Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Однозначные сечения и аппроксимации многозначных отображений 17
1 Некоторые сведения о многозначных отображениях 17
1.1. Полунепрерывные снизу многозначные отображения 17
1.2. Однозначные непрерывные сечения многозначных отображений . 22
1.3. Полунепрерывные сверху многозначные отображения 23
1.4. Алгебраические операции над многозначными отображениями 24
1.5. Аппроксимации полунепрерывных сверху многозначных отображений . 25
2 Аппроксимационные семейства и системы Майкла 28
2.1. Аппроксимационные семейства 28
2.2. Аппроксимации полунепрерывных сверху многозначных отображений с образами в аппроксимациоппом семействе 32
2.3. Системы Майкла 34
2.4. Сильные системы Майкла ' 37
Глава 2. Теорема биекции для многозначных отображений с образами из АМН-системы 41
1 Допустимые многозначные отображения 41
1.1. Собственные многозначные отображения 41
1.2. Допустимые многозначные векторные поля 45
2. Теорема биекции 47
3. О топологических инвариантах многозначных векторных полей 50
4. О вращении многозначных векторных полей с образами в АМН-системе 54
Глава 3. О некоторых аппроксимативных методах в теории оператор ных включений 59
1 Об одной теореме о неподвижной точке 60
2 Об одном классе операторных включений 64
2.1. О некоторых свойствах замкнутых сюръективпых операторов 64
Разрешимость одного класса операторных включений G6
3 Об одном классе мнтегро-дифференциальных включений 72
3.1. Многозначные оператор суперпозиции и интегральный оператор . 72
3.2. Теорема существовашш для одного класса иптегро-дифферепциальных включений 75
Список литературы
- Однозначные непрерывные сечения многозначных отображений
- Аппроксимации полунепрерывных сверху многозначных отображений с образами в аппроксимациоппом семействе
- Допустимые многозначные векторные поля
- Об одном классе операторных включений
Введение к работе
Теория многозначных отображений как отдельная область математики сформировалась к середине 20-го века и к настоящему времени нашла многочисленные приложения в теории игр и математической экономике, теории управляемых систем, в теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, в выпуклом и негладком анализе и теории экстремальных задач, в теории обобщенных динамических систем и многих других разделах современной математики.
Одной из важных проблем теории многозначных отображений (мультиотображе-иий) является вопрос о существовании однозначного непрерывного сечешш или однозначной непрерывной аппроксимации. Одним из первых результатов о сечениях, нашедших многочисленные приложения в математике, была классическая теорема Э. Майкла [4G]. В ней доказывается существование непрерывного сечения у полунепрерывного снизу многозначного отображения с выпуклыми замкнутыми образами, лежащими в банаховом пространстве. Вопрос о существовании непрерывных сечений у полунепрерывных снизу мультиотображений (LSC-теория), помимо Майкла, изучался Б. Д. Гельманом [Н], Д. Реповшем и П.В. Семеновым [42], Л.Рыбипским [48], Л. Гурпевичем и его учениками [39], и многими другими авторами. Подробная библиография по этому вопросу содержится в недавних монографиях Д. Реповша и П.В. Семенова [42] и Ю.Г.Борисовича, Б .Д.Гельмана, А.Д.Мышкиса и В.В.Обуховского [11].
В тех случаях, когда мультиотображепие не обладает непрерывным сечением, весьма эффективным орудием является метод непрерывных однозначных аппроксимаций, т.е. отображений, график которых лежит в произвольно малой окрестности графика мультотображепия. Восходящий к пионерским работам Дж. фон Неймана и С.Какутаии, этот метод для полунепрерывных сверху мультиотображений (USC-теория) развивался в работах А.Д. Мышкиса [26], А.Челлипы [41], Ю.Г. Борисовича и Ю.Е. Гликлиха [12], Б,Д. Гельмана [14], В.В.Обуховского [7], А. Грапаса [40], Л. Гуриевича [39], В. Крышевского [45], Д. Реповша и П.В. Семенова [42] и многих других исследователей. Подробная библиография по этому вопросу содержится в [8],[10], [11].
