Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теорема двойственности 17
1.1 О структуре двойственных переходов 17
1.2 Схема двойственности 23
1.3 7г-симметричные множества и 7г-симметричные функции 27
1.4 Спектральный синтез 41
1.5 Локальное описание 53
1.6 Теорема двойственности 71
Глава 2. Локальное описание. Теорема редукции 75
2.1 Суть и контуры доказательства теоремы редукции . 75
2.2 Симметричные многочлены 79
2.3 Симметричные функции 87
2.4 О представлениях симметричных функций 94
2.5 Теорема редукции 103
Глава 3. Локальное описание. Критерий обильности 113
3.1 Устойчивость, насыщенность, обильность ИЗ
3.2 Критерий обильности 127
3.3 Обильные подмодули 146
Глава 4. Спектральный синтез 153
4.1 Мотивация 153
4.2 7г-симметризация и 7Г-свертка 154
4.3 Однородные уравнения типа свертки 176
4.4 Спектральный синтез 184
Список литературы 200
Введение к работе
1. Пусть Н — произвольное локально выпуклое пространство, А : Н — Н — линейный непрерывный оператор. Подпространство W С Н называется инвариантным относительно оператора Л, если AW С W. Основной вопрос по отношению к произвольному замкнутому инвариантному относительно оператора А (далее, часто, просто инвариантному или Л-инвариантному) подпространству W С Н состоит в описании этого подпространства, например, в терминах корневых подпространств оператора А. Корневым подпространством оператора Л, отвечающим собственному значению Л Є С, называется непустое подпространство {х Є Н: (А-Х)пх = 0,пеЩ.
Элементы этого подпространства принято называть корневыми. Говорят, что замкнутое инвариантное относительно оператора А подпространство W С Н допускает спектральный синтез, если замыкание линейной оболочки корневых элементов оператора А, лежащих в W, совпадает с W. Задача спектрального синтеза для оператора А состоит в нахождении условий, при которых замкнутое инвариантное подпространство W С Н допускает спектральный синтез.
Из элементарной линейной алгебры известно, что если Н — конечномерное пространство, то любое инвариантное подпространство является прямой суммой конечного множества корневых подпространств. Из известной теоремы Гильберта - Шмидта о спектральном разложении самосопряженного компактного оператора в гильбертовом пространстве (Гильберт, Шмидт - пространство L2, J. Нейман - сепарабельное гильбертово пространство [75], F. Реллих - общий случай [77]) вытекает, что любое инвар и антное подпространство такого оператора является прямой суммой не более чем счетного множества корневых подпространств. Этим столь общие примеры исчерпываются. Известно, что уже среди компактных операторов, действующих даже в сепарабель-ном гильбертовом пространстве, есть такие, которые не имеют ни одного корневого элемента. Поэтому понятно, что дальнейшие исследования по спектральному синтезу связаны с изучением конкретных операторов и даже конкретных инвариантных подпространств.
Пусть Q — односвязная область в С; Я = H(Q) — пространство функций, аналитических в Q, наделенное топологией равномерной сходимости на компактах; D : Н — Н — оператор дифференцирования. Инвариантные подпространства W С Н оператора дифференцирования возникают естественным образом в той части комплексного анализа, которая имеет дело с задачами аппроксимации аналитических функций линейными комбинациями экспонент и которая возникла в классической теории рядов Дирихле. Задача спектрального синтеза для оператора D в комплексной области представляет собой перенос на ситуацию аналитических функций известной задачи Берлинга о гармоническом синтезе на вещественной прямой [70]. Вместе с тем, сравнение результатов по спектральному синтезу в комплексной области с известными фактами гармонического синтеза на прямой обнаруживает лишь частичную аналогию.
Впервые задача спектрального синтеза для оператора D была сформулирована в 1947 г. Л. Шварцем в его известной монографии о периодических в среднем функциях [80]. Указанная монография содержит первый результат по спектральному синтезу в комплексной области: при условии Q = С любое замкнутое D-инвариантное подпространство в Н допускает спектральный синтез.
Центральная тема спектрального синтеза для оператора D — задача аппроксимации для однородной системы сверточных уравнений: можно ли каждое решение такой системы аппроксимировать линейными комбинациями элементарных решений. Уравнения свертки и, в частности, уравнения бесконечного порядка, дифференциально-разностные уравнения с постоянными коэффициентами были предметом изучения многих математиков: Дж. Рит [78], Полна [76], Валирон [79], А.Ф. Леонтьев [27] - [30], А.О. Гельфонд [7], Л. Эренпрайс [72], [73], Д. Д иксон [71], И.Ф Красич-ков-Терновский [12] - [14] и др. Это объясняется, с одной стороны, прикладными задачами и, с другой стороны, тем, что многие чисто теоретические вопросы сводятся к изучению уравнений свертки. Например, вопросы полноты систем экспоненциальных функций тесно связаны с задачей изучения решений однородного уравнения свертки.
Систематические исследования по спектральному синтезу в комплексной области инициированы в 1971 г. И.Ф. Красичковым-Терновским [12] - [14]. С этим же именем связаны: первый пример замкнутого D-инвариантного подпространства, не допускающего спектральный синтез [13]; обобщение результата Л. Шварца на случай неограниченных выпуклых областей Q [13]; положительное решение аппроксимационной задачи для однородного уравнения свертки в случае выпуклой Г2 [13]; продолжение спектрального синтеза с выпуклой области [14] и др. Среди последующих результатов следует отметить результат А.Ф. Леонтьева: любое замкнутое .D-инвариантное подпространство в Н, О, — выпуклая область типа полуплоскости, является множеством решений си стемы из двух однородных уравнений свертки [31]; результат С. Г. Мерзлякова: положительное решение аппроксимационной задачи для однородного уравнения свертки для некоторого класса криволинейных полос [35]; результат С. И. Калинина по продолжению спектрального синтеза для однородного уравнения свертки [10]; свежий результат А.Н. Абузяровой, обобщающий результат А.Ф. Леонтьева на случай произвольной выпуклой области [2].
