Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Особенности типа Карлемана и Вейля 13
1. Особенности Кэрлемана и Вейля для функций непрерывных в заданной точке . 13
2. Особенности Кэрлемана и Вейля для функций, непрерывных хотя бы в одной точке . 39
ГЛАВА II. О полноте подсистем функций Уолша 46
1. Пространство Уолша (определения, вспомогательные результаты) . 46
2. Полные подсистемы Уолша. 57
3. Неполные подсистемы Уолша . 84
ГЛАВА III. О носителях функций, образующих полную ортоновшрованную систему 89
Указатель страниц определений и утверждений 97
Литература 98
- Особенности Кэрлемана и Вейля для функций непрерывных в заданной точке
- Особенности Кэрлемана и Вейля для функций, непрерывных хотя бы в одной точке
- Пространство Уолша (определения, вспомогательные результаты)
- Неполные подсистемы Уолша
Введение к работе
Работа состоит из трех глав. Первая глава посвящена построению некоторых полных ортонормированных систем в І^[о,і] , относительно которых некоторый заданный класс функций обладает особенностью Карлемана или Вейля.
Пусть {ч„60\ - ортонормальная система в ІР-О и ^(х)єІІ[р,і] . Тогда коэффициенты Фурье функции $(х) по системе {^п(х)\ удовлетворяют условию
Спрашивается, можно ли утверждать что-нибудь большее относительно скорости убывания коэффициентов с , нежели выполнение (і) хотя бы для "хороших"функций, скажем для непрерывных?
Постановка вопроса восходит к Карлеману, который впервые установил (см./І/, с.311) существование непрерывной функции, коэффициенты Фурье которой по тригонометрической системе удовлетворяют условию
2|с^( = со при всех р<2. (П)
В связи с этим возникло следующее определение (сп./2/,с.270; /3/, с.5): функция %(*} обладает особенностью Карлемана относительно системы {ч,(х)\ » если ее коэффициенты Фурье с^_ Jj^xy^OOclx удовлетворяют условию (П).
Теорема Карлемана означает существование непрерывной функции, обладающей особенностью Карлемана по отношению к тригонометрической системе. Теорема Карлемана в дальнейшем обобщалась различными авторами (Палей, Банах, Орлич, Стечкин, Махмудов и др.), работы которых относятся к тригонометрической системе,- - ц. - здесь наиболее важный результат принадлежит С.Б.Стечкину /V» а также к системам, ограниченным в совокупности.
Существование непрерывной функции, обладающей особенностью Карлемана относительно системы Хаара, установил Орлич /5/. Аналогичный вопрос для произвольных полных систем был поставлен А.М.Олевским в работе /6/, где для любой полной ортонормальной системы было установлено существование непрерывной функции, обладающей особенностью Карлемвна. Там же был получен аналогичный результат и для особенностей типа Вейля. Именно в /6/ доказано, что для произвольной полной ортонормальной системы іц^Ск)^ и для любой последовательности aj(n.)-* + найдется непрерывная функция $(*) , коэффициенты Фурье которой удовлетворяют следующему соотношению:
Общий смысл сформулированных результатов состоит в том, что какова бы ни была полная ортонормальная система, коэффициенты Фурье непрерывных функций по этой системе могут убывать как угодно медленно, в рамках выполнения условия (I). Разумеется, окончательным результатом такого рода явился бы следующий:для любой полной системы {ч^Сх")^ и для любой последовательности {Ь^\ , 2^< ^ » найдется непрерывная функция $.(х} с коэффициентами сп , (с4<|&п\ Однако такой результат несправедлив уже для системы Хаара. Тем не менее оказывается верным несколько более слабый результат /7/. Именно, в приведенной выше формулировке следует заменить с на где \кЛ - некоторая фиксированная последовательность номеров, зависящая только от системы {^„(х)} (но не от {Ь*} ). В той же работе /7/ доказано, что если фиксирована полная орто-нормальная система {^(х^ и на некотором замкнутом множеств ве положительной меры Ec[o,Q задана непрерывная функция j^(>0 , то не всегда можно продолжить эту функцию на весь отрезок [ол] так, чтобы полученная функция имела достаточно хорошие коэффициенты Фурье по системе {Чп(х^ . А именно, оказывается верным следующее утверждение: для произвольной ор-тонормальной системы {ч>нО0} в li[o.i] и произвольного множества положительной меры Е с [од] существует дифференцируемая функция F(x) такая, что всякая функция ^у)е\1[р,{] , совпадающая с F(x) на Е , обладает особенностью Карлемана по отношению к {ЧпСх^ .
