Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА. I. Теория степени Л -уплотняющих возмущений фредгольмовых отображений .
1. Уплотняющие отображения и их свойства. 12
2. Гомотопическая классификация fi -уплотняющих возмущений собственных отображений 23
3. Степень М -уплотняющих возмущений фредгольмовых отображений 29
ГЛАВА 2. Применение Л -уплотняющих отображений к краевым задачам для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений .
1. Фредгольмовость, собственность и л -уллотняемость обыкновенных дифференциальных операторов . 37
2. Вычисление ориентированной степени и индекса множества решений простейших краевых задач . 50
3. О разрешимости задачи Пикара для уравнений 2-го порядка 61
4. О существовании периодических решений 75
ГЛАВА 3. Л -уплотняющие многозначные отображения и их применение к экстремальным задачам
1. Л -уплотняющие многозначные возмущения собственных отображений и их топологические инварианты 87
2. О разрешимости экстремальных задач 100
Литература 111
- Гомотопическая классификация fi -уплотняющих возмущений собственных отображений
- Фредгольмовость, собственность и л -уллотняемость обыкновенных дифференциальных операторов
- Вычисление ориентированной степени и индекса множества решений простейших краевых задач
- Л -уплотняющие многозначные возмущения собственных отображений и их топологические инварианты
Введение к работе
Анализ новых классов нелинейных задач, выделение я исследование адекватных им классов нелинейных уравнений составляют одно из главных направлений в современном нелинейном функциональном анализе. В исследовании нелинейных уравнений Еажное место занимают качественные методы, в частности, принципы неподвижных точек, принципы гомотопии и продолжения решений по параметру, топологические методы. Среди них отметим методы, основанные на понятии степени отображений или понятии вращения Еекторных полей. Использование таких методов для исследования новых классов нелинейных задач требует изучения ноеых топологических характеристик и классов нелинейных отображений, а также приложения этих исследований к конкретным задачам. Это направление и развивается в данной диссертационной работе.
Цель работы. Состоит в исследовании нового класса обобщенно-уплотняюших (однозначных и многозначных) нелинейных отображений, построении топологических инвариантов нелинейных отображений, включающих обобщенно-уплотняющие и фредгольмовы отображения, и получении с их помощью признаков существования решений различных краевых и экстремальных задач для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной.
История вопроса. Впервые построение теории степени отображений бесконечномерных пространств дано в работе [34] , в которой предложена конструкция степени вполне непрерывных векторных полей. Далее е работе [32] была изложена теория вращения того же класса отображений и разработаны Еопросы её применения к различным классам задач. За прошедшие годы теории Еращения и степени были распространены как на ноЕые классы Еозмущений тождєстеєнно-ного оператора (см. [5] , [35] ), так и на классы отображений,
не являющихся возмущением тождественного оператора, например, на различные классы монотонных отображений и их возмущений ( [26] , [45] , [50] ), и получили многочисленные приложения к различным классам задач (см., например, [45] , [46] , [74] ).
Среди работ, посвященных теории степени нелинейных отображений и вопросам её приложения, отметим работы, имеющие наиболее тесную связь с диссертационной работой.
Большую известность получила теория уплотняющих отображений. Важный этап развития этой теории составили построение вращения и степени уплотняющих векторных полей и получение С ИХ ПОМОЩЬЮ новых теорем о неподвижных точках (см. [17] , [18] , [20] , [38], [39] , [42] , [43] , [66] , [67] ). Среди работ этого направления отметим работу [43] , е которой впервые сформулирован принцип биективного соответствия гомотопических классов вполне непрерывных и уплотняющих Еекторных полей, обобщаемый в диссертации, и приведена конструкция степени уплотняющих Еекторных полей,
опирающаяся на понятие фундаментального множества, еееденное в работе [27J .
Теория уплотняющих векторных полей получила многочисленные
приложения к исследованию различных классов дифференциальных уравнений (см. [28] , [40] , [68] ). Итоги развития этой теории и ее приложений подеедены в работах [2] , [41] .
