Введение к работе
Актуальность темы. К настоящему времени теория топологической степени продолжает оставаться одним из основных методов нелинейного функционального анализа. Этот метод имеет давнюю историю. Понятие степени восходит к работам Кронекера и Пуанкаре, а стройная теория степени конечномерных отображений была предложена Брауэром еще в начале прошлого века. Впоследствии эту теорию удалось распространить на некоторые классы отображений бесконечномерных пространств и многообразий. Были разработаны топологические характеристики типа степени для вполне непрерывных и уплотняющих векторных полей, для различных видов фредгольмовых отображений, для отображений монотонного типа и других классов отображений. Результаты этих исследований нашли широкое применение при изучении нелинейных краевых задач, интегральных уравнений, нелинейных моделей механики, гидродинамики и других задач.
Изучение новых ситуаций, возникающих в приложениях, приводит к необходимости построения новых топологических характеристик. В частности, представляет интерес расширение конструкций уже известных топологических характеристик на некоторые классы возмущений рассматриваемых отображений. Нередко такое расширение приводит к построению содержательной теории, позволяющей исследовать новые типы задач.
В предлагаемой диссертационной работе построена теория степени одного класса многозначных возмущений (^^-отображений.
Отметим, что (^^-отображения представляют собой разновидность обобщенно монотонных операторов. Отображения этого класса естественно возникают при изучении различных типов нелинейных краевых и начально-краевых задач. Топологические методы исследования (5')+-отображений и близких к ним классов монотонных операторов развивались в работах И.В. Скрыпника, Ф.Е. Браудера, В.В. Петри-шина, В.Г. Звягина, А.Г. Картсатоса, B.C. Климова, Ю.Г. Борисовича, Ю. Кобаяши, М. Отани, Д. Берковича, М. Мустонена и других авторов.
При изучении многих задач могут оказаться полезными топологические характеристики многозначных возмущений (^^-отображений. Применение соответствующей теории степени является эффективным средством качественного исследования задач оптимального управления, систем дифференциальных уравнений и включений, операторных включений и других задач.
Целью работы является построение топологической степени одного класса многозначных возмущений (^^-отображений и изучение на основе этой характеристики ряда задач управления с обратной связью в системах, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями.
Методика исследований. Использовались топологические методы нелинейного анализа, аппроксимативные методы многозначного анализа, идеи и методы теории дифференциальных уравнений и теории оптимального управления.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить наиболее важные:
Построена новая топологическая характеристика - степень CJ-возмущений отображений класса (S)+.
Доказано существование оптимальных решений задачи управления с обратной связью в системах параболического типа с асферичными множествами допустимых управлений.
Установлено существование оптимальных решений в одной системе дифференциальных уравнений и включений.
Получены условия связности и компактности множества решений для одного класса операторных включений.
Доказана разрешимость задачи управления с обратной связью внешними нагрузками в одной модели изгиба пластины и установлены условия, при которых множество решений этой задачи является связным и компактным.
Достоверность полученных результатов подтверждается математическими методами исследований. Все результаты диссертации доказаны.
Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут применяться при исследовании нелинейных оптимизационных задач, при изучении дифференциальных и операторных включений.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на международной научной конференции "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения" (Воронеж, 2005), научной сессии ВГУ (2007 - 2010), семинарах под руководством профессора ВТ. Звягина (ВГУ, 2006 - 2010), семинаре под руководством профессора Э.М. Мухамадиева (Вологодский государственный технический университет, 2010).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в
работах [1] - [7]. Из совместных работ [2], [7] в диссертацию вошли только принадлежащие Е.С. Барановскому результаты. Работы [5], [6] соответствуют перечню ВАК для кандидатских диссертаций.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на двенадцать пунктов, и списка литературы, включающего 54 источника. Общий объем диссертации 115 страниц.