Возникает вопрос о связи между этими проблемами (между LSC-теорисй и USC-тсорией). В этом направлении некоторые результаты получены в работах Е.В. Щепи-па и Н.Б. Бродского, Д. Реповша и П.В. Семенова и некоторых других. В настоящей диссертационной работе предлагается новый подход к решению этой задачи ( см. главу 1). В пей выделяются такие свойства семейства подмножеств, чтобы полунепрерывное сверху многозначное отображение с образами из этого семейства, можно было аппроксимировать полунепрерывными снизу мультиотображепиями, образы которых также лежат в этом семействе. Если эти полунепрерывные снизу отображения обладают непрерывными сечениями, то эти сечения будут непрерывными аппроксимациями первоначального многозначного отображения.
Существенное место в теории многозначных отображений занимает проблема изучения операторных включений вида f(x) Є Ф(х). Ее частным случаем является задача о неподвижных точках многозначного отображения, т.е. точках, удовлетворяющих включению вида х Є (х). Операторные включения такого типа естественно возникают в теории игр и математической экономике, теории дифференциальных уравнений и включений, при изучении вариационных неравенств и в других актуальных вопросах современной математики. В настоящий момент в теории операторных включений и теории неподвижных точек многозначных отображений существуют два основных подхода - аппроксимативный и гомологический.
Первым исследованием, в котором аппроксимативный метод был применен в теории неподвижных точек ыультиотображеиий, была работа С.Какутапи [43]. В пей была доказана теорема, обобщающая классическую теорему Брауэра на случай полунепрерывных сверху мультиотображепий с выпуклыми значениями в конечномерном пространстве.
Гомологический метод в теории неподвижных точек мультиотображепий ведет свое начало от работы С.Эйлспбсрга и Д.Моптгомери [37]. В этой работе с помощью теоремы Виеториса об изоморфизме был построен первый топологический инвариант для мультиотображепий с ацикличными значениями - число Лефніеца.
В дальнейшем построение ряда разнообразных топологических инвариантов мультиотображепий различных классов и изучение па их основе неподвижных точек и точек совпадения осуществлялось в работах Х.Ф. Боиепбласта и С. Карлипа, Ки Фана, И.Л. Гликсберга, А. Грапаса, И.В. Яворовского, А.Д. Мышкиса, Ю.Г. Борисовича, Б.Д. Гельмана, В.Г.Звягииа, В.В. Обуховского, П.Дзекка, Ж.М. Ласри и Р. Робера, Д.Ж. Бургипа, Л. Гурпевича, 3. Кухарского, Ю. Врышевского, Ю.Б. Зелинского, Ю.Е. Гликлиха, 3. Дзсдзея, В. Крышевского и многих других. Применения методов теории операторных включений и теории неподвижных точек мультиотображепий в различных задачах теории управляемых систем и теории дифферепци альпых включений описаны в недавних монографиях Л.Гурпсвича, М.И.Каменского, В.В.Обуховского и П.Дзекка, СХу и Н.Папагеоргиу. Подробная библиография по этим вопросам содержится в обзорах [7], [8, [9], [10] и книге [11].
В настоящей диссертационной работе получаст дальнейшее развитие аппроксимативный метод в теории операторных включений { см. главы 2 и 3). В пей доказывается теорема биекции для гомотопических классов многозначных векторных полей, у которых главной частью является однозначное собственное отображение, а образы многозначного отображения лежат и некотором фиксированном семействе подмножеств. Ранее теоремы биекции для различных классов многозначных векторных нолей изучались в работах Ю.Г. Борисовича [4], [5], В.В.Обуховского [24], В.Т. Дмитриепко [20] и других. Опираясь па доказанную теорему, в диссертации вводится абстрактное понятие топологического инварианта, определенного иа множестве мультиполей, доказывается теорема о продолжении и единственности топологического инварианта. Полученная теорема применяется для построения топологической степени мультиполей со значениями из АМН-системы.
Далее и диссертационной работе аппроксимативные методы применяются для изучения операторных включений вида а{х) Є Ф(ж), где а - замкнутый линейный сюръективиый оператор, действующий из одного банахова пространства в другое, а Ф - многозначное отображение, являющееся композицией мультиотображения, имеющего "хорошие"значения, и непрерывного однозначного отображения. Свойство значения быть "хорошим"означает, что это множество лежит в семействе подмножеств, описываемом некоторым набором аксиом (АМ-системе). Для таких включений доказывается теорема существования решений (точек совпадения) и выясняются некоторые свойства множества решений (неограниченность этого множества). В заключение полученные результаты применяются для исследования иитегро-дифференциальной системы, которая может быть естественно интерпретируема как управляемая система с интегральной обратной связью.