Обобщением теории степени еполнє непрерывных и уплотняющих Еекторных полей послужили теории степени L -компактных и L -сжимающих по мере некомпактности Куратовского или Хаусдорфа возмущений линейного фредгольмоЕа оператора L нулевого индекса ( [56] , [60] , [64] ). Хорошо разработаны вопросы приложения этих теорий к различным классам краевых задач для дифференциальных уравнений различных типов ( [56] , [58] , [61] , [62] ,[.71]).
Итоги развития этих теорий и обзор их приложений приводятся в работах [57] , [65] .
Интенсивно развиваются методы исследований средгольмовых
отображений. Первые работы, посвященные принципу полной обрати
мости, были выполнены в 30-е годы [51] , [52] . Новый этап откры
ли исследования [75] , в которых вводится понятие неориентирован
ной степени собственных Ц~>п L -отображений ( L - гладких фред-
гольмовых отображений индекса П ) для п * О и 1 > \п+ і , и
[48] , [54] , [55] , в которых строится ориентированная степень
собственных отображений. Иная конструкция степени, не использу
ющая теорему Смейла и предполагающая минимальную L - гладкость
фредгольмовых отображений, предложена в работах [15] , [44] и
получила обобщение для класса вполне непрерывных возмущений не
линейных - отображений при п ^ О , г > л+ і в работе
[29] .
Отметим также теорию индекса разрешимости операторных уравнений, построенную е работе [14] , где фредгольмовость и компактность соответствующих отображений предполагается лишь на окрестности множества решений.
Вопросам применения теории степени фредгольмоЕых отображений к различным классам задач посвящены многочисленные работы 16] , [7] , [16] , [19] , [29] , [35J , [49] , [55] , [77] . Итоги развития теории степени в этом направления и обзор её приложений приводятся в работе [15] .
Широкое применение получила в последнее Еремя теория многозначных отображений (см., например, [31] ). Существенное место в этой теории занимают топологические методы исследования. Так в работах [II] , [53] были определены топологические характеристики многозначных отображений с выпуклыми образами. В ходе даль-
нейшего изучения были построены теории степени многозначных
уплотняющих Еекторных полей [36] , различных многозначных Еозму-щений'линейных [73] , [76] и нелинейных фредгольмовых отображений [4] , [9] . Итоги развития теории многозначных отображений в этом направлении подведены в работах [12] , [13] .
Среди работ, посвященных приложениям теории степени, выделим серию работ [6] , [7] , [19] , в которых для исследования разрешимости задачи о периодических решениях уравнений нейтрального типа использовалась теория фредгольмоЕых отображений, а также
работы [56] , [69] , [70] , [71] , [72] , где методы теории степени применялись к исследованию уравнений, не разрешенных относительно старшей производной.
Краткий обзор содержания диссертации. Данная диссертация посвяшена изучению обобщенно-уплотняющих, или Л -уплотняющих, (однозначных и многозначных) нелинейных отображений банахоЕых пространств. В диссертации строится теория степени Л -уплотняющих Еозмущений собственных фредгольмовых отображений нулевого индекса, а также определяется понятие индекса множества решений для некоторых классов нелинейных операторных уравнений и операторных включений. Эти понятия применяются к исследованию различных краевых и экстремальных задач для дифференциальных ураЕнений, не разрешенных относительно старшей производной, что позволяет получить новые признаки разрешимости.
Диссертация состоит из трех глав.
Первая глава диссертации посЕящена исследованию свойств нового класса Л -уплотняющих отображений (определение I.I), а также изучению Л -уплотняющих возмущений собственных отображений. Глава состоит из трех параграфов.
В 1 исследуются основные свойства Л -уплотняющих отображе-
ний, приводятся некоторые признаки Л -уплотняемости. Для исследования локальных свойств отображений ееодится понятие кя -ограниченности отображения в точке (определение 1.6). В случае, когда ли - мера некомпактности КуратоЕСКого или Хаусдорфа, устанавливается сеязь соотношений К -ограниченности отображений и их производных е точке (теоремы 1.5 - 1.6).
В 2 глэеы рассматриваются 5/ -уплотняющие возмущения собственных отображений. Обобщение понятия фундаментального множества (определение 2.1) и результатов работы [43] позволяет получить важный принцип компактного сужения для Л -уплотняющих отображений (теорема 2.1) и установить теорему 2.2 о биектиЕности гомотопических классов Зі -уплотняющих и вполне непрерывных Еозму-щений собственных отображений.