Иными словами, особенности можно локализовать в сколь угодно малой окрестности. Более того, в работе /8/ А.М.Олевским было показано, что особенность Карлемана локализуется на компактах меры нуль.
Из вышеприведенного утверждения вытекает, что каковы бы ни были полная ортонормальная система {ч^С*^ и множество tl , ulU 1 , исправлением нэ множестве 11 произвольной непрерывной функции F , заданной на [о,i] , вообще говоря, нельзя добиться сколько-нибудь быстрого убывания коэффициентов Фурье, т.е. устранения кврлемановской особенности. Вместе с тем оказывается, что если разрешить множеству 1Л зависеть от функции F , то положение меняется. Именно, из теоремы А.А.Талаляна (/9/,с.720) вытекает существование полной орто-нормальной системы {^-00} , обладающей тем свойством,что каждая непрерывная функция F(x) может быть исправлена на множестве сколь угодно малой меры таким образом, чтобы получен- - б - ная в результате функция $(х") имела коэффициента Фурье по системе {ч~\' » удовлетворяющие следующему условию
2,|с„1<ьо
Но для системы Хаара такое исправление не всегда возможно.Как показал Ю.С.Фридлянд /10/ существует функция ^Cx^gGoo такая, что для любого измеримого множества Ec[cul , uE>o» любая функция FCx^e L![o,i] , совпадающая с $С>0 на множестве Е , обладает особенностью Карлемана по отношению к системе Хаара.
В работе /7/ А.М.Олевский показэл существование полных ор-тонормальных систем, для которых коэффициенты Фурье любой нетривиальной непрерывной функции убывают достаточно медленно. А именно в работе /7/ доказана следующая теорема.
Теорема А. Существует полная ортонормальная система функций {щбО) такая, что каждая непрерывная функция 00 (за исключением ^~ О ) обладает особенностью Карлемана относительно {ц>^
Там же (/7/, с.822) был получен аналогичный результат и для особенности типа Вейля.
Теорема В. Для любой последовательности ar(Vi)-> + <» существует полная ортонормальная система {ч^ОО] такая,что для любой непрерывной функции U^n^o коэффициенты Фурье удовлетворяют условию (Ш).
В первой главе настоящей работы содержатся некоторые результаты, относящиеся к этому кругу вопросов, а именно, доказываются следующие утверждения.
Теорема I. Для произвольной точки x0e[o,i] существует в 1^[од] полная ортонормальная система функций {ч«00} , непрерывных в любой точке отрезка [о,і] , за исключением точки Хо , такая, что любая функция $(х} Е [о, і] (Ч 9^ о) непрерывная в точке х0 , обладает особенностью Кэрлемана относительно этой системы.
Заметим попутно, что ни одна из функций этой системы не может быть непрерывной в точке Хо , так как такая функция не обладала бы особенностью Карлемана, являясь в то же время непрерывной в точке Хо .
Аналогичный результат получен и для особенностей типа Вей-ля.
Теорема 2. Для любой последовательности схг(а)->-«-оо и точки ХоеСо.0 существует в С [од] полная ортонормальная система функций {і?нОО\ » непрерывных в любой точке отрезка [о,і] , за исключением точки х«, , такая, что коэффициенты Фурье произвольной функции $(х)е[од1 (оо6) , непрерывной в точке Хо , удовлетворяют условию (Ш).
Теорема 3. В пространстве ll[o,i] существует такая полная ортонормальная система функций {ч^ОО) , что каждая функция $Сх)є[о,і] ($. об о) , непрерывная хотя бы в одной точке отрезка [Ъд] , обладает особенностью Кэрлемана относительно {чи*^
Теорема 4-. Для произвольной последовательности wOrt)-**00существует такая полная ортонормальная система функций {4*00} в li[o,{] , что коэффициенты Фурье любой функции ^(х)е11СоД] (^-ооо") , непрерывной хотя бы в одной точке отрезка
Со,і]» удовлетворяют условию Ш .
