Содержание к диссертации
Введение
1 Основные определения и обозначения 10
1.1. Пространства постоянной кривизны 10
1.1.1. Евклидово пространство Е3 12
1.1.2. Сфера п 13
1.1.3. Пространство Лобачевского ЕР 14
1.2. Гиперболическая геометрия 15
1.2.1. Группа изометрий пространства Лобачевского 17
1.2.2. Классификация изометрий гиперболического пространства И3 18
1.3. Дискретные группы движений 20
1.4. Фундаментальная группа 21
1.5. Конические многообразия 23
1.6. Двумостовые узлы и зацепления 25
2 Евклидова структура на коническом много образии с сингулярным множеством зацеп ление уайтхеда 27
2.1. Геометрические структуры на зацеплении Уайтхеда 27
2.2. Фундаментальное множество для конического многообразия W (т.п.) в Е3 32
2.3. Формула объема и изопериметрическое неравенство 64
2.4. Евклидова теорема тангенсов 67
2.5. Евклидовы теоремы синусов I и II 71
3 Конические многообразия с евклидовой струк турой и двумостовые узлы 77
3.1. Геометрические структуры на двумостовых узлах 77
3.2. Теорема единственности евклидовой структуры на коническом многообразии с сингулярным множеством дву.мостовый узел 80
3.3. Примеры евклидовых конических многообразий 83
3.3.1. Евклидовы конические многообразия на узлах 7/2 и 7/3 83
3.3.2. Евклидовы конические многообразия па узлах 9/2 и 9/5 89
3.3.3. Евклидовы конические многообразия на узлах 11/3 и 11/4 94
3.3.4. Евклидово коническое многообразие на узле 15/11 100
4 Почти евклидовы модели многообразия фо менко-матвеев а-викс а 104
4.1. Гиперболические многообразия малого объема и теорема Тёрстона-Иоргенсена 104
4.2. Построение почти евклидовых моделей 107
4.2.1. Почти евклидова модель на узле 7/2 109
4.2.2. Почти евклидова модель на узле 7/3 114
Заключение 120
Литература 122
- Гиперболическая геометрия
- Конические многообразия
- Евклидова теорема тангенсов
- Теорема единственности евклидовой структуры на коническом многообразии с сингулярным множеством дву.мостовый узел
Введение к работе
Элементы евклидовой геометрии начали использоваться человечеством с первых веков его возникновения на Земле.
Возникновение евклидовой геометрии относят к III в. до и. э., когда древнегреческий математик Евклид из Александрии изложил аксиомы, основные понятия и теоремы евклидовой геометрии, придав ей тем самым вид самостоятельной математической теории.
В настоящий момент евклидова геометрия является совершенной математической теорией, имеющей практическое применение почти во всех областях современной науки и техники и обладающей мощным математическим аппаратом, способным проводить научные исследования.
Развитие теории узлов неразрывно связано с развитием евклидовой геометрии.
Узлы применялись человечеством с древнейших времен. Они широко использовались во всех областях человеческой деятельности. Обнаруженные археологами древние орнаменты, содержащие в качестве элементов узлы 11 зацепления, насчитывают несколько тысяч лет. Кроме этого, узлы издавна упоминаются в преданиях и фольклоре различных народов мира. Хорошо известна история про полководца Александра Македонского, который, не сумев развязать узел, завязанный восточным мудрецом Гордием, разрубил узел мечем. Сюжет указанной истории даже вошел в поговорку "Разрубить гор- диев узел".
Теория узлов расположена на стыке таких разделов математики, как математический анализ, алгебра, теория чисел, алгебраическая топология и дифференциальная геометрия. Истоки теории узлов лежат в математической теории электричества и элементарной атомной физике, а недавно наметилась возможность ее новых приложений в некоторых областях химии и микробиологии.
Вид современной топологической теории теория узлов приобрела после работ М. Дена [49), Дж.В. Александера [36, 37], К. Рейдемейстера [108, 109, 110J и X. Зейферта [113, 114] почти сто лет тому назад. Как часть топологии она образует как бы остов широкого круга проблем, связанных с расположением одного многообразия внутри другого. С того момента и до наших дней теория узлов получила значительное развитие, обогатившись достижениями таких известных математиков, как К.К. Адаме [35], Г. Беде [42], X. Цишанг [34. 43|. Дж.Х. Конвэй [45], Р.Х. Кровелл [47. 48|, Р.Х. Фокс [57. 119|. Л. Гётриц |58). С. Киношита [78], Е.П. Классен [79, 80], М. Сакума [81, 103], Дж.В. Милнор [98, 99], Дж. Минкус [100], Д. Рольфсен [111], А.Б. Сосинский [31]. X. Шуберт [112], Дж.Х.К. Уайтхед [123], Дж. Вике [63], К. Волькотт [124] и других математиков.