В 3 определяются ориентированная и неориентированная степени Л -уплотняющих возмущений собственных 4-J0L - отображений (определение 3.1); исследуются основные свойства степени, приводятся простейшие признаки её отличия от нуля. Развивая метод работы [14] строится индекс множества решений нелинейных операторных уравнений (определение 3.2), изучаются основные свойства индекса и условия на уравнения, при которых индекс определён.
Результаты первой главы опубликованы в [24] , [25] .
Вторую главу диссертации составляют приложения построенных теорий степени и индекса множества решений к исследованию разрешимости задачи Пикара и задачи о периодических решениях обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной. При этом важным обстоятельством, позволяющим получить новые теоремы существования, является тот факт, устанавливаемый в диссертации, что нелинейные операторные уравнения, к которым сводятся рассматриваемые задачи, содержат з\ -
уплотняющие отображения, изученные е первой главе. Условия разрешимости указанных задач сеодятся к вычислению индекса множества решений эквивалентных операторных уравнений и получению признаков его отличия от нуля.
Вторая глаЕа содержит четыре параграфа.
В 1 для краевой задачи общего вида (1.1),(1.2) исследуется
эквивалентное операторное уравнение. Приводятся условия на функ
ции ,и0,и*,... ,~ик) , при которых
а) отображение (Л, h) , построенное по функции Л и отображению
П , является фредгольмовым (лемма І.І);
б) отображение 1Л,П) является фредгольмоЕым в некоторой окрест
ности множества решений уравнения (І.І) (лемма 1.2);
в) отображение -уплотняет по мере некомпактности
КуратоЕСКого на множестве LJ (теорема 1.5);
г) отображение 6в>9) СЖ/?.] -уплотняет по мере некомпактности
КуратоЕского е некоторой окрестности множества решений урав
нения (I.I) (теорема 1.6).
В параграфе также получены результаты о сходимости решений для уравнений, не разрешенных относительно старшей производной, (теорема 1.2) и о собственности нелинейных обыкновенных дифференциальных операторов на ограниченных областях (теоремы 1.3 -1.4).
В 2 рассматриваются задача Коши (2.3),(2.4) и модельная краевая задача (2.6),(2.7). Решается задача вычисления индекса множества решений эквивалентного операторного уравнения и ориентированной степени отображений для каждой из задач.
При некоторых условиях на функцию э1 и поведение траекторий решений рассматриваемых уравнений показано, что индекс множества
решений эквивалентного операторного уравнения для каждой из за-
дач определяется неориентированной степенью некоторого конечномерного отображения (теоремы 2.2 и 2.5). Аналогичным образом устанавливается, что ориентированная степень соответствующих отображений с точностью до знака совпадает с ориентированной степенью тех же конечномерных отображений (теоремы 2.3 и 2.6). Вычисление ориентированной степени проводится в естественной ориентации ^Jrji » построенной в диссертации, и использует утверждения лемм 2.3 - 2.4 об индексе регулярной точки.
В 3 приводятся достаточные условия разрешимости задачи Пика-ра для уравнения (3.1) общего вида (теорема 3.1). Доказательство теоремы 3.1 основано на сведении вычисления индекса множества решений эквивалентного операторного уравнения (3.5) к вычислению индекса для случая задачи Копій. С помощью теоремы 3.1 устанавливаются признаки разрешимости задачи Пикара для частных видов уравнений (следствия 3.1.I - 3.1.2, теоремы 3.2 - 3.3). Эффективность полученных утверждений иллюстрируется примерами 3.1 и 3.2.
4 посЕящен исследованию разрешимости задачи о периодических решениях уравнения (4.1) и уравнения нейтрального типа (4.9). Получены обшие признаки разрешимости (теоремы 4.1 - 4.2). Важный этап доказательства этих признаков составляет лемма 4.1, раскрывающая связь рассматриваемой задачи с периодической краевой задачей. Применение полученных утверждений иллюстрируется на примерах.
Результаты второй глаЕЫ опубликованы е [22] , [23] , [24] .