При построении систем указанных в теоремах 1-4 используются идеи А.М.Олевекого, разработанные в работе /7/.
Как известно, система функций {фп(х)^ , заданная на от- резке [ct.b] , называется системой представления в классе измеримых, почти везде конечных на [<х,Чэ] функций, если для произвольной, почти везде конечной, измеримой функции F(x) существует ряд который почти всюду на отрезке [о-Й сходится к F(x). Вопрос, является ли тригонометрическая система системой представления в классе почти везде конечных, измеримых функций, был положительно решен Д.Е.Меньшовым /12/.
Для системы Уолша этот вопрос рассматривался Р.С.Давтяном /13/, Ф.Г.Арутюняном /IV- Последним, в статье /14/ был предложен метод, позволяющий доказать теорему представления для широкого класса систем функций, в который входят почти все классические полные ортонормированные системы, и все ранее рассмотренные системы представления. Кроме того, в указанный класс входят все базисы пространства CCo.i] и все перестановки системы Уолша. В этой статье, в частности, доказано,что подсистема Уолша, составленная из любой последовательности "полных естественных лачек" системы Уолша, является системой представления в классе измеримых почти везде конечных на функций. Отметим, что при доказательстве этого факта существенным являлось не то, что брались полные пачки, а лишь то, что длины пачек неограниченно возрастали. Точнее, если для системы {фп(х^4 , следующую ее подсистему: {tyn ^ОО^Го + (кв*..2,-.Л , где ru<-t-m.K< n.K+t и Ьхп m.^.stoo условиться называть подсистемой типа С , то любая подсистема Уолша типа С является системой представления.
В статье /15/ доказано, что любая подсистема типа С три гонометрической системы является системой представления, в классе почти везде конечных измеримых функций. Но оказывается, что если отказаться от условия неограниченного увеличения длин берущихся лачек, то последнее утверждение может быть неверным, а именно, В.И.Ивановым и В.А.Юдиным в статье /16/ было доказано, что если из тригонометрической системы выбросить функции, номера которых составляют арифметическую прогрессию, то оставшаяся подсистема функций не полна в любом LP , o Целью главы П является перенесение последних двух результатов на систему Уолша. Система Уолша, наряду с тригонометрической системой и системами Радемахера и Хаара, является одной из самых употребительных в теории ортогональных рядов. В математике она была введена Уолшем в 1923 году (см./17/). Однако в технике связи она, наряду с системой Радемахера, была известна и использовалась уже с 1900 года (см.,например,/18/, /19/). В математической литературе под названием "система Уолша" фигурируют три полные ортонормированные системы. Это подлинная система Уолша {ч*.\ и, введенные позже, система Уолша-Пэли {WK^i (1932 г., см./20/) и система Уолша-Качмажа {^\ (1948 г., см., например, /21/), которые отличаются друг от друга нумерацией внутри "пачек". Все эти системы нашли широкое применение в теории связи (а также в вычислительной математике, см./21/), причем там предн почтение отдается подлинной системе Уолша. В I главы П вводятся некоторые определения и доказываются некоторые вспомогательные леммы, В частности дается определение пространства LP (см., например, /22/-/27/) и приводятся (без доказательств) некоторые свойства этого пространства, которые легко проверить стандартными приемами (см., например, /28/, /29/д В 2 главы П доказывается следующее утверждение: Теорема 5. Если систему Уолша последовательно разбить на пачки, содержащие по п элементов (где п любое наперед заданное натуральное число), то, выбирая из каждой пачки по одному элементу, можно составить такую подсистему Уолша, что для произвольной функции F(x)e L4[o,i] существует ряд, состав ленный из элементов этой подсистемы, который и в пространстве L4[o.i] , и почти всюду на Со,і] сходится к (х) . При доказательстве этой теоремы используются методы, разработанные в работах /14/ и /30/. В 3 главы П доказывается следующее утверждение: Теорема б. Если систему Уолша разбить на пачки, содержащие по п. (п->і) элементов, то из каждой пачки можно выбрать по одной функции так, чтобы и выбранная подсистема Уолша, и оставшаяся подсистема будут незамкнуты в пространстве Sip.i] Как было показано Орличем в работе /32/, для полной орто-нормированной системы ряд 2.4tf(*) почти всюду расходит-ся. Однако доказательство Орлича не давало возможности оценить распределение положительных и отрицательных значений для функций, образующих полную ортонормированную систему. Этот вопрос был решен В.