В конце XX столетия теория узлов нашла широкое применение в теории конических многообразий, которая возникла с появлением работ К. Ходжсо-на [74] и Тёрстона [120] и начала интенсивно развиваться. Развитие теории конических многообразий, продолжающееся и по сей день, обусловлено появлением в данной области большого количества работ, в которых применяются аналитические методы, методы теории функций и теории узлов, алгебраические, геометрические и топологические методы. Среди них наиболее значи- тельными являются работы X. Хеллппга, А.Ч. Кима. II. Мопппкс [61]. Х.М. Хилдена, М.Т. Лозано, Х.М. Монтезиноса ([65] - [73]), Е. Суарес [118], СП. Керкгоффа [75], В. Данбара [51, 53], К.Н. Джонс [77], С. Коджимы [82], Фенг Люо [56] и Дж. Порти [40, 107].
Таким образом, современная теория конических многообразий оказалась на стыке нескольких направлений — математического анализа, топологии, геометрии, теории узлов, теории функций и теории групп.
Конические многообразия в настоящее время представляют собой весьма актуальные и перспективные объекты изучения геометрических структур в геометриях различного типа. Результаты исследований конических многообразий находят самое широкое применение в различных областях современной математики.
В настоящей работе проводится исследование с аналитической точки зрения конических многообразий с евклидовой структурой на двумостовых зацеплениях и узлах. Результаты проведенного исследования использованы для построения почти евклидовых моделей многообразия Фоменко-Матвеева-Внк-са.
Методика исследования. В работе используются методы геометрической теории функций, геометрические методы теории групп и теории геометрических структур на многообразиях и орбифолдах.
Научная новизна и практическая ценность работы. В диссертации получены следующие основные результаты:
I. Определена область существования евклидовой структуры на кониче ском многообразии с сингулярным множеством зацепление Уайтхеда и дока заны его тригонометрические свойства.
II. Построены фундаментальные множества для евклидовых конических многообразий на двумостовых зацеплениях и узлах, заузленных графах.
Доказана теорема единственности евклидовой структуры на коническом многообразии с сингулярным множеством двумостовый узел.
Построены почти евклидовы модели многообразия Фоменко-Матвеева-Викса.
Все полученные результаты являются новыми, снабжены полными доказательствами и могут быть использованы для дальнейшего развития геометрии многообразий, геометрической топологии и теории групп.
Апробация работы. Результаты диссертации обсуждались на семинарах кафедры математического анализа НГУ, отдела геометрии и анализа Института математики СО РАН им. С.Л.Соболева под руководством академика РАН, профессора Ю.Г.Решетняка и семинаре "Геометрические структуры на многообразиях и орбифолдах" Института математики СО РАН под руководством профессора А.Д. Медных, а также докладывались па XXXVI Международной научной студенческой консреренцип "Студент п научно-технический прогресс"(г.Новоспбирск, 1998), Третьем Сибирском Конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященном памяти С.Л. Соболева (1908-1989) (г.Новосибирск, 1998), Международной конференции по анализу и геометрии, посвященной 70-летию академика Ю.Г. Решетняка (г.Новосибирск. 1999), Третьей Международной конференция по геометрии "в целом"(г.Черкассы, 1999), Международной конференции по геометрии и ее приложениям. посвященной 60-летию профессора В.А. Топоногова (г.Новосибирск, 2000), Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика М.А. Лаврентьева (г.Киев, 2000), Международной конференции по Методам вычислений и теории функций (CMFT2001) (Португалия, г.Авейро, 2001), Четвертой Итальяно-испанской конференции по общей топологии и ее приложениям (ITES2001) (Италия, г.Брессаноне, 2001), Международной конференция-школа по геометрии и анализу, посвященная памяти А.Д. Александрова (1912-1999) (г.Новосибирск, 2002), Третьей межрегиональной конференции по математическому образованию на Алтае (г.Барнаул, 2002), Международном Математическом Конгрессе (Китай, г.Пекин, 2002).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [125] - [137].