Однозначные непрерывные сечения многозначных отображений
Если лтогозначное отображение F : X — С(У) полунепрерывно сверху, то его график Tx{F) является за лжнутъш миооїсеством в пространстве X х Y. (2) Пусть Y компактное метрическое пространство, F : X — C(Y) -лтогозначное отобрао/сение. Если график Г x(F) является залгкнутым лтожестволі в X х Y, то отображение F является полунепрерывным сверху.
Определение. Многозначное отображение F : X — P(Y) называется непрерывным, если оно одновременно является полунепре рывным и сверху и снизу.
Очевидно, что свойства непрерывных многозначных отображений вытекают из соответствующих свойств полунепрерывных сверху и снизу отображений. Таким образом, если многозначное отображение F : X —» P(Y) является непрерывным, то для любого открытого множества V С Y и малый прообраз F+l(V) = {х Х\ F(x) С V}, и полный прообраз Р {У) = {х Х\ F(x) П V} являются открытыми множествами в Y. Подробнее об их свойстах смотри, например, в [6]. 1.4. Алгебраические операции над многозначными отображениями. Пусть X - метрическое пространство, Y - нормированное пространство. Пусть F\,F2 : X — P{Y) - многозначные отображения. 1.1.14. Определение. Многозначное отобраоїсение F : X — P(Y) назовем суммой многозначных отображений F\ и F , если для любой точки х Є X выполнено равенство F{x) = Fxix) + F2(x) = {y = u + v\ue Fi(x), v Є F2{x)}. Справедлива следующая теорема, доказательство которой содержится в [6]. 1.1.15. Теорема. 1) Пусть многозначные отобраоюения F1; F2 : X — P(Y) полунепрервны снизу, тогда их сумма F является полунепрерыв ным снизу многозначным отображением. 2} Пусть многозначные отображения Fi, F2 : X — K(Y) полунепрерв-пы сверху, тогда их сумма F является полунепрерывным сверху многозначным отображениелі. Рассмотрим теперь другую операцию над многозначными отображениями. Пусть F : X — Р(У) - многозначное отображение, а : X R -числовая функция.
Определение. Многозначное отображение а F : X — Р(У), (а F){x) = a{x)F(x) = {а(х)и \ и Є F(x)}, называется произведениелі а па F. Справедлива следующая теорема, доказательство которой также содержится в [6].
Теорема. Пусть функция а - непрерывна, 1) если многозначное отображение F : X — PY полунепрервно снизу, то произведение a-F является полунепрерывным снизу мпогозиачнъш отображ ением; 2) если многозначное отобраоїсение F : X — K(Y) полунепрервно сверху, тогда произведение а F является полунепрерывным сверху многозначным отображением,
Аппроксимации полунепрерывных сверху многозначных отображений. Пусть X - метрическое пространство, Y - нормированное пространство, F : X — P(Y) - многозначное отображение.
Определение. Многозначное отобраоїсение G : X — P{Y) называется є-аппроксиліацией многозначного отобраоїсеиия F, если гра фик Гх (G) отображения G принадлеоісит є-окрестпости графика Тх (F) многозначного отобраэ/сеиия F.
В случае, если G является однозначным непрерывным отображением, говорят, что G - однозначная е-аппроксимация многозначного отображения F.
Теорема. Пусть F : X —» Cv(Y) - полунепрерывное свер ху многозначное отображение, тогда для любого є 0 существует полунепрерывное снизу многозначное отображение Fe : X — Cv(Y) удовлетворяющее следующим условиям: 1) Fs(x) — (Е pj(x)Aj), где {(fj}je.i - разбиение единицы, построенное по некоторому локально конечному покрытию; {AJ}J =J, - выпуклые за-мкнутые миоо/сества; 2) F(x) С Fc{x) для любого х Є X; 3) график Yx{Fe) С U(TX{F)). 4) FS(X) С co(FpO);
Доказательство этой теоремы содержится в [14]. Из теоремы 1.1.19 и теоремы Майкла 1.1.9 вытекает теорема Челины [41] о существовании однозначных непрерывных -аппроксимаций.
Следствие. Пусть F : X — Cv(Y) - полунепрерывное свер ху многозначное отобраоїсепие, тогда для любого є 0 существует од нозначная є-аппроксимация / многозначного отображения F такая, что fe(X) Cco{F(X)).