Третья глава диссертации посвящена исследованию свойств Ji -уплотняющих многозначных отображений и Л -уплотняющих многозначных возмущений собственных отображений. В главе строятся теории степени Л -уплотняющих многозначных возмущений собственных ЩХ -отображений и индекса множества решений операторных
включений из некоторого класса, рассматриваются их приложения к вопросу о разрешимости экстремальных задач общего вида.
Гомотопическая классификация fi -уплотняющих возмущений собственных отображений
Среди работ, посвященных теории степени нелинейных отображений и вопросам её приложения, отметим работы, имеющие наиболее тесную связь с диссертационной работой.
Большую известность получила теория уплотняющих отображений. Важный этап развития этой теории составили построение вращения и степени уплотняющих векторных полей и получение С ИХ ПОМОЩЬЮ новых теорем о неподвижных точках (см. [17] , [18] , [20] , [38], [39] , [42] , [43] , [66] , [67] ). Среди работ этого направления отметим работу [43] , Е которой впервые сформулирован принцип биективного соответствия гомотопических классов вполне непрерывных и уплотняющих Еекторных полей, обобщаемый в диссертации, и приведена конструкция степени уплотняющих Еекторных полей,опирающаяся на понятие фундаментального множества, ЕЕеденное в работе [27J .
Теория уплотняющих векторных полей получила многочисленные приложения к исследованию различных классов дифференциальных уравнений (см. [28] , [40] , [68] ). Итоги развития этой теории и ее приложений ПОДЕедены в работах [2] , [41] .
Обобщением теории степени ЕПОЛНЄ непрерывных и уплотняющих Еекторных полей послужили теории степени L -компактных и L -сжимающих по мере некомпактности Куратовского или Хаусдорфа возмущений линейного фредгольмоЕа оператора L нулевого индекса ( [56] , [60] , [64] ). Хорошо разработаны вопросы приложения этих теорий к различным классам краевых задач для дифференциальных уравнений различных типов ( [56] , [58] , [61] , [62] ,[.71]). Итоги развития этих теорий и обзор их приложений приводятся в работах [57] , [65] . Интенсивно развиваются методы исследований средгольмовых отображений. Первые работы, посвященные принципу полной обрати мости, были выполнены в 30-е годы [51] , [52] . Новый этап откры ли исследования [75] , в которых вводится понятие неориентирован ной степени собственных Ц п L -отображений ( L - гладких фред гольмовых отображений индекса П ) для п О и 1 \п+ і , и [48] , [54] , [55] , в которых строится ориентированная степень собственных отображений. Иная конструкция степени, не использу ющая теорему Смейла и предполагающая минимальную L - гладкость фредгольмовых отображений, предложена в работах [15] , [44] и получила обобщение для класса вполне непрерывных возмущений не линейных - отображений при п О , г л+ і в работе [29] . Отметим также теорию индекса разрешимости операторных уравнений, построенную Е работе [14] , где фредгольмовость и компактность соответствующих отображений предполагается лишь на окрестности множества решений. Вопросам применения теории степени фредгольмоЕых отображений к различным классам задач посвящены многочисленные работы 16] , [7] , [16] , [19] , [29] , [35J , [49] , [55] , [77] . Итоги развития теории степени в этом направления и обзор её приложений приводятся в работе [15] . Широкое применение получила в последнее Еремя теория многозначных отображений (см., например, [31] ). Существенное место в этой теории занимают топологические методы исследования. Так в работах [II] , [53] были определены топологические характеристики многозначных отображений с выпуклыми образами. В ходе дальнейшего изучения были построены теории степени многозначных уплотняющих Еекторных полей [36] , различных многозначных Еозму-щений линейных [73] , [76] и нелинейных фредгольмовых отображений [4] , [9] . Итоги развития теории многозначных отображений в этом направлении подведены в работах [12] , [13] . Среди работ, посвященных приложениям теории степени, выделим серию работ [6] , [7] , [19] , в которых для исследования разрешимости задачи о периодических решениях уравнений нейтрального типа использовалась теория фредгольмоЕых отображений, а также работы [56] , [69] , [70] , [71] , [72] , где методы теории степени применялись к исследованию уравнений, не разрешенных относительно старшей производной. Краткий обзор содержания диссертации. Данная диссертация посвяшена изучению обобщенно-уплотняющих, или Л -уплотняющих, (однозначных и многозначных) нелинейных отображений банахоЕых пространств. В диссертации строится теория степени Л -уплотняющих Еозмущений собственных фредгольмовых отображений нулевого индекса, а также определяется понятие индекса множества решений для некоторых классов нелинейных операторных уравнений и операторных включений. Эти понятия применяются к исследованию различных краевых и экстремальных задач для дифференциальных ураЕнений, не разрешенных относительно старшей производной, что позволяет получить новые признаки разрешимости. Диссертация состоит из трех глав. Первая глава диссертации посЕящена исследованию свойств нового класса Л -уплотняющих отображений (определение I.I), а также изучению Л -уплотняющих возмущений собственных отображений. Глава состоит из трех параграфов.