По характеру результатов с задачей спектрального синтеза для оператора D тесно связана задача спектрального синтеза для, так называемого, оператора, порождаемого умножением на независимую переменную. Речь идет об операторе Л , сопряженном оператору Р- Р\ф(\)- \ф{\), где Р — специальное локально выпуклое пространство целых функций, с ограничением на рост. Если Р = Т(Н ), где Н — топологическое сопряженное к Н, Т — преобразование Лапласа, то задачи спектрального синтеза для операторов D и Л совпадают. Постановка задачи для оператора Л и ее исследование проведено в работе В. А. Ткаченко [40]. По методам исследования и форме изложения статья [40] близка к классическим работам по спектральной теории операторов в банаховых пространствах.
Параллельно с этими исследованиями изучалась задача спектрального синтеза для оператора (/ь...,л)- (/{,. ..,Л) покомпонентного дифференцирования, действующего в топологическом произведении Ш = Н\ х ... х HU: Hj = H(Qj), Qj — односвязная область в С. Эта задача перекликается с известной задачей М. В. Келдыша о кратной полноте корневых (собственных и присоединенных) элементов компактного оператора в гильбертовом пространстве [11]. Опуская точные формулировки, отметим, что задача о кратной полноте, перенесенная в условия локально выпуклого пространства Ш, является сужением задачи спектрального синтеза для оператора Я"- Я"(/ь...,/„) - (/{,...,/i) покомпонентного дифференцирования, на запас замкнутых инвариантных подпространств вида Wv = W х ... х W, где W — произвольное замкнутое JD-инвариантное подпространство Н = H(Q). Здесь Hv — топологическая -степень Н.
Постановка задачи спектрального синтеза для оператора покомпонентного дифференцирования (иначе — задача спектрального синтеза на системах областей) впервые подвергнута обстоятельному исследованию в работах И.Ф. Красичкова-Терновского [17], [18]. Центральное место в этих работах занимает критерий допустимости спектрального синтеза (критерий обильности - в условиях двойственной задачи), позволивший автору перенести ряд результатов по спектральному синтезу для оператора дифференцирования на векторный случай. Среди этих результатов отметим: положительное решение аппроксимационной задачи для однородного сверточного уравнения на системе выпуклых областей; положительное решение задачи спектрального синтеза для любого замкнутого инвариантного подпространства в случае системы односвязных областей, звездных в одном общем направлении. К этим результатам примыкает положительное решение аппроксимационной задачи для однородных сверточных уравнений на системах криволинейных полос С. Г. Мерзлякова [35].
Дальнейшие исследования по спектральному синтезу в комплексной области связаны с переходом от оператора диффере цирования к оператору кратного дифференцирования Dq :Н - H\f - fW.
Первое исследование задачи спектрального синтеза для оператора кратного дифференцирования проведено С. Г. Мерзляковым в работах [33], [34]. В этих работах показано, что любое замкнутое -инвариантное подпространство Н = Н(С) допускает спектральный синтез (то же утверждение справедливо, если q = 2, О - полуплоскость или прямолинейная полоса). Здесь же построен пример замкнутого 2-инвариантного подпространства Н = H(Q), Q - неограниченная выпуклая область, не допускающего спектральный синтез. Отметим, что этот пример опровергает гипотезу В. А. Ткаченко из [1]. Более полное исследование д-инвариантные подпространства получили в работах А. Б. Шишкина [44], [46] (см. также [19]) и в работе И.Ф. Красичкова Терновского [24]. Последняя работа и работы [21], [22], [23] посвящены более общей задаче — задаче спектрального синтеза для дифференциального оператора тг( ) = Dq + аі _1 + ... + aqD° с постоянными коэффициентами, действующего в Ш покомпонентно. В работе [24] показано, например, что для выпуклых областей Qj, инвариантных относительно поворота на угол —, задача спектрального синтеза для оператора TT(D) равносильна задаче спектрального синтеза для оператора кратного дифференцирования Dq, действующего в Ш покомпонентно. Для случая произвольных выпуклых областей, даже в скалярном случае, возможность такой редукции остается под вопросом. Однако, характер известных результатов по спектральному синтезу для оператора n(D) позволяет считать ее весьма вероятной.
Настоящее исследование посвящено спектральному синтезу для системы 7Ti(D),..., 7Tq(D) дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Задача спектрального синтеза для системы операторов 7Ti(D),... ,7Tq(D) состоит в определении условий, при которых замкнутое инвариантное относительно каждого оператора из данной системы подпространство W С Н совпадает с замыканием линейной оболочки совместных корневых элементов операторов TTI(D), ..., 7Tq(D), лежащих в W.
Такая постановка задачи является новой даже в классической ситуации. Однако, именно в такой постановке задача спектрального синтеза приобретает завершенность формы и допускает естественное обобщение на случай многих переменных. Случай многих переменных здесь не рассматривается. Но следует отметить, что многие из представленных здесь результатов допускают перенос на ситуацию с многими переменными.
