg/ - щпцф и І-ОліІ = \Zj\. Найдем матрицу (Zj) Zj: Лемма 3.4. Пусть заданы две точки х, у Є Нп такие, что Константа С зависит только от 5. Доказательство. Положим х = (z, t), у = (w,p), где z,w Є С", ,р 1, 1 10 и 7 = И -1 2/Е2"+І = (w — 2 + \р — t — 2Im(z, w)\2) . Очевидно, что 7 1 при условии, что р{х гу) 1. 2zz „., ч 1 :, Zj(w,p) = Без ограничения общности можно считать, что 5 р(х) р(у)-В силу 1 7 p{x) РІУУ p(x): Обозначим v = z — w. Имеем \v\ 7 и z zl = (w + v) (w + г ) . Следовательно, I2 оценивается как Покажем, что производные мёбиусовых преобразований групп Гейзен-берга обладают рядом замечательных свойств, аналогичных евклидовому случаю (см. [27, леммы 2.4, 2.5, глава 4]). Фиксируем 1 . h\ h2. Обозначим В = В(а,г), В = В(а, h\r), В" = B(a,h2r). Лемма 3.5. Пусть (р Є Мп, р(х) ф оо для всех х Є В". Тогда для всех х Є В . Здесь \\Dh p\\c(B) = supZ? y (x), константы а\, а2 хев зависят только от h\ и h2. Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что ір Є М+. Если (р(оо) = оо, то по предложению 3.1 отображение (р есть композиция сдвига, растяжения и унитарного преобразования, без инверсии. Т. е., Dh(p(x) есть постоянное отображение, не зависящее от выбора точки х. В этом случае лемма очевидно верна. ЕСЛИ (р(оо) ф ОО, ТО (р = Щ О рА О 8Т О (J О 7Гс-і), где 6, с Є Нп, т Є (О, оо), А Є f/(n). Мёбиусово преобразование (р переводит точку с в со.
По условию леммы отсюда вытекает, что точка с лежит вне шара В". В силу леммы 3.3 имеем 2?/# (а;) = r\Dhj{c l х)\ = prJx\2 Введем следующие обозначения: х\ — ближайшая точка замкнутого шара В к точке с; х2 — ближайшая точка замкнутого шара В к точке с; xs — наиболее удаленная точка замкнутого шара В от точки с; k = p(c,Xi). для всех точек x й В . Оценим коэффициенты: Следствие. Пусть ер Є МП; (#) о лл всегс ж Є В". Тогда аіІВГ ІРлИІіЛ ) P/ WI «ГЧЯГ ІРлИІМ ) Ліл есежаг Є Б . Лемма 3.6. для всех x Є В. Константа «з зависит только от h2. Доказательство аналогично доказательству в евклидовом случае (см. [27, лемма 2.5, с. 269]). Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что В (а, г) = в(о, і), (о) = Ф(о) = о, иадіїод ИЗДІсде = 1. Обозначим Покажем, что отношение рі( р,ф)/р2((Р,Ф) ограничено сверху для всех мёбиусовых р и ф, удовлетворяющих условиям нормировки. Предположим противное. Тогда существуют последовательности рт и фт Такие, ЧТО Рі( рт,Фт)/Р2{ Рт,Фт) ОО При ГП - СО. Так как \\D m\\C(B) \\Dh Pm\\c{B) = ! и Ут(0) = фт(0) = 0, то последовательности фт и рт равномерно равностепенно непрерывны в шаре В. Следовательно, переходя к подпоследовательностям, можно считать, что фт z$ фо и (fm :=3 о при т — со, фо, ро Є Мп. В общем случае возможно, что фо = 0. Функция ро не является тождественно постоянной, так как Dh(fm — Dh po равномерно на шаре В при т — со. И, следовательно, Очевидно, что Рг( Рт,Фт) — РІІФО,Фо) ПРИ гп— оо, г = 1,2. Так как по Нашему ПреДПОЛОЖеНИЮ Plfom, Фт) / р2( Рт Фт) - СО, ТО Р2(у 0,Фо) ДОЛЖНО быть равно 0. Следовательно, (ро = фо, что невозможно, если щ Є М+, о Є М- или фо Є М+, v?o Є М . Таким образом, без ограничения общности можно считать, что (рт, фт Є M+,m = 0,1,.... Пусть a: U — Rd, rf = dimM+ = n2 + 4n 4- 3, — допустимая карта в "многообразии М+ в окрестности U точки (ро. Положим а( ро) — 0, a(U) = V — окрестность нуля в Rd. Для х Є ЕР, t Є V положим y t(x) = y (a?,t) = а_1(0. Пусть ipm(x) = p(x,tm), фт(х) = (р(х,ит). Без ограничения общности можно считать, что qm = (tm — um)/\tm — ит\ при т -» со стремится к единичному вектору q. Имеем при m - со. Положим У(ж) = dqipo{x) Є 1-. Тогда (a;) = dqDhVo(x). Покажем, что DhY(x) не обращается тождественно в нуль на шаре В. Действительно, в противном случае Y (х) = У(0) = lim тл _и\ = 0. Напомним, что \q\ = 1. Следовательно, а — вырожденная система координат. Отсюда Шары в метрике Гейзенберга удовлетворяют условия конуса, а, следовательно, и условию Джона.