В 1 исследуются основные свойства Л -уплотняющих отображений, приводятся некоторые признаки Л -уплотняемости. Для исследования локальных свойств отображений понятие кя -ограниченности отображения в точке (определение 1.6). В случае, когда ли - мера некомпактности КуратоЕСКого или Хаусдорфа, устанавливается СЕЯЗЬ соотношений К -ограниченности отображений и их производных Е точке (теоремы 1.5 - 1.6).
Фредгольмовость, собственность и л -уллотняемость обыкновенных дифференциальных операторов
В заключение параграфа отметим, что понятие фундаментального множества, введенное в работе [27] , применялось в [43] для исследования гомотопической классификации уплотняющих векторных полей. Определение 2.1, обобщающее понятие фундаментального множества, позволяет перенести методику исследований работы 43] на класс Л -уплотняющих возмущений собственных отображений. Заметим, что лемма 2.1 представляет интерес с точки зрения другого подхода к теории Л -уплотняющих отображений (см. [8] , [10] ). 3 Степень М -уплотняющих возмущений фредгольмовых отображений. В этом параграфе вводится понятие степени Л -уплотняющих возмущений собственных ФоС -отображений и дается определение индекса множества решений одного класса операторных уравнений. Исследуются основные свойства этих понятий. п.1 Степень т -уплотняющих возмущений собственных фредгольмовых отображений. Пусть С J с Б - ограниченная область банахова пространства и г - произвольная правильная, полуаддитиЕная мера некомпактности в_банаховом пространстве р . Будем предполагать далее, что Jf :LJ — t - собственное Фо і - отображение, f : С J — г непрерывное отображение, Л -уплотняющее по мере некомпактности В гомотопическом классе отображения выберем отображение Л - к, где /? - вполне непрерывно. Тогда для отображения АЛ определены ориентированная степень den (Л- k , О, Ор) и неориентированная степень иеог(э1- /?ДД,Ор) (см. [15] ). Свойство 2. Если иел [Л-/,O,0jr) о , то существует точка , такая что J(x) = f(x). Доказательство. Пусть Р: - ретраіщия на компактное, выпуклое Ji -фундаментальное для / множество. Тогда__.л - jo f гомотопно и по определению d.l В силу свойств степени вполне непрерывных возмущений фредголь мовых отображений существует точка Х0Е Lj такая, что Л(Хо) J3$Lx0). Однако, из теоремы 2.1 имеем: X0E{XEQ: (X) - $U)}. Поэтому J(Xo) = /(Хо). п Свойство 3 (гомотопической инвариантности). 1) Пусть отображения Л - f , Л -/0 лежат в одном гомотопическом классе из ЦІ, С J, F Jy , тогда 2) Пусть отображения гомотопны, тогда Доказательство. Первая часть утверждения следует из определения степени. Доказательство второй части легко получить, используя свойства степени вполне непрерывных возмущений собственных фредгольмовых отображений, теорему 2.2, а также очевидное равенство связывающее ориентированную и неориентированную степени отображения JI - 4. Свойство 2 степени позволяет применить ее к исследованию разрешимости операторных уравнений вида Приведем признаки отличия от нуля степени Теорема 3.1« Пусть отображения Л її / удовлетворяют услови ям, описанным в начале раздела, и для всех ле Утверждение очевидно, так как в условиях теоремы гомотопии Л - Sf , 3 є [о,і] , является допустимой, т.