2. Основной метод решения задач спектрального синтеза в комплексной области — метод аннуляторных подмодулей, развитый в работах И.Ф. Красичкова-Терновского еще в 1971 году. Этот метод предполагает переход от задачи спектрального синтеза к эквивалентной двойственной задаче — задаче локального описания подмодулей целых функций.
Подобно тому, как при исследовании решений однородных дифференциальных уравнений конечного или бесконечного порядка основным инструментом являются характеристические функции, так и при исследовании инвариантных подпространств роль инструмента выполняют аннуляторные подмодули инвариантных подпространств — специальные классы целых функций, связанные с рассматриваемыми инвариантными подпространствами и обладающими алгебраической структурой подмодулей в мо дуле целых функций экспоненциального типа над кольцом многочленов. Каждому инвариантному подпространству определенным образом ставится в соответствие его аннуляторный подмодуль. Аналитические задачи, относящиеся к инвариантному подпространству, сводятся к задачам алгебраического характера, относящимся к аннуляторному подмодулю, т. о. исследование инвариантных подпространств сводится к исследованию аналитико-алгебраических свойств целых функций.
Приведем общую постановку задачи локального описания. Пусть т — какая-либо топология в С; К = {K(U)} — произвольный предпучок колец над (С,т), с гомоморфизмами сужения киси • К(U1) - K(U); М = {M(U)} — произвольный предпучок абелевых групп над (С, г), с гомоморфизмами сужения тиси1 M(U ) — M(U). Считаем, что М — предпучок модулей над предпучком колец К, другими словами, для любого U Є т абелева группа M(U) является модулем над кольцом K{U). Индуктивный предел К\ колец K{U), U Э А, относительно системы гомоморфизмов куси1, обладает структурой кольца и называется локальным кольцом в точке А. Индуктивный предел М\ абелевых групп M(U), U Э А, относительно системы гомоморфизмов тиси , обладает структурой модуля над кольцом К\ и называется локальным модулем в точке А. Естественный модульный гомоморфизм М(С) —» М\ обозначим т\.
Пусть G Є т. Выделим в M{G) множество Р, наделенное структурой локально выпуклого пространства. Подмодуль 1\ С М\, порождаемый множеством m\(I), I — замкнутое подпространство Р, называется локальным подмодулем подпространства / в точке А. Говорят, что подпространство I С Р допускает локальное описание, если оно совпадает с пересечением ГиСЛтдЧЛ)).
Задача локального описания СОСТОИТ в определении условий при которых замкнутое подпространство I С Р допускает локальное описание. Для проверки допустимости локального описания замкнутым подпространством I С Р достаточно убедиться в выполнимости импликации / Є Р,тА(/) Є/AVA Є С =»/Є/.
Пусть т — обычная топология в С, G = С, M(U) = K(U) = 0(U) — кольцо голоморфных в U функций, М\ = 0\ — кольцо ростков голоморфных в точке А функций. Идеалы в локальном кольце 0\ однозначно определяются наименьшей кратностью обращения в нуль в точке А их элементов. Таким образом, задача локального описания развивает классическую задачу восстановления целой функции по ее нулям. Например, если Р — пространство всех целых функций порядка не выше р 1, с любой локально выпуклой топологией, то положительное решение задачи локального описания по отношению к подпространству вида {cf(z) : с Є С}, где / — фиксированный элемент Р, следует из теоремы Адамара. Из той же теоремы вытекает, что это подпространство не допускает локальное описание при р 1.
Понятно, что задача локального описания имеет самостоятельное значение и может исследоваться вне зависимости от спектрального синтеза. Вместе с тем, связь этой задачи с задачей спектрального синтеза в комплексной области имеет для последней решающее значение. Теоремы двойственности, осуществляющие переходы от одной задачи к другой, лежат в основе всех современных исследований по спектральному синтезу. Задача локаль ного описания, двойственная задаче спектрального синтеза для системы операторов ni(D),..., 7r9(D), действующих в Н покомпонентно, вполне характеризуется следующим выбором параметров: Гя- — прообраз топологии из О при голоморфном отображении С —У СЯ, ОСуЩеСТВЛЯеМОМ -МНОГОЧЛеНОМ (7Гі, . . . , 7Гд), K(U) = Ож{и) — кольцо локально голоморфных функций от 7Г, M{U) = 0(U) — декартова -степень кольца 0{U) голоморфных функций, G = С, Р — интерпретация сильного сопряженного И в терминах преобразований Лапласа. Пространство Р — специальное локально выпуклое пространство целых функций с ограничениями на рост. Это пространство обладает структурой топологического модуля над кольцом многочленов и может рассматриваться как топологический модуль над кольцом С[7г] многочленов от 7Гі,... ,7Г9. Замкнутые С[7г]-подмодули в Р, допускающие локальное описание в смысле этой задачи называются обильными.
Постановка и детальное исследование этой задачи для случая 7T(Z) = z, v = 1, осуществлены в работах И.Ф. Красичкова-Терновского [12], [13]. В этих работах вскрыта связь задачи с задачей спектрального синтеза, построен пример необильного замкнутого С[г]-подмодуля в Р, доказана обильность главных (порожденных одним элементом) С[.г]-подмодулей в случае выпуклой Q; доказана обильность всех замкнутых С[.г]-подмодулей в случае неограниченной выпуклой 17, сформулирован критерий обильности конечно порожденного подмодуля и др. К этим работам примыкает работа А. Н Абузяровой [2], в которой доказано, что всякий обильный С[г]-подмодуль в случае выпуклой Q является конечно порожденным и имеет не более двух образующих.