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 136 страницах, состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 137 наименований, содержит 35 рисунков и 3 таблицы.
Перейдем к изложению основных результатов диссертации.
В первой главе приведены основные определения и обозначения, используемые в диссертации.
Вторая глава диссертации посвящена исследованию евклидовой структуры на коническом многообразии с сингулярным множеством зацепление Уайт-хеда. В разделе 2.1 приводятся предварительные результаты исследования геометрических структур на зацеплении Уайтхеда, в разделе 2.2 производится построение канонического фундаментального множества для евклидова конического многообразия на зацеплении Уайтхеда, в разделе 2.3 выводятся формула объема указанного евклидова конического многообразия и нзопери-метрпческое неравенство, в разделах 2.4 и 2.5 доказываются евклидова теорема тангенсов и евклидовы теоремы синусов, устанавливающие взаимосвязь между коническими углами и длинами компонент сингулярного множества евклидова конического многообразия на зацеплении Уайтхеда.
В главе 3 диссертации проводится исследование конических многообразий с евклидовой структурой на двумостовых узлах. В разделе 3.1 приво- дятся предварительные результаты исследования геометрических структур на двумостовых узлах, в разделе 3.2 доказывается теорема единственности евклидовой структуры на коническом многообразии с сингулярным множеством двумостовый узел, в разделе 3.3 выполняются построения канонических фундаментальных множеств для евклидовых конических многообразий на двумостовых узлах: 7/2 и 7/3 — в пункте 3.3.1, 9/2 и 9/5 -- в пункте 3.3.2, 11 /3 и 11/4 — в пункте 3.3.3, 15/11 — в пункте 3.3.4. Следуя [112]. здесь и далее в работе будет использоваться обозначение двумостовых узлов в виде рациональных дробей. Кроме этого, в разделе 3.3 вычисляются удельные объемы указанных евклидовых конических многообразий.
Гиперболическая геометрия
Рассмотрим более подробно трехмерное гиперболическое пространство. В качестве модели трехмерного гиперболического пространства с кривизной к = — 1 будем рассматривать верхнее полупространство с гиперболической метрикой Определим в качестве границы 9H3 пространства Н3 расширенную комплексную плоскость С = Е2 U {со}, которую далее будем называть абсолютом. Следуя [55], назовем пересечение ортогональных абсолюту евклидовых окружностей и прямых с пространством И3 гиперболическими прямыми, а ортогональные абсолюту евклидовы полуплоскости и полусферы — гиперболическими плоскостями. При этом каждая гиперболическая прямая пересекается с абсолютом в двух точках, называемых конечными точками, а каждая гиперболическая плоскость пересекается с абсолютом по окружности в С, называемой горизонтом. Гиперболические прямые и плоскости однозначно определяются конечными точками и горизонтами, поэтому для установления соотношений инцидентности между ними удобно рассматривать соотношения инцидентности между их конечными точками и горизонтами. Две различные гиперболические плоскости называются пересекающимися, параллельными или расходящимися в зависимости от того пересекаются, касаются или не имеют общих точек их горизонты.Аналогично, гиперболическая плоскость и прямая, не лежащая на ней. пересекаются, параллельны или расходятся, если конечные точки разделены горизонтом плоскости, одна из конечных точек лежит на горизонте или конечные точки не разделены горизонтом.