Доказательство. Пусть Fe(x) = pj(x)Aj - многозначная е-ап-проксимация, существующая в силу теоремы 1.1.19. Выберем в каждом множестве Aj произвольную точку yj и рассмотрим отображение /5, определенное условием Очевидно, что построенное отображение и является искомым.
Следствие. Пусть Е - банахово пространство и А - замкнутое подмножество X. Если многозначное отобраоїсение F : X — Cv(E) - полунепрерывно сверху и отобраоїсение f : А — Е является непрерывным сечением многозначного отображения F\&, то для любого є 0 существует є-аппроксимация f такая, что fE(x) — f(x) для любой точки х Є А и f(X) С co(F(X)). Доказательство.
Пусть F - многозначная полунепрерывная снизу -аппроксимация, существующая в силу теоремы 1.1.19. Тогда у него существует непрерывное однозначное сечение, которое является непрерывным продолжением /. Очевидно, что это сечение и будет искомым отображением f. 2 Аппроксимационные семейства и системы Майкла.
Существуют различные классы многозначных отображений, образы которых принадлежат некоторому семейству подмножеств, для которых доказаны, как теоремы о существовании однозначных сечений (если отображения полунепрерывны снизу), так и теоремы о существовании однозначных аппроксимаций (если отображения полунепрерывны сверху).
Естественно возникает вопрос, каким условиям должны удовлетворять образы многозначного отображения, чтобы теорему существования однозначных аппроксимаций многозначных отображений можно было получить из теоремы о существовании однозначных сечений. Изучению этого вопроса и посвящен данный параграф.
Определение. Семейство подмножеств A(Y) пространства У будем называть аппроксимационным, если существует отобраоїсе-ние X : P(Y) — A{Y)} сопоставляющее произвольному непустому подмножеству из Y некоторое подмножество из семейства A(Y), удовлетворяющее следующим условиям: (А1) для любого В Є A(Y) множество Х(В) = В; (А2) если В,Се P(Y) uC zB, то Л(С) С Х(В); (A3) для любого є 0 существует 5 — 8(e) 0 такое, что для любого мнооїсества В с У выполнено включение Х(Щ(В)) С U(X(B)). (А4) для любого множества В с Y, любой точки у Є Х{В) и любого є 0, найдутся компактное подмножество В С В и точка у Є Х(В ) такие, что p(y,]f) г
Аппроксимации полунепрерывных сверху многозначных отображений с образами в аппроксимациоппом семействе
Будем говорить, что систелга подмножеств M(Y) является сильной системой Майкла, если эта система одновре менно является систелюй Майкла и аппроксилшционнъш семейством в Y. Сильную систему Майкла будем обозначать AM(Y). Рассмотрим некоторые примеры сильных систем Майкла. Пусть У - замкнутое выпуклое подмножество банахова пространства Е. Очевидно, что система Cv(Y) замкнутых выпуклых подмножеств в Y является сильной системой Майкла. Также очевидно, что семейство Mg(Y), описанное в примере 1.2.10, также является сильной системой Майкла.
Пример. Рассмотрим систему подмножеств M(Y) метриче ского пространства Y, описанную в примере 1.2.11. Рассмотрим отобра жение A : P(Y) — M(Y) определенное условием: Х(В) = {хе С\А А Є M(Y), В с А }. Справедливо следующее утверждение. 1.2.16. Предложение. Пусть Y - полное метрическое простран ство, M(Y) - семейство подмиоо/сеств в нем. Пусть семейство под множеств M{Y) удовлетворяет следующим свойствам: 1. Мпоэ/сество Y M(Y) и для любой точки у Є Y миооїсєство {у} M{Y). 2. Если {АІ}І =І - подсистелш из M{Y), то П Д M{Y). 3. Для любого натурального числа к и любых точек уі,У2,..-,Ук У множество \(у\,у2,..., уk) является бесконечно связным. 4- Для любого є 0 существует 6 = 5(e) О такое, что для любого множества В С У выполнено включение \(U$(B)) С U(\(B)); 5. Для любых А М(У), у Є У и любого г 0 миооїсество А П Вг[у] М(У). 6. Для любого множества В с У, любой точки у A(i?) и любого г О, найдутся компактное подмноэюество В С В и точка у Є \{В ) такие, что р{у,у() є. Тогда система М(У) является сильной системой Майкла.