Случай 7T(Z) — Z, v 1, Р — произвольное равномерно устойчивое пространство функций из О (С?), G — открытое множество в (С, изучен в работах [15], [16]. В этих работах разработан метод резольвентной функции, позволивший автору, в условиях векторного Р, доказать критерий обильности замкнутого С[2;]-подмодуля, доказать обильность главных С[г]-подмодулей в случае выпуклых iZi,..., i2g, доказать обильность всех замкнутых С[.г]-подмодулей в случае системы односвязных областей, звездных в одном общем направлении и др. Критерий обильности замкнутого С[.г]-подмодуля в Р получил свое развитие в работе [20] (см. также [56]).
Дальнейшие исследования по локальному описанию связаны с переходом к случаю n(z) = zq, v = 1, Q — выпуклая область. Первое исследование этой задачи осуществлено А. Б. Шишкиным в работах [45], [46] (см. также [19]). В этих работах на основе метода резольвентной функции доказан критерий обильности замкнутого С[ г9]-подмодуля, доказана обильность главных С[г9]-подмодулей, охарактеризованы обильные подмодули ранга 1 и др.
Случай TT(Z) = zq + aizq l + ... + aq, fii,...,fi„ — выпуклые, исследован в работах [21] - [23]. В этих работах показано, в частности, что для выпуклых областей Qj, инвариантных относительно поворота на угол , рассматриваемый случай сводится к случаю TT(Z) = zq\ доказана обильность главных С[7г]-подмодулей; охарактеризованы обильные С[7г]-подмодули в случае неограниченных . fii,..., П„ и др. Ситуации Ф) = {n(z),...,nq(z)), TTJ(Z) — многочлены, посвящены работы [47] - [64] и две главы этой диссертации.
3. Изложение проводится по следующему плану.
Глава 1 содержит изложение новой схемы двойственного перехода и основанное на этой схеме доказательство теоремы двойственности, утверждающей эквивалентность задачи спектрального синтеза для системы дифференциальных операторов 7г()) и задачи локального описания замкнутых С[7г]-подмодулей. Схема двойственности, рассмотренная в параграфе 1.2, находит применение в условиях многих переменных. Ее потенциальные возможности еще предстоит раскрыть.
Вторая глава посвящена доказательству ключевого результата по локальному описанию — теоремы редукции. Эта теорема устанавливает связь задачи локального описания замкнутых С[7г]-подмодулей с задачей локального описания замкнутых С[/]-подмодулей. Здесь / — так называемый, многочлен Люрота системы многочленов 7Гі,...,7гд. Доказанная в этой главе теорема, лежит в основе всех, описанных ниже, результатов по локальному описанию.
Третья глава содержит полномасштабное исследование замкнутых С[7г]-подмодулей в случае выпуклых fii,..., Q». Она включает:
критерий обильности замкнутого С[7г]-подмодуля (§3.2);
доказательство обильности главных С[7г]-подмодулей (предложение 3.3.1);
характеризацию обильных С[7г]-подмодулей 7г-ранга 1 (предложение 3.3.2);
характеризацию обильных С[7г]-подмодулей в случае deg / = 1 (предложение 3.3.3);
критерий обильности конечно порожденного С[7г]-подмодуля (предложение 3.3.6);
доказательство обильности всех замкнутых С[7г]-подмодулей в случае Qi = С,..., fi„ = С (предложение 3.3.9);
характеризацию обильных C\z™1,..., -гт«]-подмодулей в случае неограниченных Qi,..., Qu (предложение 3.3.10).
Четвертая глава содержит приложение результатов третьей главы к задаче спектрального синтеза для системы дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Она включает:
построение и исследование свойств оператора 7Г-свертки (§2-2);
исследование однородного уравнения 7г-свертки (§2.3) двойственный эквивалент критерия обильности (теорема 4.4.1);
критерий допустимости спектрального синтеза при условии, что аннуляторный подмодуль имеет 7г-ранг 1 (теорема 4.4.2);
критерий допустимости спектрального синтеза для системы однородных уравнений свертки и пересечений инвариантных подпространств (теорема 4.4.3, теорема 4.4.4);
двойственный эквивалент теоремы редукции (теорема 4.4.5) и ее основные следствия (теоремы 4.4.6 - 4.4.7, предложения 4.4.2 - 4.4.4)
Отметим, что отличительная особенность рассматриваемого в диссертации материала — минимальное привлечение средств из теорий целых и субгармонических функций. Это, однако, не исключает ссылки на известные результаты, получение которых, без существенного привлечения упомянутых теорий, — весьма проблематично.
Автору приятно выразить свою признательность доктору физико-математических наук, профессору, члену-корреспонденту Башкирской АН И.Ф. Красичкову-Терновскому за моральную поддержку и полезные консультации.