Отсюда легко получить, что они удовлетворяют также и (2.1) с некоторой константой и 1. В качестве следствия лемм 3.5 и 3.6 мы получаем следующее очевидное утверждение. Следствие. Класс SM = {SM(B)}Bcmn, где SM{B) = {Dh(p р Є Мп, ф{х) Ф со Ух Є В"}, удовлетворяет условиям 1-111 определения 2.1 для допустимого класса. Для простоты мы будем писать \х\ вместо р{х) для элемента х Є Нп. Лемма 3.7. Пусть if = j пъ j, b = (b,jB) Є DP, 6 є2, \/3\ є2 и є 1/4. Тогда 2 для всех р Є В(0,1). \Dhtp{p) -І\ 19.5є2 Доказательство. Прежде всего проверим, что (р(р) ф со при р В(0,1). Последнее возможно только, если h-j(p) = 0. Следовательно, єіі+є4)1 4 b = \j(p)\ = р 1, что невозможно при є 1/4. Рассмотрим х = (z,t) Є В(0,1) и положим (w,p) = jo7Tbj{x). Имеем р((р(х),х) = \(w — z,p — t — 2Im(z,w))\ \w — z\ + y/\p — і — 2Іт(;г,tt?). Нетрудно проверить, что
Предварительная теорема устойчивости в теореме Лиувилля
Обозначение. 1) Как и раньше, обозначим х = (х\,..., Х2П) для элемента х=(хъ...,х2п+і) Є Шп. 2) Обозначим (и)в = щ fB и(х) dx для любой измеримой функции и на шаре В. Теорема 4.3. Существуют константы С,\ 0 и полоэюителъные неубывающие функции ЦІ, /j,i(t) — 0 при t — 0, г = 2,3, такие, что для всякого отображения с ограниченным искажением /: В = В(а, г) — Шп, K(f) 1+єі, существует мёбиусово отображение (р такое, что (р ф со на шаре В (а, ), и где Q — дифференциальный оператор (4.4) первого порядка с постоянными коэффициентами. Доказательство основывается на коэрцитивных оценках для однородных дифференциальных операторов с конечномерным ядром [28] и на свойствах мёбиусовых преобразований группы Гейзенберга. Доказательство, (і) Мы рассматриваем группу Гейзенберга Нп, п 1, и отображение / Є \р(В,Шп) с ограниченным искажением, K(f) є + 1. Пусть В = В(0,1). По теореме 1.2 существует ір є Мп такое, что р(ф 1 о f(x),x) m {K{f) - 1,1/2) для всех я? Є Я (О,-). Положим для простоты д = -1 о / и / о( ) — / о( 1/2). Обозначим 6 = /io(K{f) -1) + 1/2. Тогда р(В) С ЬВ. (и) Мы показали, что kerQ конечномерно при n 2. По теореме 4.2 и предложению 4.2 для проектора Р, задаваемого соотношением (4.8) с а = il пространства Wp(B,M?n) на kerQ имеем \\Ри\\ СМ1/гВ и \\Dhu - Dh(Pu)\\MB C\\Qu\\pi_B для любого отображения и Є Wp(B, Ж2п). (ill) М+ является (с?+1)-мерным многообразием. Рассмотрим окрестность единицы V в М+ и координатную систему а: V — M.d+1, a (id) = 0, t = (to,...,td) Є a(V), а-1( ) = Pt(x) = (# ) Є M+- Можно считать так, для всех x Hn Предположим, что cx(V) = U D Вш +і(0, po). Известно, что pt =3 id при t - 0 на любом компактном подмножестве Шп. Обозначим Рассмотрим такое число pi Є (0, po), что A(p) 1 для всех 0 р р\. В частности, при таком выборе р\ отображение cpt Ф со на шаре ЬВ для всякого t Є B d+i(0,pi). Имеем где Сі = с2\/2п8ир{ Л (ж) : Є BRd+i(0,pi), х Є &} (Сі со, поскольку отображение (x,t) н- 2?д (ж) непрерывно на компактных множествах). Очевидно, что для любых двух точек (w,p), (z, і) Є Hn p((w,p),(z,t)) \z-w\+\t-p-2Im{w,z)\V2 \z w\+\t-p\ 4(2\w-z\ ( 1)(1 так как Im(w, z) = Im(iu — z, z). Поэтому p{4 t{xi), Pt(x2)) \ Pt{Xl) - &t{x2)\ + Ь ( і)І2п+1 - bf( 2)]2n+l1/2 точек x\,x2 Є ЬВ, поскольку из условия контактности (4.1) имеем Определим A(t) = P((pt)+t0uo, A(t) = Y( ptog)-\QUQ для всех t Є BR n(0, pi). Имеем Л Є C(Bmj+l(0,pi)tZ+) и Л(0) = P(id) = E(id) = f Є Е+, где f (z, t) = (z, 2 ), (z, t) Є IP, так как id Є ker Q.