При рассмотрении гиперболических прямых ситуация немного сложнее, так как различные гиперболические прямые могут быть как копланарными (лежать на одной общей плоскости), так и скрещивающимися. Как и плоскости, копланарные прямые могут пересекаться, быть параллельными или расходящимися. Будем называть композицию конечного числа отражений относительно окружностей мебиусовым преобразованием, действующим в С = М2 U {ос}. При этом совокупность всех мебиусовых преобразований образует группу GM.2, которая называется общей мебиусовой группой. Обозначим через М.-2 подгруппу индекса 2 в группе GM.4- СОСТОЯЩУЮ из сохраняющих ориентацию изометрий. Далее будем рассматривать мебиусовы преобразования как преобразования вида комплексная 2x2 матрица Л Є GL(2,C) индуцирует некоторое мебиусово преобразование, причем каждое такое преобразование представляется при помощи двух матриц А и —Л из 5Х(2,С). Поэтому, группа сохраняющих ориентацию мебиусовых преобразований ЛЛ-і изоморфна группе PSL{2, С) = SL(2, С) / { /, — / }, где 5L(2, С) - группа комплексных матриц второго порядка с определителем единица, / - единичная матрица. Как показано в [8, Гл. 3], любое мебиусово преобразование, действующее в С, может быть продолжено на При этом оно будет являться изометрией гиперболического пространства И3, а в качестве такого продолжения можно выбрать, например, продолжение Пуанкаре
Существует достаточно много способов классификации изометрий гиперболического пространства И3. Однако наиболее важными для нас являются классификация, связанная со следами матриц, представляющих изометрий в группе PSL(2,C), и классификация, основанная на представлении изометрий в виде композиции полуоборотов в гиперболических прямых. Первая классификация, в частности, приведена в [8, Гл. 4]. Не тождественное мебиусово преобразование А Є ЛЛч называется эллиптическим, параболическим, гиперболическим или строго локсодромическим, если tr2A Є [0,4), tr2A — 4, tr2A Є (4, со) или tr2A [0,оо), соответственно. Назовем полуоборотом поворот на угол 7г относительно некоторой гиперболической прямой. Тогда произведение двух различных полуоборотов есть эллиптический, параболический, гиперболический или строго локсодромический элемент в зависимости от того пересекаются, параллельны, расходятся или скрещиваются оси полуоборотов [55, IV.2]. Рассмотрим теперь более подробно прямые в трехмерном гиперболическом пространстве. Напомним, что собственная или несобственная прямая в пространстве Н3 определяется ее конечными точками и и и . Если прямая собственная, т.е. и ф и , ориентация на прямой задается упорядочиванием пары и, и . Следуя [55]. матрица і со свойствами: del і — 1, tr і = 0, определяет полуоборот в некоторой собственной прямой, и эта прямая определяет матрицу і с точностью до знака. Матрица , удовлетворяющая уравнению tr = 0, называется линейной матрицей. Каждый класс взаимно пропорциональных линейных матриц
Конические многообразия
Трехмерным коническим многообразием с евклидовой (соответственно — гиперболической или сферической) структурой называется трехмерное многообразие, каждая точка которого имеет окрестность, изометричную некоторой окрестности точки, лежащей на ребре клина раствора (3 в трехмерном евклидовом (соответственно — гиперболическом или сферическом) пространстве, которое называется пространство-носитель. При этом подразумевается, что точки граней клина попарно отождествлены посредством вращения евклидо ва (соответственно — гиперболического или сферического) пространства вокруг ребра клина. Если угол р, называемый коническим углом, не равен 2тг. то говорят, что соответствующая точка принадлежит сингулярному множеству конического многообразия. Кроме этого, существует следующее альтернативное определение конического многообразия, приведенное в работе [77]. Трехмерное евклидово коническое многообразие — это метрическое пространство, полученное как факторпространство объединения набора непе о ресекающихся геодезических 3-симплексов в Е , образованное изометрическим спариванием граней таким комбинаторным способом, что топологическое пространство-носитель является многообразием. Гиперболические и сферические конические многообразия определяются аналогично. Такое пространство обладает римановой метрикой постоянной кривизны на объединении клеток размерности 3 и клеток размерности 2. На каждой клетке размерности 1 структура полностью определяется углом (3, который является суммой двугранных углов вокруг всех ребер симплекса, которые отождествляются, чтобы получить эту клетку. Сингулярное множество конического многообразия — это замыкание всех клеток размерности 1. для которых этот угол /3, называемый коническим углом, не равен 2-к (риманова метрика может быть продолжена на все клетки с углом, равным 2тт). Заметим, что существует связь между коническими многообразиями и ор-бифолдами (см. [120]), а именно, орбифолды — это конические многообразия с коническими углами вида 2тт/к для некоторого целого к. Подмножество к пространства X. где X — это Е тг.пгт . называется узлом, если к гомеоморфно одномерной сфере S1.