Доказательство. Отображение А определено корректно и, в силу свойства 2, множество A(J3) Є M(Y) для любого В Є Р{У). Справедливость свойств (А1) и (А2) вытекает из определения отображения А. Свойство (A3) вытекает из из свойства 4. Свойство (А4) вытекает из свойства 6. Справедливость свойства (М) вытекает из теоремы 1.2.12.
Сильные системы Майкла тесно связаны с проблемой существования однозначных -аппроксимаций многозначных отображений. Из теоремы 1.2.7 и определения сильной системы Майкла вытекает следующая теорема.
Теорема. Пусть многозначное отображение F : X — АМ(У) полунепрерывно сверху, тогда для любого є 0 у многозначного отображения F существуют однозначная непрерывная є-аппроксимация fe и fe(X) с \{F(X)).
Доказательство. Пусть є 0 - произвольное число. Действительно, в силу того, что АМ(У) является аппроксимационпым семейством, су ществует полунепрерывное снизу многозначное отображение Fe : X — AM(Y) такое, что оно является е-апнроксимацией отображения F и образ F(X) С \(F(X)). В силу того, что AM(Y) является системой Майкла, у отображения F6 существует непрерывное сечение f, которое и будет искомым отображением.
Из этой теоремы естественно вытекают следующие следствия.
Следствие. Пусть Е - банахово пространство, многознач ное отображение F : X —+ Cv(E) полунепрерывно сверху, тогда для любого є 0 у F существуют однозначная є-аппроксимация f и fs(X) С co(F(X)). Это следствие ранее было доказано в [41].
. Следствие. Пусть Y и семейство множеств Mg(Y) такие oice, как и в примере 1.2.10. Пусть многозначное отображение F : X — Mg{Y) полунепрерывно сверху, тогда для любого є О у F существуют однозначная є-аппроксимация f и fe(X) С g(co(g l(F(X)))).
Следствие. Пусть Y и семейство множеств M(Y) такие оюе, как и в предложении 1.2.16. Пусть многозначное отобраоїсение F : X — M(Y) полунепрерывно сверху, тогда для любого є 0 у F существуют однозначная є-аппроксимация /є и fs(X) с \(F(X), где X{F{X)) = {хе ПА \А М(У), F{X) С А!}.
Теорема. Пусть Y - меіприческое пространство, А - замкнутое подмножество в Y, AM(Y) - сильная система Майкла в Y. Если многозначное отобраоїсение F : X — AM(Y) - полунепрерывно сверху и отображение f : А — Y является непрерывным сечением многозначного отобраоїсения F\&, то для любого є 0 существует е аппроксимация fE такая, что f(x) = f{x) для любой точки х Є А и ЛРО С A(FpQ).
Доказательство. Пусть FE : X — AM(Y) - многозначная полунепрерывная снизу е-аппроксимация, существующая в силу теоремы 1.2.7. Так как отображение F является полунепрерывным снизу и AM(Y) -сильная система Майкла в У, то у F существует непрерывное однозначное сечение, которое является непрерывным продолжением /. Очевидно, что это сечение и будет искомым отображением /. Глава 2. Теорема биекции для многозначных отображений с образами из АМН-системы.
В современной теории неподвижных точек многозначных отображений существуют два независимых подхода, гомологический и аппроксимативный (см., например, [7]). Этим подходам посвящено большое количество работ. Аппроксимативный метод более прост в изложении и работе, чем гомологический, однако, требует более жестких условий на топологическую и геометрическую структуру образов многозначного отображения.
Настоящая глава посвящена развитию аппроксимативного метода. В ней доказывается теорема биекции для гомотопических классов многозначных векторных полей, у которых главной частью является однозначное собственное отображение, а образы многозначного отображения лежат в некотором фиксированном семействе подмножеств. Раннее теоремы биекции для некоторых классов многозначных векторных полей изучались в работах [4], [5], [20] и др.
Также в параграфе дается определение топологического инварианта на множестве многозначных векторных полей и доказывается теорема о продолжении и единственности топологического инварианта.
Допустимые многозначные векторные поля
Рассмотрим многозначное отображение F\{x) — ft0(x) U F{x). Очевидно, что это отображение полунепрерывно сверху и имеет компактные образы. Следовательно, многозначное отображение F : X — V{E)3 F (x) — X(Fi(x))i также полунепрерывно сверху. Так как F\(x) С Feo(x), то, в силу свойства (А2), выполняется включение Fi(x) С Fo(x).