е. 54 - Л -уплотня ющая гомотопия и О І . Поэтому для доказательства достаточно воспользоваться свойством 3 степени. Теорема 3.2. Пусть О - замкнутая, симметричная область, содержащая нуль, отображения JI и 4 - нечетны и удовлетворяют условиям, описанным в начале раздела. Тогда aeo2(j-f X J,О -) = 1 , Доказательство. Так как - нечетные отображения, тогда можно рассматривать лишь симметричные, замкнутые, выпуклые, Л -фундаментальные для f множества. Легко проверить, что для них выполняются свойства I - 5 Л -фундаментальных множеств. В частности, существует компактное, симметричное, выпуклое, J1 -фундаментальное для 4 множество I . Пусть JD0 : Г — J произвольная ретракция на J . Тогда отображение о(х) = (х) - gj)0(-x) будет нечетной ретракцией на J . Действительно, для каждого X є Г Ро(х)є 1 и-р0(-х)є J и, следовательно, р(к) 1 . Кроме того, если ХєТ,то-Хє1 pi л(х) = I n (x)- J-jOC- x) = -g X --(-X) = X. Значит, J3 - ретракция на I . Нечетность О очевидна. Согласно определению степени Так как отображения М жр4 нечетны и, следовательно, = і (см. ІІ5І ), то теорема доказана. п.2 Индекс множества решений операторных уравнений. Наряду с понятием степени определим еще один топологический инвариант множества решений уравнения (3.3). Пусть Q - множество решений уравнения (3.3) в области Q . Будем предполагать, что I) - компактное множество и в некоторой его окрестности U отображение Л непрерывно дифференцируемо по фреше и фредгольмово индекса ноль и отображение / Л -уплотняет по мере некомпактности ip Определение 3.2. Индексом множества решений IL/ уравнения (3.3) называется число Lna(JI-f,Cj) равное нулю, если HJ = 0 , и в случае, когда ц) Ф ф , определяемое равенством где I/ - достаточно малая окрестность ц/ . Для проверки корректности определения заметим, что окрестность U компакта (L/ всегда можно выбрать так, что I/ CLJ , и следовательно, о ф U-f)d\J . Собственность отображения Л в достаточно малой окрестности U следует из локальной собственности фредгольмова отображения и компактности V . Используя свойство I неориентированной степени, легко проверить независимость определения от выбора окрестности U
Вычисление ориентированной степени и индекса множества решений простейших краевых задач
В заключение параграфа отметим, что приведённые условия фред-гольмовости отображения л хорошо известны (см.,например,[15]). Полученные условия М -уплотняемости имеют вид условия сжатия по последней переменной и хорошо известны для случая отображения линейного по векторным переменным (см. [56]). Результаты о собственности обыкновенных дифференциальных операторов, полученные в п.2, не могут быть установлены с помощью леммы Элворти и Тромба, обеспечивающей собственность фредгольмовых отображений (см. [54] ). Доказательство этих результатов основано на утверждении теоремы 1.2, обобщающей классическую теорему о сходимости решений (см.,например, І47] ) на случай обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной (кратко (БДУ)).