Более общо, к называется п-компонентным зацеплением, если к гомеоморфно объединению п непересекающихся одномерных сфер. В этом случае число компонент называется кратностью зацепления. Два узла называются эквивалентными, если существует кусочно-линейная изотопия 3, переводящая один из узлов в другой. При этом узел тривиален, если он эквивалентен треугольнику. Полученные относительно этой эквивалентности классы также называются узлами. Пусть узел имеет регулярную окрестность U(к), гомеоморфную торическому телу D2 х S1, которая называется трубчатой окрестностью узла к. Тогда множество С — S3 — U(k) называется дополнением к к, а п\(С) — группой к, или группой узла. Узел /свМ3 называется двумостовым узлом (пример двумостового узла pjq = 7/3 изображен на рисунке 1.1). если его можно представить таким образом, что он будет пересекать некоторую плоскость Е С М3 в 4 точках Л, В, С, D таких, что по две дуги узла к в каждой из полуплоскостей, определенных Е, обладают простыми и непересекающимися проекциями на Е. Предположим, что проекции дуг, лежащих с одной стороны Е) отрезки прямых w\ = АВ, w-2 = CD; другая пара дуг проектируется на непересекающиеся простые кривые V[ (от А до С) и v-2 (от В до D). Дуги U[. V2 могут быть продеформированы таким образом, что их проекции будут пересекать попеременно w\, W2 и V{ идет сначала к Wj, г ф j. Тогда число точек пересечения одно и то же на каждом из "мостов" w\, W2- Обозначим его через р— 1. Пронумеруем двойные точки на каждом из мостов последовательно: 1,..., р — 1 в том порядке, в котором они встречаются, если идти соответственно от В К А ИЛИ ОТ D К С. ПуСТЬ \q\ - НОМер ТОЧКИ ПерВОГО Пересечения V\ С W2 Будем считать q положительным, если v\ впервые пересекает гио сверху. Оказывается, что q нечетно и число компонент равно 1, если р нечетно, и число компонент равно 2 в противном случае.
Описанный узел обозначают k(p.q) или просто p/q. Можно показать, что группы двумостовых узлов допускают представления с одним определяющим соотношением [43]. Кроме того, узлы к(р, q) и k(p ,q ) эквивалентны (как ориентируемые узлы, заданные путями) тогда и только тогда, когда р = р и q±l = q mod 2р. Если отбросить ориентацию, то есть рассмотреть только множества точек, заданных кривыми, то второе условие ослабляется: q±} = q mod р. Эти условия являются также необходимыми и достаточными для изоморфности групп узлов [112]. Рассмотрим евклидову структуру на коническом многообразии с сингулярным множеством зацепление Уайтхеда. Обозначим через W(m:n) коническое многообразие с носителем трехмерная сфера, сингулярное множество которого образовано двумя компонентами зацепления Уайтхеда с коническими углами 2т;/т и 2п/п (см. Рис. 2.2). Заметим, что W(m: п) = W(n,m) по определению и по свойствам зацепления Уайтхеда (см. [86]). В области изучения конического многообразия W(m:n) известны следующие результаты. X. Хеллинг, А.Ч. Ким, Й.Л. Меннике доказали в [61], что коническое многообразие W(n, п) является гиперболическим для всех п = 3, 4,5,.... Х.М. Хилден, М.Т. Лозано, Х.М. Монтезинос полностью исследовали гиперболичность и арифметичность конического многообразия W{m,n) для
Евклидова теорема тангенсов
Трехмерным коническим многообразием с евклидовой (соответственно — гиперболической или сферической) структурой называется трехмерное многообразие, каждая точка которого имеет окрестность, изометричную некоторой окрестности точки, лежащей на ребре клина раствора (3 в трехмерном евклидовом (соответственно — гиперболическом или сферическом) пространстве, которое называется пространство-носитель. При этом подразумевается, что точки граней клина попарно отождествлены посредством вращения евклидо ва (соответственно — гиперболического или сферического) пространства вокруг ребра клина. Если угол р, называемый коническим углом, не равен 2тг. то говорят, что соответствующая точка принадлежит сингулярному множеству конического многообразия. Кроме этого, существует следующее альтернативное определение конического многообразия, приведенное в работе [77]. Трехмерное евклидово коническое многообразие — это метрическое пространство, полученное как факторпространство объединения набора непе о ресекающихся геодезических 3-симплексов в Е , образованное изометрическим спариванием граней таким комбинаторным способом, что топологическое пространство-носитель является многообразием. Гиперболические и сферические конические многообразия определяются аналогично. Такое пространство обладает римановой метрикой постоянной кривизны на объединении клеток размерности 3 и клеток размерности 2. На каждой клетке размерности 1 структура полностью определяется углом (3, который является суммой двугранных углов вокруг всех ребер симплекса, которые отождествляются, чтобы получить эту клетку. Сингулярное множество конического многообразия — это замыкание всех клеток размерности 1. для которых этот угол /3, называемый коническим углом, не равен 2-к (риманова метрика может быть продолжена на все клетки с углом, равным 2тт). Заметим, что существует связь между коническими многообразиями и ор-бифолдами (см. [120]), а именно, орбифолды — это конические многообразия с коническими углами вида 2тт/к для некоторого целого к. Подмножество к пространства X. где X — это Е тг.пгт . называется узлом, если к гомеоморфно одномерной сфере S1.