Я.Козловым в работе /33/. Пусть {Ч^С*")} -ортонормированная на [од] система - II - функций из L . Положим ( Е;={х1чЛМ<о} . Теорема В.Я.Козлова гласит: Если система функций {^К(У)\ полна, то ряды Од оо 2.СЧ«Сх)1 и ZfcMr расходятся почти всюду. В дальнейшем оказалось /34/* что теорема В.Я.Козлова верна и для безусловных базисов пространства LP (р^2) Из теоремы В.Я.Козлова непосредственно следует, что для полных ортонормированных систем ряд ^ ^-=~ расхо- дится почти всюду. Ф.Г.Арутюняном в работе /54/ показано, что ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОЛОЖИТеЛЬНЫХ ЧИСеЛ Оіи. , ЄСЛИ 2.^^. = 00 , то можно построить на отрезке Сод] такую полную ортонорми- рованную систему функций, у которых -= Из теоремы Орлича следует, что 2.цЕ„=<~ ce,=e:ue;). Как известно, существуют полные ортонормированные системы, для которых En.->o . Например, для системы Хаара Еа=о(~) Возникает вопрос, что можно сказать о скорости убывания En. для полных ортонормированных систем, оставаясь, конечно, в рам- ках вышеуказанного соотношения ( 2м^^ = 0 ) В этом направлении в Ш главе получен следующий результат. Теорема 7. Для любой последовательности положительных чи-сел >а Са = 1.2,..Л , где 2^ = «» , существует на отрезке Со, і] такая полная ортонррмированная система функций juEn.^^»tv a-i.2f... В заключении выражаю благодарность Ф.Г.Арутюняну за постановку задач и постоянное внимание к работе. - ІЗ - Спрашивается, можно ли утверждать что-нибудь большее относительно скорости убывания коэффициентов с , нежели выполнение (і) ХОТЯ бы для "хороших"функций, скажем для непрерывных? Постановка вопроса восходит к Карлеману, который впервые установил (см./І/, с.311) существование непрерывной функции, коэффициенты Фурье которой по тригонометрической системе удовлетворяют условию В связи с этим возникло следующее определение (сп./2/,с.270; /3/, с.5): функция %( } обладает особенностью Карлемана относительно системы {ч,(х)\ » если ее коэффициенты Фурье с _ Jj xy OOclx удовлетворяют условию (П). Теорема Карлемана означает существование непрерывной функции, обладающей особенностью Карлемана по отношению к тригонометрической системе. Теорема Карлемана в дальнейшем обобщалась различными авторами (Палей, Банах, Орлич, Стечкин, Махмудов и др.), работы которых относятся к тригонометрической системе, здесь наиболее важный результат принадлежит С.Б.Стечкину /V» а также к системам, ограниченным в совокупности. Существование непрерывной функции, обладающей особенностью Карлемана относительно системы Хаара, установил Орлич /5/. Аналогичный вопрос для произвольных полных систем был поставлен А.М.Олевским в работе /6/, где для любой полной ортонормальной системы было установлено существование непрерывной функции, обладающей особенностью Карлемвна. Там же был получен аналогичный результат и для особенностей типа Вейля. Именно в /6/ доказано, что для произвольной полной ортонормальной системы іц Ск) и для любой последовательности aj(n.)- + найдется непрерывная функция $( ) , коэффициенты Фурье которой удовлетворяют следующему соотношению: Общий смысл сформулированных результатов состоит в том, что какова бы ни была полная ортонормальная система, коэффициенты Фурье непрерывных функций по этой системе могут убывать как угодно медленно, в рамках выполнения условия (I). Разумеется, окончательным результатом такого рода явился бы следующий:для любой полной системы {ч Сх") и для любой последовательности {Ь \ , 2 » найдется непрерывная функция $.