Введение к работе
Актуальность темы
Системы дифференциальных уравнений и их обобщения часто применяются при решении задач в различных областях математики и ее приложениях. Нахождение решений заданного класса для таких систем в общем случае является весьма сложной задачей. Не менее сложна и обратная задача нахождения дифференциального уравнения заданного класса по известному множеству его решений. Многие знаменитые классические проблемы сводятся к обратным задачам такого вида.
В качестве примера можно привести 21-ю проблему Гильберта о построении фуксовой системы обыкновенных дифференциальных уравнений с заданной группой монодромии. Ее решение было получено в 1989 г. А.А. Болибрухом1. Он показал, что в классе фуксовых систем обыкновенных дифференциальных уравнений систему с заданным ветвлением решений построить невозможно. Тем не менее, задача эффективного нахождения системы дифференциальных уравнений с заданным ветвлением решений в том случае, если такая система существует, активно исследуется и представляет большой интерес2'3'4.
Другой классической задачей, приводящей к обратной задаче теории дифференциальных уравнений в частных производных, является 13-я проблема Гильберта о возможности представления непрерывных функций многих переменных в виде композиции непрерывных функций двух переменных. А.Н. Колмогоров и В.И. Арнольд доказали, что такое представление всегда существует на компактном подмножестве веще-
1Болибрух А.А. Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения j А.А. Болибрух. - М.: Московский центр непрерывного математического образования, 2000.
2Bostan A. Differential equations for algebraic functions / A. Bostan, F. Chyzak, B.Salvy, G.Lecerf, E. Schost; Proceedings of ISSAC. - Waterloo, Ontario, Canada. 2007. P. 25-32.
3Carra Ferro G.Generalized differential resultant systems of algebraic ODEs and differential elimination theory j G.Carra Ferro // Trends in Mathematics: Differential Equations with Symbolic Computation, Birkhauser, 2006. P. 327-341.
4Cormier O. Linear differential operators for polynomial equations / O.Cormier, M.F. Singer, B.M.Trager, F.Ulmer // J. Symbolic Computation. 2002. №34. P. 355-398.
ственного пространства5. Вопрос возможности представления аналитической функции многих переменных в виде композиции аналитических функций двух переменных разрешается в отрицательном смысле, однако возникает вопрос описания множества аналитических функций, для которых это представление возможно6. Данный вопрос естественным образом приводит к понятию классов сложности аналитических функций двух переменных и задаче нахождения дифференциальных критериев принадлежности функций этим классам . Таким образом, возникает необходимость конструктивного построения нелинейного дифференциального уравнения в частных производных с заданным семейством решений, зависящим от нескольких произвольных функций одного переменного.
Широкий класс обратных задач в теории дифференциальных уравнений в частных производных образуют обратные задачи математической физики. Это связано с тем, что при моделировании реальных физических процессов часто необходимо по известным результатам измерений восстановить значения некоторых параметров процесса. Сам процесс, как правило, описывается в некоторой области функционального пространства системой дифференциальных уравнений в частных производных с заданными граничными (начальными) условиями. Такая ситуация соответствует необходимости решения обратной задачи. Непосредственные формулировки задач могут сильно отличаться в зависимости от математической модели. В частности, такие задачи могут включать установление предыстории данного состояния процесса, восстановление граничных условий или величин, в них входящих, определение коэффициентов уравнений, нахождение геометрических характеристик контура области или координат точек внутри нее. Возможны
5Арнольд В.И. О представлении непрерывных функций трех переменных суперпозициями непрерывных функций двух переменных J В.И.Арнольд // Матем. сб. 1959. №48(90):1. С. 3-74.
6Витушкин А.Г. 13-я проблема Гильберта и смежные вопросы / А.Г. Витушкин // УМН. 2004. №59:1(355). С. 11-24.
7Beloshapka V.K. Analytic complexity of functions of two variables / V.K. Beloshapka II Russian Journal of Mathematical Physics. 2007. №14:3. P. 243-249.
также комбинированные постановки обратных задач8. Существует обширный список источников, посвященных методам решения обратных задач математической физики9'10'11.