Схема двойственности
Сведение задачи спектрального синтеза к эквивалентной задаче локального описания опирается на два предложения - принцип двойственности и схему двойственности. Эти предложения носят общий характер и допускают формулировку в терминах абстрактных локально выпуклых пространств. 1. Принцип двойственности. Пусть Н — отделимое по лурефлексивное локально выпуклое пространство над полем К (Ш или С); Н — его сильное сопряженное пространство. Из тео ремы о биполяре [68, теорема 8.1.5] вытекает Принцип двойственности. Между совокупностью {W} замкнутых подпространств в Н и совокупностью {V} замкнутых подпространств в Н можно установить взаимно однозначное соответствие по правилу ортогональности: где W0 - аннулятор подпространства W С Н в пространстве Н , V0 - аннулятор подпространства V С Н в пространстве Н. Л Є Л, - отделимые полурефлексивные локально выпуклые про странства над полем К; - линейные непрерывные отображения. Выберем произвольное замкнутое подпространство W С Н и каждому Л Є Л поставим в соответствие замкнутое подпространство Очевидно, что W\ — максимальное замкнутое подпространство М\, образ которого при отображении т\ лежит в W. Подпространство W\ С М\ будем называть индуктивным подпространством W относительно отображения т\. Говорим, что W допускает индуктивное описание (относительно семейства отображений гад, Л Є Л), если оно совпадает с замыканием в Н подпространства, натянутого на объединение Согласно принципу аппроксимации [68, теорема 3.3.1], для проверки допустимости замкнутым подпространством W индуктивного описания достаточно убедиться в выполнимости вложения: Обозначим: N\ — сильное сопряженное к М\ ; - оператор, сопряженный к гад (отображения ш А, А Є Л, непрерывны [68, Гл. 8]). Выберем произвольное замкнутое подпространство УСЯ и каждому Л Є Л отнесем замкнутое подпространство V\ С N\ совпадающее с замыканием подпространства іУд, натянутого на mx(V). V\ — минимальное замкнутое подпространство N\ включающее мноэюество m x(V). Подпространство V\ С N\ будем называть проективным подпространством V относительно отображения ш Л. Говорим, что V допускает проективное описание (относительно семейства отображений т А, Л Є Л), если оно совпадает с пересечением Для проверки допустимости замкнутым подпространством V С Н . проективного описания достаточно убедиться в справедливости импликации: 3. Схема двойственности. Зафиксируем замкнутое подпространство W С Н и его аннулятор V С Н . В силу принципа двойственности V — замкнутое подпространство в Н .
Основой для двойственного перехода от задачи спектрального синтеза к эквивалентной задаче локального описания служит Схема двойственности. Для того чтобы замкнутое подпространство W С Н допускало индуктивное описание, необходимо и достаточно, чтобы его аннулятор V С Н допускал проективное описание. Доказательство. Зафиксируем Л Є Л. Рассмотрим индуктивное подпространство W\ С М\ замкнутого подпространства W С Н и проективное подпространство V\ С N\ замкнутого подпространства V С Н . Из определений W\ и VA вытекают включения: Согласно свойствам сопряженных отображений [68, Гл. 8, 8.6] где второе сопряженное отображение ш д совпадает с тд и по теореме о биполяре Первое из последних включений и свойство минимальности V\ дают включение Vx С (И7 )0, то есть Wx С ()0. Второе включение и свойство максимальности Wx влекут включение (V\) С Wx- Таким образом Другими словами, индуктивные подпространства W\ замкнутого подпространства W С Н и проективные подпространства Vx его аннулятора V С Н , как и сами подпространства W и V, связаны правилом ортогональности. Этого факта достаточно, чтобы завершить доказательство. Пусть замкнутое подпространство W С Н допускает индуктивное описание. Нужно показать, что замкнутое подпространство V С Н допускает проективное описание. Для этого достаточно доказать справедливость импликации (1.2.2). Пусть
Теорема двойственности
Рассмотрим отображение сопряженное к отображению т\, А Є Л. Оно взаимно однозначно и непрерывно. Выберем произвольные элементы S Є Н и а = a(n,u,j) Є МЛ. ИЗ соотношений вытекает, что отображение т х функционалу S Є Н ставит в соответствие элемент Пусть V — замкнутое подпространство И ; / = Т(У) ; VA = "iA(V) — проективное подпространство V в Мд. Согласно определению, V допускает проективное описание относительно семейства отображений т А, Л Є Л, если оно совпадает с пересечением Предложение 1.6.1. Для того чтобы подпространство V допускало проективное описание относительно семейства отображений га А, Л Є Л, необходимо и достаточно, чтобы подпространство I = T(V) допускало проективное описание относительно семейства отображений пд, Л Є Л. Доказательство. Преобразование Т : И —» Р является взаимно однозначным, значит, соотношение имеет место тогда и только тогда, когда I = T(V) совпадает с множеством Учитывая равенства (1.6.1), имеем Таким образом, соотношение (1.6.2) имеет место тогда и только тогда, когда справедливо соотношение Тем самым предложение доказано. Теперь мы в состоянии доказать основной результат настоящей главы. Теорема двойственности. Замкнутое инвариантное подпространство W С Ш допускает спектральный синтез тогда и только тогда, когда его аннуляторный подмодуль I С Р является обильным. Доказательство. Пусть W — замкнутое подпространство в Н, инвариантное относительно системы дифференциальных операторов TTI(D),. .. ,7rq(D). В силу полурефлексивности пространства Н подпространство V = W0 является замкнутым в топологии Ш . Легко проверить, что подпространство V инвариантно относительно отображений 7Гі(D) ,..., 7rq(D) , сопряженных к отображениям 7Ti(D),..., nq(D), соответственно. Пусть I = T(V) — аннуляторное подпространство W. В силу того что Т — топологический изоморфизм пространства Ш на пространство Р, подпространство / замкнуто в топологии Р. Стандартным образом (см., например, [12]) проверяется, что инвариантность подпространства V относительно операторов 7Ti(D) ,... ,7rq(D) влечет инвариантность подпространства / относительно умножений на многочлены тті,...,ігд. Таким образом, подпространство / обладает структурой замкнутого подмодуля С[7г]-модуля Р. Согласно предложению 1.4.3 подпространство W допускает спектральный синтез тогда и только тогда, когда оно допускает индуктивное описание относительно системы отображений гад, Л Є Л. По схеме двойственности (1.2) индуктивное описание подпространства W относительно системы отображений шд, А Є Л, равносильно проективному описанию подпространства V относительно системы сопряженных отображений тЛ, Л Є Л.