(х} с коэффициентами сп , (с4 &п\ Однако такой результат несправедлив уже для системы Хаара. Тем не менее оказывается верным несколько более слабый результат /7/. Именно, в приведенной выше формулировке следует заменить с на где \кЛ - некоторая фиксированная последовательность номеров, зависящая только от системы { „(х)} (но не от {Ь } ). В той же работе /7/ доказано, что если фиксирована полная орто-нормальная система { (х и на некотором замкнутом множеств ве положительной меры Ec[o,Q задана непрерывная функция j ( 0 , то не всегда можно продолжить эту функцию на весь отрезок [ол] так, чтобы полученная функция имела достаточно хорошие коэффициенты Фурье по системе {Чп(х . А именно, оказывается верным следующее утверждение: для произвольной ор-тонормальной системы {ч нО0} в li[o.i] и произвольного множества положительной меры Е с [од] существует дифференцируемая функция F(x) такая, что всякая функция у)е\1[р,{] , совпадающая с F(x) на Е , обладает особенностью Карлемана по отношению к {ЧпСх . Иными словами, особенности можно локализовать в сколь угодно малой окрестности. Более того, в работе /8/ А.М.Олевским было показано, что особенность Карлемана локализуется на компактах меры нуль. Из вышеприведенного утверждения вытекает, что каковы бы ни были полная ортонормальная система {ч С и множество tl , исправлением нэ множестве 11 произвольной непрерывной функции F , заданной на [о,i] , вообще говоря, нельзя добиться сколько-нибудь быстрого убывания коэффициентов Фурье, т.е. устранения кврлемановской особенности. Вместе с тем оказывается, что если разрешить множеству 1Л зависеть от функции F , то положение меняется. Именно, из теоремы А.А.Талаляна (/9/,с.720) вытекает существование полной орто-нормальной системы { -00} , обладающей тем свойством,что каждая непрерывная функция F(x) может быть исправлена на множестве сколь угодно малой меры таким образом, чтобы получен - б ная в результате функция $(х") имела коэффициента Фурье по системе {ч \ » удовлетворяющие следующему условию Иными словами, особенности можно локализовать в сколь угодно малой окрестности. Более того, в работе /8/ А.М.Олевским было показано, что особенность Карлемана локализуется на компактах меры нуль. Из вышеприведенного утверждения вытекает, что каковы бы ни были полная ортонормальная система {ч С и множество, исправлением нэ множестве 11 произвольной непрерывной функции F , заданной на [о,i] , вообще говоря, нельзя добиться сколько-нибудь быстрого убывания коэффициентов Фурье, т.е. устранения кврлемановской особенности. Вместе с тем оказывается, что если разрешить множеству 1Л зависеть от функции F , то положение меняется. Именно, из теоремы А.А.Талаляна (/9/,с.720) вытекает существование полной орто-нормальной системы { -00} , обладающей тем свойством,что каждая непрерывная функция F(x) может быть исправлена на множестве сколь угодно малой меры таким образом, чтобы полученная в результате функция $(х") имела коэффициента Фурье по системе {ч \ » удовлетворяющие следующему условию Но для системы Хаара такое исправление не всегда возможно.Как показал Ю.С.Фридлянд /10/ существует функция CX GGOO такая, что для любого измеримого множества Ec[cul , uE o» любая функция FCx e L![o,i] , совпадающая с $С 0 на множестве Е , обладает особенностью Карлемана по отношению к системе Хаара. В работе /7/ А.М.Олевский показэл существование полных ор-тонормальных систем, для которых коэффициенты Фурье любой нетривиальной непрерывной функции убывают достаточно медленно. А именно в работе /7/ доказана следующая теорема. Теорема А. Существует полная ортонормальная система функций {щбО) такая, что каждая непрерывная функция 00 (за исключением О ) обладает особенностью Карлемана относительно {ц Там же (/7/, с.822) был получен аналогичный результат и для особенности типа Вейля. Теорема В. Для любой последовательности ar(Vi)- + » существует полная ортонормальная система {ч ОО] такая,что для любой непрерывной функции U n o коэффициенты Фурье удовлетворяют условию (Ш). В первой главе настоящей работы содержатся некоторые результаты, относящиеся к этому кругу вопросов, а именно, доказываются следующие утверждения. Теорема I. Для произвольной точки x0e[o,i] существует в 1 [од] полная ортонормальная система функций {ч«00} непрерывных в любой точке отрезка [о,і] , за исключением точки Хо , такая, что любая функция $(х} Е [о, і] (Ч 9 о) непрерывная в точке х0 , обладает особенностью Кэрлемана относительно этой системы. Заметим попутно, что ни одна из функций этой системы не может быть непрерывной в точке Хо , так как такая функция не обладала бы особенностью Карлемана, являясь в то же время непрерывной в точке Хо . Аналогичный результат получен и для особенностей типа Вей-ля. Теорема 2. Для любой последовательности схг(а)- -«-оо и точки ХоеСо.0 существует в С [од] полная ортонормальная система функций {і?