Рассмотрим гомотопию 0 - Ло(з), если t Є [0,) ф(х,і) = І v{x) - Ff(x), если t Є [і, ], v(x) — .Р(;г) если t Є (, 1].
Нетрудно видеть, что это отображение полунепрерывно сверху, образы его принадлежат V{E) и оно является вполне непрерывным.
Так как Ф(#,) С Фео0 0 = v(x) — Fo(x) для любых х Є. X и t Є [0,1], то Ф(ж,) П В = 0 для любых я Є А и t Є [0,1]. Следовательно, T(lv fM = Щ Є ПР[(Х, А); (,\Л)], где [и-Л0]о- гомотопический класс отображения v — ftQ из множества По[(Х, А); (Е, Е \ В)].
Докажем теперь инъективность отображения т. Пусть даны два отображения /о, Л : X -у Е такие, что щ = v - ft Є VQ((X, A); (E, E \ B)), где г = 0,1. Пусть т([ о]о) — r([ i]o)- Докажем тогда, что отображения (fo и (pi гомотопны в По((Х,А);(Е,Е\В)).
Действительно, если т([( о]о) = т([ і]о)) то существует полунепрерывное сверху компактное отображение К : X х [0,1] — V{E) такое, что: а) фо{х) = v{x) — К(х, 0), pi(x) = v{x) — К(х, 1) для любого х X; б) (v(x) - К(х, t))C\B = 0 для любых х Є А и і Є [0,1].
Очевидно, что многозначное отображение Ф = г — К : X х [0,1] — Т- і?) является собственным и для любых х Є A, t Є [0,1] пересечение Ф(ж, ) П В — 0. Тогда существует о 0 такое, что игХх[0,і](Ф)) П (А х [0,1] х В) = 0. В силу теоремы 1.2,7, существует полунепрерывное снизу многозначное отображение FEo : X х [0,1] — V(E) удовлетворяющее следующим условиям: 1) К(х, t) С FQ{X, t) для любых х Є X и t Є [0,1]; 2) график rXxm{FSo) С иЄо(ГХх[ол](К)). 3) FE0(Xx [0,1]) С ЦК(Хх [0,1])).
На множестве А = (X х 0) U (X х 1) у многозначного отображения Feo существует непрерывное сечение / : А — Е, где f(x,i) = fi(x). В силу определения АМН-системы, сечение / может быть продолжено на все множество X х [0,1]. Обозначим это продолжение также /. Рассмотрим отображение 4?o(x,t) = v(x) — Fo(x,t). Очевидно, что график Гхх[о,1](Фе0) С С/о(ГХх[0,1](ф)- Следовательно, o(x,t)f](A х В) = 0 для любых х Є A, t Є [0,1]. Рассмотри гомотопию ф(х,і) — v(x) — f(x,t) Фго(:г,), которая соединяет поля (pQ и (fi в По((Х, А); (?, Е\В)), что и доказывает теорему,
О топологических инвариантах многозначных векторных полей. Теорема биекции играет основопологающую роль в построении топологических инвариантов для допустимых многозначных векторных полей. Рассмотрим абстрактную схему этого построения. Пусть задано некоторое отображение y:V0{(X,A);{E,E\B)) G, где G - некоторое множество. Будем называть отображение 7 топологическим инвариантом, если из того, что щ,(р\ Є 1)о{{Х,А); (Е,Е \ В)) и щ ірі, вытекает, что 7( 0) = 7( 1) Таким образом, топологический инвариант 7 порождает отображение множества гомотопических классов По[(Х,А);(7,Я\В)] в множество G. Это отображение будем обозначать той же буквой у. Пусть Go некоторое подмножество в G. 2.3.1. Определение. Будем говорить, что мпооїсество Go являет ся существенным для топологического инварианта -у, если для любого поля ір є T Q((X, А); (Е, Е\В)), из того что "f( p) Go, вытекает, что Вс р(Х). Аналогично можно определить понятие топологического инварианта па множестве D-p((X,A);(E,E\B)) Имеет место следующая теорема о продолжении и единстенности топологических инвариантов.
Об одном классе операторных включений
Пусть Ei,E2 - два банаховых пространства, a : D(a) С Е\ — Е2 -замкнутый линейный сюръсктивпый оператор.Определение и основные свойства замкнутых операторов содержатся, например, в [21].