По предложению 1.6.1 последнее равносильно проективному описанию аннуляторного подмодуля І" относительно системы отображений п\, А Є Л. Наконец, в силу предложения 1.5.4 проективное описание подмодуля /, относительно системы отображений п\, А Є Л, эквивалентно локальному описанию этого подмодуля. Теорема двойственности доказана. В первой главе задача спектрального синтеза для системы 7r(D) дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами была сведена к задаче локального описания замкнутых С[7г]-подмодулей в Р. Подмодули в Р исследуются давно и по этому вопросу имеется обширная литература. Основные результаты получены И.Ф. Красичковым-Терновским, С.Г. Мерзляковым, В.А. Ткаченко и др. Вместе с тем, все известные результаты касаются ситуации, когда кольцо симметричных многочленов С[к] порождено одним элементом. Возможность приложения известных результатов по локальному описанию к рассматриваемой задаче является центральным вопросом настоящей главы и всей работы в целом. Эту возможность предоставляет известная теорема о полях рациональных функций (теорема Люрота). Указанная теорема системе многочленов TTI(Z),..., 7rq(z) ставит в соответствие так называемый многочлен Люрота l(z) [42, Гл. 1, 7]. Основной результат настоящей главы осуществляет редукцию задачи локального описания замкнутых С[7г]-подмодулей в Р к задаче локального описания замкнутых С[/]-подмодулей в Р. Здесь С[/] — подкольцо кольца многочленов C[z], порождаемое многочленом Люрота. Точнее, пусть IQ — произвольное множество в Р, IQ[K] —
Симметричные многочлены
Многочлен Люрота. Обозначим С(7г) поле частных кольца С[тг]. По известной теореме П. Люрота о полях рациональных функций [42, 7, теорема 12] С(7г) — простое трансцендентное расширение поля С. Другими сло многочлена / является делителем степеней многочленов 7Гі,..., 7Tq. При выполнении условия это означает, что многочлен Люрота / имеет степень 1. Если кольцо С[7г] содержит хотя бы один одночлен, например, хотя бы один из многочленов ТТ\, ..., пд является одночленом, то в качестве многочлена Люрота может быть выбран Убедимся в этом. Пусть n\(z) = zm\ гп\ Є N. Так как С[7г] С С[1], то zmi Є С[/]. Следовательно, найдется многочлен р такой, что zm = p(l(z)). Если / — многочлен Люрота, то al — b, а,Ь G С, а ф О, - тоже многочлен Люрота. Значит, мы вправе считать, что старший коэффициент многочлена \{z) равен 1 и /(0) = 0. Следовательно, р(0) = 0. Отсюда вытекает, что любой корень многочлена l(z) является корнем одночлена z1. Значит, l(z) — одночлен вида zm, т Є N. В этом случае l(z) = zm, где т — наибольший общий делитель натуральных чисел mi,..., mq. С(/) — поле частных кольца С[2т]. По определению элемента Люрота нам достаточно показать, что С(я-) = С(/). Вложение С(7г) С С(/), очевидно, так как каждый из многочленов является в то же время многочленом (точнее, одночленом) от zm. С другой стороны, С(7г) Э С(/), так как одночлен l(z) = zm является рациональной функцией от ждение очевидно, так как в этом случае mi = т. Допустим, что это утверждение справедливо при q = к и рассмотрим случай q = к + 1. Пусть предположению индукции одночлен zm является рациональной функцией от zmi,..., zk. Композиция рациональных функций - функция рациональная, поэтому нам достаточно показать, что одночлен zm является рациональной функцией от zm, zmk+1. Пусть, для определенности ао = то «і = т +і- В соответствии с алгоритмом Евклида положим и продолжим этот процесс до тех пор, пока не получим при одном из делении нулевой остаток: Легко проверить, что все элементы UQ, ai, , as имеют вид вами, существует элемент І Є С(7г) такой, что С(7г) = С(/), где С(/) — поле частных кольца С[/] многочленов от /. Всякий элемент / Є С(7г), для которого выпол няется соотношение называется элементом Люрота. Если / — это элемент Люрота, то и элемент является элементом Люрота [42, 7, теорема 11]. По теореме Э. Нетер [42, 7, теорема 14] в качестве элемента Люрота может быть выбран многочлен - многочлен Люрота. Если / многочлен Люрота, то - тоже многочлен Люрота. Пусть / — произвольный многочлен Люрота. Так как С(7г) = С(/), то 7Гі,... ,7Г? Є С(/). Легко увидеть, что, на самом деле, 7Гі,... ,7Г? Є С[/]. Значит, Если наибольший общий делитель степеней deg щ,..., deg 7Г? многочленов щ,... ,ТГЯ равен 1, то Действительно, так как С[-7г] С С[/], то 7Гі Є С[/], ..., 7Г9 Є С[/]. Значит, степень многочлена / является делителем степеней многочленов 7Гі,..., 7Tq. При выполнении условия это означает, что многочлен Люрота / имеет степень 1. Если кольцо С[7г] содержит хотя бы один одночлен, например, хотя бы один из многочленов ТТ\, ..., пд является одночленом, то в качестве многочлена Люрота может быть выбран Убедимся в этом. Пусть n\(z) = zm\ гп\ Є N. Так как С[7г] С С[1], то zmi Є С[/]. Следовательно, найдется многочлен р такой, что zm = p(l(z)).
