Введение к работе
. Актуальность темы.
Диссертационная работа посвящена обобщению предельных множеств для мероморфных функций по касательным направлениям и для многозначных отображений. Теория предельных множеств, возникшая в начале нашего столетия в связи с изучением граничных свойств аналитических функций, к настоящему времени весьма обширна и разветвлена. Различные ее разделы связаны с теорией распределения значений аналитических и мероморфных функций и конформных отображений, с теорией потенциала, функциональным анализом, теорией меры, теоретико-множественной топологией и другими разделами математической науки, что имеет большое значение для ее развития.
Одна из важнейших проблем, породившая саму теорию и имеющая многочисленные приложения, состоит в изучении граничных особенностей, определяемых предельными множествами функций вдоль различных типов граничных путей. В изучении этой проблемы основное внимание исследователей было обращено на случай, когда кривые идут к границе некасательным образом. Случай касательных граничных путей исследовался значительно меньше, хотя еще основоположники теории указывали на важность его изучения. Например, в 1930 году Н.Н. Лузиным была сформулирована задача о характеристике некоторого множества граничных точек (называемых теперь точками Лузина), которая получила решение лишь в 1955-56 гг. в работах А. Ловатера и Дж.Пираняна.
Интерес к изучению к изучению предельных множеств вдоль касательных путей значительно возрос после публикации в 1966 году работы Ф. Багемила [I]1 . Появились исследования Ф. Багемила, Т. Вессея, Н. Янагихары, С. Драгоша, К. Носиро, М.М. Мирзояна, выполненные в основном в 70 годы.
Однако, и в работах Ф. Багемила, и в работах других авторов рассматривались конкретные типы касательных путей: либо орици-клические пути, либо пути со степенным порядком касания. Общий случай касательных путей с произвольным касанием границы нача-
'[1] F. Bagemill. Horocyde boundary properties of meromorphic functions "Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. Al Math." 1966, V.385,pp 1-8
ли исследовать только в работах Д. Ранга [2]2 и А.Р. Хасана [З]3 Результаты этих работ позволили предложить удобную геометрию касательных кривых, отвечающую произвольной функции подхода к границе, и построить в этой геометрии аналитический аппарат, аналогичный тому, который был разработан для случая некасательных путей.
Исследования предельных множеств по последовательностям компактов были стимулированы результатом Воронина СМ. об универсальности дзета-функции Римана [4]А . Существенный вклад здесь принадлежит А.Н. Канатникову (в частности, см. [5]5).
В первой части работы мы рассматривали развитие идей и понятий, обсуждавшихся в [5], и используем схемы, изложенные в этой работе, для распространения ее результатов на случай граничных касательных путей с произвольной функцией подхода к границе.
Во второй части работы рассматривается обобщение теоремы о симметричной максимальности, доказанной в пункте 2.2 параграфа 2, на многозначные отображения в топологические пространства. Устанавливаются также обобщения теорем Коллингвуда Э.Ф. [б]6, Долженко Е.П. [7]7 о предельных множествах со значениями в С на предельные множества многозначных отображений в топологические пространства относительно граничных путей с произвольной функцией подхода. Полученные результаты представляют собой также дальнейшее развитие идей и понятий, обсуждавшихся в работе В.И. Гаврилова, А.Н. Канатникова и С Пигетти [8]8 Интересу к изучению полного, правого и левого граничных пределов множеств способствовала также работа Коллингвуда и Пираняна [9]9, в кото-
J[2] Rung D.C. Meier type theorems for general boundary approach and «r-porous exceptional sets "Pacific J.Math.", (1978), V.76 N l,pp. 201-213
3[3] Хасан A.P. О предельных множествах функций вдоль произвольных граничных путей "ЛАН СССР", (1981), Т.260 N 4, стр 777-780
4[4] Воронин СМ. Теорема об универсальности Дзета-фувкпии Римана. Изв. АН СССР, сер.мат., (1975), Т.39, N 3, стр.475-486.
*[5] Канатников А.Н. Предельные множества мероморфных функций по последовательностям компактов. "ДАН СССР", Т.237 N 1 (1970), стр.14-17.
6[6] Коллингвуд Э., Ловатер А. "Теория предельных множеств" М: Мир (1971)
т[7] Долженко Б.П. Граничные свойства произвольных функций. "Изв. АН СССР", сер.мат. (1967), Т.31, N 1, стр. 3-14.
s[8] Gavrilov V.I.,Kanatnikov A., Pighetti С. Ensembles d'accumulations generalises. Сотр. Rendu Ser.l (1981), V.292 N 7, pp.393-396
9(9] Collingwood E.F., Piranian G. Asymetric Prime Ends Math.Ann. 144 (1961),pp. 59-63.
рой доказано, что каждая односвязная плоская область имеет не более чем счетное множество асимметрических простых концов.
Цель работы. Изучение предельных множеств мероморфных функций по последовательностям компактов вдоль касательных граничных путей с произвольной функцией подхода к границе и порождаемых ими граничных особенностей. Обобщение этих понятий для многозначных отображений единичного круга D : \z\ < 1 в топологическое пространство.
Методы исследования. Результаты диссертации получены с использованием модификаций некоторых методов теории предельных множеств, применявшихся, в частности, в работах [5], [б], [8] . Используются также результаты и методы математического и функционального анализа, геометрии, теории множеств и топологии.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:
-
Дана характеристика множества максимальной неопределенности для 5-множеств, и получено сравнение граничных предельных множеств мероморфных функций по последовательностям компактов с полным предельным множеством.
-
В геометрии граничных кривых в единичном круге, которая определяется произвольной функцией подхода, доказана теорема о максимальности для предельных множеств мероморфных функций по последовательностям компактов.
-
Доказана теорема о симметричной максимальности предельных множеств многозначных отображений в топологические пространства.
-
Доказаны теоремы о максимальности для предельных множеств произвольных многозначных отображений в топологические пространства относительно указанной выше геометрии граничных путей.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение при решении граничных задач в теории функций.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались в Московском государственном университете на научно - исследовательских семинарах кафедры математического анализа под руководством профессора Гаврилова В.И., кафедры общей топо-
логин и геометрии под руководством профессора Пономарева В.И., на семинаре кафедры математического анализа Московского педагогического университета под руководством профессора Луканкина Г.Л.
Публикации. Основные результаты диссертации сданы в печать.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух частей, содержащих пять параграфов, и списка литературы, содержащего 70 наименований. Общий объем диссертации 66 страниц.