Более общо, к называется п-компонентным зацеплением, если к гомеоморфно объединению п непересекающихся одномерных сфер. В этом случае число компонент называется кратностью зацепления. Два узла называются эквивалентными, если существует кусочно-линейная изотопия 3, переводящая один из узлов в другой. При этом узел тривиален, если он эквивалентен треугольнику. Полученные относительно этой эквивалентности классы также называются узлами. Пусть узел имеет регулярную окрестность U(к), гомеоморфную торическому телу D2 х S1, которая называется трубчатой окрестностью узла к. Тогда множество С — S3 — U(k) называется дополнением к к, а п\(С) — группой к, или группой узла. Узел /свМ3 называется двумостовым узлом (пример двумостового узла pjq = 7/3 изображен на рисунке 1.1). если его можно представить таким образом, что он будет пересекать некоторую плоскость Е С М3 в 4 точках Л, В, С, D таких, что по две дуги узла к в каждой из полуплоскостей, определенных Е, обладают простыми и непересекающимися проекциями на Е. Предположим, что проекции дуг, лежащих с одной стороны Е) отрезки прямых w\ = АВ, w-2 = CD; другая пара дуг проектируется на непересекающиеся простые кривые V[ (от А до С) и v-2 (от В до D). Дуги U[. V2 могут быть продеформированы таким образом, что их проекции будут пересекать попеременно w\, W2 и V{ идет сначала к Wj, г ф j. Тогда число точек пересечения одно и то же на каждом из "мостов" w\, W2- Обозначим его через р— 1. Пронумеруем двойные точки на каждом из мостов последовательно: 1,..., р — 1 в том порядке, в котором они встречаются, если идти соответственно от В К А ИЛИ ОТ D К С. ПуСТЬ \q\ - НОМер ТОЧКИ ПерВОГО Пересечения V\ С W2 Будем считать q положительным, если v\ впервые пересекает гио сверху. Оказывается, что q нечетно и число компонент равно 1, если р нечетно, и число компонент равно 2 в противном случае.
Описанный узел обозначают k(p.q) или просто p/q. Можно показать, что группы двумостовых узлов допускают представления с одним определяющим соотношением [43]. Кроме того, узлы к(р, q) и k(p ,q ) эквивалентны (как ориентируемые узлы, заданные путями) тогда и только тогда, когда р = р и q±l = q mod 2р. Если отбросить ориентацию, то есть рассмотреть только множества точек, заданных кривыми, то второе условие ослабляется: q±} = q mod р. Эти условия являются также необходимыми и достаточными для изоморфности групп узлов [112]. Рассмотрим евклидову структуру на коническом многообразии с сингулярным множеством зацепление Уайтхеда. Обозначим через W(m:n) коническое многообразие с носителем трехмерная сфера, сингулярное множество которого образовано двумя компонентами зацепления Уайтхеда с коническими углами 2т;/т и 2п/п (см. Рис. 2.2). Заметим, что W(m: п) = W(n,m) по определению и по свойствам зацепления Уайтхеда (см. [86]). В области изучения конического многообразия W(m:n) известны следующие результаты. X. Хеллинг, А.Ч. Ким, Й.Л. Меннике доказали в [61], что коническое многообразие W(n, п) является гиперболическим для всех п = 3, 4,5,.... Х.М. Хилден, М.Т. Лозано, Х.М. Монтезинос полностью исследовали гиперболичность и арифметичность конического многообразия W{m,n) для
Теорема единственности евклидовой структуры на коническом многообразии с сингулярным множеством дву.мостовый узел
Докажем следующую теорему. Теорема 3.1 Если коническое многообразие (S3, (p/q)a) допускает евклидову структуру, то существует единственный конический угол О ае 7г такой что коническое многообразие ( , {p/q)a ) является евклидовым,. Доказательство. Пусть HSp/q — множество конических углов ah, таких что коническое многообразие ( , {p/q)ah) допускает гиперболическую коническую структуру. Докажем, что множество HSpjq связно, т.е. HSp/q состоит из одного интервала, концы которого принадлежат полуоткрытому интервалу [0,7г[. Докажем следующую лемму. Лемма 3.1 Множество HSp/q связно. Доказательство. Следуя С. Коджиме [82, стр.481], воспользуемся теоремой Ходжсона и Керкгоффа о локальной жесткости [75]. Одним из следствий данной теоремы является тот факт, что пространство деформаций гиперболического конического многообразия ( , (p/q)a,t) локально гомеоморфно интервалу IQh, параметризованному коническим углом ah Далее, используем следующий результат [82, стр.470]. Теорема (С. Коджима) Пусть С — компактное ориентируемое трехмерное гиперболическое коническое многообразие и Е - сингулярное мио-эюество, образованное зацеплением в С. Если конические углы, заданные на компонентах Е все не более тг, то С допускает непрерывное семейство деформаций с убывающими коническими углами, приводящих к полному гиперболическому многообразию, гомеоморфному несингулярной части С — Е. Полная гиперболическая структура достигается на коническом многообразии ( , (p/q)a) при значении конического угла а = 0.