В этом параграфе приводятся вычисления ориентированной степени отображений и индекса множества решений для операторных уравнений, эквивалентных простейшим краевым задачам для (ЕДУ). п.1 0 разрешимости начальной задачи и продолжении решений Рассмотрим начальную задачу вида Отметим, что данная начальная задача имеет решения, траектории которых проходят в СД, , лишь в том случае, когда уравнение oH(V) - О , где ан(У) = JI(a,Co,v) - f(a7C0,v), разрешимо на мно жестве : (Q,C0,v) є Qo } . Лемма 2.1. Пусть отображения JI И f удовлетворяют условиям теоремы 1.6 в некоторой окрестности множества (а,С0,V0) и определена степень аед(ОнМс,о) отображения ан на множестве Vo . Тогда начальная задача (2.1),(2.2) имеет не менее \сІе-о(он \/0го)\ решений X , траектории которых проходят в LJ0 . Доказательство. Пусть х є С (Га,а+), их )- решение данной начальной задачи. Тогда X(Q)является решением уравнения aH(v)=o в множестве ІД . Покажем теперь, что каждое решение v0 этого уравнения определяет хотя бы одно решение х данной начальной задачи такое, что к со) - V». Используя рассуздения доказательства теоремы 1.6, нетрудно проверить, что отображение JI(,IJ,V)- f(i?u,v) обратимо по переменной v вблизи точки (GUCo,Vo). Поэтому в некоторой окрестности точки (ci,C0,v0) уравнение (2.1) эквивалентно уравнению ХС) = p(i,x(t))t где w - некоторая непрерывная функция такая, что (р(аХо) V0. Так как начальная задача x(Q) = С0 для этого уравнения разрешима, то требуемое соответствие между решениями начальной задачи (2.1),(2,2) и уравнения он(v)= О установлено. Из свойств степени конечномерных отображений следует, что множество решений уравнения aH(V)= О в V0 непусто и в условиях леммы состоит из конечного числа точек Vi , і = в силу конструкции степени \? \oen(QH Vo,0), что и завершает доказательство. Пусть X - решение уравнения (2.1) на полуинтервале [а () ) с траекторией, проходящей в С Д,. Рассмотрим вопрос о том, когда данное решение продолжается на отрезок [а,а+]и отрезок [а $]. Так как мнояество іД, ограничено и (, х( ),хШ) є СД0 , то х(іт)-Х( ) Л/Jim tнекоторого M и произвольных tm , t из [а,а + ) . Поэтому для любой последовательности { кт} . іт є [a,Q + ), tm ц 0 6 t последовательность {x(m)j- фундамен тальна. Обозначим через X(ci + ) = ит Х(±т). Нетрудно проверить, /71— оо что величина х(а+)не зависит от выбора последовательности {tm} Лемма 2.2. Пусть множество Z(ci + 0 построено для функции х к жюжество (a + d,x(Q+d),oL(a+ .)) не содержит точек вырождения отображения Л - 4 » тогда am x(t) »x(a + ). Доказательство. Нетрудно проверить, что множество о(а + ) замкнуто и связно. Так как множество (a+, x(Q+), Z(G )) включено в JJ и не содержит точек вырождения отображения Я - f , то множество oi(Q + ) состоит из одной точки. Следовательно, Z(CH)=A r? XCt) И X(G-) = Um Х(±) . П Теорема 2.1. Пусть отображения зі и / удовлетворяют условиям теоремы 1.6 на множестве L J0 , тогда а) каждое решение X уравнешш (2.1) может быть продолжено или на весь отрезок [о,ci] , или до пересечения его траектории б) для любого 5 о найдется - - о такое, что все решения уравнения (2.1), такие что _(x(a), x(Q)) є \J\ U$(o V) , где V" {(li,V)ejJxx/r :(Q,II,V)EC Д.} , продолжаются на отрезок [a,Q+] без пересечения с uLj0 их траекторий.