Пусть L = Кег(а) - ядро оператора а, Е = E\jKer{a) - фактор-пространство. Известно, что норма в Е определяется следующим образом: если [х] = х + Кег(а) Є Е, то \\[х}\\ = inf \\х + и\\. иКег(а)
Пусть р - проекция пространства Е\ на Е. В этом случае естественно определено отображение ai : D(a\) С Е —» Е , где D(a{) = p(D(a)) и ai([x]) = а{х). Нетрудно заметить, что отображение ai является замкнутым, имеет нулевое ядро и сюръективно, следовательно, а\ имеет обратный оператор, который является ограниченным. По определению нормы линейного оператора имеем: „-1 - Ч11П ІаГІ И - „лМ{М\\хЕиа{х) = у} \\аг — sup гг-г — sup ;. yeah 112/11 УЄЕ2 \\у\\ Обозначим fla.]-1 (f = a_1 и назовем нормой многозначного отображения a-1 : Ei —Cv(Ei).
Рассмотрим следующий пример. Пусть С[ад - пространство непрерывных вектор-функций, определенных на отрезке [а, Ь] со значениями в евклидовом n-мерном пространстве Rn. Рассмотрим оператор дифференцирования d : D(d) С С[ад — С[ад, где D(d) - множество непрерывно дифференцируемых вектор-функций. Очевидно, что оператор d является замкнутым сюръективным оператором. Вычислим для него 11«sf х 11 3.2.1. Предложение. Число [d-1 = .
Доказательство. Пусть у = y(t) Є С[ад, \\у\\с = max. y(s). sea,pj Рассмотрим d \y) = {х = x(t) Є С[а Ь] І x{t) = a + J y{s)ds, а Є Еп]. а Тогда mjJIMIc І х Є d-\y)} = Ып \\а + jy{s)ds\\c а t — t \\Jy(s)ds - } y(s)ds\\c = J y(s)ds\\c a a nfi b-a. max /y(s)ds=—yc. a t b n+o 2 Следовательно, [rf_1 Покажем, что Ц -1!! = . Для этого рассмотрим вектор-функцию t/o() = (1,0,..., 0) для любого t Є [a,b]. Тогда d \yo) = {х = x{t) Є С[а Ь] ж(і) = (аі + і - а, а2,..., а„), а Є Я}. Следовательно, ТІ a _ inf Ыс = inf max (ai + і — a)2 + oq = inf max jcti 4-і — a — inf max{j& — a + ai, t i} = —-—. С другой стороны, г/ос — 1- Следовательно, Таким образом, /_1 = - Утверждение доказано. Также справедлива следующая лемма. Для любого числа к, а-1 к, существует непре рывное отобраоїсепие q : Е2 — Е\, такое, что выполнены следующие условия: 1) a(q(y)) = у для любого у Є Щ; 2)\\q(y)\\ k\\y\\. Доказательство этого утверждения содержится в [16].
Пусть F : Ei —» Р{Е 2) - многозначное отображение. Нас будет интересовать разрешимость следующего включения: а{х) F(x). (3.1)
Обозначим N[a,F) множество решений этого включения. Пусть q - отображение, удовлетворяющее условиям леммы 3.2.2, тогда определено многозначное отображение Fr.E2x Кег{а) - АМ{Е2), Р\(у,и) - F(q(y) + и). Рассмотрим следующее включение: Fi{y,u)3y. (3.2) Включения (3.1) и (3,2) эквивалентны. Доказательство. Покажем, что каждому решению включения (3.1) однозначно сопоставляется решение включения (3.2), и наоборот, каждому решению включения (3.2) однозначно сопоставляется решение включения (3.1).
Действительно, пусть х0 - решение включения (3.1), т.е. т/о = а(хо) Є F(XQ). Тогда щ = XQ — q{yo) Є Ker(a). Следовательно, Fi(y0)wo) = F(XQ) Э уо, т.е. пара (уо, UQ) является решением включения (3.2).
Обратно, пусть теперь пара (уо,щ) является решением включения (3.2), обозначим хо = q{yo) + щ. Тогда F(xo) Э уо, и а(х0) = a(q(y0) + а(щ) = у0, т.е. точка Хо является решением включения (3.1). Докажем еще одну лемму. Пусть Е - банахово пространство, EQ равно Е х В}. Норму в EQ определим по правилу: Пусть Sr - сфера радиуса г с центром в нуле банахова пространства EQ, a F : Sr —» К[Е) - вполне непрерывное SA-отображение. Рассмотрим включение