Если / — многочлен Люрота, то al — b, а,Ь G С, а ф О, - тоже многочлен Люрота. Значит, мы вправе считать, что старший коэффициент многочлена \{z) равен 1 и /(0) = 0. Следовательно, р(0) = 0. Отсюда вытекает, что любой корень многочлена l(z) является корнем одночлена z1. Значит, l(z) — одночлен вида zm, т Є N. В этом случае l(z) = zm, где т — наибольший общий делитель натуральных чисел mi,..., mq. С(/) — поле частных кольца С[2т]. По определению элемента Люрота нам достаточно показать, что С(я-) = С(/). Вложение С(7г) С С(/), очевидно, так как каждый из многочленов является в то же время многочленом (точнее, одночленом) от zm. С другой стороны, С(7г) Э С(/), так как одночлен l(z) = zm является рациональной функцией от ждение очевидно, так как в этом случае mi = т. Допустим, что это утверждение справедливо при q = к и рассмотрим случай q = к + 1. Пусть предположению индукции одночлен zm является рациональной функцией от zmi,..., zk. Композиция рациональных функций - функция рациональная, поэтому нам достаточно показать, что одночлен zm является рациональной функцией от zm, zmk+1. Пусть, для определенности ао = то «і = т +і- В соответствии с алгоритмом Евклида положим и продолжим этот процесс до тех пор, пока не получим при одном из делении нулевой остаток: Легко проверить, что все элементы UQ, ai, , as имеют вид
Критерий обильности
В теории функциональных тождеств особую роль играют кольца частных. Мы будем следовать терминологии книги [20]. Кольцо 7с называют первичным, если для двух идеалов U и V кольца 7с равенство UV = 0 влечет U = 0 или V = 0. Введем понятие максимального правого кольца частных. Напомним, что правый идеал J кольца 7с называется плотным, если для любых 0 ф Гі Є 7с, г2 Є 7с существует г Є 7с такой, что гіг ф 0 и г2г Є і/. Множество всех плотных идеалов кольца 7с обозначим через Т . Рассмотрим множество пар где / - гомоморфизм J в 7с как правых 7с - модулей. Пары (/; J) и ( ?; /С) считаются эквивалентными, если существует идеал С J П /С такой, что С Є V и f = д я& С Обозначим через {/ , 7} класс эквивалентности с представителем (f ,J) Є Т і. Определим на множестве классов эквивалентности операции сложения и умножения по следующим правилам: где является плотным идеалом ввиду [20, Предложение 2.1.1.]. Множество классов эквивалентности с заданными операциями сложения и умножения является кольцом Qmr(7), которое называется максимальным правым кольцом частных. Центр С кольца Qmr{jVj называют расширенным центроидом кольца 7. Подкольцо TZC = TZC + С называется центральным замыканием кольца It. Подмножество Qr{TZ) элементов Qmr(7t) таких, что для любого q Qr( ) найдется ненулевой идеал U такой, что qU С. 7Z образует кольцо называемое правым мартиндейловским кольцом частных. Нас.также будет интересовать подмножество Qa(7?.) элементов Qmr(TZ) таких, что для любого q Qs(7t) найдется ненулевой идеал Ы такой, что qUXMAqC. 1Z. Это подмножество образует кольцо называемое симметрическим кольцом частных. Аналогичным образом можно определить максимальное левое кольцо частных Qmi(7V) и мартиндейловское левое кольцо частных Qi(1Z). Пусть г — натуральное число, 7Z — некоторое множество и Q — некоторое кольцо. Для отображения F : VJ X — Q и 1 і г, определим отображение Аналогично, для отображения р : lZr 2 — Q и 1 і j г мы определим отображение р13 = р?% : V, — Q. по правилу ля удобства подразумевается, что отображение, определенное на 72., является константой из Q и отображение, определенное на 1Z 1, является нулевым. Мы будем также писать (здесь t (z Q — это такой элемент, что 1Zt С TV). Основной целью этой главы является следующая теорема Теорема 1.1.1 Пусть 71 первичное КОЛЬЦО, Q Є {QmhQmr}, С — расширенный центроид, г 2 — целое число и щ ггц, і = 1,... ,г — неотрицательные целые числа. Пусть V — конечномерное подпространство векторного пространства Q над С, и пусть Eji,Fik : TV-1 — Q — такие отображения, что для всех xi.. .,xr Є 71, где {a[,... ,aJn.} и {b{,... ,6 .), j — 1,... ,r, суть С-иезависимые подмножества Q.
