Введение к работе
Актуальность темы.
Естественный модуль над операторной алгеброй (то есть пространство, в котором действуют элементы этой алгебры) является одним из наиболее важных объектов, позволяющих изучать свойства такой алгебры. В частности, возникает вопрос о гомологических свойствах такого модуля. В связи с этим напомним, что первой по времени гомологической характеристикой были группы хогомоло-гий, введенные в чисто алгебраическом контексте Хохшильдом1 и перенесенные на банаховы алгебры Камовицем2. Следующим важным этапом в развитии теории явилась работа А. Я. Хелемского3, в которой категория банаховых модулей была рассмотрена с позиций относительной гомологической алгебры. Благодаря тому, что в этой категории каждый модуль обладает (относнтельой) проективной резольвентой, оказалось возможным для вычисления групп когомологий Хохшильда-Камовица применять производный функтор Ext. Поэтому установление таких гомологических свойств модулей, как проективность, инъективность и плоскость, приобрело первостепенное значение. В частности, если операторная алгебра действует в гильбертовом пространстве Н, то любое из этих свойств естественного модуля Н гарантирует тривиальность групп когомологий с коэффициентами в алгебре В(Н) всех ограниченных операторов.
Изучение гомологических свойств естественного модуля над разного типа алгебр с одной стороны, а также непосредственное вычисление групп когомологий с коэффициентами в S(H), имеет давнюю историю. Ограничиваясь только рассматриваемым нами классом рефлексивных алгебр в гильбертовом пространстве и указанными коэффициентами, упомянем работу Ш. И. Калимана и Ю. В. Селиванова4, доказавших проективность Н над В(Н); а также работы Кристенсена5, Нильсена6 и Ланса7, доказывавших тривиальность групп когомологий важного класса несамосопряженных алгебр - так называемых гнездовых алгебр. Последний результат был обощен Гилфитером, Хопенвассером
1 G. Hochschild: On the cohomolcgy groups of an associative algebra, Ann. of
Math. 46 (1945), 58-67.
2 H. Kamowitz: Cohomology groups of commutative Banach algebras. Trans. Amer.
Math. Soc, 102 (1962), 352 - 372.
3 А. Я. Хелемский: О гомологической размерности нормированных модулей
над банаховыми алгебрами, Матем. сб. 1970, 81(123), 430 - 444.
4 Ш. И. Калиман, Ю. В. Селиванов: 0 когомологиях операторных алгебр, Ве
сти. Моск. Ун-та, Сер. матем., механ., 1974, No 5, 24 -27.
5 Е. Christensen: Derivations of nest algebras, Math Ann.229 (1977), 155-161.
6 J. P. Nielsen: Cohomology of some non-selfadjoint operator algebras, Math.
Scand. 47 (1980), 150-156.
7 E. C. Lance: Cohomology and perturbations of nest algebras, Proc. London Math.
Soc. (3) 43 (1981), 334-356.
и Ларсоном8, получивших аналогичный реоультат для класса несамосопряженных операторных алгебр - так называемых CSL-алгебр, порожденных конечным числом независимых гнезд (все определения будут даны ниже).
В то же время, примеры несамосопряженных алгебр с нетривиальными группами хогомологмй можно построить достаточно просто. Так, в только что упомянутой работе доказано, что такие алгебры встречаются уже среди CSL-элтебр, порожденных двумя гнездами. Более сложные примеры доставляет нам применение конструкции операторно-алгебраического джойна, перенесенной из топологии Гилфитером и Смитом вэ и10. Например, для надстройки S(A) алгебры А была получена формула И"+1(5(Л),В(Я0С) = Пп{А,В{Н)); таким образом, надстройка "ухудшает ровно на 1" гомологические свойства алгебры, выражаемые в терминах групп когомологий. В связи с этим возникает вопрос, как влияет конструкция джойна (в частности, надстройки) на те гомологические свойства естественного модуля, которые выражаются в терминах его гомологической размерности.
Цель работы
Найти необходимые и (или) достаточные условия наличия пространственных проективности, инъективности и плоскости рефлексивных операторных алгебр в гильбертовом пространстве И (то есть этих свойств естественного модуля Я), а также выявить влияние на пространственную гомологическую размерность операторной алгебры конструкции операторно-алгебраического джойна.
Научная новизна.
Основные результаты работы являются новыми. Среди них отметим следующие:
-
Получена харахтериэация свойства пространственной проективности в классе неразложимых CSL-алгебр в терминах решетки инвариантных подпространств.
-
Получена характериоация свойств пространственной плоскости и пространственной инъективности в классе неразложимых CSL-алгебр конечной ширины в тех же терминах.
-
Получены достаточные условия пространственой плоскости (а также достаточные условия пространственной инъективности) произвольной рефлексивной алгебры.
8 F. Gilfeather, A. Hopenwasser and D. R. Larson: Reflexive algebras -with finite
width lattices: tensor products, cohomology, corn-pact perturbations, J. Funct. Anal.
55 (1984), 176-199.
9 F. Gilfeather and R. R. Smith: Cohomology for operator algebras: cones and
suspensions И Proc. London Math. Soc. (3). 65(1992), 175-198.
10 F. Gilfeather and R. R. Smith, Cohomology {от operator algebras: joins, Amer. J. Math. 116 (1994), 541-561.
4. Доказана теорема об увеличении на единицу пространственной гомологической размерности операторной алгебры при переходе к некоторым видам джойна'(в частности, к надстройке).
Методы исследования.
В работе используются общие методы функционального анализа, гомологической алгебры, а также теории рефлексивных операторных алгебр. Кроме того, применяются специфические методы гомологической теории банаховых алгебр.
Практическая и теоретическая ценность.
Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в гомологической теории операторных алгебр и структурной теории рефлексивных алгебр.
Апробация диссертации.
Основные результаты неоднократно докладывались на научно-исследовательских семинарах МГУ "Кольца и модули" под руководством А. В. Михалева, В. Н. Латышева, В. А. Артамонова и В. Т. Маркова, и "Алгебра в анализе" под руководством А. Я. Хелемского; на III международной конференции по алгебре (Красноярск 1993), на международной конференции "Алгебра и анализ" (Казань 1994), конференциях "Банаховы алгебры-95" и "Полностью ограниченные операторы и когомология операторных алгебр" (Ньюкасл, Англия 1995 г.), а также на конференции "Топологические алгебры-95" (Варшава 1995 г.).
Публикации.
По теме диссертации опубликовано пять статей. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура и объем, диссертации.
Диссертация состоит из введения и четырех глав, разделенных на 14 параграфов. Объем диссертации - 69 страниц. Диссертация снабжена оглавлением, списками основных терминов и обозначений, а также списком литературы из 49 наименований.