нОО\ » непрерывных в любой точке отрезка [о,і] , за исключением точки х«, , такая, что коэффициенты Фурье произвольной функции $(х)е[од1 (оо6) , непрерывной в точке Хо , удовлетворяют условию (Ш). Теорема 3. В пространстве ll[o,i] существует такая полная ортонормальная система функций {ч ОО) , что каждая функция $Сх)є[о,і] ($. об о) , непрерывная хотя бы в одной точке отрезка [Ъд] , обладает особенностью Кэрлемана относительно {чи Теорема 4-. Для произвольной последовательности wOrt)- 00 существует такая полная ортонормальная система функций {4 00} в li[o,{] , что коэффициенты Фурье любой функции (х)е11СоД] ( -ооо") , непрерывной хотя бы в одной точке отрезка При построении систем указанных в теоремах 1-4 используются идеи А.М.Олевекого, разработанные в работе /7/. Как известно, система функций {фп(х) , заданная на от-резке [ct.b] , называется системой представления в классе измеримых, почти везде конечных на [ х,Чэ] функций, если для произвольной, почти везде конечной, измеримой функции F(x) существует ряд. Простыми примерами центрированных систем являются системы Хаара, Радемахера и, вообще, любая последовательность полиномов р\ , соответственно образованных посредством функций Уолша из а-ой естественной пачки, В дальнейшем нам придется ссылаться на некоторое утверждение из теории мартингалов (см., например, /31/ предложение ІУ.6.3, с.213), которое теперь сформулируем в виде леммы. Лемма F . Если Іфп(х центрированная система на множестве А, 1ЫпФл(хМ И, 1-1=1,2,.,. , то множество Д» можно разбить на два множества А и В так, что на множестве А ряд почти всюду сходится, а на множестве В верхний предел этого ряда равен + е о , а нижний предел - оо . Как известно, системе функций фк(х , заданная на отрезке [а.Ь] , называется системой представления в клвссе измеримых, почти и везде конечных на Ca.fe] функций, если для произвольной, почти везде конечной, измеримой функции Foo существует ряд со который почти всюду на отрезке [счИ сходится К F(x). Вопрос, является ли тригонометрическая система системой представления в классе почти везде конечных измеримых функций, был положительно решен Д.Е.Меньшовым /12/. Для системы Уолша этот вопрос рассматривался Р.С.Давтяном /13/, Ф.Г.Арутюняном /14/. Последним, в статье /14/ был предложен метод, позволяющий доказать теорему представления для широкого класса систем функций, в который входят почти все классические полные ортонормирован-ные системы и все ранее рассмотренные системы представления. Кроме того, в указанный класс входят все базисы пространства С [оЛ] И все перестановки системы Уолша. В этой статье, в частности, доказано, что подсистема Уолша, составленная из любой последовательности "полных естественных пачек" системы Уолша является системой представления в классе измеримых, почти везде конечных на Го,і] функций. Отметим, что при доказательстве этого факта существенным являлось не то, что брались полные пачки, а лишь то, что длины пачек неограниченно возрастали. Точнее, любая подсистема Уолша типа С (см.определение 8 ) является системой представления. В статье /15/ доказано, что пюбая подсистема типа С тригонометрической системы также является системой представления в классе почти везде конечных измеримых функций. Но оказывается, что если отказвться от условия неограниченного увеличения длин берущихся пачек, то последнее утверждение может быть неверным, а именно В.И.Ивановым и В.А.Юдиным в статье /16/ было доказано, что если из тригонометрической системы выбросить функции, номера которых составляют арифметическую прогрессию, то оставшаяся подсистема функций не полна в любом LP , о р 1 Тем не менее в одной неопубликованной работе Ф.