Найдем дифференциал Л в точке 0. Для произвольного вектора h Є Md+1 имеем Таким образом, линейное отображение Л.(0): M.d+1 —ї Е+ невырожденное. Следовательно, существует р2 Є (0, pi] такое, что Л — взаимно однозначное отображение шара B d+i(0, р2) на окрестность отображения Є Е+. Положим 5(р) неубывающая, 6(р) 0 и 5(р) — 0 при р - 0. Получаем Для точки х Є о"В С В имеем д(х) Є ЬВ и Пусть if (/) = 1 + г. Тогда существует число є\ Є (0, є] такое, что Й)(т) (рг) Для всех г Є (0,єі). Пусть Тогда р{т) неубывающая, р{т) — 0 при г — 0, 6(р(т)) Сі\\Р\\ро(т) и р(т) р2 для всех г Є (0, Єї]. Следовательно Таким образом, существует вектор tf Є В а+і (0, р(т)) такой, что Л(/) = . (v) Обозначим pf/ о ф 1 о f = iptf о д = h. Тогда P(h) = id. Поскольку id Є ker Q, то P(h — id) = 0. Следовательно, так как постоянные о ограниченным искажением, K(f) є + 1. Пусть В = В(0,1). По теореме 1.2 существует ір є Мп такое, что р(ф 1 о f(x),x) m {K{f) - 1,1/2) для всех я? Є Я (О,-). Положим для простоты д = -1 о / и / о( ) — / о( 1/2). Обозначим 6 = /io(K{f) -1) + 1/2. Тогда р(В) С ЬВ. (и) Мы показали, что kerQ конечномерно при n 2. По теореме 4.2 и предложению 4.2 для проектора Р, задаваемого соотношением (4.8) с а = il пространства Wp(B,M?n) на kerQ имеем \\Ри\\ СМ1/гВ и \\Dhu - Dh(Pu)\\MB C\\Qu\\pi_B для любого отображения и Є Wp(B, Ж2п). (ill) М+ является (с?+1)-мерным многообразием. Рассмотрим окрестность единицы V в М+ и координатную систему а: V — M.d+1, a (id) = 0, t = (to,...,td) Є a(V), а-1( ) = Pt(x) = (# ) Є M+- Можно считать так, для всех x Hn Предположим, что cx(V) = U D Вш +і(0, po). Известно, что pt =3 id при t - 0 на любом компактном подмножестве Шп. Обозначим Рассмотрим такое число pi Є (0, po), что A(p) 1 для всех 0 р р\. В частности, при таком выборе р\ отображение cpt Ф со на шаре ЬВ для всякого t Є B d+i(0,pi). Имеем где Сі = с2\/2п8ир{ Л (ж) : Є BRd+i(0,pi), х Є &} (Сі со, поскольку отображение (x,t) н- 2?д (ж) непрерывно на компактных множествах). Очевидно, что для любых двух точек (w,p), (z, і) Є Hn p((w,p),(z,t)) \z-w\+\t-p-2Im{w,z)\V2 \z w\+\t-p\ 4(2\w-z\ ( 1)(1 так как Im(w, z) = Im(iu — z, z). Поэтому p{4 t{xi), Pt(x2)) \ Pt{Xl) - &t{x2)\ + Ь ( і)І2п+1 - bf( 2)]2n+l1/2 точек x\,x2 Є ЬВ, поскольку из условия контактности (4.1) имеем Определим A(t) = P((pt)+t0uo, A(t) = Y( ptog)-\QUQ для всех t Є BR n(0, pi). Имеем Л Є C(Bmj+l(0,pi)tZ+) и Л(0) = P(id) = E(id) = f Є Е+, где f (z, t) = (z, 2 ), (z, t) Є IP, так как id Є ker Q. Найдем дифференциал тображения хн (0,..., 0,1,0,..., 0), к = 1,..., 2п, принадлежат ker Q. В силу построения для всех х Є Б(0, ), причем Аі() — 0 при t — 0. Рассмотрим 6 = (0,...,0,/3) Є Нп, где /3 = ]щ J fc-1 h(x)]2n+idx. Очевидно, /3 &№. Положим р = ф о tpT1 о п 1 . Нетрудно проверить, что (VO o,-5-) = 0 для (ж) = ж-1 (у»-1 о /)(#) и
