Введение к работе
АКТУАЛ ЬНОСТЬ ТЁМЫГ^Работа посвящена изучению числовых абстрактных функций на специальных решетках и их применению в шении некоторых задач теории меры, теории булевых алгебр, теории [нейных метрических пространств, топологических векторных прос-анств. В основном исследуются неаддитивные функции на обобщен-IX булпвых алгебрах, решеточно упорядоченных полугруппах и век-рных решетках M4Mti>t::.:i:r 'pvmviuiii, пр^ем в последних случаях еловые функции иногда получаются в результате пддитчншл а злт? »»«-дитивного интегрирования. (Неаддитивным мы называем интегриро-аие по неаддитивным функциям множества, заданным на кольце или гебре множеств.) Полученные результаты существенно обобщают из-;тные факты о пространствах с мерой или субмерой, нормированных певых алгебрах, а также о классических функциональных простран-зах l/,p~^ 1,/^,/7,0 < р < 1, некоторых их обобщениях. Послед-е нередко получаются из общих, как простые и очевидные следствия, юме того, обращение к общим случаям позволяет устанавливать новые цественные связи, выявлять суть проблемы, упрощать доказательства, Зрасывая второстепенные детали.
Уже начиная с 30-х - 40-х годов в теории меры интенсивно развива-ся новые направления. Происходит это:
во-первых, за счет изменения области значений меры и интеграла ггегрирование со значениями в банаховых и локально выпуклых про->анствах; спектральные меры и их обобщения - булевы меры; инте-ірование со значениями в векторных решетках, опёраторнозначное гегрированпе);
во-вторых, за счет изменения характера функций множества (пер ход от аддитивных функций к субаддитивным, треугольным, абстрак ным внешним мерам со значениями в топологических или упорядочеі ных пространствах);
в-третьих, за счет изменения области определения функций множ ства - перехода от колец и алгебр множеств к различным типам решето:
Каждое из этих направлений продолжает активно развиваться ка в нашей стране, так и за рубежом, и получение новых результатов них и возможных обобщений безусловно является палатой и п.:гг;'плт,гс задачей.
ilo-видимому, в числе первых работ, посвященных полумерам на кольцах множеств и мерам и полумерам на булевых алгебрах, были pi боты Риккарта, Магарам, Хорна и Тарского. Проблемы, поставленные работах Магарам, привлекли внимание многих математиков, в том чист известных, и дали резкий толчок развитию теории функций на реше-ках. Исследования вокруг этого и близких вопросов всегда привлекал внимание многих авторов, давали и продолжают давать новые интере ные результаты, обнаруживают новые связи, ставят новые проблемы.
Так, проблеме нормируемости булевых алгебр, начиная с 50-х годе и до наших дней посвящали свои работы Келли, Пинскер, Гайфмаї Флойд, Алексюк, Попов, Херер и Кристенсен, Колтон и Роберте, Банд Потепун, Талагран, Топсо и др.
Проблема существования меры на булевой решетке тесно связана алгебраическими и топологическими вопросами, однако некоторые і них решаются с помощью более простых, чем мера, функций (напрі мер, вопрос о регулярности булевых алгебр). Известно также, каку: существенную роль играет свойство регулярности или слабой счетно дистрибутивности во многих других вопросах, таком, например, ка продолжение гомоморфизмов. Естественным, поэтому, будет вопрос с ослаблении условий, налагаемых на функции, для обеспечения нужны
ойств решеток. Выяснение этих условий и связей между ними - одна важных и актуальных задач теории функций множеств; частично эта
дача решается в настоящей работе.
