Введение к работе
Актуальность темы. Фундамеитальиь.,: законы Г.Менделя, сформулированные на языке, весьма близком к математическому, привлекли внимание математиков к изучению задач, возникающих в биологии и, в частности, популяи"онной генетике (В.Вольтерра, С.Н.Бсрн'штсйн, А.Н.Колмагоров, В.Феллер и др. Алгебраическому и вероятностному направлениям в популя-ционнои генетике посвящена многочисленная литература.
Представляется актуальным детальное изучение различных моделей наслед вания, возникающих в биолопш. В прикладных задачах важны вопросы изучения крайних точек множества квадратичных операторов и сюръектквных квадратичных операторов.
Одной из важных топологических задач является задача выяснения, при каких условиях на преобразование одного множества в другое оно переводит границу в границу, крайние точки в крайние точки и т.д.
Описание условии^ при которых преобразование множества в себя является сюрьсктивным, относясь к эг-мгу классу задач, важно также при изучении биологических моделей. Так, сюръек-тишюсть квадратичного оператора гарантирует, что какая-либо траектория квадратичного оператора проходит чер~э любую наперед заданную течку симплекса, или на языке моделей, выбрав какое-либо начальное распределение на множестве разновидностей, через некоторое число шагов можно полупить произвольное распредслс7іие.
Цель работы :
1. Изучение траектории квадратичных операторов, построенных по конструкции Н.Н.Ганиходжаева.
2. Описание сюрьективных квадратичных операторов и крайних точек множества квадратичных операторов, определенных на симплексе S3.
Ъ. Исследование мер, построенных по одному классу квадратичных операторов.
Общая методика иесгедовспия. В работе применяются методы математического анализа, теории графов, теории групп и конструкции прямых произведений мер.
Научная іивизна. В работе изучаются квадратичные операторы, определенные по конструкции, предложенной Ганиход-жаевым Н.Н., описано предельное поведение тоаектории квадратичных операторов, соответствующих модели Поттса и биноминальному распределению. Дается полное описание множества сюрьектшшых квадратичных операторов всех крайних точек множества квадратичных операторов. Для одного класса квадратичных операторов изучены эргодические свойства мер, построенных по этим операторам.
Теоретическая и і чахтиччекап ценность. Результаты могут быть применены при изучении некоторых моделей наследования. Результаты и методы, развитые в работе, могут быть полезными в дальнейших исследованиях квадратичных операторов, теории меры, в математической генетике и т.д.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывалась на семинаре по теории операторных алгебр под руководимом академика АН РУз Ш.ААюпона (1994-97 гг.), на Ташкентском п^одском семинаре по функциональному анализу под руководствам академика АН РУз Ш.А.Аюпова и процесора В.И.Чилина (1995 -97 п.), на семинарах д.ф -м.н. Н.Н Ганиход-жасва, а така.; на конференции "Новые теоремы молодых магема-тиков-94" (Наманган, 1994), на II Республиканской научной конфсрецни могвдых ученых и студентов (Ташкент, 25-27 апреля 1996 г.), на первом Републиканском научном коллоквиуме, посвященном 5-летшо независимости Республики Узбекистан (ГКНТ, 5-7 декабря 199е г.), на Международной конференции «Некоторые вопросы математики» (Самарканд, 14-18 октября 1996 г.).
Публикации. Основные результати диссертации опубликованы в работах [1-81. В совместной работе [1] конец укция квадратичных операторов принадлежит Н.Н.Ганиходжаеву, остальные результаты получены диссертантом.
Структура и объ"м диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих , параграфов, и списка ггературы, содержащего 56 наименований. Объем работы - 99 страниц машинописного тггета.