Задачи, рассматриваемые в диссертации, имеют отношение к 13-й и 21-й проблемам Гильберта и связаны с нахождением дифференциальных уравнений (в том числе нелинейных), множество решений которых задается в явном виде, либо неявно - как решение алгебраического уравнения. Предложено новое определение сложности таких геометрических объектов, как узлы и гиперповерхности. Цель диссертации
Целью диссертации является нахождение и исследование свойств систем дифференциальных уравнений (в частности, единственного уравнения), обладающих заданным множеством решений, а именно:
построение конструктивного алгоритма для расчета полиномиальных коэффициентов линейного дифференциального уравнения, которому удовлетворяет заданная алгебраическая функция;
изучение структуры многогранников Ньютона и свойств коэффициентов зануляющих дифференциальных операторов для алгебраических функций;
вычисление и оценка аналитической сложности для алгебраических функций и многочленов, в частности, для дискриминантов многочленов одного переменного;
нахождение алгебраических дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют функции классов аналитической сложности выше первого;
введение нового определения сложности узлов и гиперповерхно-
8Алифанов О.М. Экстремальные методы решения некорректных задач и их приложения к обратным задачам теплообмена / О.М.Алифанов, Е.А.Артюхин, С.В.Румянцев. - М.: Наука, 1988. - 286 с.
9Бухгейм А.Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи / А.Л.Бухгейм. - Новосибирск: Наука, 1983. - 207 с.
10Романов В.Г. Обратные задачи математической физики / В.Г.Романов. - М.: Наука, 1984.
11Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н.Тихонов, В.Я.Арсенин. - М.: Наука, 1979. - 285 с.
стей и развитие методов ее вычисления. Методика исследования
В первой главе используется понятие алгебры Вейля и (левых) идеалов в ней. В частности, дифференциальный оператор, зануляющий заданную алгебраическую функцию, находится в (одношаговом) модуле сизигий некоторого фактор-идеала алгебры Вейля. При доказательстве теорем существования оптимального зануляющего оператора используется теория вычетов. В алгоритме, вычисляющем коэффициенты такого оператора, используются базисы Гребнера для исключения переменных.
Во второй главе рассматривается понятие аналитической сложности голоморфной функции, введенное В.К. Белошапкой. Работа ведется в дифференциальных полях с несколькими дифференцированиями, переход от некоммутативного исключения к коммутативному использует h-принцип, сформулированный М.Л. Громовым12. При оценке аналитической сложности алгебраических функций используется понятие системы Гельфанда-Капранова-Зелевинского для данной функции.
В главе 3 рассматривается понятие узла в R в контексте определения аналитической сложности узла. Для оценки сложности узлов и при доказательстве утверждений используются геометрические методы. Научная новизна
Все результаты диссертации являются новыми и снабжены полными доказательствами. Практическая и теоретическая ценность
Полученные результаты являются теоретическими и позволяют вычислять линейные дифференциальные уравнения с заданными алгебраическими решениями, а также оценивать аналитическую сложность некоторых функций и узлов. Они могут быть использованы в теории дифференциальных уравнений для решения частных видов уравнений. Результаты третьей главы могут быть использованы при классификации узлов в R .
12Громов М.Л. Дифференциальные соотношения с частными производными: пер. с англ. / М.Л.Громов. - М.: Мир, 1990.
Практическая ценность результатов может состоять в их включении в учебные программы специальных курсов по современным проблемам комплексного анализа или компьютерной алгебры. Апробация работы
Результаты исследований были представлены на следующих семинарах и конференциях:
на 42-й краевой научной студенческой конференции по математике в Сибирском федеральном университете в 2009 году;
с 2009 по 2012 годы - на городском семинаре по комплексному анализу кафедры теории функций Сибирского федерального университета;
на 49-й и 50-й Молодежной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» в Новосибирском государственном университете в 2011 и 2012 годах соответственно;
на факультете информационных технологий Российского государственного торгово-экономического университета, где автор проходил стажировку в 2010, 2011 и 2012 годах;
на семинаре в ИВМ СО РАН «Математические модели и методы интегрирования» в 2012 году.
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5], из них 2 работы [1-2] в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК. Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста и трех приложений, содержащих программный код и объемные результаты. Список литературы содержит 63 наименования. Работа изложена на 102 страницах, содержит 11 рисунков и 2 таблицы, приложения занимают 18 страниц.