Г.Арутюняна доказывается, что если тригонометрическую систему разбить на пачки, каждая из которых содержит одинаковое число элементов, то из каждой пачки можно выбрать по одной функции так, что выбранная подсистема является системой представления. Нашей целью в настоящем параграфе является перенесение последнего результата на систему Уолша. Теорема 5. Если систему Уолша последовательно разбить на пачки, содержащие по а элементов (где п. любое наперед заданное натуральное число), то, выбирая из каждой пачки по одному элементу, можно составить такую подсистему Уолпга, что для произвольной функции F(X)G Ц[о,і"] существует ряд, составленный из элементов этой подсистемы, который и в пространстве L4[bii] и почти всюду на Со.і] СХОДИТСЯ К F O . Для доказательства теоремы 5 нам понадобится ряд лемм. Лемма 12. Если (Цч \ подсистема Уолша типа С , то для произвольных & о, А о , рационального числа & о , натурального числа сН , двоично-рационального интервала Л с Co.il существует многочлен P(sO » составленный из функций Ц ОО (1 с 4) $ удовлетворяющий следующим условиям: 3 те Цл(х) , которые участвуют в построении многочлена Xj(x) с ненулевыми коэффициентами, принадлежат одной и той же естественной пачке Уолшэ, а те i\?L(jc) , которые участвуют в построении разных 9 ( ) и Х (х) СЬФУ) (С ненулевыми коэффициентами) принадлежат разным естественным пачкам Уолша. После замены переменной в каждом из интегралов соотношение (2.87) примет следующий вид и, так как ряд (2.83) в пространстве Uf[o,i] сходится к У?М » то из соотношения (2.88) следует сходимость ряда (2.85) в пространстве L4t»Q к функции а! с ОО Таким образом из функций подсистемы {ф (х } (а значит и {Ф„,00\ ) мы составим 2 рядов каждый из которых и в пространстве L4[o,t] и почти всюду на отрезке CO.L] стремится к соответствующей функции а( вЧРС 0. Расположив члены этих рядов в том порядке, который они занимают в системе Уолша, получим ряд, который в силу соотношения (2.80) сходится к функции F(x) и в пространстве Ufto.iQ и почти всюду на отрезке Годі . Замечание 7. Можно выбрать требуемую подсистему {Фт таким образом, чтобы и его дополнение {Фт(х Д полной системы Уолша обладало бы тем же свойством, а именно, для любой наперед заданной функции F(x)e L»«?lo,i3 я из элементов подсистемы {Фт( Я можно составить ряд, который и в пространстве L v [o,il и почти всюду на отрезке Со,О сходился бы к F(x}. Для этого рассмотрим подсистему Уолша (Q C » составлен ную следующим образом: если WifcO (Фт( У , то W tt\Q (x . Из соотношений (2.78) и (2.79) следует, что подсистемы (Фт(х и {QtnW\ не пересекаются. Легко видеть, что подсистема \С (хМ так же как и \Фт(х обладает требуемым свойством. Составляя подсистему Уолша ІФм(х мы к подсистеме \$WC V\ добавляли по одной функции, взятой произвольно из каждой пачки длиной п. , не имеющей представителя в подсистеме Ф х4)} ; теперь же проследим дополнительно лишь за тем, чтобы ни одна из этих произвольно выбранных функций не принадлежала подсистеме и значні система {Фт " \ вместе с системой { (хН обладает требуемым свойством. В.И.Ивановым и В.А.Юдиным в статье /16/ было доказано, что если из тригонометрической системы выбросить функции, номера которых составляют арифметическую прогрессию, то оставшаяся подсистема функций не полна в любом UP , o p i . По всей вероятности, если и из системы Уолша выбросить любую арифметическую прогрессию, то оставшаяся подсистема будет незамкнута в пространстве сходимости по мере S[o,i] , но нам удалось получить лишь несколько более слабый результат. Теорема 6. Если систему Уолша разбить на пачки, содержащие по п.(п. Г) элементов, то из каждой пачки можно выбрать по одной функции так, чтобы и выбранная подсистема Уолша и оставшаяся подсистема были незамкнуты в пространствеОсобенности Кэрлемана и Вейля для функций непрерывных в заданной точке
Особенности Кэрлемана и Вейля для функций, непрерывных хотя бы в одной точке
Пространство Уолша (определения, вспомогательные результаты)
Неполные подсистемы Уолша
Похожие диссертации на О полноте и распределении значений функций, составляющих ортонормированную систему