Вопросы яеадцитнвного интегрирования с приложениями впервые днимались з работах Шоке и Гольдберга:~Систематическое изуче-:е неаддитивных функций множества и интегралов, получение о них вых результатов, обобщающих и дополняющих классические, приложив этих результатов в различных разделах математики началось в -е годы. Существенный вклад в эти исследования внесены в школах І.АрезїТ'-тгчя ССанкт-Петербург) и его учеников В.Н.Алексюка (Сык-
ІВКар), Б.М.ЇСлііМКПет ^JauinUa, л др., Т> ПІКШІ»; ЛЛ.С»5пы>ва (Но-
:ибирск) и учеников, зарубежными математиками (ДрезновскиЛ, До аков, Риечан, Шипош, Джорджи и Летта, Липован и др.). Развилось збое направление в изучении неаддитивных функций и интегралов их приложений - теория нечетких множеств. Исследования в этих пастях продолжаются и в настоящее время, о чем говорит появление іьшого количества работ как в нашей стране, так и за рубежом. Задачи, решаемые в нашей работе можно разбить на три группы:
1) изучение связи различных типов непрерывности топологических
нкций на обобщенных булевых алгебрах; изучение вопроса о возмож-
:ти задания абстрактных функций с определенными свойствами на
гебре всех подмножеств множества мощности Нь получение новых
7овий регулярности булевой алгебры, приложение аппарата функций
решетках к решению задач теории меры;
2) изучение топологии квазинормированного векторного простран-
іа, сравнение квазинорм и порожденных топологий, изучение вопроса
епрерывных линейных функционалах в квазинормированных вектор-
х решетках измеримых функций;
3)изучение вопросов, связанных с полнотой некоторых праметриче-IX пространств, ассоциированных с упорядоченными полугруппами и
обобщенными булевыми алгебрами; обобщение классических результг тов теории меры и теории линейных метрических пространств, прилс жения к теории меры и теории функциональных пространств.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Получение новых результатов о топологически функциях на обобщенных булевых алгебрах. Распространение теоре Улама и Банаха - Куратовского на широкий класс функций множеств; Применение аппарата булевых решеток в теории групповозначных ме для решения задачи об управляющей числовой мере. Изучение тою логий в векторных пространствах и векторных решетках, снабженны обобщенной нормой (квазинормой). Применение в задаче о непрерывны линейных функционалах. Получение общих теорем о полноте праметрі ческих пространств, применение в классических разделах функционалі ного анализа и теории меры.
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе применяются методы а! страктной теории меры, функционального анализа, теории упорядочеі ных множеств.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты работы являютс новыми либо доказываются новыми методами. Укажем некоторые і них:
-
Установлены новые результаты о связи между различными видам непрерывности топологических функций на решетках.
-
Известные теоремы Улама и Банаха - Куратовского о невозмол ности задания нетривиальной конечной меры на алгебре всех подма жеств множества первой несчетной мощности, обращающейся в нуль і каждом одноточечном подмножестве, распространена на широкий кла< абстрактных и топологических функций.
-
Получены новые условия слабой счетной дистрибутивности и р гулярности булевых алгебр.
-
Дано новое доказательство теоремы Бартла - Данфорда - Шварі
управляющей мере с применением аппарата булевых решеток.
5. Изучена топология векторных пр^ггр^тг-тз, crr;f:::crrrri:" ::їяг,л-
ірмои - оолее общим понятием по сравнению с известными обобщени-
ш нормы или^полунормы—
-
Установлены связи между топологией, порожденной квазинормой 0(7—топологией в векторной решетке.
-
Доказаны общие теоремы о полноте для широкого класса праме-«ческих пространств, простыми следствиями которых являются те-емы о полноте некоторых функциональных пространств {U\р ^ 1 и ,0 < в < 1,І~. ''^і'і",Т,.17;-'.}};иоРмированннх идеальных пространств), также метрических структур, саялапны* с ирсстр3"' гвдііл с **»рой їй субмерой, с нормированными и субнормированными булевыми ал-брами.
-
Продолжено изучение и получены новые результаты о простран-вах функций, интегрируемых по субмере в смысле Шоке.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа но-:т теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации, >гут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории функ-гй множеств и теории функций на решетках. Материал последней авы о полноте праметрических пространств может быть включен в іебную литературу по теории функциональных пространств и исполь-ван в учебном процессе (в курсах математического и функционально анализа) на математических факультетах университетов и пелагических институтов, а материал второй и третьей глав может быть пользован в разработке спецкурсов. Как и должно быть, абстрактный рактер теорем, не усложняет, а даже несколько упрощает их доказа-льегза, делает их более прозрачными, менее зависимыми от конкрет-.IX деталей.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на .учно- методическом семинаре преподавателей математических кафедр
пединститутов Северо-Западной зоны РСФСР (Псков, 1У84>, на VII кої ференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения*' (Че: ноголовка, 1989), на научно-методической конференции преподавателе математичесішх кафедр пединститутов Северо-Западной и Уральске зон РСФСР (Киров, 1990), на Всероссийском семинаре по теории фун ций, посвященном памяти Чл.-Корр. АН СССР Л.Ф.Леонтьева (Сы тывкар, 1993), на второй научной сессия (февральских чтениях) Учено Совета Сыктывкарского университета (февраль, 1995), а также на час даниях научного семинара кафедры математического анализа КГПИ.
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 12 работ, кот рые отражают ее основное содержание.
ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит введения и четырех глав, списка литературы, содержащего 67 наимен ваниа. Объем диссертации 109 стр. машинописного текста.
В первой главе даются предварительные сведения по теории решет и теории функций на решетках, приводятся (с доказательствами) неп торые новые результаты, используемые в работе. Основное содержал диссертации изложено в последующих трех главах.
