Введение к работе
Актуальность темы. Изучение нелинейных преобразований мер — одно из классических направлений функционального анализа, теории случайных процессов и теории динамических систем.
В последнее время особенно активно изучались преобразования мер на бесконечномерных линейных пространствах и многообразиях. С одной стороны, это связано с общпм развитием бесконечномерного анализа, в частности, теории интегрирования на бесконечномерных многообразиях и геометрической те-орпп меры. С другой стороны, проблемы такого рода возникают в стохастическом анализе, математической физике, теории управления.
Идеи и методы стохастического анализа сталп в настоящее время неотъемлемой частью бесконечномерного анализа. Стохастические дифференциальные уравнения дают характерный пример, раскрывающий взаимодействие анализа и стохастпкп. Один из плодотворных подходов к изучению стохастического дифференциального уравнения
dt = A(t)dWt+B{t)dt
состоит в сведении его к задаче отыскания меры fi в функциональном пространстве, которая прп заданном (вообще говоря, нелинейном) отображении F переходит в заданную меру и.
Этот подход посходит к работам И.В. Гирсанова1 и А.В. Скорохода2, а его аналитические аспекты изложены М.П. Ершо-
'Гпрсанов И.В. О преобразовании одного класса случайных процессов с помощью абсолютно непрерывной замены меры// Теор. вероятн. п ее примен., 1960, т. 5, No 3, с. 314-330.
2Скороход А.В. О днфференцпруемостн мер, соответствующих случайным процессам// Теор. вероятн. и ее примен., 1960, т. 5, No 1, с. 45-53.
Typeset by AmS-T&
вым3-4-5.
Следует также подчеркнуть, что теория стохастических дифференциальных уравнений — основной источник построения конкретных нетривиальных примеров мер на бесконечномерных пространствах.
Аналитические проблемы, связанные с нелинейными преобразованиями мер, можно условно подразделить на два основных направления:
-
существование мер, удовлетворяющих определенным нелинейным соотношениям (типа упомянутого выше примера или классической задачи об инвариантных мерах преобразования),
-
исследование дифференциальной структуры мер, возникающих при решении относящихся к первому направлению задач, а также при других нелинейных преобразованиях мер.
Характерный пример задачи второго направления — изучение гладкости переходных вероятностей и инвариантных мер диффузионных процессов. Широкий круг вопросов, связанных с последним направлением, освещен в работах6,7'8
Цель работы. Исследование нелинейных преобразований мер в бесконечномерных пространствах, в частности, изучение .дифференциальной структуры распределений диффузионных процессов и переходных и инвариантных мер таких про-
3Ершов М.П. Продолжения мер и стохастические уравнения// Теория вероятн. и ее примен., 1974, т. 19, No 3, с. 457-471.
4Ershov М.Р. Extensions of measures. Stochastic equations// Lect. Notes in Math. 330 (1973), p, 516-526.
5Jerschow M. Causal selections and solutions of stochastic equations// Stochastics and Stoch. Reports 50 (1994), p. 161-173.
бБогачев В. И., Смоляное О. Г. Аналитические свойства бесконечномерных распределений// Успехи мат. наук, 1990, т. 45, No 3, с. 3-83.
7БелопольскаяЯ.И., Далецкий Ю.Л. Стохастические уравнения и дифференциальная геометрия// Киев: Вища школа, 1989, 295 с.
8V. I. Bogachev and М. Rockner, Regularity of invariant measures in finite and infinite dimensional spaces and applications// J. Funct. Anal., 1995, vol. 133, No 1, p. 168-223.
цсссов.
Научная новизна. Все полученные в работе результаты являются новыми п состоят в следующем.
-
Доказана высказанная в работе6 гипотеза: распределение дпффузпонного процесса с гладким коэффициентом дпффузпп не может быть исключительной мерой в смысле Ароншайна.
-
Построен первый пример полиномиального преобразования гильбертова шара, которое не имеет неподвижных точек, но имеет инвариантные меры.
-
Построен первый пример невырожденной бесконечномерной дпффузпп с гладкими коэффициентами, для которой переходные вероятности п пнварпантная мера не являются гладкими в смысле СВ. Фомина.
Методы исследования. Результаты дпссертацпп получены с использованием методов аналитической теории меры, нелинейного функционального анализа и стохастического анализа. Кроме того, использован ряд специальных конструкций, разработанных автором.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты дпссертацпп носят теоретический характер и могут быть использованы в различных вопросах нелинейного анализа, теории меры, теорпп случайных процессов п пх приложений.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах „Бесконечномерный анализ п стохастика" (руководитель -д.ф;-м.н. В. И. Богачев), „Дифференциальные уравнения и меры в бесконечномерных пространствах" (руководители - проф. О. Г. Смолянов, д.ф.-м.н. Е. Т. Шавгулпдзе) в МГУ, на конференциях молодых ученых МГУ (1991, 1995 гг.) и на научно-исследовательском семинаре „Стохастический анализ" (руководитель - проф. М. Рёкнер) в университете г. Бплефельда (Германия).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 3 работах, список которых приводится в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит пз введения, трёх глав, включающих в себя 6 параграфов, п списка литературы, содержащего 52 наименования. Общий объём работы - 54 страницы.