Таким образом, из теорем Ходжсона-Керкгоффа и Коджимы следует, что множество HSpiq является интервалом, параметризованным коническим углом a/j, с левым концом в нуле, что завершает доказательство данной леммы. Рассмотрим следующую теорему [107, стр.365]. Теорема (Дж. Порти). Пусть С — евклидово коническое многообразие, такое что Ер — это узел в С, (С, Ер) не является зсйфертовой парой (то есть С не допускает расслоения Зейферта, имеющего Ер в качестве слоя), и конический угол CXQ 7г. Тогда существует, є 0, такое что для а Є (CVQ — є, «о + є) коническое многообразие С допускает геометрическую коническую структуру с сингулярным множеством Ее и коническим углом а: -гиперболическую для а Є (QO — є, ao)j -сферическую для а Є (ого, &о + є). Перейдем к доказательству единственности евклидовой структуры. Предположим, что существуют два конических угла 0 аЄі аЄ2 7г, такие что конические многообразия (3, {p/q)Qe ) и (S3, {p/q)QeJ евклидовы. В этом случае, по теореме Порти, существуют є\ 0, ео_ 0, такие что для а Є (а-е, - Є\,аЄі) U (ае, — Є2,аЄ2) коническое многообразие (3, {p/q)a) допускает гиперболическую коническую структуру. Поскольку а Є (aCl — Єі,аЄі) П (аЄ2 - Є2,аЄ2) = 0, это противоречит связности HSp/q. Таким образом, существует единственный конический угол 0 ае тг, такой что коническое многообразие ( , (p/q)ae) допускает евклидову структуру. Теорема доказана. Одним из следствий теоремы 3.1 является инвариантность удельного объема евклидова конического многообразия (3, (p/q)Ql). Удельный объем евклидова конического многообразия (3. {p/q)n,) рассчитывается по формуле: где Vol(FS(p/q,ae)) — объем канонического фундаментального множества евклидова конического многообразия (S , {p/q)ae), 5e(p/q) — длина сингулярного множества конического многообразия (S , (p/q)Qe) в Е . Единственность евклидовой структуры на (S , (p/q)a,), доказанная в теореме 3.1, влечет единственность евклидовой метрики с точностью до множителя К, отвечающего за выбор масштаба. Поскольку при подстановке в формулу (3.1) множитель
К сокращается, удельный объем VS(p/q,ae) не зависит от выбора масштаба в Е , и, следовательно, является инвариантом евклидова конического многообразия Рассмотрим примеры евклидовых конических многообразий на двумосто-вых узлах, приведенных в следующей таблице 3.1, содержащей обозначения узлов в виде рациональных дробей, обозначения Дж.Х. Конвэя [45] и Д. Рольфсена [111]. Заметим, что если двумостовые узлы pi/qi и р2/ 72 эквивалентны, как неориентированные, то евклидовы конические многообразия (3, {pi/q\)Qt.) и (3, (р2/Я2)а,,) изоморфны, и, в силу инвариантности удельного объема евкли дова конического многообразия, удельные объемы конических многообразий VS(pi/qi,ae) и VS(p2/q-2,&e) равны. Тем не менее, канонические фундаментальные множества FS(pi/qi,ae) и 5(р2/ ?2, & е) не являются конгруэнтными.