Тогда выполняется одна из двух возможностей: (i) 7ZC — примитивное кольцо с. ненулевым цоколем и e7Zct — конечномерная алгебра с делением над С для каждого минимального идемпотента е из 1ZC, или (И) существуют и единственны отображения pjnk : 7ZT 2 — Q и \цк : 7ZT l —+ С такие, что Более того, если все отображения Е3{ и Fik являются аддитивными по каждому аргументу, то это же справедливо для отображений PjUk U \цк. Случай когда г = 2, V = 0 и образы отображений лежат в 7ZC был рассмотрен Брешаром в работе [36]. Помимо этого Брешар высказал предположение о том, что результаты о тождествах степени 2 могут быть продолжены до более общего случая [36, стр. 691], что и подтверждает теорема 1.1.1. В работе [133] теорема 1.1.1 была обобщена на тождества с фиксированным антиавтоморфизмом, а в работе [136] были рассмотрены тождества с дифференцированиями, автоморфизмами и антиавтоморфизмами. Поскольку стиль доказательств близок к теореме 1.1.1, но при этом требуется значительное увеличение терминов и обозначений, мы ограничимся доказательством теоремы 1.1.1. Доказательство теоремы 1.1.1 будет опираться на серию вспомогательных результатов, которые мы приведем ниже. Пусть X — бесконечное множество, С(Х) — свободная алгебра с единицей на X и Q{X) — свободное произведение С-алгебр Q и С{Х). Элемент р(.т11ж2,... ,жп) Є Q(A ) называется обобщенным полиномиальным тождеством (GPI) на 71, если p(ri,г2,..., г„) = 0 для всех гх, г2,...,гп Є 7Z. Если 71 удовлетворяет ненулевому обобщенному полиномиальному тождеству, то 71 мы будем говорить, что 71 — GPI кольцо. Структура GPI колец описана в теореме Мартиндейла [20, Corollary 6.3.3]. Теорема 1Л.2 ([20, Corollary 6.3.3]) Пусть К — первичное кольцо. Предположим, что % удовлетворяет ненулевому обобщенному полиномиальному тооїсдеству. Тогда центральное замыкание 7ZC кольца 7Z содержит ненулевой идемпотент е такой, что e7Zc — минимальный правый идеал (отсюда 7ZC — примитивное кольцо с ненулевым цоколем.) и e.7Zce — конечномерная алгебра с делением над С. Пусть N — множество неотрицательных целых чисел и J\f = {п Є jV I n 0}. Обозначим через \S\ — мощность множества S. Для любого 7 Є Q, определим отображения lq,rq : Q — Q по правилу Ясно, что / j,rg Є Endc( 2). Положив заметим, что M(7) = /2; Д. С Endc(Q) является подкольцом кольца эндоморфизмов Endc(Q). Если h = Y%=\ L bi Є М(71) и х Є Q, то h(x) = Y%=1 аіхЬі. Теорема 1.1.3 ([20, Theorem 2.3.3]) Пусть Л — полупервичиое кольцо с расширенным центроидом С, Q ( {Q.mi{A), Qmr{A)}, п Є N, п 1 и Ч\Лїч- , 7п Є Q. Предположим, что q\ Yl?=2 4i Тогда существует h Є М{Л) такой, что h(qi) ф 0 и h(q,) = 0 для всех і = 2,3,... ,п. Лемма 1.1.4 ([20, Lemma 6.1.8]) ПустьТІ — не GPIпервичное кольцо, U — непулевой идеал кольца Л и ТІ = {fij(x) Є Q{X) j = 1,2,... , гц}, і = 1,2,... ,m, подмнооїсестпва Q{X), каждое из которых С-независимо. Тогда существует такой элемент а Є ZY, что для каоїсдого і — 1,. ..,т, Ti(a) = {fij{a) I j — 1 2, ...,n,-} является С-иезависимым подмножеством Q. Лемма 1.1.5 Пусть Ті. — не GPI первичное кольцо, пусть r,nj Є JV где j = 1,2,..., г, и пусть все подмнооїсестпва {qji,qj2,... , 7jn,} = QmiCR), і = 1,2,...,г, — С-независимы. Тогда существует такой элемент а Є ft, что каждое подмножество {aqji,aqj2,... , a Zjn,} является С-независимым и все aqji Є ft. Доказательство. Пусть По [20, Lemma 2.1.8], J — плотный левый идеал ft. По [20, Lemma 2.19, Proposition 2.1.10], J ПерВИЧНОе КОЛЬЦО И Qml(J) = Qmf(ft)- ЛеМ ма 1.1.4 завершает доказательство. ДЛЯ ЭЛеМеНТОВ Хі,Ж2, . . . ,ХГ Є ft, ПОЛОЖИМ Xr = (хі, Х2, . ., хг) Є TV, где под ftr мы подразумеваем г-ю степень декартова произведения множества ft. Теорема 1.1.6 Пусть г Є М , rij Є М, j = 1,2,..,,г и V — конечномерное подпространство векторного пространства Quad С. Пусть gjk : TZr l — Q, j = 1,2,..., г, к = 1,2,..., п,-, отображения, и пусть каоїсдое из множеств {а{,а32,..., а.} Q Q, j = 1,2,..., г, является С -независимым. Предположим, что 7Z не GPI и Доказательство. Если Q = Qmr, то по лемме 1.1.5 существует такой элемент b Є 11, что {a{b,a32b,... ,a3n.b} — С-независимы и все akb Є 71-Умножая (1.2) на Ъ справа мы сводим доказательство к случаю, когда а3к Є 1Z. Случай Q = Qmi(TZ) более сложный. Пусть Q = Qmi(7Z). Предположим, что теорема неверна. Без ограничения общности будем считать, что rij ф 0 влечет, что gjk ф 0 для всех 1 к п,-. Положим Пусть s Є К{Щ, то есть 1 s г и n, / 0. По лемме 1.1.5 существует такой элемент b Є 1Z, что все ba ba ,... ,Ьа3Па являются С-независимыми и все Ьа% Є 7. Положив Н(хг) = Н(хі,.. .,жа_і,а:3&,ж5+і,.. . ,жг), мы имеем Понятно, что К{Н) С К(Н). Так как мы хотим доказать, что все gsk равны 0 то без ограничения общности можно считать, что для любого фиксированного s Є К{Н) элемент ask Є "П. Проведем индукцию по \К{Н)\.. Пусть \К(Н)\ — 1. Без ограничения общности мыгможем считать, что п = щ ф 0 и rij — 0 для всех j Ф I. Более того, мы можем считать, что все а\ 1Z . Фиксируем Х2,х3,...,хг Є
