Введение к работе
Актуальность текы Интегральное представление ограниченных четно-положительно определенных (ч.-п. о.) функций одной переменной содержалось в работе Повзнера А. Я (1944), посвященной более общей ситуации, связанной с разложением позитивных функций в интегралы по решениям уравнения Штурма-Лиувилля, было получено с помощью теории банаховых алгебр. Соответствующий результат для, вообще говоря, неограниченных положительно определенных (п.о.) ядер установлен Крейном М. Г. (1946) с помощью метода направляющих функционалов. Общий метод получения интегральных представлений п. о. ядер конечного числа переменных, использующий разложение по обобщенным собственным функциям соответствующих дифференциальных операторов, предложен Вэ-резанским КХ М. (1956).
Основные результаты об описании продолжений п. о. функций одной переменной принадлежат Крейну М. Г. (1940, 1949). Теорема о продолжении п. о. функций с прямоугольника на всю плоскость установлена Лившицем U.O. в его докторской диссертации, Девинатцем Л. (1959) и Зеки-ным Г. It (1960). Схема описания продолжений п. о. функций нескольких переменных принадлежит Березанскому Ю. М. (1965). Связав п. о. Функцию с некоторой операторнозначной функцией, Березанский Ю. М. , Горбачук М. Л. (1965) получили описание всех продолжений с полосы на всю плоскость. Продолжение радиальных п. о. функций изучено Рудиннм R. (1970), Насебаумом А. Е. (1973). Описание продолжений и.о. ядер на ри мановом симметрическом пространстве ранга 1 получено Нчсибаумом А. Г. (1975). Други» подходы к описанию продолжений п.о. функций принад":' кат Левину В. Я. , Овчарент.И. Е. (19*4), ^идричу Ю. , R.'Viiy X ! 19Г.5).
Обобщение теоремы Ейхнера на случай п. о. функций, заданных на гильбертовом пространстве, получено Минлосом Р. А. (1959) и Сазоновым В. В. (1958) (известная теорема Минлоса - Сазонова).. Ее обобщение на случай слоя гильбертового пространства приведено 'Березанским ЕМ., Гали И. И. (1972). В этой статье также установлено интегральное представление п. о. функций на множестве -\, \,~\ * (^ и изучена задача о продолжении и.о. функций со слоя гильбертова пространства. Случай п. о. функций в банаховом пространстве изучен Де Acosta (1970) и Кондратьевым Ю. Г. (1976). Интегральное представление экспоненциально выпуклых, (э. в.) функций на Rt удовлетворяющих достаточно сильным ограничениям на рост, получено Нгуеном Фу Хи (1976). Аналог теоремы Минлоса (Минлос Р. А. (1959)) для э. в. функций на ядерном пространстве и близкий результат для э. в. функций на гильбертовом пространстве установлен Калюжным А. А. (1982). В статье Тищенко СЕ (1Р82) изучены интегральные представления э. в. функций на гильбертовом и банаховом, пространствах. Рудинский И. И. (1982) доказал интегральные представления ограниченных непрерывных ч. -п. о. функций на ядерном и гильбертовом пространствах, а также рассмотрел интегральные представления неограниченных ч.-п.о. функций на R„ .Отметим, что теория интегральных представлений п. о. ядер тесно связана с теорией спектральных представлений для семейства операторов, связаных между собой соответствующими алгебраическими соотношениями, развитых в работах Курепы С. А. (1960), монографиях Березанского КІМ (1978) и Березанского Ю.М. и Кондратьева Ю. Г. (1988) и статьях Бере-ванского Ю. М., Калюжного А. А. (1984), Рудинского И. И., Самойленко Ю. С (10Й9) и монографии Самойленко КХС. (.984), а также со спектральной
теорией операторов, допускающих разделение бесконечного числа пе-ре-меннш (б.ч. п.), развитой в работах Березанокого ЕМ., Уса Г. Ф. (1973, 1975), Уса Г. Ф. (1976,1970) и монографии Березанокого КІМ. (1978).
Цель работы - получение интегральных представлений четно - положительно определенных (ч.-п.о) и связанных с ним функций конечного числа переменных, а также получение интегральных представлений для ч. -п. о. и экспоненциально выпуклых функций б. ч. п.
Методика ікгследования. Для получения интегральных представлений ч.-п.о. и связанных с ними функций конечного числа переменных используется теория интегральных представлений положительно определенных ядер конечного числа переменных, разработанная в монографии Ее-резанского Ю. М. (1965). При описании продолжений положительно определенных ядер мы следуем методике продолжения положительно определенных функций, предложенной в работах Березанокого Ю. М. , Горбачу -ка М. Л. (1956) Горбачука М. Л. (1964), Для получения интегральных представлений ч. -п. о. и экспоненциально выпуклых функций б. ч. п. используется теория получения интегральных представлений положительно определенных ядер б. ч. п. , разработанная в монографии Березанокого Ю. М. , .Кондратьева Ю."Г. (198В).
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. В работе:
1. Получены интегральные представления ограниченных четно-положительно определенных функций, заданих на слоях пространств \
«К-
Z. Получены интегральные представления четно-пользительно оп-
S* h/ **»
ре деленных Функций, удовлетворяющих оценке 1К(«)| С 6 *ч * ^ХС^п?0', ХК.""9") на пространстве К и t;:i гильбертовом пространстве.
3. Получено интегральное представление для экспоненциально ВЫ-
пуклых функций, удовлетворяющих оценке | К(Х)| iS с Є ^Л1п- ( С Уп7>
jL Мп*-*0) на пространстве R .
4. Получены интегральные представления четно-положительно
определенных и связанных с ними функций конечного числа переменных.
Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут представлять практический интерес в связи с приложениями к задачам математической физики при изучении математических моделей физических систем с бесконечным числом степеней свободы,. в связи с применениями в квантовой теории поля и статистической физике.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах по теории операторов математической физики в Институте математики АН Украины (1985г.1992г.), на конференции молодых математиков Украины при Институте математики АН Украины( 1987г. ).,'На семинаре по Функциональному анализу при Львовском госуниверситете( 1988г.).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано шесть работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы (7^/назв.) и занимает "ifЯ,страниц машинописного текста.