Л -уплотняющие многозначные возмущения собственных отображений и их топологические инварианты
Наличие априорной оценки решений краевых задач (3;3 Л),(3.2) и (3.30),(3.4Л) для А є(о,і] означает, что на области для г/ достаточно больших условия 2) и 3) теоремы 3.1 выполнены. Это позволяет получить следующие признаки разрешимости:
Следствие 3.1,1, Пусть для отображения jff и $ справедливы неравенства (3.7) и на области LJJrVдля rl достаточно больших выполнены условия I), 4) теоремы 3.1, Тогда краевая задача (3.1), (3.2) разрешима. Следствие 3.1.2. Пусть для отображений Л и { справедливы неравенства (3.10) и на области 00(л)ддя П достаточно больших выполнено условие I) теоремы 3.1. Тогда краевая задача (3.1 (3.2) разрешима. Доказательство. Покажем, что условие 4) теоремы 3.1 выполнено. Из оценки (3.10) следует, что он(\х/) \Х/ о для всех W є c/D(o,l Пресли і I достаточно велико. Стандартными методами (см.[33]) проверяется, что о(Аан + Поэтому Применение следствия 3.1.I завершает доказательство, п Замечание 3.3. Если отображения pi и f удовлетворяют условиям леммы 1,1 и теоремы 1.5 на СД , то утверждения теоремы 3.1 и ее следствии будут справедливы и в том случае,когда в условии 4) отлична от нуля лишь ориентированная степень отображения Qy : Я О. для проверки достаточно заметить, что на множестве С J («J, d0, —ftZr f) является (л, L г) -уплотняющим отображением по мере некомпактности (X , а отображение (Л/, г) (.редгольмовым, и в приводимых доказательствах использовать ориентированную степень отображении вместо индекса множества решении и теорему 2.3. Замечание 3.4. В условиях следствии 3.1.I - 3.1.2 задача Коши (3.1), (3.II) разрешима, если Проверка этого факта основывается на идеях доказательства теоремы 3.1 и замечании 3.2. Признаки разрешимости задачи Пикара (частные случаи). Пусть п= і и условия (3.2) имеют вид: Х(а)-Х(о) = О , Теорема 3.2. Пусть выполнены следующие условия 1) существует константа J 1о 0такая, что ,для любых иед:и г0, и всех АЕ [О,І) справедливо включение: U- /7д(і,и,0) с flV\ О , где /їл(і,и.у)« f WE /?: Jctv v.W) = A/(t.u.v, W)} І 2) для любых выполнено: l)hA(i,u,v)ll (IVI), , функция ф интегрируема на каждом ограниченном множестве из [О, со) и І0Ф(\7) 2І I ; 3) отображениями f удовлетворяют условию I) теоремы 3.1 на области Q.Mi -го.в]-[-М.Л]«[-М1.М1И-МгД1 для ГІІ достаточно больших и Мг - ф(./ц) ; 4) для И достаточно больших JI(Q707o1-rl) JI(Q 0,0,+M) О. Тогда задача Пикара (3.1),(3.2) с а0 - аА=о разрешима. Доказательсво. Покажем наличие априорных оценок решений краевых задач (3.3Л),(3.2) и (3.3J, 3.4 д) при Л Е (0, ] . Пусть X - решение задачи (3.3d ),(3.2) и і - точка максимума функции 1х. Для определенности считаем,что x(t ) 0 . Если X(t ) J10 » то из условия I) следует, что x(i ) О и. х( ) не может быть максимумом функции. Следовательно, 1х() г}0 Так как u0 = ui = о , то существует хотя бы одна точка і є [о, о] такая, что х(і ) = О . Поэтому для каццой точки і такой, что x(t) с , найдется интервал (/Wo,/W,), на котором имеет постоянный знак и одно из значении x(jilo),k(JUi) нулевое. Для определенности считаем, что хШ с на (/Мо,л/ )и xtiuj O. Из условия 2) следует, что - x(i) jb()x(t)) Тогда Так как (V p(v))clv 2М0 то существует Md такое, что хШ) ri . Аналогичные расруждения справедливы при других предположениях о знаке x(-fc) и значении k(JUi), Итак, хШ«= гІ и из условия 2) следует, что хШ П2. Априорные оценки решении краевых задач (3.3 Л),(3.2) установлены, Для получения априорных оценок решении краевых задач (3.30), (3.4д) применяются те же рассуждения. В силу приведенных оценок условия 2), 3) теоремы З.Ї выпол-нены на области L JQ L . Справедливость условия 4) очевидна. Применение теоремы 3.1 завершает доказательство, п Эффективность теоремы 3.2 проиллюстрируем на примере. Пример 3.1. Рассмотрим дио еренциальное уравнение вида выполнено з , Пусть отображение f удовлетворяет условиям: а) для всех (t7v,v)e\pj] li,{] f( ; W, W & R 6) )i(f,i/,v,W) і для любых (t,u,V,w) ejaJlxfMMR . Ц\Гг Покажем, что при -щ=- условия теоремы 3.2 выполнены, Рассмотрим уравнения 63(4 + W2)W = Ясно, что при 1 I г" знак решения каждого из уравнении совпадает с знаком, стоящим перед г1 . Поэтому при 1 /0 = -j? условие I) теоремы 3.2 выполнено.
